湖北省襄阳市致远中学教育集团2026-2027学年高二上学期9月考试数学试题

高二年级9月考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等在答题卷上填写清楚． 2．选择题答案用2B铅笔在答题卷上把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5 mm的黑色签字笔在每题对应的答题区域内作答，答在试题卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．从装有2个白球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ） A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与至少有一个白球 C．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球 D．至少有一个黑球与都是白球 2．已知是直线的方向向量，是平面的法向量．若，则（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．已知，则函数存在两个零点的概率为（ ） A． B． C． D． 4．在三棱柱中，，，，的中点为，则（ ） A． B． C． D． 5．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 6．，为异面直线，平面，平面，直线有，，，，则（ ） A．且 B．且 C．与相交，且交线垂直于 D．与相交，且交线平行于 7．已知三点，，，则过点的直线与线段有公共点时（公共点包含端点），直线的斜率和倾斜角的取值范围分别是（ ） A．， B．， C．， D．， 8．已知正方体的外接球表面积为，是棱的中点，将过点且以为法向量的平面记为平面，则平面截该正方体所得截面的面积为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．关于空间向量，下列说法正确的是（ ） A．对于非零向量，，若，则 B．对空间任意两个向量，有 C．若，则存在唯一实数，使 D．若三个非零向量，，两两垂直，则，，可构成空间的一个基底 10．下列判断正确的是（ ） A．若事件A，B互斥，则 B．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的70%分位数是23 C．抛掷一颗质地均匀的骰子一次，事件“向上点数1或4”，事件“向上点数是奇数”，则 D．若，，，则事件A与事件B相互独立 11．在棱长为2的正方体中，P为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A．直线与所成的角是 B．若则二面角的平面角的正弦值为 C．三棱锥的体积不变 D．当时，点到平面的距离为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知甲、乙、丙三人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.4，则甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率是___________． 13．过，两点的直线的倾斜角为，则___________． 14．将号码为1，2，3，4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为，放回后，乙从此袋中再摸出一个小球，其号码为，，，则事件“与夹角为锐角”发生的概率为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题13分）如图，长方体中，，，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 16．（本题15分）已知空间中三点，，，设，． （1）若，且，求； （2）已知向量与互相垂直，求的值； （3）若点在平面内，求的值． 17．（本题15分）某市消防队为了提高市民对安全的重视及应对突发情况的能力，对本市市民组织了一次安全常识（综合安全事故、自然灾害等）网络测试，满分为100分．测试完后抽取了400份试卷，把分数按，，…，依次分为第一至第六组（所有得分均满足），其中与的人数均为40，统计各组频数并计算相应频率，绘制出如图示的频率分布直方图．同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，以频率估计概率，得出本次测试成绩的平均分为74分． （1）求图中的值，并估计本次测试的及格率（“及格率”指得分为60分及以上的市民所占比例）； （2）根据频率分布直方图，用分层随机抽样的方法从，两个区间抽取出5个分数，再从这5个分数中随机抽取2个分数，求选取的2个分数都在内的概率； （3）已知落在内的样本平均分是63，方差是7，落在内的样本平均分是78，方差是4，求两组样本成绩合并后的平均分和方差． 参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为，，和，，，记总的样本平均数为，样本方差为，则． 18．（本题17分）某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三个人通过初赛，进入决赛．已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为．其中，，，且每局比赛相互独立，决赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，首先累计到2分者获得比赛胜利，比赛结束． （1）假设． （ⅰ）求“两局结束比赛且乙获胜”的概率； （ⅱ）求比赛结束时乙获胜的概率； （2）若，假设乙第一局出场，且乙获得了指定首次比赛对手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略． 19．（本题17分）如图，在三棱锥中，为正三角形，，，，分别为棱，上的动点，且平面． （1）证明：平面平面； （2）若截面将三棱锥截成上下两部分的体积之比为，求平面与平面的夹角的余弦值； （3）若球是三棱锥的外接球，若平面截球所得的截面的面积为，求． 学科网（北京）股份有限公司 $