精品解析：湖北省襄阳市致远中学教育集团2026-2027学年高二上学期9月考试数学试题

高二年级9月考试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将姓名、准考证号等在答题卷上填写清楚. 2.选择题答案用2B铅笔在答题卷上把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5 mm的黑色签字笔在每题对应的答题区域内作答，答在试题卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ） A. 至少有一个黑球与都是黑球 B. 至少有一个黑球与至少有一个红球 C. 恰好有一个黑球与恰好有两个黑球 D. 至少有一个黑球与都是红球 2. 已知是直线的方向向量，是平面的法向量.若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 已知，则函数存在两个零点的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 在三棱柱中，，，，BC的中点为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，则 （ ） A. α∥β且∥α B. α⊥β且⊥β C. α与β相交，且交线垂直于 D. α与β相交，且交线平行于 7. 已知三点，，，则过点的直线与线段有公共点时（公共点包含端点），直线的斜率和倾斜角的取值范围分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 已知正方体的外接球表面积为，是棱的中点，将过点且以为法向量的平面记为平面，则平面截该正方体所得截面的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 关于空间向量，下列说法正确的是（ ） A. 对于非零向量，，若，则 B. 对空间任意两个向量，有 C. 若，则存在唯一实数，使 D. 若三个非零向量，，两两垂直，则，，可构成空间的一个基底 10. 下列判断正确的是（ ） A. 若事件A，B互斥，则 B. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的70%分位数是23 C. 抛掷一颗质地均匀的骰子一次，事件“向上点数1或4”，事件“向上点数是奇数”，则 D. 若，，，则事件A与事件B相互独立 11. 在棱长为2的正方体中，P为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与所成的角是 B. 若，则二面角的平面角的正弦值为 C. 三棱锥的体积不变 D. 当时，点到平面的距离为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知甲、乙、丙三人各自独立解决某一问题的概率分别是，则甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率是_____． 13. 过，两点的直线的倾斜角为，则______. 14. 将号码为1，2，3，4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为，放回后，乙从此袋中再摸出一个小球，其号码为，，，则事件“与夹角为锐角”发生的概率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在长方体中，是AB的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 16. 已知空间中三点，，，设，. （1）若，且，求向量； （2）已知向量与互相垂直，求的值； （3）若点在平面上，求的值. 17. 某市消防队为了提高市民对安全的重视及应对突发情况的能力，对本市市民组织了一次安全常识(综合安全事故、自然灾害等)网络测试，满分为分.测试完后抽取了份试卷，把分数按，，，依次分为第一至第六组(所有得分均满足)，其中与的人数均为，统计各组频数并计算相应频率，绘制出如图所示的频率分布直方图.同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，以频率估计概率，得出本次测试成绩的平均分为分. （1）求图中的值，并估计本次测试的及格率(“及格率”指得分为60分及以上的市民所占比例)； （2）根据频率分布直方图，用分层随机抽样的方法从，两个区间抽取出个分数，再从这个分数中随机抽取个分数，求选取的个分数都在内的概率； （3）已知落在内的样本平均分是，方差是，落在内的样本平均分是，方差是，求两组样本成绩合并后的平均分和方差. 参考公式：若总体划分为层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为，，和，，，记总的样本平均数为，样本方差为，则. 18. 某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三个人通过初赛，进入决赛．已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为．其中，，且每局比赛相互独立．决赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，首先累计到2分者获得比赛胜利，比赛结束． （1）假设． （i）求“两局结束比赛且乙获胜”的概率； （ii）求比赛结束时乙获胜的概率； （2）若，假设乙第一局出场，且乙获得了指定首次比赛对手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略． 19. 