湖北襄阳市致远中学2026-2027学年高二上学期数学周考5

高二年级数学周考试题（10.10） 一、单选题 （   ）1．如图所示，四面体所有棱长均为4，则（   ） A． B． C． D． （   ）2．已知直线，，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 （   ）3．某中学一个数学课外兴趣小组经常在周末利用AI技术构建现实生活中的数学模型， 对学过的各章节知识进行复习．若该兴趣小组构建了一个神经网络方面的损失函数 模型，并随机取a，b的数据如下表，则为整数的概率为（    ） 的数据取值为 6，8，9 b的数据取值为 12，13，14，15，18 A． B． C． D． （   ）4．如图，一个电路中有，，三个电器元件，事件“元件工作正常”，事 件“元件工作正常”，事件“元件工作正常”，则下列事件：①； ②；③；④；⑤；⑥.表示事件“电 路一定是断路”的个数为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 （   ）5.已知直线与直线关于点对称，实数b的值为（   ） A. B. 6 C. D. （   ）6．在直三棱柱中，，，，若其外接球球的 表面积为，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． A. （   ）7．已知直线，，能构成三角形，设满 足条件的k值构成集合A，则的子集个数为（   ） A．16 B．8 C．2 D．1 （   ）8．已知点，，，直线将分割为两部分，则当这 两个部分的面积之积取得最大值时的值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 （   ）9．下列结论正确的是（   ） A．若、、三点共线，则的值为0 B．若点、，过点的直线与线段有公共点，则的斜 率的取值范围为 C．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 D．两直线，的倾斜角分别为，，斜率分别是，，，则 （   ）10．若，，，则（    ） A．M与N互斥 B．M与N相互独立 C． D． （   ）11．如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰 直角三角形，且，，下列结论正确的有（    ） A．三棱锥的各条棱中，最长的棱长度为 B．二面角的正切值为 C．点为底面（包括边界）上的动点，，则点的轨迹长度为 D．点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成 的角，则线段长的取值范围是 三、填空题 12．已知向量，，向量在向量上的投影向量坐标为______． 13．对于任意，不等式恒成立，则m最大值为____． 14．甲、乙、丙三人进行传球训练，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中 的任何一人．第1次由甲将球传出，则3次传球后球在丙手中的概率为______． 四、解答题 15．已知直线方程为 (1)证明：直线恒过定点 (2)当m为何值时，点到直线的距离最大，最大值为多少? (3)若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A，B两点，求面积的最小值及此时直线的方程. 16．已知三点坐标，，，求解以下问题： (1)求出边所在直线的方程（写为一般式方程）； (2)求出的面积； (3)设点，动点在（1）中的直线上运动，求出的最小值． 17．平行六面体中，，，， 为与的交点． (1)用，，表示； (2)求； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 18．如图所示，在直三棱柱中，，， 为棱的中点． (1)求点到平面的距离； (2)若点在上，且平面． ①求的值； ②求平面与平面夹角的余弦值． 19．某平台推出答题赢会员活动，共设置3道独立题目，每位用户可自主安排答题顺序． 规则如下：连续答对2题可获得7天会员；连续答对3题可获得30天会员；其余情况 均不获得会员．已知甲答对题1的概率为，答对题2的概率为，答对题3的概率 为，各题答对与否相互独立． (1)若，且甲按题1→题2→题3的顺序答题，求甲获得30天会员的概率． (2)若，要使甲获得会员的概率最大，应如何安排答题顺序？ (3)若在答题中，仅当题3位于中间的顺序时，甲获得会员的概率最大，求的取值范围． 试卷第1页（共3页） 高二年级数学周考答案（10.10） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D C C A B A AB BC 题号 11 答案 BC 1．A 【分析】根据空间向量的线性运算及数量积求解即可. 【详解】由题意知，为等边三角形，所以. 所以 . 2．A 【详解】当时，直线，即与直线平行， 由，得，解得， 所以“”是“”的充要条件. 3．D 【分析】根据古典概型的概率公式，结合分类讨论思想求解即可. 【详解】因为为整数， 所以当时，可取12，13，14，15，18； 当时，可取12，15，18； 当时，可取12，14，18； 所以为整数的概率为． 4．C 【分析】利用事件的基本运算即可求解. 【详解】①表示元件A正常且元件B不正常；②表示元件A正常且元件C不正常； ③表示元件A不正常且元件B正常；④表示元件A不正常且元件C正常； ⑤表示元件A正常且元件B不正常或元件C不正常； ⑥表示元件A正常且元件B和C都不正常，故③④⑥表示电路一定是断路． 5．C 【解析】由于直线与直线关于点对称，所以两直线平行，故，则由于点在直线上，关于点的对称点为，故点在直线上，代入可得，故 6．A 【分析】通过余弦定理判断形状后确定外接圆圆心位置，进一步判断球心位置，并通过数量积求解直线夹角余弦值. 【详解】因为，，，所以， 解得，所以，因此， 所以外接圆圆心位于中点，且底面外接圆半径， 同理，外接圆圆心位于中点. 由此可知，外接球的球心位于中点. 因为球表面积为，设外接球半径为， 所以，解得， 所以，. 以作为基底，分别记作，得，. 所以. 故所求线线角的余弦值为. 7．B 【详解】因为直线，，能构成三角形， 所以不平行于且不平行于且，，不共点， 当不平行于时，可得， 当不平行于时，可得， 当，，不共点时，由，解得， 所以，解得， 所以且且，所以， 所以的子集个数为. 8．A 【分析】由题意，，结合基本不等式可得当时面积之积取得最大值，即，结合直线的方程求解点坐标，代入直线求解即可. 【详解】由题意，直线将分割为两部分，不妨记两部分面积分别为， 故，由， 结合基本不等式可得，即， 当且仅当时等号成立， 即直线将分割为面积相等的两部分时两个部分的面积之积最大， 由于，要使，则与边相交，设交点为， 故， 由于直线方程为，即，代入可得， 故，由于在上，则，解得. 故选：A 9．AB 【分析】选项A，利用斜率公式求出，利用三点共线得到，通过计算得到的值；选项B,求出，由直线绕旋转且与线段相交，得到从往上转时的斜率的范围，从往下转时的斜率的范围，从而得到斜率范围；选项C，由直线在轴截距相等分两种情况：当截距不为0时，设直线为截距式，代入点，解得，从而得到过的直线方程；当截距都为0时，直线必过原点，利用点斜式得到过的直线方程，从而得到结论；选项D， 举反例，当，求出斜率得到结论. 【详解】选项A，因为三点共线，所以， 因为，， 所以，A正确； 选项B,因为， 所以， 因为直线绕旋转，且与线段相交， 所以从往上转，斜率，从往下转，斜率， 所以斜率范围：，B正确； 选项C，过，在轴截距相等，分两种情况： 当截距不为0时，设过的直线方程为， 将点代入，得到，解得， 则过的直线方程为， 当截距都为0时，直线必过原点，则过的直线方程为，也满足截距相等， 而选项只给出，漏掉，C错误； 选项D， 当，，， 此时，D错误. 10．BC 【分析】根据独立事件，互斥事件和概率性质进行判断，得到答案 【详解】，故， ，而，故， 故M与N相互独立，B正确； ，D错误； 由于，故M与N不互斥，A错误； 由于M与N相互独立，故也互相独立， 其中，故， 故，C正确. 11．BC 【分析】对于A，根据题意计算出三棱锥的各棱长即可判断；对于B，以为坐标原点建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求二面角即可；对于C，设的中点为，中点为，由可得，则的轨迹是以为圆心，半径为的弧上，再求弧长即可；对于D，设，，，，再由异面直线夹角公式可得方程，求出答案． 【详解】平面平面，与均为等腰直角三角形， 且，，则， ，平面平面， 平面，又平面， ，则， 故最长的棱长度为，故A错误； 以为坐标原点，所在直线分别为轴， 过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系， ， 则，， 易知平面的一个法向量， 设平面的一个法向量， ，不妨取，则， 设二面角为， 又，二面角为锐角， ，，故B正确； 设的中点为，中点为，连接，， 又为等腰三角形，， ，， 又平面平面，平面平面， 平面，又平面， ，，解得， 则的轨迹是以为圆心，半径为的弧上，如图： 易得，则，则，故C正确； ，， 设，与为异面直线，故， ，，， 则，， 所以，解得， 所以，， 因为异面直线与成的角， 所以， 故，， 其中，故，又， 解得， ，故 线段长的取值范围是，故D错误． 12． 【详解】已知，，所以. 根据投影向量的定义，向量在向量上的投影向量为， 其中为方向上的单位向量， 令，.则； ； 所以投影向量的坐标为. 13．5 【分析】由二次根式的几何意义，两点间的距离以及利用轴对称性质求解即可. 【详解】因为，即表示轴上到点的距离， 同理可表示轴上到点的距离，所以 可以表示为，点关于轴的对称点， 则，故，由两点之间线段最短， 则的最小值为的长度，故，所以. 14． 【详解】每次传球时，传球者有2种可选的传球对象， 因此3次传球的所有等可能基本事件总数为， 列举得第3次传球后球在丙手中的基本事件为： ①甲→乙→甲→丙；②甲→丙→甲→丙；③甲→丙→乙→丙，共3种． 根据古典概型概率公式得：． 15.直线方程， 整理得 因为对任意m等式恒成立， 所以解得 所以直线恒过定点 由题意得，点Q与定点的距离就是点Q到直线距离的最大值， 即 因为， 所以的斜率为，可得，解得 综上，当时，点到直线的距离最大，最大值为 若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A，B两点，设直线方程为，， 则，， 所以，当且仅当时取等号，所以的面积的最小值为4，此时直线的方程为 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用点斜式求方程； （2）计算点到直线的距离，再利用面积公式计算； （3）设点关于直线的对称点为，求出即可. 【详解】（1）由题意得，，则， 故边所在直线的方程为； （2）由题意得，点到直线的距离为， 因为，所以的面积为； （3）设点关于直线的对称点为， 则，得， 则， 故的最小值为 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）结合题意利用向量的运算法则即可求解； （2）由（1）的结论，结合向量的数量积公式及模长定义即可求解； （3）利用向量的运算法则及数量积公式即可求解． 【详解】（1）如图，由题意得， 即． （2）由于 ， 所以． （3）由于 ， 所以， 因此与所成角的余弦值为． 18．(1) (2)①；②. 【分析】（1）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的法向量，结合向量的距离公式，即可求解； 如图所示，可得，则， （2）①设，求得，结合，求得，即可求解；②由平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）解：在直三棱柱中，因为，可得两两垂直， 以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 又由，可得 所以点到平面的距离为. （2）解：①由（1）中的空间直角坐标系，可得，则， 设， 则， 因为平面，所以，即， 可得，解得，所以. ②平面的一个法向量， 又因为，， 平面的法向量为， 设平面与平面所成角为， 则． 所以平面与平面夹角的余弦值为. 19．(1) (2)应按题2→题1→题3或按题3→题1→题2的顺序答题 (3) 【分析】（1）利用独立事件同时发生的概率乘法公式计算三道题全部答对概率即可； （2）分别计算每一种答题顺序下，甲获得会员的概率，并比较大小即可得到使甲获得会员的概率最大时的答题顺序； （3）分别计算题1、题2、题3位于中间时甲获得会员的概率，求解相应的不等式，即可得到的取值范围． 【详解】（1）甲获得30天会员的概率为． （2）当时，各种答题顺序的情况如下： 按题1→题2→题3的顺序答题，甲获得会员的概率为； 按题1→题3→题2的顺序答题，甲获得会员的概率为； 按题2→题1→题3的顺序答题，甲获得会员的概率为； 按题2→题3→题1的顺序答题，甲获得会员的概率为； 按题3→题1→题2的顺序答题，甲获得会员的概率为； 按题3→题2→题1的顺序答题，甲获得会员的概率为 因为，所以要使甲获得会员的概率最大，应按题2→题1→题3或按题3→题1→题2的顺序答题． （3）根据对称性知只需考虑位于中间的顺序的题． 若题1位于中间的顺序，则甲获得会员的概率； 若题2位于中间的顺序，则甲获得会员的概率； 若题3位于中间的顺序，则甲获得会员的概率. 因为，所以只需满足即可，即，解得． 因为，所以的取值范围为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $