精品解析：重庆市第八中学校2026-2027学年九年级 上学期数学第一次学情自测试卷

数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的相反数是（　　） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相反数的性质，互为相反数的两个数的和为0即可求解． 【详解】解：因为-+＝0， 所以-的相反数是． 故选：D． 【点睛】本题考查求一个数的相反数，掌握相反数的性质是解题关键． 2. 在2026年第一季度，重庆市全市蔬菜（不含食用菌）的产量约为7530000吨，增长率达，7530000用科学记数法表示为（　 ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：7530000用科学记数法表示为． 3. 如图的几何体由7个相同的小正方体搭成，从正面看到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查从不同方向看几何体，根据从正面看所得到的图形判断即可． 【详解】解：从正面看，得到的图形有两层，其中底层有四个小正方形，上层的靠左的第二列有1个小正方形，因此选项A中的图形比较符合题意， 故选：A． 4. 如图，勘测队要测量，两地之间的距离，但两地被池塘隔开．于是勘测队在外选一点，连接，，点，分别是线段，的中点，现测得，则，两地之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断为中位线，再根据三角形的中位线等于第三边的一半即可求解． 【详解】解：中，点，分别是线段，的中点， 为的中位线， ∴， ． 5. 下列事件中，为必然事件的是（ ） A. 明天会下雨 B. 钝角比直角大 C. 过马路时，有消防车驶过 D. 明天早上的太阳从西边升起 【答案】B 【解析】 【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，难度适中．随机事件就是可能发生也可能不发生的事件，依据定义即可判断． 【详解】解：A、明天会下雨是随机事件，不符合题意； B、钝角比直角大是必然事件，符合题意； C、过马路时，有消防车驶过是随机事件，不符合题意； D、明天早上的太阳从西边升起是不可能事件，不符合题意． 6. 若点与点关于轴对称，则的值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. -3 【答案】C 【解析】 【分析】若两点关于x轴对称，则其横坐标不变，纵坐标互为相反数，由此则可求得结果． 【详解】解：由题意得：，， ∴． 7. 我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则差4钱．问人数，物价各是多少？ 若设共有人，物价是钱，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据每人出 8 钱，则多出 3 钱；每人出 7 钱，则差 4 钱，列出方程组即可． 【详解】解：设共有 人，物价是 钱，由题意，得： ； 故选B． 8. 如图，先作一个黑色正三角形，挖去1个“中心三角形”（即以黑色正三角形各边中点为顶点的三角形），再在剩下的每个小黑色正三角形中又挖去1个“中心三角形”，以此类推．第①个图中有1个黑色正三角形；第②个图中有3个黑色正三角形；第③个图中有9个黑色正三角形．以此规律，第⑥个图中黑色正三角形的个数有（ ） A. 81 B. 243 C. 351 D. 702 【答案】B 【解析】 【分析】根据给出的图形，推出规律进行求解即可. 【详解】解：第①个图中有个黑色正三角形； 第②个图中有个黑色正三角形； 第③个图中有个黑色正三角形， ， 故第个图中有个黑色正三角形， ∴第⑥个图中黑色正三角形的个数有个． 9. 如图所示，在正方形中，点是边上靠近点的三等分点，将正方形沿翻折，点落在点处，连接并延长交的延长线于点，且与交于点，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到，，，设，，根据折叠的性质得到，，根据等边对等角得到，进而求出，作交于点M，证明，得到，根据勾股定理求出，进而得到，可知，根据三角形内角和及等角对等边得到，进而求出，，证明，求出，求出，即可求出与的面积之比． 【详解】解：∵正方形， ∴，，， 设，， ∴，， ∵将正方形沿翻折，点落在点处， ∴，， ∴， ∴， ∴， 如图，作交于点M， ∵，， ∴， ∴， ∵，点是边上靠近点的三等分点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10. 已知整式：，其中，为正整数，，，…，，均为整数，且，下列说法正确的个数是（ ） ①当时，满足条件的整式有12个； ②当时，若函数的图象关于轴对称，则满足条件的整式有5个； ③当时，满足条件的所有整式中，当取任意实数时其值一定为非负数的整式共有8个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】当时，，根据为正整数，讨论的值，确定的值，即可判断①；当时，则；根据题意可得函数的对称轴为轴，则可求出，根据为正整数，讨论的值，确定的值，即可判断②；当时，则；∵函数的图象开口向上，则当函数的值为非负数时，一定满足该函数与x轴没有交点或顶点在x轴上，故，据此讨论的值，确定，的值即可判断③． 