如图，在三棱锥中，为正三角形，，，，分别为棱，上的动点，且平面． （1）证明：平面平面； （2）若截面将三棱锥截成上下两部分的体积之比为，求平面与平面的夹角的余弦值； （3）若球是三棱锥的外接球，若平面截球所得的截面的面积为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级9月考试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将姓名、准考证号等在答题卷上填写清楚. 2.选择题答案用2B铅笔在答题卷上把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5 mm的黑色签字笔在每题对应的答题区域内作答，答在试题卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ） A. 至少有一个黑球与都是黑球 B. 至少有一个黑球与至少有一个红球 C. 恰好有一个黑球与恰好有两个黑球 D. 至少有一个黑球与都是红球 【答案】C 【解析】 【详解】A选项：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生， 如：两个都是黑球，∴这两个事件不是互斥事件，故错误； B选项：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生， 如：一个红球一个黑球，∴这两个事件不是互斥事件，故错误； C选项：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生， 但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球， ∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，故正确； D选项：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生， ∴这两个事件是对立事件，故错误. 2. 已知是直线的方向向量，是平面的法向量.若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由线面平行得直线的方向向量与平面的法向量数量积为. 【详解】由得，， 则. 故选：A. 3. 已知，则函数存在两个零点的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次函数的性质，求得存在两个零点的参数值，进而求得概率. 【详解】由题可知，函数存在两个零点，则需满足． 又，所以符合要求，所以函数存在两个零点的概率． 故选：A． 速解 验证排除法！ 由题可知，分别将代入，只有符合要求． 故选：A 4. 在三棱柱中，，，，BC的中点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的加减法运算即可求得结果. 【详解】易知. 故选：B 5. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】向量在向量上的投影向量为. 6. 已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，则 （ ） A. α∥β且∥α B. α⊥β且⊥β C. α与β相交，且交线垂直于 D. α与β相交，且交线平行于 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由平面，直线满足，且，所以，又平面，，所以，由直线为异面直线，且平面平面，则与相交，否则，若则推出，与异面矛盾，所以相交，且交线平行于，故选D． 考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论． 7. 已知三点，，，则过点的直线与线段有公共点时（公共点包含端点），直线的斜率和倾斜角的取值范围分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】先计算直线AB、AC的斜率，结合图形得到斜率的取值范围，再根据斜率与倾斜角的正切关系，结合斜率不存在的特殊情况得到倾斜角的取值范围. 【详解】直线的斜率， 直线的斜率， 结合图形可知，过点的直线与线段有公共点时，斜率满足或，即斜率取值范围为, 设直线的倾斜角为，，由, 当时，，解得；当时，，解得； 当直线斜率不存在时，倾斜角，此时直线方程为，符合要求，故也满足条件; 综上，倾斜角的取值范围为. 8. 已知正方体的外接球表面积为，是棱的中点，将过点且以为法向量的平面记为平面，则平面截该正方体所得截面的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出正方体棱长，建立空间直角坐标系，得到线面垂直，找到平面，求出面积. 【详解】设正方体的外接球半径为，则，解得， 设正方体的棱长为，则，解得， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 则，故， 即，因为，平面， 所以平面， 取的中点，的中点，连接， 由于是棱的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可得平面， 又，平面，所以平面平面， 所以平面，即平面即为平面， 平面截该正方体所得截面的面积即为的面积， 其中，， 为等边三角形，面积为 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 关于空间向量，下列说法正确的是（ ） A. 对于非零向量，，若，则 B. 对空间任意两个向量，有 C. 若，则存在唯一实数，使 D. 若三个非零向量，，两两垂直，则，，可构成空间的一个基底 【答案】ABD 【解析】 【详解】A：空间向量数量积定义：， 都是非零向量，，夹角为， 即，A正确； B：， 因为，所以，B正确； C：当时，满足，但不存在实数使得， 命题缺少条件，C错误； D：三个非零向量两两垂直，任意一个向量都不能用另外两个向量线性表示， 因此不共面， 空间基底的定义：一组不共面的三个非零向量可以作为空间的一个基底，D正确. 10. 下列判断正确的是（ ） A. 若事件A，B互斥，则 B. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的70%分位数是23 C. 抛掷一颗质地均匀的骰子一次，事件“向上点数1或4”，事件“向上点数是奇数”，则 D. 若，，，则事件A与事件B相互独立 【答案】AC 【解析】 【详解】A：根据互斥事件的概率加法公式：若事件互斥， 即，那么，A正确； B：，数据个数， 计算分位数位置：， 当为整数时，分位数为第项和第项数据的平均值： ，B错误； C：抛掷骰子样本空间：， 事件，事件， 即，包含个基本事件， ，C正确； D：由，得， 事件独立的判定条件：， ， 已知，不满足独立条件，D错误. 11. 在棱长为2的正方体中，P为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与所成的角是 B. 若，则二面角的平面角的正弦值为 C. 三棱锥的体积不变 D. 当时，点到平面的距离为 【答案】CD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算求解异面直线夹角判断A，利用向量法可求面面角的余弦值，再结合同角的三角函数基本关系计算后可判断B，利用等体积法判断C的正误，利用空间中的距离公式计算后可判断D正误． 【详解】由题意建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ，． 对于A选项，，， 设， 依据共线向量设坐标，故，． 若直线与所成的角是，则， 整理得，即，解得， 故直线与所成的角不可能是，所以A选项错误； 对于B选项，当时，即，此时，故， 而， 设此时平面的法向量为，则即 取，得为平面的一个法向量， 又，， 设平面的法向量为，则即， 取，得为平面的一个法向量， 故， 故二面角的平面角的正弦值为，所以B选项错误； 对于C选项，因为，平面，平面， 所以平面，所以为定值， 所以C选项正确； 对于D选项，当时，即，故，故， 而， 设平面的法向量为，则即 取，得为平面的一个法向量， 又，故到平面的距离为，所以D选项正确． 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知甲、乙、丙三人各自独立解决某一问题的概率分别是，则甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率是_____． 【答案】0.82 【解析】 【分析】 先求对立事件:甲、乙、丙没人解决该问题概率，再根据对立事件概率公式得结果. 【详解】对立事件:甲、乙、丙没人解决该问题，其概率为 所以甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率是 故答案为：0.82 【点睛】本题考查利用对立事件概率公式求概率，考查基本分析求解能力，属基础题. 13. 过，两点的直线的倾斜角为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线倾斜角求得斜率，结合两点斜率公式列方程求解，再检验舍去两点重合的增根即可得到结果. 【详解】因为直线的倾斜角为，故直线的斜率存在且斜率， 因为，， 由两点斜率公式得 ，即，即， 当时，此时，，两点重合，不能确定直线，舍去； 当时，得  ，整理得， 所以 ， 代入验证，、两点不重合，符合题意， 综上，的值为. 14. 将号码为1，2，3，4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为，放回后，乙从此袋中再摸出一个小球，其号码为，，，则事件“与夹角为锐角”发生的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】由古典概型的概率计算公式结合空间向量数量积公式计算可得. 【详解】由题意，甲从袋中摸出一个球，其号码为，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为，共有个基本事件； “与夹角为锐角”则且与不平行，不同时成立与不平行， 使不等式成立的事件包含：，，，共有10个基本事件； 由古典概型公式得所求概率． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在长方体中，是AB的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） 建立如下图所示的空间直角坐标系， ， ， 设平面的法向量为， ，取，则， 所以， 因为， 所以，又因为平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用平面向量的法向量和直线方向向量之间的关系进行运算证明即可； （2）利用空间向量点到面距离公式进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知平面的法向量为，， 所以点到平面的距离为. 16. 已知空间中三点，，，设，. （1）若，且，求向量； （2）已知向量与互相垂直，求的值； （3）若点在平面上，求的值. 【答案】（1）或；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）由，得存在实数，使得，由向量模的运算求得得向量； （2）由垂直的数量积运算计算； （3）由空间向量共面定理求解，即存在，使得，然后求得值． 【详解】解：（1），因为，所以存在实数，使得. 又，所以，解得. 所以或. （2）由已知，， 因为与互相垂直，故即， 故即. （3）因为点在平面上，故存在，使得， 又，所以，解得. 故. 17. 某市消防队为了提高市民对安全的重视及应对突发情况的能力，对本市市民组织了一次安全常识(综合安全事故、自然灾害等)网络测试，满分为分.测试完后抽取了份试卷，把分数按，，，依次分为第一至第六组(所有得分均满足)，其中与的人数均为，统计各组频数并计算相应频率，绘制出如图所示的频率分布直方图.同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，以频率估计概率，得出本次测试成绩的平均分为分. （1）求图中的值，并估计本次测试的及格率(“及格率”指得分为60分及以上的市民所占比例)； （2）根据频率分布直方图，用分层随机抽样的方法从，两个区间抽取出个分数，再从这个分数中随机抽取个分数，求选取的个分数都在内的概率； （3）已知落在内的样本平均分是，方差是，落在内的样本平均分是，方差是，求两组样本成绩合并后的平均分和方差. 参考公式：若总体划分为层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为，，和，，，记总的样本平均数为，样本方差为，则. 【答案】（1）， （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）先求出，再根据频率算出及格率. （2）根据频率和为及平均数公式求出，，用分层抽样确定各区间抽取个数，通过列举样本空间求概率. （3）根据分层抽样的平均值和方差公式计算即可. 【小问1详解】 由题意可知，，所以及格率为. 【小问2详解】 由题意可知， 平均分， 解得，，由分层随机抽样可知，在内抽取的分数个数为， 分数记为，，在内抽取的分数个数为，分数记为，，， 从这个分数中随机抽取个分数，样本空间， 共有10个结果，设选取的个分数都在内为事件， 则，共有3个结果，所以. 【小问3详解】 由频率分布直方图知，这份答卷分数在内的份数为， 分数在内的份数为，所以， 总方差. 18. 某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三个人通过初赛，进入决赛．已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为．其中，，且每局比赛相互独立．决赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，首先累计到2分者获得比赛胜利，比赛结束． （1）假设． （i）求“两局结束比赛且乙获胜”的概率； （ii）求比赛结束时乙获胜的概率； （2）若，假设乙第一局出场，且乙获得了指定首次比赛对手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略． 【答案】（1）（i）；（ii） （2）乙的最优指定策略是指定第一局的对手为甲 【解析】 【分析】（1）（i）根据题意，结合独立事件的概率乘法公式，即可求解；（ii）根据题意，得到，代入计算，即可得到答案； （2）设事件为“第一局乙对丙最终乙获胜”，事件为“第一局乙对甲最终乙获胜”，分①第一局乙获胜，第二局乙获胜；②第一局乙获胜，第二局甲获胜，第三局丙获胜，第四局乙获胜；③第一局丙获胜，第二局甲获胜，第三局乙获胜，第四局乙获胜，三种情况讨论，结合概率的乘法和互斥事件的概率加法公式，即可求解. 【小问1详解】 （i）乙连胜两局获胜最终获胜的概率为； （ii）比赛结束时乙获胜的概率为 . 【小问2详解】 设事件为“第一局乙对丙最终乙获胜”，事件为“第一局乙对甲最终乙获胜”， 则事件包含3种情况：①第一局乙获胜，第二局乙获胜； ②第一局乙获胜，第二局甲获胜，第三局丙获胜，第四局乙获胜； ③第一局丙获胜，第二局甲获胜，第三局乙获胜，第四局乙获胜， 所以， 同理可得, 所以 因为，所以，即， 所以乙的最优指定策略是指定第一局的对手为甲. 19. 如图，在三棱锥中，为正三角形，，，，分别为棱，上的动点，且平面． （1）证明：平面平面； （2）若截面将三棱锥截成上下两部分的体积之比为，求平面与平面的夹角的余弦值； （3）若球是三棱锥的外接球，若平面截球所得的截面的面积为，求． 【答案】（1） 取线段的中点为，连接，因为，所以； 又因为为正三角形，所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以即为二面角的平面角 又因为，所以，所以， 即为直角三角形，且，所以； 又因为为正三角形，且，所以， 又因为，所以，即， 所以，所以平面平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二面角定义得出即为二面角的平面角，再应用勾股定理证明； （2）先根据得出，再建系得出平面和平面的法向量，再应用二面角余弦公式计算求解； （3）设，求出平面的法向量，再应用点到平面距离公式计算得出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，两两垂直，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则. 因为平面，因为平面，平面平面，所以， 则． 因为截面将三棱锥截成上下两部分的体积之比为，所以， 又因为，，即， 因为三棱锥与三棱锥的高相等，所以，即， 所以分别为棱的中点，即，，，， 设平面的法向量为，由，得， 取，则，，所以； 平面的法向量为； 设平面和平面的夹角为，则， 所以平面和平面的夹角的余弦值为； 【小问3详解】 三棱锥的外接球的球心即为正三角形的中心，即，外接球的半径， 因为平面截球所得的截面面积为，所以截面圆的半径为，所以球心到平面的距离为． 设，，则， 设，则， 同理，所以，， 设平面的法向量为， 由，得， 取，则，，则， 又因为，则， 即，解得，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $