海南省海口市2026-2027学年上学期九年级数学期中复习试题

海南省海口市2026-2027学年上学期九年级数学期中复习试题 （考试范围：21---22.3.2 二次根式、二次方程、成比例线段、相似三角形的判定） 一、单选题（每小题3分，共36分） 1．若在实数范围内有意义，则实数的值可以是（     ） A． B．0 C．4 D．1 2．下列长度的四组线段中，成比例的一组是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 3．下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（     ） A． B．3 C．4 D．2 6．用配方法解方程时，应将其变形为（     ） A． B． C． D． 7．AI模型的推理成本与词卡消费密切相关．假设在某业务阶段，AI服务初始词卡消费量为100万张．业务规模经过两轮增长后，使最终词卡消费量达到144万张，求这两轮词卡消费的平均增长率（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，点、分别在边、上，下列所述四个条件中不能判断的是（     ） A． B． C． D． 9．如图，一次函数的图象经过第一、二、四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 10．如图，下列阴影部分的三角形与（顶点均在正方形网格格点上）相似的是（    ） A． B． C． D． 11．如图，在中，点是边上的一点，，则边的长为（   ） A． B． C． D． 12．如图，边长4的正方形中，有一个小正方形，其中分别在边，，上．若，那么小正方形的边长等于（    ） A．4 B． C．2 D． 二、填空题（每小题3分，共12分） 13．已知实数a满足，化简 _________． 14．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为________（结果保留根号）． 15．在初中物理课程中，我们学过凸透镜的成像规律．如图，为凸透镜，其厚度忽略不计，为凸透镜的光心，为凸透镜的焦点，在凸透镜左侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛，透过凸透镜后成的像为．平行于主光轴的光线，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线会聚于点．若物距，像距，则凸透镜的焦距的长为_______． 16．如图，在平面直角坐标系中，有两点，，点为的中点，点在轴上，当点的坐标为_______时，以、、为顶点的三角形与相似． 三、解答题 17．（12分）计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 18．（16分）解方程： (1)；(2)；(3)；(4)． 19．（10分）某展览中心新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示、已知每层长米，宽米．阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知每层的喷漆面积为平方米． (1)求通道的宽是多少米； (2)据调查分析，停车楼剩余个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为元时，可全部租出；每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为元？ 20．（8分）如图，点D，E分别在的边，上且E是AC的中点，若，，．     (1)求证：； (2)若，求的长． 21．（12分）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，． (1)求的取值范围； (2)若，满足，求实数的值． 22．（14分）综合实践课上，小组以“一线三等角”为主题展开了数学探究活动． 请解决下列问题： (1)探究规律： ①如图1，，则 ；（填“”或“”，且直接填写） ②如图2，点C在线段上，，，则的度数为 ； (2)应用规律： 如图3，点A，D，C，B在同一条直线上，，求证：； (3)拓展应用： 如图4，在四边形中，，，，，，求线段的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南省海口市2026-2027学年上学期九年级数学期中复习试题 一、单选题 1．若在实数范围内有意义，则实数的值可以是（     ） A． B．0 C．4 D．1 【答案】C 【分析】根据二次根式被开方数为非负数求出x的取值范围，再匹配选项得到答案． 【详解】解：∵在实数范围内有意义 ， ∴被开方数需满足， 解得， 选项中只有，符合条件，因此选C． 2．下列长度的四组线段中，成比例的一组是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】根据比例的性质，即可判断答案． 【详解】解：根据，所以只要满足，就可得到a、b、c、d四条线段成比例， A、因为，所以该组线段不成比例； B、因为，所以该组线段不成比例； C、因为，所以该组线段不成比例； D、因为，所以该组线段成比例． 3．下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、与不能合并，故本选项计算错误，本选项不符合题意； B、，故本选项计算错误，本选项不符合题意； C、，故本选项计算错误，本选项不符合题意； D、，故本选项计算正确，本选项符合题意． 4．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设， ∴，， ∵， ∴. 5．如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（     ） A． B．3 C．4 D．2 【答案】A 【分析】由平行线分线段成比例定理可得，据此即可求出的长． 【详解】解：∵直线，直线和被，，所截， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 6．用配方法解方程时，应将其变形为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用配方法把方程变形即可． 【详解】解：， 移项得：， 方程两边同时加上可得：， 配方得：． 7．AI模型的推理成本与词卡消费密切相关．假设在某业务阶段，AI服务初始词卡消费量为100万张．业务规模经过两轮增长后，使最终词卡消费量达到144万张，求这两轮词卡消费的平均增长率（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设两次词卡消费的平均增长率为，再根据初始数据量、平均增长率及两次词卡消费后的最终数据量，利用增长率的增长规律列方程即可． 【详解】解：设两次词卡消费的平均增长率为， 由题意得， 整理得， ∵， ∴， 解得， ∴这两次词卡消费的平均增长率为． 8．如图，在中，点、分别在边、上，下列所述四个条件中不能判断的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理，结合公共角对各选项进行逐一判断． 【详解】解：因为，若，则，故选项不符合题意； 若，则，故选项不符合题意； 若，且，则，故选项不符合题意； 若，无法判定，故选项符合题意． 9．如图，一次函数的图象经过第一、二、四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据一次函数的图象经过第一、二、四象限，即可判断出k、b的符号；表示出一元二次方程的判别式，再根据k、b的符号判定判别式的符号，即可作答． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，， 一元二次方程的判别式为：， ∵，， ∴，， ∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 10．如图，下列阴影部分的三角形与（顶点均在正方形网格格点上）相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形相似判定定理以及勾股定理，熟练掌握三角形相似判定定理是解题的关键． 根据三角形相似判定定理：三边对应成比例，分别利用勾股定理计算各三角形的边长，然后逐个选项进行分析即可得出答案． 【详解】解：设正方形网格的边长为1， 则在中，，，， A、该三角形三边分别为，，4，则，故与不相似，不符合题意； B、该三角形三边分别为，，3，则，故与不相似，不符合题意； C、该三角形三边分别为2，，，则，故与不相似，不符合题意； D、该三角形三边分别为，2，，则，故与相似，符合题意； 故选：D． 11．如图，在中，点是边上的一点，，则边的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据，，得，得，代入数据即可求出，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：A． 12．如图，边长4的正方形中，有一个小正方形，其中分别在边，，上．若，那么小正方形的边长等于（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理的应用，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出，利用勾股定理求出，然后证明出，得到，然后代入求解即可． 【详解】解：正方形的边长为4，， ， 四边形和均为正方形， ， ∴， ，， ， ， ， ， ， 故选：B． 二、填空题 13．已知实数a满足，化简 _________． 【答案】1 【分析】根据判断绝对值内和根号下式子的正负，利用绝对值和二次根式的性质化简计算． 【详解】解：∵ ， ∴，， 根据二次根式性质，得 ， ∵正数的绝对值是本身，负数的绝对值是它的相反数， ∴原式． 14．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为________（结果保留根号）． 【答案】 【分析】先证明四边形是矩形，求出的长，再根据黄金分割的定义，可得，代入即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ， 又， ， ， 四边形是矩形， ． 又， ， 则的长为． 15．在初中物理课程中，我们学过凸透镜的成像规律．如图，为凸透镜，其厚度忽略不计，为凸透镜的光心，为凸透镜的焦点，在凸透镜左侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛，透过凸透镜后成的像为．平行于主光轴的光线，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线会聚于点．若物距，像距，则凸透镜的焦距的长为_______． 【答案】4 【分析】该题考查了相似三角形的性质和判定，矩形的性质，根据题意可得，四边形是矩形，得出，求出，即可求解． 【详解】解：根据题意可得，四边形是矩形， ， 即， 解得：， 故答案为：4． 16．如图，在平面直角坐标系中，有两点，，点为的中点，点在轴上，当点的坐标为_______时，以、、为顶点的三角形与相似． 【答案】或 【分析】本题考查的是相似三角形的判定定理，在解答此题时要进行分类讨论，不要漏解．先根据勾股定理求出的长，进而可得出的长，再根据与两种情况进行讨论． 【详解】解：在直角形坐标系中有两点、， ，， ． 点为的中点， ． 当时，，即，解得， ， ； 当时，，即，解得， ， ． 综上所述，点坐标为或， 故答案为：或． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)无实数根 (4)， 【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）利用公式法解一元二次方程即可； （4）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴， （3）解：∵， ∴， ∴方程无实数根； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 19．某展览中心新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示、已知每层长米，宽米．阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知每层的喷漆面积为平方米． (1)求通道的宽是多少米； (2)据调查分析，停车楼剩余个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为元时，可全部租出；每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为元？ 【答案】(1)通道的宽是米 (2)当每个车位的月租金上涨元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设通道的宽是米，根据题意列出方程，解出的值即可解答； （2）设每个车位的月租金上涨元，根据题意列出方程，解出的值，结合优惠大众选择较小的的值即可解答． 【详解】（1）解：设通道的宽是x米， 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：通道的宽是米； （2）设每个车位月租金上涨元， 根据题意，得：， 解得，， ∵租金需要优惠大众， ∴， 答：当每个车位的月租金上涨元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为元． 20．如图，点D，E分别在的边，上且E是AC的中点，若，，．     (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵E是的中点，， ∴ 又∵，， ∴，， 即 ∵， ∴ (2)的长为12 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用两边对应成比例且夹角相等证明三角形相似． （1）由E是中点得，计算得，结合公共角，证明； （2）利用相似三角形的对应边成比例，结合计算的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴． ∵，， ∴， 解得． 答：的长为． 21．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，． (1)求的取值范围； (2)若，满足，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可得不等式，解不等式即可求出的取值范围； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得方程，解方程即可求出的值，再根据（1）中的取值范围把不符合条件的值舍去． 【详解】（1）解：关于的方程有两个实数根和， ， ；         （2）解：一元二次方程的两个实数根分别为，， ，， ， ， ， ， 整理得：， 解得：或， 又， ． 22．综合实践课上，小组以“一线三等角”为主题展开了数学探究活动． 请解决下列问题： (1)探究规律： ①如图1，，则 ；（填“”或“”，且直接填写） ②如图2，点C在线段上，，，则的度数为 ； (2)应用规律： 如图3，点A，D，C，B在同一条直线上，，求证：； (3)拓展应用： 如图4，在四边形中，，，，，，求线段的长． 【答案】(1)①；② (2)证明：过点C作交于点H，如图， ∵， ∴，，， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）①根据相似三角形的性质，即由两组对应角相等的三角形相似可得； ②根据相似可得，再由三角形内角和可得，再根据周角即可求解． （2）作辅助线构造平行线，可得，，，再根据三角形外角的性质可得，再根据相似三角形的判定证明即可； （3）求出边长，根据勾股定理逆定理求解是直角三角形，再由（1）中的结论可得，根据边成比例可求解得，，再由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴，， ∴， ∴； ②当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，则． （2）略 （3）解：连接，过点B作的延长线于点E，如图， 在中，，即， 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， 由（1）的结论可知，， ∴， 即， 解得，， ∴， 在中，． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $