专题02 二次函数（期中真题汇编，海南专用）九年级数学上学期

专题02 二次函数 6大高频考点概览 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位琼中黎族苗族自治县·期中）下列函数中，是二次函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·海南临高县·期中）若函数是二次函数，则的值为　　　　　　　　　　　． 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．（25-26学年九上·海南临高县·期中）已知二次函数的图象开口向下，则的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·海南临高县·期中）已知抛物线经过点，则的值是（     ） A.  B. 1 C.  D. 2 3．（25-26学年九上·海南临高县思源实验学校·期中）已知点，，都在二次函数的图象上，则（       ） A.  B.  C.  D.  考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（25-26学年九上·海南临高县·期中）二次函数的图象的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·海南临高县·期中）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为（　　） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·海南昌江县思源实验学校·期中）对于二次函数的图象，顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·海南昌江县思源实验学校·期中）将抛物线向上平移5个单位，则所得的抛物线的函数表达式为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位琼中黎族苗族自治县·期中）抛物线的顶点坐标是(              ) A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·海南屯昌·期中）把二次函数的图象先向左平移3个单位，再向下平移4个单位后得到的图象对应的二次函数表达式为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·海南保亭·期中）抛物线的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·海南北京师范大学万宁实验学校·期中）抛物线经过平移得到抛物线，则平移过程正确的是（     ） A. 先向左平移4个单位，再向上平移3个单位 B. 先向左平移4个单位，再向下平移3个单位 C. 先向右平移4个单位，再向上平移3个单位 D. 先向右平移4个单位，再向下平移3个单位 9．（25-26学年九上·海南临高县思源实验学校·期中）把抛物线向上平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的抛物线是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·海南临高县第二中学·期中）抛物线的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·海南临高县第二中学·期中）把抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的表达式是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位琼中黎族苗族自治县·期中）把抛物线先向左平移一个单位长度，然后再向上平移3个单位长度，那么平移后的抛物线的解析式是（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·海南屯昌·期中）对于抛物线，下列说法正确的是（   ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标 D. 最小值是 14．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位乐东黎族自治县六校联考·期中）抛物线的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·海南中学·期中）将抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的函数表达式为（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·海南保亭·期中）关于抛物线，下列说法错误的是（       ） A. 开口方向向下 B. 当时，随的增大而减小 C. 对称轴是直线 D. 经过点 17．（25-26学年九上·海南保亭·期中）将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线的函数解析式为　　　　　　　　． 18．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位澄迈县·期中）将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，平移后的抛物线的解析式为 　　　　　　　　　　　　　　　　　． 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九上·海南临高县第二中学·期中）二次函数y=2x2－8x+1的最小值是(　　 ) A. 7 B. －7 C. 9 D. －9 2．（25-26学年九上·海南屯昌·期中）用配方法将二次函数化为的形式为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·海南北京师范大学万宁实验学校·期中）对于二次函数，下列说法正确的是：（       ） A. 图象的开口向上 B. 图象的对称轴是直线 C. 当时，随的增大而增大 D. 函数的最大值是 4．（25-26学年九上·海南北京师范大学万宁实验学校·期中）对于二次函数，当时，的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·海南临高县思源实验学校·期中）对于二次函数，下列说法中正确的是（     ） A. 图象的开口向下 B. 函数的最大值为1 C. 图象的对称轴为直线 D. 当时y随x的增大而增大 6．（25-26学年九上·海南中学·期中）将二次函数通过配方法，化为顶点式的形式，结果是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位琼中黎族苗族自治县·期中）点A(﹣2，)，B(0，)，C(1，)为二次函数的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·海南屯昌·期中）若函数的图象过点，，，则下列说法正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·海南屯昌·期中）二次函数的图象如图所示，下列说法中正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·海南保亭·期中）已知二次函数为，则它的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位乐东黎族自治县六校联考·期中）已知二次函数的图象（）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（　　） A. 函数有最小值1，有最大值3 B. 函数有最小值，有最大值0 C. 函数有最小值，有最大值3 D. 函数有最小值，无最大值 12．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位澄迈县·期中）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A. 开口向上 B. y有最小值是3 C. 对称轴是直线 D. 当时，y随x增大而增大 13．（25-26学年九上·海南临高县·期中）如图，抛物线的对称轴是直线，则以下五个结论中 ， 正确的 有 （     ） ①；②；③；④；⑤ A. 1 个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 14．（25-26学年九上·海南昌江县思源实验学校·期中）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，下列结论正确的是(　　) A. a<0 B. b2－4ac<0 C. 当－1<x<3时，y>0 D. －=1 15．（25-26学年九上·海南临高县思源实验学校·期中）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中大致的图象可能是（　　） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·海南临高县思源实验学校·期中）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 图象关于直线x=1对称 B. 函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4 C. ﹣1和3是方程ax2+bx+c（a≠0）=0的两个根 D. 当x＜1时，y随x的增大而增大 17．（25-26学年九上·海南中学·期中）已知是抛物线上的点，则（　　） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位琼中黎族苗族自治县·期中）如图，抛物线与x轴交于点和点，以下结论：①；②；③；④当时，y随x的增大而减小．其中，正确结论的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 19．（25-26学年九上·海南保亭·期中）已知是二次函数的图像上的三个点，则的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年九上·海南北京师范大学万宁实验学校·期中）二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：且当时，其对应的函数值．有下列结论：①；②；③和4是关于的方程的两个根；④当时，；⑤，其中正确的结论的个数是（     ）个． ．．． 0 1 2 ．．． ．．． ．．． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 21．（25-26学年九上·海南保亭·期中）已知二次函数，当时，的值为　　　　　　　　　　　． 22．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位乐东黎族自治县六校联考·期中）抛物线的对称轴是直线　　　　　　． 23．（25-26学年九上·海南临高县·期中）如图，过点的抛物线与直线交于，两点． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，求的面积． 24．（25-26学年九上·海南保亭·期中）二次函数的图象交x轴于A、D两点，且A点坐标是，图象过点． （1）求二次函数的解析式； （2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标； （3）二次函数的对称轴上是否存在一点C，使得的周长最小？若C点存在，求出C点的坐标；若C点不存在，请说明理由． 25．（25-26学年九上·海南保亭·期中）如图，已知抛物线经过点和点，P为第二象限内抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，，当时，求出点P的坐标． 26．（25-26学年九上·海南保亭·期中）已知抛物线的顶点为，与y轴的交点为，求抛物线的解析式． 27．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位乐东黎族自治县六校联考·期中）抛物线经过点，，则b的值为　　　　　　　　　　． 28．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位澄迈县·期中）抛物线经过和两点，则该抛物线的对称轴为直线　　　　　　． 29．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位琼中黎族苗族自治县·期中）已知二次函数 （1）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． （2）当时，直接写出函数的取值范围． 30．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位琼中黎族苗族自治县·期中）如图，已知抛物线经过两点．与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标； （3）在对称轴上是否存在点Q，使周长最小，若存在，求出点Q坐标和周长，若不存在，请说明理由． 31．（25-26学年九上·海南屯昌·期中）已知二次函数： （1）求该函数图像的对称轴和顶点坐标； （2）求该函数图象与轴的交点坐标； （3）当取何值时，随的增大而增大？ 32．（25-26学年九上·海南屯昌·期中）已知抛物线交x轴于，B两点，交y轴于点． （1）求该抛物线的表达式和对称轴． （2）若抛物线与直线有两个不同交点，求m的取值范围． （3）设点P是抛物线的顶点，求四边形的面积． 33．（25-26学年九上·海南保亭·期中）已知二次函数， （1）对称轴是__________； （2）在平面直角坐标系里画出它的图象． （3）当时，函数的取值范围是__________． … 0 1 … … 0 0 … 34．（25-26学年九上·海南保亭·期中）写出一个函数值有最大值，且最大值是2的二次函数解析式　　　　　　． 35．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位乐东黎族自治县六校联考·期中）已知二次函数（，为常数）的图象经过点，对称轴是直线． （1）求此二次函数的表达式． （2）求二次函数的最大值． （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 36．（25-26学年九上·海南昌江县思源实验学校·期中）已知二次函数的图像经过点，和，点P是抛物线上的一个动点，且在直线的下方． （1）求该二次函数的解析式． （2）在二次函数的图像上是否存在一点P，使得以 B、C、P为顶点的三角形的面积最大？若存在，求出点P的坐标和三角形的最大面积；若不存在，请说明理由． （3）在平面内是否存在一点Q，使得以A、B、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 37．（25-26学年九上·海南北京师范大学万宁实验学校·期中）已知二次函数，（，为常数，且）， （1）如图，若此二次函数的图像经过点和点， ①求二次函数的解析式． ②抛物线对称轴上是否存在一点，使得有最小值，若存在，请求出的最小值与点的坐标，若不存在，说明理由． ③当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求的取值范围． （2）当时，已知点，，若二次函数的图像与线段只有1个交点，求的取值范围． 38．（25-26学年九上·海南临高县思源实验学校·期中）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为 （1）求m的值及抛物线的顶点坐标． （2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标． （3）探究在抛物线上是否存在点M，使得的面积等于3？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 39．（25-26学年九上·海南临高县第二中学·期中）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为，且点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）点C为抛物线与y轴的交点； ①设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值． ②点P在抛物线上，且，求点P点坐标． 40．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位澄迈县·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为，与y轴交于点，作直线．动点P在x轴上运动，过点P作轴，交抛物线于点M，交直线于点N，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式： （2）当点P在线段上运动时，连接，求面积的最大值； （3）当时，抛物线的最大值为3，则          ． 41．（25-26学年九上·海南中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B、C，抛物线经过B、C两点，并与x轴交于另一点A． （1）求该抛物线的函数关系式； （2）设是抛物线上的一个动点，过点P作直线轴于点M，交直线于点N． ①当时，直接写出n的取值范围； ②若点P在第一象限内，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； ③若是直角三角形，求m的值． 考点05 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九上·海南昌江县思源实验学校·期中）已知二次函数与轴只有唯一的一个交点，则一元二次方程的根的情况是（     ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 2．（25-26学年九上·海南屯昌·期中）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，由图象可知该抛物线与x轴的交点坐标是（       ） A. （﹣1，0）和（5，0） B. （1，0）和（5，0） C. （0，﹣1）和（0，5） D. （0，1）和（0，5） 3．（25-26学年九上·海南临高县思源实验学校·期中）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·海南中学·期中）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A. 开口向下 B. 顶点坐标是 C. 与y轴交点是 D. 当时，y随x增大而增大 5．（25-26学年九上·海南中学·期中）抛物线与x轴的交点有（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无法确定 6．（25-26学年九上·海南中学·期中）如图，抛物线与直线交于点，若，则x的取值范围为（　　） A.  B.  C. 或 D. 或 7．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位乐东黎族自治县六校联考·期中）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位澄迈县·期中）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位澄迈县·期中）二次函数，当时，的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位澄迈县·期中）在估算关于的一元二次方程的解时，小明列表如下： … 2.1 2.2 2.4 2.5 2.6 … … 0.52 1 1.52 … 请判断其中一个解的大致范围是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·海南临高县第二中学·期中）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（        ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 12．（25-26学年九上·海南中学·期中）如图，抛物线与x轴的一个交点为，则一元二次方程的实数根是 　　　　　　　　　　　　　　　 ． 13．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位琼中黎族苗族自治县·期中）二次函数的图像与轴的交点坐标是　　　　　　　　　　　，与轴的交点坐标为　　　　． 14．（25-26学年九上·海南屯昌·期中）如图，二次函数和一次函数的图象，观察图象写出时，x的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　． 15．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位乐东黎族自治县六校联考·期中）已知二次函数． （1）求该二次函数的图象与轴交点的坐标； （2）求该函数图象的对称轴，并写出在什么范围内，随的增大而增大． 16．（25-26学年九上·海南北京师范大学万宁实验学校·期中）如图，函数的图象是由函数的图象轴上方部分保持不变，下方部分沿轴向上翻折而成．直线与该图象有　　　　　　　　　　　个交点；若图象与直线有四个交点，则的取值范围是　　　　　　　　　　　． 考点06 实际问题与二次函数 1．（25-26学年九上·海南临高县思源实验学校·期中）公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售1500个，9月份销售个，设7月份到9月份销售量的月增长率为，那么与的函数关系是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·海南临高县思源实验学校·期中）抖音直播购物逐渐走进了人们的生活．为提高我县特产红富士苹果的影响力，某电商在抖音平台上对我县红富士苹果进行直播销售．已知苹果的成本价为6元/千克，如果按10元/千克销售，每天可售出160千克.通过调查发现，每千克苹果售价增加1元，日销售量减少20千克．若想通过涨价增加每日利润，设涨价后的售价为元，每日获得的利润为元. （1）涨价后每日销量将减少______件（用含的代数式表示）； （2）当售价为多少时，每日获的利润最大？最大利润为多少？ 3．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位乐东黎族自治县六校联考·期中）根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10米/秒的速度竖直上抛（如图所示），那么物体离地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）的函数关系为：．根据上述规律，该物体落回地面所需要的时间t为　　　　　　秒． 4．（25-26学年九上·海南临高县·期中）在中考体育训练期间，小童对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系式为，由此可知小童此次实心球训练的成绩为　　　　　　　　　　　米． 5．（25-26学年九上·海南临高县·期中）如图某农场要建一个矩形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长)，另外三边由长的栅栏围成．设矩形空地中，垂直于墙的边，面积为(如图)． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）若矩形空地的面积为，求的值． 6．（25-26学年九上·海南昌江县思源实验学校·期中）如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是　　　　　　　　　　平方米． 7．（25-26学年九上·海南临高县思源实验学校·期中）某校为贯彻落实教育部《关于全面加强中小学生劳动教育的意见》，更好地培养学生的劳动兴趣和劳动技能，计划在校园开辟一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的长度为15m），用28m长的篱笆，围成一个如图所示的矩形菜地，供同学们进行劳动实践．    （1）若围成的菜地面积为，求此时AB的长． （2）当的长为多少时，围成的菜地面积最大？最大面积是多少？ 8．（25-26学年九上·海南临高县第二中学·期中）某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件.如果该商品的售价每上涨1元，就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数）时，月销售利润为y元. （1）求y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围. （2）当每件商品的售价定为多少元时，可获得的月利润最大？最大月利润是多少？ 9．（25-26学年九上·海南北京师范大学万宁实验学校·期中）某公园有一个直径为16m的圆形喷水池，喷出的水柱呈抛物线形，且各方向喷出的水柱恰好落在水池内．如图，过喷水管口所在铅垂线每一个截面均可得到两条关于对称的抛物线，以喷水池中心为原点，喷水管口所在铅垂线为纵轴，建立平面直角坐标系．    （1）若喷出的水柱在距水池中心3m处达到最高，且高度为5m，求水柱所在抛物线（第一象限）的函数表达式； （2）王师傅在喷水池内维修设备时，喷水管意外喷水：为了不被淋湿，身高1.8m的王师傅站立时必须在水池中心多少米以内？ 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数 6大高频考点概览 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位琼中黎族苗族自治县·期中）下列函数中，是二次函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据二次函数的定义：形如( a≠0)的函数叫二次函数，直接判断即可． 【详解】 解：A、符合二次函数的定义，本选项符合题意； B、是一次函数，不符合题意； C、是反比例函数，不符合题意； D、不是二次函数，不符合题意； 故选：A． 【点睛】 本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 2．（25-26学年九上·海南临高县·期中）若函数是二次函数，则的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的定义，注意：形如（a、b、c为常数，）的函数，叫做二次函数．根据二次函数的定义和已知条件得出且，再求出答案即可． 【详解】 解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得：， 故答案为：． 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．（25-26学年九上·海南临高县·期中）已知二次函数的图象开口向下，则的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数开口向下，则解析式中对应的二次项系数为负数，据此列式求解即可． 【详解】 解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∴， 故选：A． 2．（25-26学年九上·海南临高县·期中）已知抛物线经过点，则的值是（     ） A.  B. 1 C.  D. 2 【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的图象． 直接将代入计算即可． 【详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， 故选：B． 3．（25-26学年九上·海南临高县思源实验学校·期中）已知点，，都在二次函数的图象上，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了比较二次函数值的大小，通过直接计算各点的函数值即可比较大小． 【详解】 解：∵， ∴对于点，； 对于点，； 对于点，， ∵， ∴ ． 故选B 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（25-26学年九上·海南临高县·期中）二次函数的图象的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象的顶点式解析式，如果，那么函数图象的顶点坐标为，需要熟记并灵活运用． 根据二次函数的顶点式即可得出顶点坐标． 【详解】 解：∵ 二次函数为 ， ∴ 顶点坐标为 ． 故选：A． 2．（25-26学年九上·海南临高县·期中）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了抛物线的平移，熟练掌握平移的规律是解题的关键． 根据平移的规律，左加右减，上加下减即可得到答案． 【详解】 解：把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为， 故选B． 3．（25-26学年九上·海南昌江县思源实验学校·期中）对于二次函数的图象，顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查二次函数的性质，二次函数的顶点式中顶点坐标为，据此求解即可． 【详解】 解：对于二次函数的图象，顶点坐标是， 故选：A． 4．（25-26学年九上·海南昌江县思源实验学校·期中）将抛物线向上平移5个单位，则所得的抛物线的函数表达式为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了函数图象的平移，解题时要熟练掌握平移的规律是关键．根据函数图象平移规则，向上平移时，在函数值上直接加上平移单位． 【详解】 解：∵将抛物线向上平移5个单位， ∴新抛物线的函数表达式为， 故选：B． 5．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位琼中黎族苗族自治县·期中）抛物线的顶点坐标是(              ) A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查二次函数的性质，抛物线的顶点坐标为． 【详解】 解：∵， ∴顶点坐标为． 故选：C． 6．（25-26学年九上·海南屯昌·期中）把二次函数的图象先向左平移3个单位，再向下平移4个单位后得到的图象对应的二次函数表达式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题考查了二次函数的平移．根据左加右减，上加下减的规律进行解答即可． 【详解】 解：二次函数的图象先向左平移3个单位，再向下平移4个单位后得到的图象对应的二次函数表达式为， 故选：A 7．（25-26学年九上·海南保亭·期中）抛物线的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查二次函数的性质，根据题目中的函数顶点解析式的特征，可以直接写出该函数图象的顶点坐标． 【详解】 解：二次函数， 该函数图象的顶点坐标为， 故选：A． 8．（25-26学年九上·海南北京师范大学万宁实验学校·期中）抛物线经过平移得到抛物线，则平移过程正确的是（     ） A. 先向左平移4个单位，再向上平移3个单位 B. 先向左平移4个单位，再向下平移3个单位 C. 先向右平移4个单位，再向上平移3个单位 D. 先向右平移4个单位，再向下平移3个单位 【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数图象平移规律． 根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”直接判断平移方向． 【详解】 解：∵抛物线经过平移得到抛物线， ∴水平方向：变为，符合“右减”，即向右平移4个单位； 垂直方向：整体减去3，符合“下减”，即向下平移3个单位； ∴平移过程为先向右平移4个单位，再向下平移3个单位． 故选：D． 9．（25-26学年九上·海南临高县思源实验学校·期中）把抛物线向上平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的抛物线是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解答本题的关键．按“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律平移即可得出所求函数的解析式． 【详解】 解：由题意，得 ． 故选A． 10．（25-26学年九上·海南临高县第二中学·期中）抛物线的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查二次函数的性质，根据形如的顶点坐标为进行求解即可． 【详解】 解：由抛物线可知其顶点坐标为； 故选：C． 11．（25-26学年九上·海南临高县第二中学·期中）把抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的表达式是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题考查抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，熟练掌握抛物线的平移性质是解题的关键，根据抛物线的平移规律解答即可． 【详解】 解：把抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的表达式是， 故选：C． 12．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位琼中黎族苗族自治县·期中）把抛物线先向左平移一个单位长度，然后再向上平移3个单位长度，那么平移后的抛物线的解析式是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了二次函数图象的平移，掌握二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”成为解题的关键．直接根据函数图象平移规律即可解答． 【详解】 解∶ 抛物线先向左平移一个单位长度，然后再向上平移3个单位长度，那么平移后的抛物线的解析式是， 故选∶D． 13．（25-26学年九上·海南屯昌·期中）对于抛物线，下列说法正确的是（   ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标 D. 最小值是 【答案】D 【分析】 本题考查二次函数的图象与性质，利用顶点式可直接得出相关特征． 根据二次函数的顶点式的性质，判断开口方向、对称轴、顶点坐标和最值． 【详解】 解：∵抛物线是顶点式，其中，，， ∴开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，有最小值． 故A错误（开口向上），B错误（对称轴），C错误（顶点），D正确． 故选：D． 14．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位乐东黎族自治县六校联考·期中）抛物线的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了顶点式的顶点坐标，根据的顶点为求解，即可解题． 【详解】 解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 15．（25-26学年九上·海南中学·期中）将抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的函数表达式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题考查了二次函数的平移.根据左加右减，上加下减的规律进行解答即可. 【详解】 解：将抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的函数表达式为， 故选：B 16．（25-26学年九上·海南保亭·期中）关于抛物线，下列说法错误的是（       ） A. 开口方向向下 B. 当时，随的增大而减小 C. 对称轴是直线 D. 经过点 【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的对称轴，顶点坐标，函数增减性，以及抛物线的开口方向的确定，是基础题是，熟记性质是解题的关键．根据二次函数的性质对各选项分析判断即可 ． 【详解】 解：∵抛物线， ∴抛物线开口向下，故A选项正确不符合题意； 对称轴为直线，故C选项正确不符合题意； 当时，随的增大而增大，故B选项错误符合题意； 令，得， 抛物线经过点，故D选项正确不符合题意． 故选：B． 17．（25-26学年九上·海南保亭·期中）将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线的函数解析式为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由平移的规律即可求得答案． 【详解】 解：将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线的函数解析式为，即 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查二次函数的图象变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”． 18．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位澄迈县·期中）将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，平移后的抛物线的解析式为 　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象的平移，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”． 根据二次函数图象的平移规律即可得． 【详解】 解：将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，所得的抛物线的解析式为， 即， 故答案为：． 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九上·海南临高县第二中学·期中）二次函数y=2x2－8x+1的最小值是(　　 ) A. 7 B. －7 C. 9 D. －9 【答案】B 【分析】直接利用配方法求出二次函数最值进而得出答案． 【详解】 ∴当x=2时，y有最小值-7 故选B 2．（25-26学年九上·海南屯昌·期中）用配方法将二次函数化为的形式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查将二次函数的一般式转化为顶点式，利用配方法进行求解即可． 【详解】 解：； 故选D． 3．（25-26学年九上·海南北京师范大学万宁实验学校·期中）对于二次函数，下列说法正确的是：（       ） A. 图象的开口向上 B. 图象的对称轴是直线 C. 当时，随的增大而增大 D. 函数的最大值是 【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．根据可得抛物线的开口向下，再根据二次函数的对称轴、增减性和最值逐项判断即可得． 【详解】 解：二次函数中，， ∴这个二次函数的图象的开口向下，图象的对称轴是直线，则选项A和B错误； ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；则选项C错误； ∴当时，取得最大值，最大值为，则选项D正确； 故选：D． 4．（25-26学年九上·海南北京师范大学万宁实验学校·期中）对于二次函数，当时，的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数开口向上，对称轴为，且在区间内，最小值在顶点处，最大值在端点处． 【详解】 解：∵，， ∴抛物线开口向上，对称轴为． ∵ ，且对称轴在区间内， ∴当时，取最小值，． 当时，； 当 时，． ∴ 的最大值为12． 因此，的取值范围是 ． 故选A 5．（25-26学年九上·海南临高县思源实验学校·期中）对于二次函数，下列说法中正确的是（     ） A. 图象的开口向下 B. 函数的最大值为1 C. 图象的对称轴为直线 D. 当时y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】 本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确 【详解】 解：依题意，， ∵， ∴该函数图象开口向上，故选项A不符合题意； 当时，函数的最小值为1，故选项B不符合题意； 函数图象的对称轴为直线，故选项C符合题意； 当时y随x的增大而减小，故选项D不符合题意； 故选：C． 6．（25-26学年九上·海南中学·期中）将二次函数通过配方法，化为顶点式的形式，结果是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查配方法将二次函数化为顶点式，通过完成平方，即加上和减去一次项系数一半的平方，形成完全平方式. 【详解】 顶点式为， 故选：B. 7．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位琼中黎族苗族自治县·期中）点A(﹣2，)，B(0，)，C(1，)为二次函数的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线x=1，根据x＜1时，y随x的增大而减小，即可得出答案． 【详解】 解：∵， ∴图象的开口向上，对称轴是直线x=1， ∵-2＜0＜1， ∴， 故选：B． 【点睛】 本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 8．（25-26学年九上·海南屯昌·期中）若函数的图象过点，，，则下列说法正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查二次函数比较函数值大小，熟练掌握二次函数比较函数值大小的方法是解决问题的关键． 由二次函数图象与性质得到二次函数的开口向上，对称轴为，从而得到抛物线上的点到对称轴距离越近值越小，求出点，，，到抛物线对称轴的距离，比较距离大小即可得到答案． 【详解】 解：二次函数的开口向上，对称轴为， ∴由二次函数图象与性质可知，抛物线上的点到对称轴距离越近值越小， ∴点，，到对称轴的距离为、、， ∵， ∴， 故选：D． 9．（25-26学年九上·海南屯昌·期中）二次函数的图象如图所示，下列说法中正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的图象与各项系数之间的关系，数形结合是解题的关键． 根据抛物线的开口向上得，根据抛物线的对称轴确定，根据抛物线与y轴交于负半轴得即可求解． 【详解】 解：∵抛物线的开口向上， ， ∵抛物线对称轴在y轴左侧， 则， ∴， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ， 故选：B． 10．（25-26学年九上·海南保亭·期中）已知二次函数为，则它的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要查了二次函数的图象和性质．根据二次函数的图象和性质，逐项判断，即可求解． 【详解】 解：∵二次函数为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， 故A，B，D选项不符合题意，C选项符合题意； 故选：C 11．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位乐东黎族自治县六校联考·期中）已知二次函数的图象（）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（　　） A. 函数有最小值1，有最大值3 B. 函数有最小值，有最大值0 C. 函数有最小值，有最大值3 D. 函数有最小值，无最大值 【答案】C 【分析】 本题考查二次函数的图象和最值，能根据x的取值范围利用数形结合求解是解答此题的关键．由图象可直接得出当时，函数有最小值；当时，函数有最大值3，即可解答． 【详解】 解：由图象可知该函数在所给自变量取值范围内，当时，函数有最小值；当时，函数有最大值3． 故选C． 12．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位澄迈县·期中）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A. 开口向上 B. y有最小值是3 C. 对称轴是直线 D. 当时，y随x增大而增大 【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数顶点式的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键． 根据二次函数的顶点式，判断函数图象的开口方向，最大值，对称轴与增减性，由此判断选项即可． 【详解】 解：二次函数为， ∵， ∴函数图象开口向下，故A错误； ∵二次函数的顶点为，且开口向下， ∴y有最大值是3，故B错误； 根据二次函数的顶点可知对称轴为，故C错误； ∵对称轴为，且开口向下， ∴当时，y随x增大而增大，故D正确； 故选：D ． 13．（25-26学年九上·海南临高县·期中）如图，抛物线的对称轴是直线，则以下五个结论中 ， 正确的 有 （     ） ①；②；③；④；⑤ A. 1 个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． ① 根据抛物线的开口方向、对称轴及抛物线与y轴的交点位置来判断即可； ② 根据对称轴求解即可； ③ 根据抛物线与x轴的交点个数求解即可； ④ 根据轴对称性求出当时的函数值大小即可； ⑤ 由图可知，当时的函数值为0，所以，再结合，可求得，即可判断． 【详解】 解：抛物线开口向上， ， 对称轴是直线， ， ， 抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上， ， ， 故① 正确； 对称轴是直线， ， ， ， 故② 正确； 由图可知，抛物线与x轴有两个交点， ， ， 故③ 正确； 对称轴是直线， 当时的函数值与当时的函数值相等， ， 故④ 正确； 由图可知，当时的函数值为0， ， ， ， ， 故⑤ 错误； 五个结论中，正确的是① ② ③ ④ ，有4个． 故选：D． 14．（25-26学年九上·海南昌江县思源实验学校·期中）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，下列结论正确的是(　　) A. a<0 B. b2－4ac<0 C. 当－1<x<3时，y>0 D. －=1 【答案】D 【详解】试题分析：根据二次函数的图象和性质进行判断即可. 解：∵抛物线开口向上， ∴ ∴A选项错误， ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴ ∴B选项错误， 由图象可知，当－1<x<3时，y<0 ∴C选项错误， 由抛物线的轴对称性及与x轴的两个交点分别为（－1，0）和（3，0）可知对称轴为 即－ ＝1， ∴D选项正确， 故选D. 15．（25-26学年九上·海南临高县思源实验学校·期中）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中大致的图象可能是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 考查二次函数及一次函数的图像的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数、一次函数图像与系数的关系逐项判断即可． 【详解】 解：一次函数和二次函数都经过轴上的， 两个函数图象交于轴上的同一点，排除D； 当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除A； 当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，排除B； 故选：C． 16．（25-26学年九上·海南临高县思源实验学校·期中）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 图象关于直线x=1对称 B. 函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4 C. ﹣1和3是方程ax2+bx+c（a≠0）=0的两个根 D. 当x＜1时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】 根据函数图象确定对称轴、最小值、增减性、二次函数与一元二次方程的关系判断即可． 【详解】 A．观察图象，可知抛物线的对称轴为直线x=1，则图象关于直线x=1对称，正确，故本选项不符合题意； B．观察图象，可知抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），又抛物线开口向上，所以函数ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4，正确，故本选项不符合题意； C．由图象可知抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），而对称轴为直线x=1，所以抛物线与x轴的另外一个交点为（3，0），则﹣1和3是方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根，正确，故本选项不符合题意； D．由抛物线的对称轴为x=1，所以当x＜1时，y随x的增大而减小，错误，故本选项符合题意． 故选D． 【点睛】 本题考查的是二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质，理解二次函数的对称轴、最值、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数的增减性是解题的关键． 17．（25-26学年九上·海南中学·期中）已知是抛物线上的点，则（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 先求得抛物线的开口方向和对称轴，然后利用二次函数的对称性和增减性即可判断． 【详解】 解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴时，y随x的增大而减小， ∵抛物线上的点， ∴关于直线的对称点也在抛物线上， ∵， ∴． 故选：D． 18．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位琼中黎族苗族自治县·期中）如图，抛物线与x轴交于点和点，以下结论：①；②；③；④当时，y随x的增大而减小．其中，正确结论的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 根据二次函数图象的对称轴位置和抛物线开口方向确定① ③ ，根据时y的值判定② ，由抛物线图象和性质判定④ ． 【详解】 解：∵抛物线开口向上，则， ∵抛物线与x轴交于点和点， ∴对称轴为直线， 则 即， 抛物线与轴的交点在负半轴，则， ∴，故① 正确； 当时，，故② 正确； ∵抛物线经过点 ∴ 又 ∴，即，故③ 正确； ∵对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，故④ 不正确 故选：C． 【点睛】 本题考查了二次函数的图像和性质，要求熟悉掌握函数图象与坐标轴的交点、顶点的坐标求法，及这些点代表的意义． 19．（25-26学年九上·海南保亭·期中）已知是二次函数的图像上的三个点，则的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】 解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴； 故选：D． 20．（25-26学年九上·海南北京师范大学万宁实验学校·期中）二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：且当时，其对应的函数值．有下列结论：①；②；③和4是关于的方程的两个根；④当时，；⑤，其中正确的结论的个数是（     ）个． ．．． 0 1 2 ．．． ．．． ．．． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．由表格数据可得和，从而得出，函数化为，结合时，得，据此逐一判断各结论． 【详解】 解：∵当时，， 当时，， ∴，即， ∴， ∵ 当时，， ∴， 解得：， ①，正确； ②，正确； ③ 二次函数图像对称轴为直线， ∴当时的函数值与当时的函数值相等，即， ∴和3是关于的方程的两个根，则结论③ 错误； ④ ∵二次函数的对称轴为直线，且， ∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，由表格可知，当和时，， ∴当时，，则结论④ 正确； ⑤ 将点代入得：， 将点代入得：， ∴， ∵， ∴， ∴，则结论⑤ 正确； 综上，正确结论有4个， 故选：C． 21．（25-26学年九上·海南保亭·期中）已知二次函数，当时，的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数的性质，把代入计算即可． 【详解】 解：把代入得， 故答案为：． 22．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位乐东黎族自治县六校联考·期中）抛物线的对称轴是直线　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的对称轴求法，解题的关键是掌握对称轴公式或利用配方法将函数化为顶点式（其中对称轴为直线）． 先确定抛物线对应的二次函数一般式中和的值，再代入对称轴公式计算；或通过配方法将一般式转化为顶点式，直接从顶点式中提取对称轴的表达式． 【详解】 解：对于抛物线， 其对应的二次函数为一般式，其中，，， 根据二次函数对称轴公式，将，代入得：． 故答案为：． 23．（25-26学年九上·海南临高县·期中）如图，过点的抛物线与直线交于，两点． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，求的面积． 【答案】（1）     （2）8      【分析】 本题考查了求一次函数与二次函数的解析式，掌握两种函数的图象与性质是关键． （1）把点A的坐标代入一次函数式中求得b，进而得到一次函数解析式，再令，即可求得点C的坐标，设二次函数解析式为交点式，把点A的坐标代入，即可求解； （2）由题意知，由三角形面积公式即可求解． (1) 小问详解： 解：把点A的坐标代入一次函数式中，得， 即， 令，得， ∴， 设，把点A的坐标代入得：， ∴， ∴， 化为一般式为：； (2) 小问详解： 解：由题意知， ∴． 24．（25-26学年九上·海南保亭·期中）二次函数的图象交x轴于A、D两点，且A点坐标是，图象过点． （1）求二次函数的解析式； （2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标； （3）二次函数的对称轴上是否存在一点C，使得的周长最小？若C点存在，求出C点的坐标；若C点不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2），     （3）存在，(4，2)      【分析】 （1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （2）根据二次函数解析式，利用二次函数的性质即可得出二次函数图象的顶点坐标，再代入即可得出点D的坐标； （3）根据两点之间线段最短，找出使得的周长最小的点C的位置，根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出直线的解析式，再代入即可求出点C的坐标． (1) 小问详解： 解：把，代入， 得 解得 ， ∴二次函数的解析式为 (2) 小问详解： 由，得二次函数图象的顶点坐标为． 令，得，解得，， ∴D点的坐标为； (3) 小问详解： 二次函数的对称轴上存在一点C，使得的周长最小． 连接，如图， ∵点C在二次函数的对称轴上， ，，的周长，根据“两点之间，线段最短”，可得当点A、C、B三点共线时，最小， 此时，由于是定值，因此的周长最小． 设直线的解析式为， 把，代入，得 ’解得 ∴直线的解析式为．当时，， ∴当二次函数的对称轴上点C的坐标为时，的周长最小． 【点睛】 本题考查了抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次函数的性质以及轴对称中的最短路径问题，解题的关键是：（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法求出二次函数的解析式；（2）根据二次函数的性质找出二次函数图象的顶点坐标；（3）利用两点之间线段最短确定点C的位置． 25．（25-26学年九上·海南保亭·期中）如图，已知抛物线经过点和点，P为第二象限内抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，，当时，求出点P的坐标． 【答案】（1）     （2）点P的坐标为      【分析】 本题主要考查了求二次函数解析式和三角形面积问题等知识点，正确利用待定系数法求表达式是解答本题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）首先求出，然后根据得到，代数求出，然后代入求出，进而求解即可． (1) 小问详解： 解：将点和点代入， 得 ，解得 ． ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴； ∵， ∴，即， ∴； 将代入得，， 解得或； ∵P为第二象限内抛物线上一点， ∴， ∴点P的坐标为． 26．（25-26学年九上·海南保亭·期中）已知抛物线的顶点为，与y轴的交点为，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】 本题考查了求二次函数解析式，掌握待定系数法是解题关键．根据抛物线的顶点设解析式，再将点代入求出，即可得解． 【详解】 解：抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 抛物线与y轴的交点为， ， 解得， 抛物线的解析式为． 27．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位乐东黎族自治县六校联考·期中）抛物线经过点，，则b的值为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 根据二次函数与x轴的两个交点是关于对称轴对称的两点结合对称轴公式，进行求解即可． 【详解】 抛物线经过点，， ∴， 则． 故答案为：． 28．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位澄迈县·期中）抛物线经过和两点，则该抛物线的对称轴为直线　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数的对称性，根据两点的纵坐标相同可知两点关于对称轴对称，据此即可求出答案，熟练掌握利用二次函数的对称性求解函数的对称轴是解题的关键． 【详解】 解：∵抛物线经过和两点， ∴两点的纵坐标相同， ∴该抛物线的对称轴为直线， 故答案为：． 29．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位琼中黎族苗族自治县·期中）已知二次函数 （1）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． （2）当时，直接写出函数的取值范围． 【答案】（1）抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为；     （2）      【分析】 本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是会由二次函数的顶点式得知二次函数的性质． （1）用配方法将表达式化为顶点式即可； （2）利用开口方向和对称轴及自变量的取值即可求得的取值范围． (1) 小问详解： 解： ； ， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； (2) 小问详解： ，， 抛物线开口向上，顶点坐标为， 时函数最小值为， ∵ ∴的取值上界由处的函数值决定， 将代入得， 当时，的取值范围． 30．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位琼中黎族苗族自治县·期中）如图，已知抛物线经过两点．与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标； （3）在对称轴上是否存在点Q，使周长最小，若存在，求出点Q坐标和周长，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）点P的坐标为或；     （3）的周长最小为，点的坐标为      【分析】 （1）将两点代入求得a、b的值即可解答； （2）先求出，设点P的纵坐标为，再列绝对值方程可求得；然后再分和两种情况求解即可； （3）先确定抛物线的对称轴为，连接交直线于点，易得，则此时的周长最小，据此求解即可． (1) 小问详解： 解：将两点代入可得： ，解得： ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：∵抛物线经过两点， ∴， 设点P的纵坐标为m， ∵， ∴，即，解得：； 当，有，解得：或4； ∴点P的坐标为或； 当，有，即， ∵， ∴方程无解． 综上，点P的坐标为或； (3) 小问详解： 解：∵抛物线经过两点， ∴两点关于对称轴直线对称， 令，则， ∴， 连接交直线于点， ∴， ∴周长为，此时的周长最小， ∵，，， ∴， ∴的周长最小为； 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 令，可得，即点； 综上，的周长最小为，点的坐标为． 31．（25-26学年九上·海南屯昌·期中）已知二次函数： （1）求该函数图像的对称轴和顶点坐标； （2）求该函数图象与轴的交点坐标； （3）当取何值时，随的增大而增大？ 【答案】（1）对称轴，顶点坐标     （2）与轴交点坐标和     （3）当时，随的增大而增大      【分析】 本题考查二次函数图象与性质，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． （1）将二次函数化为顶点式即可得到答案； （2）根据二次函数与轴的交点坐标的特征，令时，解方程即可得到答案； （3）根据二次函数图象与性质判断即可得到答案． (1) 小问详解： 解： ， 该二次函数对称轴，顶点坐标； (2) 小问详解： 解：轴上的点的纵坐标为， 当时，， 即， 解得或， 该二次函数与轴交点坐标和； (3) 小问详解： 解：二次函数中，开口向上，对称轴为， 当时，随的增大而增大． 32．（25-26学年九上·海南屯昌·期中）已知抛物线交x轴于，B两点，交y轴于点． （1）求该抛物线的表达式和对称轴． （2）若抛物线与直线有两个不同交点，求m的取值范围． （3）设点P是抛物线的顶点，求四边形的面积． 【答案】（1）抛物线的表达式：；对称轴为：     （2）     （3）      【分析】 （1）利用待定系数法即可求解抛物线的解析式，进而求出对称； （2）令，利用一元二次方程根的判别式建立不等式求解即可； （3）先求出顶点，，过点P作于H，则，根据四边形的面积为即可求解． (1) 小问详解： 解：根据题意 ， 解得： ， ∴抛物线的表达式：； ∴抛物线的对称轴为：； (2) 小问详解： 解：令，即， 根据题意：，即， 解得：； (3) 小问详解： 解：令， 解得：， ∴， 将代入，则， ∴， 过点P作于H，则， ∵， ∴， ∴四边形的面积为 ． 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一元二次方程，二次函数的性质，二次函数与面积问题，灵活运用数形结合的思想是解题的关键． 33．（25-26学年九上·海南保亭·期中）已知二次函数， （1）对称轴是__________； （2）在平面直角坐标系里画出它的图象． （3）当时，函数的取值范围是__________． 【答案】（1）直线     （2） 函数图象如下所示：      （3）      【分析】 本题主要考查了二次函数的性质，画二次函数的图象，求二次函数的函数值的取值范围，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把解析式化为顶点式即可得到答案； （2）先描点，再连线，画出对应的函数图象即可； （3）由解析式可得函数开口向上，则离对称轴越远函数值越大，据此结合顶点坐标并求出自变量的值为3时的函数值即可得到答案． (1) 小问详解： 解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线； (2) 小问详解： 解：列表如下： … 0 1 … … 0 0 … (3) 小问详解： 解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴离对称轴越远函数值越大， 当时， ∵， ∴当时，． 34．（25-26学年九上·海南保亭·期中）写出一个函数值有最大值，且最大值是2的二次函数解析式　　　　　　． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 根据函数值有最大值可得二次项系数小于0，再根据最大值是2利用二次函数顶点式即可求解． 【详解】 解：∵二次函数解析式函数值有最大值， ∴二次函数解析式二次项系数， 又最大值是2， ∴符合条件的二次函数解析式可以是：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】 本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和顶点式． 35．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位乐东黎族自治县六校联考·期中）已知二次函数（，为常数）的图象经过点，对称轴是直线． （1）求此二次函数的表达式． （2）求二次函数的最大值． （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）根据二次函数的对称轴可得的值，再将点代入可得的值，由此即可得； （2）将二次函数的解析式化成顶点式即可得； （3）先求出当时，；当时，；当时，，再结合二次函数的图象即可得． (1) 小问详解： 解：∵二次函数的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为， 将点代入二次函数得：， 解得， ∴此二次函数的表达式为． (2) 小问详解： 解：二次函数， ∵这个抛物线的开口向下，对称轴是直线， ∴当时，取得最大值，最大值为． (3) 小问详解： 解：对于二次函数， 当时，；当时，， 由二次函数的对称性可知，当时，， 画出函数的大致图象如下： ∵当时，二次函数的最大值与最小值的差为，且， ∴结合函数图象可知，． 36．（25-26学年九上·海南昌江县思源实验学校·期中）已知二次函数的图像经过点，和，点P是抛物线上的一个动点，且在直线的下方． （1）求该二次函数的解析式． （2）在二次函数的图像上是否存在一点P，使得以 B、C、P为顶点的三角形的面积最大？若存在，求出点P的坐标和三角形的最大面积；若不存在，请说明理由． （3）在平面内是否存在一点Q，使得以A、B、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）存在，，     （3）存在，，，      【分析】 本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形，四边形面积，平行四边形性质及应用，解题的关键是方程思想的应用． （1）设二次函数的解析式为，把，和代入计算即可； （2）设，过P作轴于点E，交直线于点F，求出直线解析式为，则，，再根据铅垂法得到，据此求面积最大值即可； （3）分别过三个顶点作对边的平行线，交点分别为，此时四边形，，是平行四边形，再利用平移求坐标即可． (1) 小问详解： 解：设二次函数的解析式为， 把，和代入得 ， 解得 ， ∴二次函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：∵点P在抛物线上， ∴可设， 过P作轴于点E，交直线于点F，如图： ∵和， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，最大值为，此时， ∴当时，最大值为； (3) 小问详解： 解：如图，分别过三个顶点作对边的平行线，交点分别为，此时四边形，，是平行四边形， ∵，和， ∴，点向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度得到； 当四边形是平行四边形时，，，可以看成点向左平移4个单位长度得到； 当四边形是平行四边形时，，，可以看成点向右平移4个单位长度得到； 当四边形是平行四边形时，，，点向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度得到，则点向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度得到； 综上所述，存在一点Q，使得以A、B、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标，，． 37．（25-26学年九上·海南北京师范大学万宁实验学校·期中）已知二次函数，（，为常数，且）， （1）如图，若此二次函数的图像经过点和点， ①求二次函数的解析式． ②抛物线对称轴上是否存在一点，使得有最小值，若存在，请求出的最小值与点的坐标，若不存在，说明理由． ③当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求的取值范围． （2）当时，已知点，，若二次函数的图像与线段只有1个交点，求的取值范围． 【答案】（1）①；② 存在一点，使得有最小值，最小值为，点的坐标为；③     （2）取值范围为或或      【分析】 本题考查二次函数的图像与性质、待定系数法求函数解析式和两点间的距离公式，正确求得函数解析式是解答的关键． （1）① 利用待定系数法求函数解析式即可；② 作点关于对称轴的对称点为，连接与的交点即为P，连接，设直线的解析式为，将和代入求解出解析式，进而即可求解；③ 根据二次函数的性质求解即可； （2）先求得当时，该二次函数的图像的对称轴为直线，顶点坐标为，与轴的交点为，分和时两种情况，利用二次函数的图像与性质分别求解即可． (1) 小问详解： 解：①此二次函数的图像经过点和点， ， 解得 ， 该二次函数的解析式为； ② 存在一点，使得有最小值， 由① 得，抛物线对称轴为， 如图，作点关于对称轴的对称点为，连接与的交点即为P，连接， 设直线的解析式为， 将和代入得 ， 解得 ， ∴直线的解析式为； 当时， ， ∴， ∴的最小值为的长度为； ③ 由题意得，， ∴二次函数的图像的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时， ， ， 当时，二次函数的最大值为，最小值为4， 由题意，， 解得； 当时，二次函数的最大值为8，最小值为4， ， 当时，二次函数的最大值为8，最小值为， 由题意，， 解得，（两个都不符合范围，舍去）； 综上，满足条件的的取值范围为； (2) 小问详解： 解：当时， ， 该二次函数的图像的对称轴为直线，顶点坐标为， 当时， ， ∴与轴的交点为， 当时， ， 当时，二次函数的图像的开口向上，且，， 若二次函数的图像与线段只有1个交点，则，解得； 当时，二次函数的图像的开口向下，且，， 当即时，该二次函数的图像与线段只有1个交点； 当即时， 若二次函数的图像与线段只有1个交点，则 ， 解得， ， ， 综上，满足条件的取值范围为或或． 38．（25-26学年九上·海南临高县思源实验学校·期中）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为 （1）求m的值及抛物线的顶点坐标． （2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标． （3）探究在抛物线上是否存在点M，使得的面积等于3？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），抛物线的顶点坐标为     （2）     （3）存在，点的坐标为或或或      【分析】 本题考查了二次函数与面积的综合问题，涉及轴对称的性质，待定系数法求函数解析式等知识点． （1）将点B的坐标代入抛物线解析式中，可求得m值，然后利用顶点坐标公式，求得抛物线的顶点坐标； （2）根据A、B关于抛物线的对称轴对称，连接，交抛物线于点P，则此时最小，然后利用待定系数法求出直线的解析式，从而求得点P坐标； （3）先求出长，设，由，得到，再解方程即可． (1) 小问详解： 解：把点代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， (2) 小问详解： 解：∵抛物线与x轴交于A，B两点， ∴点A、B关于抛物线的对称轴对称， 连接交抛物线对称轴于点P，如图，则此时的值最小， 将代入中，得， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为：， 把，代入，得 ， 解得： ， ∴直线的解析式为：， 将代入求得， ∴P点坐标为； (3) 小问详解： 解：存在， 对于，当时，则， 解得或， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， ∴或， 当时， 解得：， ∴或； 当时， 解得：， ∴或， 综上：存在点M，使得的面积等于3，点的坐标为或或或． 39．（25-26学年九上·海南临高县第二中学·期中）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为，且点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）点C为抛物线与y轴的交点； ①设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值． ②点P在抛物线上，且，求点P点坐标． 【答案】（1）     （2）①的最大值为；②或      【分析】 本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求解析式，二次函数的最值问题，利用数形结合思想解决问题是本题的关键． （1）利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）① 求出直线解析式为，设点，则点，根据二次函数的最值求法，可求的最大值； ② 由抛物线解析式求解的坐标，可求的面积，根据，可求点坐标． (1) 小问详解： 解：∵过点， ∴ ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：① ∵， ∴当时，， ∴点， 设直线解析式为， ∵直线过点，， ∴ ， 解得 ， ∴直线解析式为， 设点，如图， 则点， ， 当时，的最大值为． ② ∵抛物线为， ∴当，则， 解得：，， ∴，即， ∵点，点， ∴， ， 设， ， ， ， ， 或． 40．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位澄迈县·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为，与y轴交于点，作直线．动点P在x轴上运动，过点P作轴，交抛物线于点M，交直线于点N，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式： （2）当点P在线段上运动时，连接，求面积的最大值； （3）当时，抛物线的最大值为3，则          ． 【答案】（1）抛物线解析式为，直线解析式为     （2）     （3）m的值为3或      【分析】 本题主要考查了二次函数的图象和性质、求直线解析式、二次函数与面积综合等知识点，掌握分类讨论思想以及灵活运用二次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法，将已知点代入抛物线和直线的解析式中求解系数即可；  （2）先用m表示出，然后用含m的式子表示出的面积，再通过二次函数的性质即可求出最大值即可； （3）先将抛物线解析式化为顶点式，然后分情况讨论对称轴与给定区间的位置关系，从而确定最大值的情况，进而求出的m值． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为，与y轴交于点， 将点A，点C的坐标分别代入得： ， 解得： ， ∴抛物线解析式为， 当时，得：， 解得：， ∴B点坐标为， 设直线解析式为，将点B、点C的坐标分别代入得： ， 解得： ， ∴直线BC解析式为． (2) 小问详解： 解：∵轴，点P的横坐标为m， ∴， ∵P在线段上运动， ∴M点在N点上方， ∴， ∴， ∴当时，的面积有最大值，最大值为． (3) 小问详解： 解：抛物线，其对称轴为直线， ① 当，即时，在上，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值3， ∴， 解得或1（不合题意，舍去）； ② 当，即时，在上，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值3， ∴， 解得（不合题意，舍去）或； ③ 当，即时，当时，y有最大值，这种情况不存在； 综上所述，m的值为3或． 41．（25-26学年九上·海南中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B、C，抛物线经过B、C两点，并与x轴交于另一点A． （1）求该抛物线的函数关系式； （2）设是抛物线上的一个动点，过点P作直线轴于点M，交直线于点N． ①当时，直接写出n的取值范围； ②若点P在第一象限内，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； ③若是直角三角形，求m的值． 【答案】（1）     （2）①；②存在，；③m的值为或1或      【分析】 （1）根据直线解析式求出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式列式求解即可； （2）①开口方向向下，离对称轴越远y值越小，据此即可求解； ②根据抛物线解析式与直线解析式表示出点P、N的坐标，然后用含有m的式子表示出，整理并根据二次函数的最值问题解答； ③分类讨论，每个顶点为直角时，再构造三垂直相似，建立方程求解即可． (1) 小问详解： 解：当时，，当时，，解得， ∴点B、C的坐标分别为，， ∴ ，解得 ， ∴所求函数关系式为． (2) 小问详解： 解：① ∵对称轴为直线，且开口向下， ∴当时，为最小值； 当时，为最大值， ∴当时，； ② ∵点在抛物线上，且轴， ∴设点，则点， ∴， ∴当时，线段的长度的最大值为，此时点； ③当是直角时，如图，过P作轴交y轴于点G，过B作于点H， 则，，，， 由辅助线可知， ∴， ∴， ∴，即， 解得； 当时，如图， 同理可得， ∵， ∴，即， 解得（舍去）或； 当时，如图， 同理可得， ∵， ∴，即， 解得（舍去）或； 综上，m的值为或1或． 【点睛】 本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数点的坐标特征及最值问题、直角三角形的存在性问题等内容，构造三垂直相似是解决最后一问的关键． 考点05 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九上·海南昌江县思源实验学校·期中）已知二次函数与轴只有唯一的一个交点，则一元二次方程的根的情况是（     ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A 【分析】 本题考查了抛物线与轴的交点情况、根的判别式以及二次函数的性质，解题关键是牢记“当时，抛物线与轴有个交点；当时，抛物线与轴有个交点；当时，抛物线与轴没有交点”，根据抛物线与轴的交点情况的含义判断即可． 【详解】 解： ∵二次函数与轴只有唯一的一个交点， ∴一元二次方程有两个相等的实数根， 故选：A． 2．（25-26学年九上·海南屯昌·期中）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，由图象可知该抛物线与x轴的交点坐标是（       ） A. （﹣1，0）和（5，0） B. （1，0）和（5，0） C. （0，﹣1）和（0，5） D. （0，1）和（0，5） 【答案】A 【分析】 首先根据图像得出抛物线的对称轴和其中一个交点坐标，然后根据二次函数的对称性即可求得另一个交点坐标． 【详解】 解：由图像可得，抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点坐标为（5，0）， ∵抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）， 故选：A． 【点睛】 此题考查了二次函数与x轴的交点，二次函数的对称性，解题的关键是根据二次函数的对称性求出与x轴的另一个交点坐标． 3．（25-26学年九上·海南临高县思源实验学校·期中）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，根据已知的二次函数图象分析系数a，b，c的大小情况，结合抛物线对称轴，抛物线与x轴的交点等情况逐一分析判断选项即可． 【详解】 解：由图象可知，二次函数开口向下， ∴， ∵二次函数的对称轴在x的正半轴，且比1小， ∴， ∴， 又∵二次函数与y轴的交点在正半轴， ∴， A项：a，b，c有两正一负的情况，则，不符合题意； B项：当时，，由图象可知，当时，，则，不符合题意； C项：由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，则，不符合题意； D项：由抛物线对称轴可知，，则，符合题意， 故选：D． 4．（25-26学年九上·海南中学·期中）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A. 开口向下 B. 顶点坐标是 C. 与y轴交点是 D. 当时，y随x增大而增大 【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，由二次函数顶点式，分析a的符号判断开口方向，顶点坐标，与y轴交点求时的y值，以及对称轴两侧的增减性． 【详解】 解：∵二次函数为， ∴，开口向上，故A错误； 顶点坐标为，故B错误； 当时，，与y轴交点为，故C错误； ∵对称轴为，且， ∴当时，y随x增大而增大，故D正确， 故选：D． 5．（25-26学年九上·海南中学·期中）抛物线与x轴的交点有（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无法确定 【答案】B 【分析】 本题考查了抛物线与x轴交点情况，熟记抛物线与x轴交点情况与判别式的关系是解决问题的关键． 先求出方程的判别式，然后根据判别式与根的关系作出判断即可． 【详解】 解：关于x的方程的判别式为：， 则抛物线与x轴有一个交点． 故选：B． 6．（25-26学年九上·海南中学·期中）如图，抛物线与直线交于点，若，则x的取值范围为（　　） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解， 利用函数图象，写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】 解：根据函数图象，当或时，， 所以若，则x的取值范围为或． 故选：C． 7．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位乐东黎族自治县六校联考·期中）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，先根据对称性求出二次函数与x轴的另一个交点坐标为，再根据二次函数与x轴两个交点的横坐标即为二次函数对应的一元二次方程的两个解即可得到答案． 【详解】 解：由函数图象可知，二次函数的对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为， ∴二次函数与x轴的另一个交点坐标为， ∴关于的一元二次方程的解为， 故选：A． 8．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位澄迈县·期中）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系；理解函数与方程的联系是解题的关键． 由图知抛物线与x轴交于点，代入，求出m的值，再解方程即可． 【详解】 解：由图知，抛物线与x轴交于点， 将代入，得， ∴， ∴原方程为， 解得：； 故选：B． 9．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位澄迈县·期中）二次函数，当时，的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 画出二次函数的图象，根据图象即可求解． 【详解】 解：如图    由上图得： 当时， ， 故选：A． 【点睛】 本题考查了二次函数与不等式问题，画出图象，会利用图象解决问题是解题的关键． 10．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位澄迈县·期中）在估算关于的一元二次方程的解时，小明列表如下： … 2.1 2.2 2.4 2.5 2.6 … … 0.52 1 1.52 … 请判断其中一个解的大致范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了估算一元二次方程的近似解．结合表中的数据，根据代数式的值的变化趋势，即可进行解答． 【详解】 解：根据表格中的数据，可以发现：时，； 时，， 故一元二次方程的一个解x的范围是． 故选：B． 11．（25-26学年九上·海南临高县第二中学·期中）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（        ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 【答案】D 【分析】 根据抛物线与x轴的交点可判断① ；由对称轴可判断② ；根据及时的函数值可判断③ 和④ ． 【详解】 解：由图象知，抛物线与x轴有两个不同的交点， 即方程有两个不相等的实数根， ∴，故① 正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故② 错误； 由图象知当时，， 即，故③ 错误； 由图象知当时，， 即，故④ 正确． 故正确的有① ④ ． 12．（25-26学年九上·海南中学·期中）如图，抛物线与x轴的一个交点为，则一元二次方程的实数根是 　　　　　　　　　　　　　　　 ． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质． 先求抛物线的对称轴，再利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，然后根据抛物线与x轴的交点问题求解． 【详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴一元二次方程的实数根为． 故答案为：． 13．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位琼中黎族苗族自治县·期中）二次函数的图像与轴的交点坐标是　　　　　　　　　　　，与轴的交点坐标为　　　　． 【答案】① 、    ② 【分析】 根据题意得出，然后求出的值，即可以得到与轴的交点坐标；令，求出的值，即可求出抛物线与轴交点的坐标． 【详解】 解：由图象与轴相交，则，代入得：， 解得：，， 二次函数的图像与轴的交点坐标是、； 由图象与轴相交，则，代入得：， 二次函数的图像与轴的交点坐标是， 故答案为：、；． 【点睛】 本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的知识，正确把握二次函数图象上点的坐标特征是解题关键，此题难度不大． 14．（25-26学年九上·海南屯昌·期中）如图，二次函数和一次函数的图象，观察图象写出时，x的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查二次函数与一次函数的图象综合，解题的关键是熟练掌握二次函数与一次函数的图象；因此此题直接根据图象即可求解． 【详解】 解：由图象可得：当时，则x的取值范围是； 故答案为． 15．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位乐东黎族自治县六校联考·期中）已知二次函数． （1）求该二次函数的图象与轴交点的坐标； （2）求该函数图象的对称轴，并写出在什么范围内，随的增大而增大． 【答案】（1）     （2），当时，随的增大而增大      【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与轴的交点问题： （1）令，进行求解即可； （2）利用对称轴公式求出对称轴，利用增减性进行判断即可． (1) 小问详解： 解：令， 解得：， ∴二次函数的图象与轴交点的坐标为； (2) 小问详解： ∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大． 16．（25-26学年九上·海南北京师范大学万宁实验学校·期中）如图，函数的图象是由函数的图象轴上方部分保持不变，下方部分沿轴向上翻折而成．直线与该图象有　　　　　　　　　　　个交点；若图象与直线有四个交点，则的取值范围是　　　　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 本题考查了二次函数的性质，根据配方法得出顶点式，可得当时，函数的最大值为4，则直线与该图象有个交点，若图象与直线有四个交点，若图象与直线有四个交点，观察图象即可得的取值范围． 【详解】 解：∵函数的图象是由函数的图象轴上方部分保持不变， ∴当时，函数的最大值为4， ∴由函数图象可得直线与函数的图象有3个交点； 观察图象可得，当函数图象与直线有四个交点，则的取值范围是 故答案为：， 考点06 实际问题与二次函数 1．（25-26学年九上·海南临高县思源实验学校·期中）公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售1500个，9月份销售个，设7月份到9月份销售量的月增长率为，那么与的函数关系是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数的应用．设增长率为，根据“7月份销售1500个，9月份销售个”列得函数关系式即可求解． 【详解】 解：设增长率为， 根据题意得：， 故选：A． 2．（25-26学年九上·海南临高县思源实验学校·期中）抖音直播购物逐渐走进了人们的生活．为提高我县特产红富士苹果的影响力，某电商在抖音平台上对我县红富士苹果进行直播销售．已知苹果的成本价为6元/千克，如果按10元/千克销售，每天可售出160千克.通过调查发现，每千克苹果售价增加1元，日销售量减少20千克．若想通过涨价增加每日利润，设涨价后的售价为元，每日获得的利润为元. （1）涨价后每日销量将减少______件（用含的代数式表示）； （2）当售价为多少时，每日获的利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1）     （2）当售价为12元时，每日获的利润最大，最大利润为720元      【分析】 本题主要考查了二次函数的应用，二次函数最值，解题的关键是利用代数式表示其中的量，并会通过二次函数顶点解析式求出最值． （1）根据题意用含的代数式表示出每日销售量减少的件数即可； （2）根据题意列出关于的二次函数，并利用顶点解析式求出最值即可． (1) 小问详解： 解：设涨价后的售价为元，则每日销量减少：件， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：设每日获的利润为元， 由题意可得： ， 整理得：， ， 当时，最大，最大值为720， 当售价为12元时，每日获的利润最大，最大利润为720元． 3．（25-26学年九上·海南省直辖县级行政单位乐东黎族自治县六校联考·期中）根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10米/秒的速度竖直上抛（如图所示），那么物体离地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）的函数关系为：．根据上述规律，该物体落回地面所需要的时间t为　　　　　　秒． 【答案】2 【分析】 本题主要考查了二次函数的应用，将代入求解即可． 【详解】 解：当时，即 解得，（舍去） ∴该物体落回地面所需要的时间t为2秒． 故答案为：2． 4．（25-26学年九上·海南临高县·期中）在中考体育训练期间，小童对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系式为，由此可知小童此次实心球训练的成绩为　　　　　　　　　　　米． 【答案】9 【分析】 本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，小童此次实心球训练的成绩就是抛物线与x轴交点的横坐标，即当时，求x的值即可． 【详解】 解：当时，即， 解得：（舍去），， 所以小宇此次实心球训练的成绩为9米， 故答案为：9． 5．（25-26学年九上·海南临高县·期中）如图某农场要建一个矩形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长)，另外三边由长的栅栏围成．设矩形空地中，垂直于墙的边，面积为(如图)． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）若矩形空地的面积为，求的值． 【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查了列二次函数关系式，一元二次方程的应用． （1）根据矩形的面积公式计算即可； （2）构建方程即可解决问题，注意检验是否符合题意． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵墙长， ∴， 即， 解得， ∴与之间的函数关系式为，自变量的取值范围为． (2) 小问详解： 解：由题意：， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； ∴的值为． 6．（25-26学年九上·海南昌江县思源实验学校·期中）如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是　　　　　　　　　　平方米． 【答案】450 【分析】 本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，又墙长为40米，从而可得，故，又菜园的面积，进而结合二次函数的性质即可解答． 【详解】 解：由题意，设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米， 又墙长为40米， ∴． ∴． 菜园的面积， ∴当时，可围成的菜园的最大面积是450，即垂直于墙的边长为15米时，可围成的菜园的最大面积是450平方米． 故答案为：450． 7．（25-26学年九上·海南临高县思源实验学校·期中）某校为贯彻落实教育部《关于全面加强中小学生劳动教育的意见》，更好地培养学生的劳动兴趣和劳动技能，计划在校园开辟一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的长度为15m），用28m长的篱笆，围成一个如图所示的矩形菜地，供同学们进行劳动实践．    （1）若围成的菜地面积为，求此时AB的长． （2）当的长为多少时，围成的菜地面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）的长为10米     （2）当的长为7米时，围成的菜地面积最大，最大面积是98平方米      【分析】 （1）设的长为米，可得，即可解得答案； （2）设的长为米，围成的菜地面积是平方米，可得，根据二次函数性质可得答案． (1) 小问详解： 设的长为米，则米，根据题意得： ， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 的长为10米； (2) 小问详解： 设的长为米，围成的菜地面积是平方米， ， ， 时，取最大值98， 此时，符合题意； 当的长为7米时，围成的菜地面积最大，最大面积是98平方米． 【点睛】 本题考查一元二次方程，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式． 8．（25-26学年九上·海南临高县第二中学·期中）某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件.如果该商品的售价每上涨1元，就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数）时，月销售利润为y元. （1）求y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围. （2）当每件商品的售价定为多少元时，可获得的月利润最大？最大月利润是多少？ 【答案】（1）y==-10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）；（2）每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，最大月利润是1960元. 【分析】（1）销售利润=每件商品的利润×（180-10×上涨的钱数），根据每件售价不能高于35元，可得自变量的取值； （2）利用公式法结合（1）得到的函数解析式可得二次函数的最值，结合实际意义，求得整数解即可； 【详解】解：（1）y=（30-20+x）（180-10x）=-10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）； （2）由（1）知，y=-10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）． ∵-10＜0， ∴当x==4时，y最大=1960元； ∴每件商品的售价为34元． 答：每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，最大月利润是1960元. 【点睛】本题考查了二次函数的应用；得到月销售量是解决本题的突破点；注意结合自变量的取值求得相应的售价． 9．（25-26学年九上·海南北京师范大学万宁实验学校·期中）某公园有一个直径为16m的圆形喷水池，喷出的水柱呈抛物线形，且各方向喷出的水柱恰好落在水池内．如图，过喷水管口所在铅垂线每一个截面均可得到两条关于对称的抛物线，以喷水池中心为原点，喷水管口所在铅垂线为纵轴，建立平面直角坐标系．    （1）若喷出的水柱在距水池中心3m处达到最高，且高度为5m，求水柱所在抛物线（第一象限）的函数表达式； （2）王师傅在喷水池内维修设备时，喷水管意外喷水：为了不被淋湿，身高1.8m的王师傅站立时必须在水池中心多少米以内？ 【答案】（1）     （2）为了不被淋湿，身高1.8m的王师傅站立时必须在水池中心7m以内．      【分析】 （1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点，求出值即可； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当时的值，由此即可得出结论． (1) 小问详解： 解：设水柱所在抛物线（第一象限）的函数表达式为． 将代入，得，解得， 水柱所在抛物线（第一象限）的函数表达式为． (2) 小问详解： 解：当时，有， 解得， 为了不被淋湿，身高1.8m的王师傅站立时必须在水池中心7m以内． 【点睛】 本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．A 2．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的定义，注意：形如（a、b、c为常数，）的函数，叫做二次函数．根据二次函数的定义和已知条件得出且，再求出答案即可． 【详解】 解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得：， 故答案为：． 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．A 2．B 3．B 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．A 2．B 3．A 4．B 5．C 6．A 7．A 8．D 9．A 10．C 11．C 12．D 13．D 14．B 15．B 16．B 17．【答案】 【分析】 由平移的规律即可求得答案． 【详解】 解：将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线的函数解析式为，即 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查二次函数的图象变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”． 18．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图象的平移，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”． 根据二次函数图象的平移规律即可得． 【详解】 解：将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，所得的抛物线的解析式为， 即， 故答案为：． 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．B 2．D 3．D 4．A 5．C 6．B 7．B 8．D 9．B 10．C 11．C 12．D 13．D 14．D 15．C 16．D 17．D 18．C 19．D 20．C 21．【答案】 【分析】 本题考查二次函数的性质，把代入计算即可． 【详解】 解：把代入得， 故答案为：． 22．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的对称轴求法，解题的关键是掌握对称轴公式或利用配方法将函数化为顶点式（其中对称轴为直线）． 先确定抛物线对应的二次函数一般式中和的值，再代入对称轴公式计算；或通过配方法将一般式转化为顶点式，直接从顶点式中提取对称轴的表达式． 【详解】 解：对于抛物线， 其对应的二次函数为一般式，其中，，， 根据二次函数对称轴公式，将，代入得：． 故答案为：． 23．【答案】（1）     （2）8      【分析】 本题考查了求一次函数与二次函数的解析式，掌握两种函数的图象与性质是关键． （1）把点A的坐标代入一次函数式中求得b，进而得到一次函数解析式，再令，即可求得点C的坐标，设二次函数解析式为交点式，把点A的坐标代入，即可求解； （2）由题意知，由三角形面积公式即可求解． (1) 小问详解： 解：把点A的坐标代入一次函数式中，得， 即， 令，得， ∴， 设，把点A的坐标代入得：， ∴， ∴， 化为一般式为：； (2) 小问详解： 解：由题意知， ∴． 24．【答案】（1）     （2），     （3）存在，(4，2)      【分析】 （1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （2）根据二次函数解析式，利用二次函数的性质即可得出二次函数图象的顶点坐标，再代入即可得出点D的坐标； （3）根据两点之间线段最短，找出使得的周长最小的点C的位置，根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出直线的解析式，再代入即可求出点C的坐标． (1) 小问详解： 解：把，代入， 得 解得 ， ∴二次函数的解析式为 (2) 小问详解： 由，得二次函数图象的顶点坐标为． 令，得，解得，， ∴D点的坐标为； (3) 小问详解： 二次函数的对称轴上存在一点C，使得的周长最小． 连接，如图， ∵点C在二次函数的对称轴上， ，，的周长，根据“两点之间，线段最短”，可得当点A、C、B三点共线时，最小， 此时，由于是定值，因此的周长最小． 设直线的解析式为， 把，代入，得 ’解得 ∴直线的解析式为．当时，， ∴当二次函数的对称轴上点C的坐标为时，的周长最小． 【点睛】 本题考查了抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次函数的性质以及轴对称中的最短路径问题，解题的关键是：（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法求出二次函数的解析式；（2）根据二次函数的性质找出二次函数图象的顶点坐标；（3）利用两点之间线段最短确定点C的位置． 25．【答案】（1）     （2）点P的坐标为      【分析】 本题主要考查了求二次函数解析式和三角形面积问题等知识点，正确利用待定系数法求表达式是解答本题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）首先求出，然后根据得到，代数求出，然后代入求出，进而求解即可． (1) 小问详解： 解：将点和点代入， 得 ，解得 ． ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴； ∵， ∴，即， ∴； 将代入得，， 解得或； ∵P为第二象限内抛物线上一点， ∴， ∴点P的坐标为． 26．【答案】 【分析】 本题考查了求二次函数解析式，掌握待定系数法是解题关键．根据抛物线的顶点设解析式，再将点代入求出，即可得解． 【详解】 解：抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 抛物线与y轴的交点为， ， 解得， 抛物线的解析式为． 27．【答案】 【分析】 此题考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 根据二次函数与x轴的两个交点是关于对称轴对称的两点结合对称轴公式，进行求解即可． 【详解】 抛物线经过点，， ∴， 则． 故答案为：． 28．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数的对称性，根据两点的纵坐标相同可知两点关于对称轴对称，据此即可求出答案，熟练掌握利用二次函数的对称性求解函数的对称轴是解题的关键． 【详解】 解：∵抛物线经过和两点， ∴两点的纵坐标相同， ∴该抛物线的对称轴为直线， 故答案为：． 29．【答案】（1）抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为；     （2）      【分析】 本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是会由二次函数的顶点式得知二次函数的性质． （1）用配方法将表达式化为顶点式即可； （2）利用开口方向和对称轴及自变量的取值即可求得的取值范围． (1) 小问详解： 解： ； ， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； (2) 小问详解： ，， 抛物线开口向上，顶点坐标为， 时函数最小值为， ∵ ∴的取值上界由处的函数值决定， 将代入得， 当时，的取值范围． 30．【答案】（1）     （2）点P的坐标为或；     （3）的周长最小为，点的坐标为      【分析】 （1）将两点代入求得a、b的值即可解答； （2）先求出，设点P的纵坐标为，再列绝对值方程可求得；然后再分和两种情况求解即可； （3）先确定抛物线的对称轴为，连接交直线于点，易得，则此时的周长最小，据此求解即可． (1) 小问详解： 解：将两点代入可得： ，解得： ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：∵抛物线经过两点， ∴， 设点P的纵坐标为m， ∵， ∴，即，解得：； 当，有，解得：或4； ∴点P的坐标为或； 当，有，即， ∵， ∴方程无解． 综上，点P的坐标为或； (3) 小问详解： 解：∵抛物线经过两点， ∴两点关于对称轴直线对称， 令，则， ∴， 连接交直线于点， ∴， ∴周长为，此时的周长最小， ∵，，， ∴， ∴的周长最小为； 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 令，可得，即点； 综上，的周长最小为，点的坐标为． 31．【答案】（1）对称轴，顶点坐标     （2）与轴交点坐标和     （3）当时，随的增大而增大      【分析】 本题考查二次函数图象与性质，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． （1）将二次函数化为顶点式即可得到答案； （2）根据二次函数与轴的交点坐标的特征，令时，解方程即可得到答案； （3）根据二次函数图象与性质判断即可得到答案． (1) 小问详解： 解： ， 该二次函数对称轴，顶点坐标； (2) 小问详解： 解：轴上的点的纵坐标为， 当时，， 即， 解得或， 该二次函数与轴交点坐标和； (3) 小问详解： 解：二次函数中，开口向上，对称轴为， 当时，随的增大而增大． 32．【答案】（1）抛物线的表达式：；对称轴为：     （2）     （3）      【分析】 （1）利用待定系数法即可求解抛物线的解析式，进而求出对称； （2）令，利用一元二次方程根的判别式建立不等式求解即可； （3）先求出顶点，，过点P作于H，则，根据四边形的面积为即可求解． (1) 小问详解： 解：根据题意 ， 解得： ， ∴抛物线的表达式：； ∴抛物线的对称轴为：； (2) 小问详解： 解：令，即， 根据题意：，即， 解得：； (3) 小问详解： 解：令， 解得：， ∴， 将代入，则， ∴， 过点P作于H，则， ∵， ∴， ∴四边形的面积为 ． 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一元二次方程，二次函数的性质，二次函数与面积问题，灵活运用数形结合的思想是解题的关键． 33．【答案】（1）直线     （2） 函数图象如下所示：      （3）      【分析】 本题主要考查了二次函数的性质，画二次函数的图象，求二次函数的函数值的取值范围，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把解析式化为顶点式即可得到答案； （2）先描点，再连线，画出对应的函数图象即可； （3）由解析式可得函数开口向上，则离对称轴越远函数值越大，据此结合顶点坐标并求出自变量的值为3时的函数值即可得到答案． (1) 小问详解： 解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线； (2) 小问详解： 解：列表如下： … 0 1 … … 0 0 … (3) 小问详解： 解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴离对称轴越远函数值越大， 当时， ∵， ∴当时，． 34．【答案】（答案不唯一） 【分析】 根据函数值有最大值可得二次项系数小于0，再根据最大值是2利用二次函数顶点式即可求解． 【详解】 解：∵二次函数解析式函数值有最大值， ∴二次函数解析式二次项系数， 又最大值是2， ∴符合条件的二次函数解析式可以是：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】 本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和顶点式． 35．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）根据二次函数的对称轴可得的值，再将点代入可得的值，由此即可得； （2）将二次函数的解析式化成顶点式即可得； （3）先求出当时，；当时，；当时，，再结合二次函数的图象即可得． (1) 小问详解： 解：∵二次函数的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为， 将点代入二次函数得：， 解得， ∴此二次函数的表达式为． (2) 小问详解： 解：二次函数， ∵这个抛物线的开口向下，对称轴是直线， ∴当时，取得最大值，最大值为． (3) 小问详解： 解：对于二次函数， 当时，；当时，， 由二次函数的对称性可知，当时，， 画出函数的大致图象如下： ∵当时，二次函数的最大值与最小值的差为，且， ∴结合函数图象可知，． 36．【答案】（1）     （2）存在，，     （3）存在，，，      【分析】 本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形，四边形面积，平行四边形性质及应用，解题的关键是方程思想的应用． （1）设二次函数的解析式为，把，和代入计算即可； （2）设，过P作轴于点E，交直线于点F，求出直线解析式为，则，，再根据铅垂法得到，据此求面积最大值即可； （3）分别过三个顶点作对边的平行线，交点分别为，此时四边形，，是平行四边形，再利用平移求坐标即可． (1) 小问详解： 解：设二次函数的解析式为， 把，和代入得 ， 解得 ， ∴二次函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：∵点P在抛物线上， ∴可设， 过P作轴于点E，交直线于点F，如图： ∵和， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，最大值为，此时， ∴当时，最大值为； (3) 小问详解： 解：如图，分别过三个顶点作对边的平行线，交点分别为，此时四边形，，是平行四边形， ∵，和， ∴，点向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度得到； 当四边形是平行四边形时，，，可以看成点向左平移4个单位长度得到； 当四边形是平行四边形时，，，可以看成点向右平移4个单位长度得到； 当四边形是平行四边形时，，，点向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度得到，则点向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度得到； 综上所述，存在一点Q，使得以A、B、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标，，． 37．【答案】（1）①；② 存在一点，使得有最小值，最小值为，点的坐标为；③     （2）取值范围为或或      【分析】 本题考查二次函数的图像与性质、待定系数法求函数解析式和两点间的距离公式，正确求得函数解析式是解答的关键． （1）① 利用待定系数法求函数解析式即可；② 作点关于对称轴的对称点为，连接与的交点即为P，连接，设直线的解析式为，将和代入求解出解析式，进而即可求解；③ 根据二次函数的性质求解即可； （2）先求得当时，该二次函数的图像的对称轴为直线，顶点坐标为，与轴的交点为，分和时两种情况，利用二次函数的图像与性质分别求解即可． (1) 小问详解： 解：①此二次函数的图像经过点和点， ， 解得 ， 该二次函数的解析式为； ② 存在一点，使得有最小值， 由① 得，抛物线对称轴为， 如图，作点关于对称轴的对称点为，连接与的交点即为P，连接， 设直线的解析式为， 将和代入得 ， 解得 ， ∴直线的解析式为； 当时， ， ∴， ∴的最小值为的长度为； ③ 由题意得，， ∴二次函数的图像的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时， ， ， 当时，二次函数的最大值为，最小值为4， 由题意，， 解得； 当时，二次函数的最大值为8，最小值为4， ， 当时，二次函数的最大值为8，最小值为， 由题意，， 解得，（两个都不符合范围，舍去）； 综上，满足条件的的取值范围为； (2) 小问详解： 解：当时， ， 该二次函数的图像的对称轴为直线，顶点坐标为， 当时， ， ∴与轴的交点为， 当时， ， 当时，二次函数的图像的开口向上，且，， 若二次函数的图像与线段只有1个交点，则，解得； 当时，二次函数的图像的开口向下，且，， 当即时，该二次函数的图像与线段只有1个交点； 当即时， 若二次函数的图像与线段只有1个交点，则 ， 解得， ， ， 综上，满足条件的取值范围为或或． 38．【答案】（1），抛物线的顶点坐标为     （2）     （3）存在，点的坐标为或或或      【分析】 本题考查了二次函数与面积的综合问题，涉及轴对称的性质，待定系数法求函数解析式等知识点． （1）将点B的坐标代入抛物线解析式中，可求得m值，然后利用顶点坐标公式，求得抛物线的顶点坐标； （2）根据A、B关于抛物线的对称轴对称，连接，交抛物线于点P，则此时最小，然后利用待定系数法求出直线的解析式，从而求得点P坐标； （3）先求出长，设，由，得到，再解方程即可． (1) 小问详解： 解：把点代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， (2) 小问详解： 解：∵抛物线与x轴交于A，B两点， ∴点A、B关于抛物线的对称轴对称， 连接交抛物线对称轴于点P，如图，则此时的值最小， 将代入中，得， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为：， 把，代入，得 ， 解得： ， ∴直线的解析式为：， 将代入求得， ∴P点坐标为； (3) 小问详解： 解：存在， 对于，当时，则， 解得或， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， ∴或， 当时， 解得：， ∴或； 当时， 解得：， ∴或， 综上：存在点M，使得的面积等于3，点的坐标为或或或． 39．【答案】（1）     （2）①的最大值为；②或      【分析】 本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求解析式，二次函数的最值问题，利用数形结合思想解决问题是本题的关键． （1）利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）① 求出直线解析式为，设点，则点，根据二次函数的最值求法，可求的最大值； ② 由抛物线解析式求解的坐标，可求的面积，根据，可求点坐标． (1) 小问详解： 解：∵过点， ∴ ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：① ∵， ∴当时，， ∴点， 设直线解析式为， ∵直线过点，， ∴ ， 解得 ， ∴直线解析式为， 设点，如图， 则点， ， 当时，的最大值为． ② ∵抛物线为， ∴当，则， 解得：，， ∴，即， ∵点，点， ∴， ， 设， ， ， ， ， 或． 40．【答案】（1）抛物线解析式为，直线解析式为     （2）     （3）m的值为3或      【分析】 本题主要考查了二次函数的图象和性质、求直线解析式、二次函数与面积综合等知识点，掌握分类讨论思想以及灵活运用二次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法，将已知点代入抛物线和直线的解析式中求解系数即可；  （2）先用m表示出，然后用含m的式子表示出的面积，再通过二次函数的性质即可求出最大值即可； （3）先将抛物线解析式化为顶点式，然后分情况讨论对称轴与给定区间的位置关系，从而确定最大值的情况，进而求出的m值． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为，与y轴交于点， 将点A，点C的坐标分别代入得： ， 解得： ， ∴抛物线解析式为， 当时，得：， 解得：， ∴B点坐标为， 设直线解析式为，将点B、点C的坐标分别代入得： ， 解得： ， ∴直线BC解析式为． (2) 小问详解： 解：∵轴，点P的横坐标为m， ∴， ∵P在线段上运动， ∴M点在N点上方， ∴， ∴， ∴当时，的面积有最大值，最大值为． (3) 小问详解： 解：抛物线，其对称轴为直线， ① 当，即时，在上，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值3， ∴， 解得或1（不合题意，舍去）； ② 当，即时，在上，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值3， ∴， 解得（不合题意，舍去）或； ③ 当，即时，当时，y有最大值，这种情况不存在； 综上所述，m的值为3或． 41．【答案】（1）     （2）①；②存在，；③m的值为或1或      【分析】 （1）根据直线解析式求出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式列式求解即可； （2）①开口方向向下，离对称轴越远y值越小，据此即可求解； ②根据抛物线解析式与直线解析式表示出点P、N的坐标，然后用含有m的式子表示出，整理并根据二次函数的最值问题解答； ③分类讨论，每个顶点为直角时，再构造三垂直相似，建立方程求解即可． (1) 小问详解： 解：当时，，当时，，解得， ∴点B、C的坐标分别为，， ∴ ，解得 ， ∴所求函数关系式为． (2) 小问详解： 解：① ∵对称轴为直线，且开口向下， ∴当时，为最小值； 当时，为最大值， ∴当时，； ② ∵点在抛物线上，且轴， ∴设点，则点， ∴， ∴当时，线段的长度的最大值为，此时点； ③当是直角时，如图，过P作轴交y轴于点G，过B作于点H， 则，，，， 由辅助线可知， ∴， ∴， ∴，即， 解得； 当时，如图， 同理可得， ∵， ∴，即， 解得（舍去）或； 当时，如图， 同理可得， ∵， ∴，即， 解得（舍去）或； 综上，m的值为或1或． 【点睛】 本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数点的坐标特征及最值问题、直角三角形的存在性问题等内容，构造三垂直相似是解决最后一问的关键． 考点05 二次函数与一元二次方程 1．A 2．A 3．D 4．D 5．B 6．C 7．A 8．B 9．A 10．B 11．D 12．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质． 先求抛物线的对称轴，再利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，然后根据抛物线与x轴的交点问题求解． 【详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴一元二次方程的实数根为． 故答案为：． 13．【答案】① 、    ② 【分析】 根据题意得出，然后求出的值，即可以得到与轴的交点坐标；令，求出的值，即可求出抛物线与轴交点的坐标． 【详解】 解：由图象与轴相交，则，代入得：， 解得：，， 二次函数的图像与轴的交点坐标是、； 由图象与轴相交，则，代入得：， 二次函数的图像与轴的交点坐标是， 故答案为：、；． 【点睛】 本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的知识，正确把握二次函数图象上点的坐标特征是解题关键，此题难度不大． 14．【答案】 【分析】 本题主要考查二次函数与一次函数的图象综合，解题的关键是熟练掌握二次函数与一次函数的图象；因此此题直接根据图象即可求解． 【详解】 解：由图象可得：当时，则x的取值范围是； 故答案为． 15．【答案】（1）     （2），当时，随的增大而增大      【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与轴的交点问题： （1）令，进行求解即可； （2）利用对称轴公式求出对称轴，利用增减性进行判断即可． (1) 小问详解： 解：令， 解得：， ∴二次函数的图象与轴交点的坐标为； (2) 小问详解： ∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大． 16．【答案】①     ② 【分析】 本题考查了二次函数的性质，根据配方法得出顶点式，可得当时，函数的最大值为4，则直线与该图象有个交点，若图象与直线有四个交点，若图象与直线有四个交点，观察图象即可得的取值范围． 【详解】 解：∵函数的图象是由函数的图象轴上方部分保持不变， ∴当时，函数的最大值为4， ∴由函数图象可得直线与函数的图象有3个交点； 观察图象可得，当函数图象与直线有四个交点，则的取值范围是 故答案为：， 考点06 实际问题与二次函数 1．A 2．【答案】（1）     （2）当售价为12元时，每日获的利润最大，最大利润为720元      【分析】 本题主要考查了二次函数的应用，二次函数最值，解题的关键是利用代数式表示其中的量，并会通过二次函数顶点解析式求出最值． （1）根据题意用含的代数式表示出每日销售量减少的件数即可； （2）根据题意列出关于的二次函数，并利用顶点解析式求出最值即可． (1) 小问详解： 解：设涨价后的售价为元，则每日销量减少：件， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：设每日获的利润为元， 由题意可得： ， 整理得：， ， 当时，最大，最大值为720， 当售价为12元时，每日获的利润最大，最大利润为720元． 3．【答案】2 【分析】 本题主要考查了二次函数的应用，将代入求解即可． 【详解】 解：当时，即 解得，（舍去） ∴该物体落回地面所需要的时间t为2秒． 故答案为：2． 4．【答案】9 【分析】 本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，小童此次实心球训练的成绩就是抛物线与x轴交点的横坐标，即当时，求x的值即可． 【详解】 解：当时，即， 解得：（舍去），， 所以小宇此次实心球训练的成绩为9米， 故答案为：9． 5．【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查了列二次函数关系式，一元二次方程的应用． （1）根据矩形的面积公式计算即可； （2）构建方程即可解决问题，注意检验是否符合题意． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵墙长， ∴， 即， 解得， ∴与之间的函数关系式为，自变量的取值范围为． (2) 小问详解： 解：由题意：， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； ∴的值为． 6．【答案】450 【分析】 本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，又墙长为40米，从而可得，故，又菜园的面积，进而结合二次函数的性质即可解答． 【详解】 解：由题意，设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米， 又墙长为40米， ∴． ∴． 菜园的面积， ∴当时，可围成的菜园的最大面积是450，即垂直于墙的边长为15米时，可围成的菜园的最大面积是450平方米． 故答案为：450． 7．【答案】（1）的长为10米     （2）当的长为7米时，围成的菜地面积最大，最大面积是98平方米      【分析】 （1）设的长为米，可得，即可解得答案； （2）设的长为米，围成的菜地面积是平方米，可得，根据二次函数性质可得答案． (1) 小问详解： 设的长为米，则米，根据题意得： ， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 的长为10米； (2) 小问详解： 设的长为米，围成的菜地面积是平方米， ， ， 时，取最大值98， 此时，符合题意； 当的长为7米时，围成的菜地面积最大，最大面积是98平方米． 【点睛】 本题考查一元二次方程，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式． 8．【答案】（1）y==-10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）；（2）每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，最大月利润是1960元. 【分析】（1）销售利润=每件商品的利润×（180-10×上涨的钱数），根据每件售价不能高于35元，可得自变量的取值； （2）利用公式法结合（1）得到的函数解析式可得二次函数的最值，结合实际意义，求得整数解即可； 【详解】解：（1）y=（30-20+x）（180-10x）=-10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）； （2）由（1）知，y=-10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）． ∵-10＜0， ∴当x==4时，y最大=1960元； ∴每件商品的售价为34元． 答：每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，最大月利润是1960元. 【点睛】本题考查了二次函数的应用；得到月销售量是解决本题的突破点；注意结合自变量的取值求得相应的售价． 9．【答案】（1）     （2）为了不被淋湿，身高1.8m的王师傅站立时必须在水池中心7m以内．      【分析】 （1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点，求出值即可； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当时的值，由此即可得出结论． (1) 小问详解： 解：设水柱所在抛物线（第一象限）的函数表达式为． 将代入，得，解得， 水柱所在抛物线（第一象限）的函数表达式为． (2) 小问详解： 解：当时，有， 解得， 为了不被淋湿，身高1.8m的王师傅站立时必须在水池中心7m以内． 【点睛】 本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $