湖北襄阳市致远中学2026-2027学年高二上学期数学周考3

襄阳市致远中学高二上学期数学周考卷（3） 一、单选题 1．已知，则点在Oyz平面内（O为坐标原点）的射影坐标是（ ） A． B． C． D． 2．从，，，，这五个数中任取两个数，则这两个数互质的概率为（ ） A． B． C． D． 3．直线倾斜角的范围是（ ） A． B． C． D． 4．已知空间向量，若点在平面内，则（ ） A． B． C． D．0 5．第一象限内有一动点，在过点且方向向量的直线l上运动，则的最大值为（ ） A．1 B．2 C．3 D． 6．如图，在平行六面体-中，，则与的夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 7．已知正方体的棱长为1，点满足，且，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 8．如图，在四棱锥 中，底面 是边长为4 的正方形，， ，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列选项正确的是（ ） A．向量是直线的一个方向向量 B．过点且在轴上的截距是在轴上截距的2倍的直线的方程为 C．已知空间向量，，则在方向上的投影向量为 D．若，在直线的两侧，则的取值范围为 10．已知随机事件A，B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A．若A与B互斥，则 B．若，则事件与B相互独立 C．若A发生时B一定发生，则 D． 11.在棱长为2的正方体中，点P满足，且，，则下列说法正确的是（ ） A．若，则平面 B．若，则 C．若，则P到平面的距离为 D．若，时，直线与平面所成角为，则 三、填空题 12．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______． 13．某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关，第一关与第二关的单次闯关的成功率分别为，，只有通过前一关才能进入下一关，每一关都有两次闯关机会，且通过每关相互独立.一名选手参加该节目，则该选手能进入第三关的概率为____. 14．若圆锥有三条母线互相垂直，则其轴线与母线夹角的正切值为_________． 四、解答题 15．在三棱锥中，已知. (1)若与垂直，求； (2)求点到直线的距离. 16．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜2局者直接赢得比赛，若完成5局比赛未出现连胜两局者，则胜场较多者赢得比赛．假设每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响． (1)求3局比赛结束后甲赢得比赛的概率； (2)求第5局比赛结束后乙赢得比赛的概率． 17．已知直线l过点，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，分别根据下列条件，求直线l的方程； (1)当的面积最小时； (2)当取得最小值时； (3)当两截距之和最小时； 18．如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，平面，，，. (1)求证：平面； (2)求二面角的平面角的余弦值； (3)若点在线段，（与，都不重合）上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围． 19．如图所示，质点，在随机外力的作用下，分别从正四面体的顶点，同时出发，每次等可能地沿棱移动到其他顶点处，其中这两个质点移动互不影响，并且可以在一条棱上同向或反向同时移动．一个质点从一个顶点移动到另一个顶点叫移动一次． (1)求质点移动一次移动到顶点的概率； (2)求质点与各移动2次后均移动到顶点的概率； (3)求质点与各移动3次后至少有一个移动到顶点的概率． 1．C 【详解】点在Oyz平面上的射影坐标特征是不变，变为0， 所以点在平面上的射影坐标为． 2．D 【详解】从，，，，这五个数中任取两个数， 有5和6、5和7、5和8、5和9、6和7、6和8、6和9、7和8、7和9、8和9共10种取法， 取出的两个数互质的可能有5和6、5和7、5和8、5和9、6和7、7和8、7和9、8和9共8种， 故这两个数互质的概率为. 3．D 【详解】由的斜率为，其范围是， 设倾斜角为，则，解得， 因为倾斜角的范围是，所以. 4．A 【详解】已知点在平面内，，故， 解得， ． 5、C 【详解】，得， ， ，等号当且仅当时成立，此时，满足定义域条件， 所以的最大值为3. 6．D 【详解】 设，则， ， ． 设与的夹角为， 由 ， ． 7．A 8．D 【分析】以正方形中心为原点建立空间直角坐标系，先由 ， 求出点 的坐标；再利用外接球球心到 的距离相等，求出外接球半径，从而求其表面积． 【详解】设正方形 的中心为 ． 以 为坐标原点，以平行于 ， 的方向分别为 轴、 轴正方向， 以垂直于平面 且向上的方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系 ． 则，设 ，其中 ． 由 ，得，所以 ． 又因为 ，，所以， 两式相减，得 ，所以 ．代入上式，得 ． 因为 ，所以 ，故 设该四棱锥外接球的球心为 ，因为 ， 所以点在过正方形中心 且垂直于平面 的直线上． 设由 ，得，解得 所以外接球半径满足， 因此外接球的表面积为 9．ACD 【详解】对于A，直线的斜率为， 故是直线的一个方向向量，故A正确； 对于B，当直线过原点时，方程为， 当直线不过原点时，设方程为，则，解得，所以直线方程为， 综上，所求直线方程为或，故B错误； 对于C，，， 在方向上的投影向量为，故C正确， 对于D，显然直线经过定点， 故， 因为，，在直线的两侧， 则该直线与线段相交，且不过、两点， 由可知斜率为：， 所以或，即或，故D正确. 故选：ACD 10．BD 【详解】对于A，若A与B互斥，则，故A错误； 对于B，因为，，则， 因为， 所以事件与B相互独立，故B正确； 对于C，若A发生时B一定发生，则，则，故C错误； 对于D，， 因为，，所以，故D正确． 11．AD 【分析】利用面面平行判断线面平行，即可判断A，建系后写出相关点的坐标，对于B，利用向量的数量积的坐标公式计算即可判断；对于C，利用空间中点到平面的距离公式计算即可：对于D，由条件求得，利用线面角的向量求法得到，借助于函数的单调性即可求得的范围. 【详解】连结，，，由可知，点在线段上， 因为，平面，平面，所以平面， 同理平面，且，且，平面， 所以平面平面，平面，所以平面，故A正确； 如图以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 对于B，，， 则，得， 所以，，， 故不与垂直，故B错误； 对于C，时，，又，， 设平面的法向量为，则， 故可取，又， 则到平面的距离为，故C错误； 对于D，当，时，，则， 又由C已得平面的法向量为， 则， 当时，， 当时，， 因在上单调递减，则，则有， 则，则当时，，故D正确． 12．， 【分析】设正方形一条边所在的直线倾斜角为，则由正方形一条对角线所在直线的斜率为2，结合倾斜角与斜率的关系求出，利用正方形的性质即可得到答案． 【详解】设正方形一条边所在的直线倾斜角为，则， 解得，故， 根据垂直关系可得另一条边的斜率为， 所以该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为，． 故答案为：；． 13．/0.1575 【分析】通过每一关都要分为一次闯关成功和两次闯关成功，从而分别求得概率，再由独立事件乘法公式计算可得. 【详解】因为每一关都有两次闯关机会， 所以通过第一关的总概率，通过第二关的总概率， 所以选手能进入第三关的概率. 14． 【分析】由空间直角坐标系利用空间向量求解． 【详解】如图所示： 记三条母线为，不妨设，则为等边三角形， ，记的中心为，则， 得点为圆锥底面圆的圆心，则圆锥底面，得圆锥的轴线所在的向量为，母线所在的向量为， 记圆锥的轴线与母线夹角为， 则， 得， 则． 15．(1)； (2) 【详解】（1）由，得，而， 由与垂直，得，即， 所以. 16、3．(1) (2) 【分析】（1）3局结束甲赢，则前两局不能出现连胜，第三局必须甲胜，因此唯一结果为“乙甲甲”，直接计算概率即可； （2）第5局结束乙赢，前4局必须无连胜（否则提前结束），故前4局只能是“甲乙甲乙”或“乙甲乙甲”；第5局乙胜，两种情况分别对应乙直接连胜或胜场多，分别计算概率再求和即可. 【详解】（1）设甲胜一局为事件 ，所以 ；乙胜一局为事件 ，所以，由题意比赛必须在第3局结束，且甲赢， 这只能是第1局乙胜，第2、3局甲胜（形成甲连胜两局），否则若第1局甲胜，第2局甲胜则比赛第2局结束，若前3局无连胜则比赛继续， 所以. （2）若第5局比赛结束后乙赢得比赛，分两种情况： 情况一：第4、5局乙胜，且之前无连胜，比赛在第5局结束， 所以胜利顺序为甲、乙、甲、乙、乙， 概率为， 情况二：打满5局，无连胜，乙胜场数多（乙胜3局，甲胜2局）， 5局无连胜只能严格交替，乙胜多的模式为：乙、甲、乙、甲、乙， 概率为， 因此第5局比赛结束后乙赢得比赛的概率. 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）先设直线方程，再根据基本不等式得面积的最小值，进而求得直线方程； （2）先设直线方程，根据基本不等式或用向量的方法求得线段的积的最小值，进而得直线方程； （3）设直线方程来截距式方程，再用基本不等式得截距之和最小值，进而得直线方程. 【详解】（1）方法一：因为直线l分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点， 所以l的斜率存在且不为0，可设直线l的方程为， 由题意可得，，且解得. 于是 当且仅当，即时，的面积取得最小值，且最小值为4. 此时，直线l的方程为，即. 方法二：设直线l的方程为，则. 又因为，即，得，当且仅当，即，时等号成立， 于是的面积有最小值，且最小值为4. 此时，直线l的方程是，即； （2）方法一：由（1）方法一知，，， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时直线l的方程为. 方法二：由（1）方法二知，，，，， 所以， 即 当且仅当时取等号，此时直线l的方程为. （3）设直线l的方程为，则， 所以，即， 当且仅当即时取“＝”，此时直线l的方程为. 18．(1)因为，，，易得，所以，即， 又因为平面，平面，所以， ，平面，平面，所以平面. (2) (3) 【分析】（1）通过勾股定理证明，再通过线线垂直证明线面垂直. （2）通过二面角的定义找出二面角所对应的夹角，并通过勾股定理求解线段长度，进而求解余弦值. （3）通过建立空间直角坐标系求解平面法向量，利用法向量表示出二面角余弦值并求解范围. 【详解】（1）略 （2）取中点，连接如图所示， 因为，，，平面，所以平面， 又因为，所以，为二面角的平面角. ，得，， 因为平面，所以，，. （3）以为原点，建立空间直角坐标系如图所示， ，，，，， 设，，，， 设平面法向量，满足，解得. 因为平面，所以平面法向量， ， 所以时，，时，， 综上所述，. 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）设事件“质点移动一次移动到顶点”，根据古典概型即可求解； （2）设事件“质点移动2次后移动到顶点”，事件“质点移动2次后移动到顶点”，利用事件的独立性即可求解； （3）设事件“质点移动3次后移动到顶点”，事件“质点移动3次后移动到顶点”，先求，再利用即可求解. 【详解】（1）设事件“质点移动一次移动到顶点”，因为质点从顶点出发， 且每次等可能地沿棱移动到顶点，，处，所以； （2）设事件“质点移动2次后移动到顶点”， 事件“质点移动2次后移动到顶点”， 事件包括下列三种情况：；；， 所以； 事件包括下列两种情况：；， 所以， 则， 即这两个质点移动2次后都移动到顶点的概率为； （3）设事件“质点移动3次后移动到顶点”， 事件“质点移动3次后移动到顶点”， 事件包含下列6种情况：，，，， ，， 则； 事件包含下列7种情况：，，；，，，， 所以， 则， 即这两个质点移动3次后至少有一个移动到顶点的概率为． 学科网（北京）股份有限公司 $