【详解】解：①当时，则， ∴， ∵为正整数， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，满足条件的整式有11个，原说法错误； ②当时，则， ∴； ∵， ∴， ∵函数的图象关于轴对称， ∴函数的对称轴为轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴满足条件的整式有5个，原说法正确； ③当时，则， ∴； ∵为正整数， ∴函数的图象开口向上， ∴当函数的值为非负数时，一定满足该函数与x轴没有交点或顶点在x轴上， ∴， 当时，则，且， ∴此时或或，此时有5个整式符合题意； 当时，则，且， ∴此时或或，此时有5个整式符合题意； 当时，则，且， ∴此时或，此时有3个整式符合题意； 当时，则，且， ∴此时，此时有1个整式符合题意； 当时，则，且， ∴此时，此时有1个整式符合题意； 综上所述，一共有个整式符合题意，原说法错误； 综上所述，说法正确的只有②，共1个． 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 中国象棋是起源于中国的传统棋类益智游戏，共有32枚棋子，其中马有4枚，将所有棋子背面朝上打乱，从中随机抽取一枚棋子，抽到马的概率为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：抽到马的概率为． 12. 如图，已知直线，将一块含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，若，则________． 【答案】##36度 【解析】 【分析】根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 13. 满足的整数的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】先化简二次根式的乘积，再确定所得无理数的范围，即可求出整数n． 【详解】解：，，，， ， 又，为整数， ． 14. 若关于的一元二次方程的两个根为和，则的值为________． 【答案】13 【解析】 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个根为和， ∴，， ∴ ． 15. 一个两位数x，其十位与个位数字之和为8，且个位上的数字不为零，交换x十位与个位上的数字得到的数与4作差得到一个两位数y，两位数x的中间多了一个1得到一个三位数z．当时，x的值为________；当（k与m都为正整数，且）时，满足条件的所有x的和为________． 【答案】 ①. 17 ②. 123 【解析】 【分析】先根据题意设，由题设可得a的取值范围是，从而得到x的式子，同理分别列出y和z的式子，由列出含a的一元一次方程，求得a的值后从而得到x的值；设，由此前求得a的取值范围结合k与m都为正整数，且，分情况进行讨论，得出符合条件的x，最后将满足条件的所有x进行相加即可得出结果． 【详解】解：∵两位数x，其十位和个位数字之和为8， ∴设， ∵个位上的数字不为零， ∴a的取值范围是， ∴， ∵交换x十位与个位上的数字得到的数与4作差得到一个两位数y， ∴设，则， ∵两位数x的中间多了一个1得到一个三位数z， ∴设， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴x的值为17； 设， ∵k与m都为正整数，且， 此时分情况讨论： ①当时，，则k与m均不满足条件，舍去； ②当时，，k与m满足条件，此时x为26； ③当时，，k与m满足条件，此时x为35； ④当时，，则m不满足条件，舍去； ⑤当时，，则m不满足条件，舍去； ⑥当时，，k与m满足条件，此时x为62； ⑦当时，，则m不满足条件，舍去， ∴满足条件的x有26，35，62， ∴所有x的和为． 16. 如图，，是矩形的对角线上的两点，，连接并延长交于点，连接，，，设，，则________（用含和的代数式表示）；若，，则________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可； ②根据矩形的性质和勾股定理求得，则，证明求得，，进而求得；过F作，分别交、于M、N， 设，证明求得，，利用勾股定理，结合列方程求得，进而求得，即可解答． 【详解】解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴； 过F作，分别交、于M、N， 则四边形是矩形， ∴，，， 设， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，则， 在中，， 在中，， ∵，即 ∴， 解得， ∴， ∴． 三、解答题：（本大题共9小题，第17题、第18题各8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【详解】解：解不等式①得， 解不等式②得， 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 所以原不等式组的解集为． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解：原式， ， ∴当时，原式. 19. 某校为落实劳动教育，开展了“劳动知识知多少”答题竞赛活动．现从该校八、九年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩均不低于60分）进行整理分析，得分用表示，共分为4组，A：，B：，C：，D：．下面给出部分信息： 八年级抽取的20名学生在C组中竞赛成绩是：82，84，84，86，86，86，88 九年级抽取的20名学生的竞赛成绩是：65，67，70，71，72，75，78，80，81，83，84，85，87，87，87，88，90，94，96，100 两个年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 八年级 82 86 九年级 82 83.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出扇形统计图中、八年级抽取学生的竞赛成绩的中位数以及九年级抽取的学生竞赛成绩的众数的值； （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级此次竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级共有学生500人，九年级共有学生450人，请估计该校八、九年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少？ 【答案】（1）m的值为30，中位数a的值为85，众数b的值为87 （2）八年级竞赛成绩更好，理由如下：八年级抽取学生的竞赛成绩中位数85大于九年级抽取学生的竞赛成绩中位数83.5，则八年级竞赛成绩总体水平高于九年级． （3）240人 【解析】 【分析】（1）先求出八年级中C占比，再由扇形统计图求解，然后根据中位数和众数的定义求解即可； （2）根据中位数分析即可； （3）用样本估计总体的方法求解即可． 【小问1详解】 解：八年级中C占比为， 故, 故； 共20个数据，则中位数是第10，11个数据的平均数， A组有数据个，B组有数据个，而C组有7个， 故第10，11个数据在C组，是84，86， 故中位数； 九年级数据中87出现的次数最多，故众数； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人） 答：该校八、九年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是240人． 20. 在学习矩形之后，某同学想要利用矩形的性质对图形中的角度大小进行探究 【动手操作】 在矩形中，连接对角线，取线段中点，连接，用尺规完成基本作图：过点作的垂线交于点． 【问题提出】 当时，的度数是多少？ 【问题解决】 任务： （1）请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； （2）请你帮该同学求出的大小，并写出推理过程． 【答案】（1） （2），推理如下： ∵四边形为矩形， ， ，且， ， ， ， 在中，且， ， 又∵在中，为中点， ∴， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据垂线的作法画图即可； （2）根据矩形的性质和可求出，进而推出，再利用直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半和等边对等角的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时生产零件的个数比乙每小时生产零件的个数的2倍少10个，甲生产1500个零件和乙生产900个零件的时间相等． （1）求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ （2）由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件个数比原来增长了，乙每小时生产的零件个数比原来多个，甲、乙两人同时工作小时共生产1350个零件，求的值． 【答案】（1）甲每小时生产50个零件，乙每小时生产30个零件 （2）10 【解析】 【分析】（1）设乙每小时生产个零件，根据甲生产1500个零件和乙生产900个零件的时间相等列方程求解即可； （2）根据已知信息列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设乙每小时生产个零件， 由题意得， 解得， 检验：当时，，符合题意， ∴甲每小时生产的零件为（个）， 答：甲每小时生产50个零件，乙每小时生产30个零件； 【小问2详解】 解：由题意得， 解得，（舍去）， 答：的值为10． 22. 如图，在中，，，．动点从点出发以每秒1个单位的速度沿运动，同时，动点以相同的速度从点出发沿射线运动．设运动时间为秒（），的面积为，且． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并分别写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并结合函数图象，直接写出当时，的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）， （2）解：函数，的图象如图所示： ， 由图可知，当时，或. 【解析】 【分析】（1）分点在上和点在上两种情况求出，根据，求出即可； （2）描点，连线，画出函数图象，根据图象确定不等式的解集即可. 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∵动点从点出发以每秒1个单位的速度沿运动， ∴点运动到点所用时间为秒， 当点在上时，即，， ∴， ∴； 当点在上时，即，则， ∴， ∴； 综上：； 由题意，， ∴； 【小问2详解】 略 23. 项目式学习： 项目背景：甲、乙两人周末去景区游玩，调查公园景点位置与路线，测算景点间的相关数据，形成如下报告． 项目主题 景区的调查与测算 驱动任务 调查各景点的方位与距离，比较不同游览路线的远近 活动过程 调查 图示 ，，，，分别是某公园五个景点，景点在景点的正北方向，景点在景点的西北方向且在景点的北偏西75°方向，景点在景点的正西方向，景点在景点的正南方向．经测量，，两景点间的距离为100米，到直线的距离为100米． 活动反思 结合方位角，解直角三角形的知识，解决实际游览路线问题 测算： （1）求景点和景点之间的距离（结果保留根号）； （2）甲、乙以相同的速度从景点出发去景点，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：，且乙在段上用时是段的2倍，请计算说明谁选择的路线较近？（结果保留整数，参考数据：，，） 【答案】（1） （2）解：设，， 在中，， ， ， （舍）， 甲：， 乙：， ， ∴乙选择的路线更近． 【解析】 【分析】（1）过点作交于点，延长，相交于点，在中，求出的长，设，在中，求出，在中，求出，根据，列出方程求出的值，即可得出结果； （2）设，，在中，利用勾股定理求出的值，进而求出两条路线的长度，进行判断即可． 【小问1详解】 解：过点作交于点，延长，相交于点， 在中，，， ， 设， 在中，， ． 在中，， ， ， ， ， ． 答：景点A和景点C之间的距离为． 【小问2详解】 略 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴分别交于，，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点是线段下方抛物线上的一动点，过作轴交于点，点是轴上的动点，连接，当的长度取得最大值时，求点坐标及的最小值； （3）如图2，取线段的中点为，将抛物线沿射线方向平移后经过点得到新抛物线，点的对应点为点，平移后的新抛物线的对称轴上有一点，点为新抛物线上一动点，若，请直接写出点的坐标，并写出求点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）， （3）， 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，作轴于点，交于点，易得为等腰直角三角形，进而得到，设，将的长转化为二次函数求最值，进而求出点坐标，作，交轴于点，作于点，得到，进而得到，进而得到当点在上时，的值最小，进行求解即可； （3）根据平移规则求出新的抛物线的解析式，进而求出点，点的坐标，根据，，得到，作，求出的坐标，设抛物线交轴于点，根据平移规则得到，进而得到当在内部时，，得到，作轴于点，作轴，交于点，证明，求出点坐标，进一步求出的坐标即可． 【小问1详解】 解：把，代入函数解析式，得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入得， ∴直线的解析式为， 作轴于点，交于点， ∵轴交于点， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴当最大时，的值最大， 设，则， ∴， ∴当时，有最大值为，即有最大值为， ∴， ∴； 作，交轴于点，作于点，交直线于点，则，，， ∴， ∴当点在线段上时，值最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同法可得直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：∵为等腰直角三角形， ∴将抛物线沿射线方向平移后得到新抛物线，相当于将抛物线向左向下各平移个单位， ∵， ∴平移后的抛物线的解析式为， ∵，为的中点， ∴， 把代入，得， 解得或（舍去）， ∴， ∴点是由点先向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到， ∴， ∵的对称轴为直线，点在抛物线的对称轴上， ∴， ∵， 又∵， ∴， 作，则， 同法可得直线的解析式为， 则直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴； ②设抛物线交轴于点， 当时，， ∴， ∴， ∵点是由点先向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到， ∴， ∴当在内部时，， ∴， 作轴于点，作轴，交于点，则，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 同法可得直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴； 综上：， 25. 如图，在中，，，以为斜边在上方作等腰直角三角形，和交于点． （1）如图1，若点为中点，，求的长度； （2）如图2，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点向左作，且，连接，点，分别是，的中点，连接．用等式表示线段与的数量关系，并证明； （3）如图3，，，，直线上有点，连接，将绕点顺时针旋转得到．点在直线上，连接，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，使．当取得最大值时，连接，，请直接写出此时的面积． 【答案】（1） （2）解：，证明如下： 连接，，延长交于，如图： ，， ， 在与中， ， ， ，， ∵以为斜边在上方作等腰直角三角形， ∴， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ，， 为中点， ，， ，， ， 同（1）可得，， ； （3） 【解析】 【分析】（1）是以为斜边的等腰直角三角形，由，得直角边，O为中点，故，在中，由勾股定理，代入计算得； （2）先由旋转性质得，结合、夹角相等，证，得；再结合、，证，推得，由中点得且，即为等腰直角三角形，则可得； （3）先由边长推得，故旋转角，证，得点P到的距离恒为24；折叠得Q在以D为圆心、为半径的圆上．时，最大值为点P到的距离加Q到的最大距离，此时，计算得面积为． 【小问1详解】 解：是以为斜边的等腰直角三角形， ，． ∴， ∴， ∴， 点O为中点， ， 在中，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：是等腰直角三角形，， ∴同（1）可得，， 在中，， 取的中点N，连接，如图： ， 又， ，即是等边三角形， ． 在中，， ∴， ∴， ∵绕点C顺时针旋转得到， ∴，， 过点P作于E，如图： ， ． ， 在中，， ， 在和中， ， ， ， ∴点P到的距离恒为24，点P在平行于、且到距离为24的直线上， 将沿直线翻折得到， （翻折前后对应边相等），即点Q在以D为圆心、为半径的圆上， ，要使取得最大值， ∴需点Q在下方且到的距离最大， 过D作于F，延长交圆D于点Q（Q在下方），过Q作，交点P所在直线于点P，此时最长，点E和点F重合，如图： 是等腰直角三角形，， ∴F为中点， ∴， ∴， ∴的最大值为， ，， 的面积为． 【点睛】本题是几何综合压轴题，通用解题技巧：旋转问题构造全等转化边与角；折叠的对应点轨迹为圆，线段最值用“直线距离半径”模型求解．常见错误为全等对应顶点混淆、轨迹的圆心与半径判断错误、最值位置未结合几何意义验证．需避坑每步全等标注对应顶点，轨迹问题先定圆心半径，最值结合图形位置验证合理性． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的相反数是（　　） A. B. 2 C. D. 2. 在2026年第一季度，重庆市全市蔬菜（不含食用菌）的产量约为7530000吨，增长率达，7530000用科学记数法表示为（　 ） A. B. C. D. 3. 如图的几何体由7个相同的小正方体搭成，从正面看到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，勘测队要测量，两地之间的距离，但两地被池塘隔开．于是勘测队在外选一点，连接，，点，分别是线段，的中点，现测得，则，两地之间的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 下列事件中，为必然事件的是（ ） A. 明天会下雨 B. 钝角比直角大 C. 过马路时，有消防车驶过 D. 明天早上的太阳从西边升起 6. 若点与点关于轴对称，则的值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. -3 7. 我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则差4钱．问人数，物价各是多少？ 若设共有人，物价是钱，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，先作一个黑色正三角形，挖去1个“中心三角形”（即以黑色正三角形各边中点为顶点的三角形），再在剩下的每个小黑色正三角形中又挖去1个“中心三角形”，以此类推．第①个图中有1个黑色正三角形；第②个图中有3个黑色正三角形；第③个图中有9个黑色正三角形．以此规律，第⑥个图中黑色正三角形的个数有（ ） A. 81 B. 243 C. 351 D. 702 9. 如图所示，在正方形中，点是边上靠近点的三等分点，将正方形沿翻折，点落在点处，连接并延长交的延长线于点，且与交于点，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式：，其中，为正整数，，，…，，均为整数，且，下列说法正确的个数是（ ） ①当时，满足条件的整式有12个； ②当时，若函数的图象关于轴对称，则满足条件的整式有5个； ③当时，满足条件的所有整式中，当取任意实数时其值一定为非负数的整式共有8个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 中国象棋是起源于中国的传统棋类益智游戏，共有32枚棋子，其中马有4枚，将所有棋子背面朝上打乱，从中随机抽取一枚棋子，抽到马的概率为________． 12. 如图，已知直线，将一块含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，若，则________． 13. 满足的整数的值为________． 14. 若关于的一元二次方程的两个根为和，则的值为________． 15. 一个两位数x，其十位与个位数字之和为8，且个位上的数字不为零，交换x十位与个位上的数字得到的数与4作差得到一个两位数y，两位数x的中间多了一个1得到一个三位数z．当时，x的值为________；当（k与m都为正整数，且）时，满足条件的所有x的和为________． 16. 如图，，是矩形的对角线上的两点，，连接并延长交于点，连接，，，设，，则________（用含和的代数式表示）；若，，则________． 三、解答题：（本大题共9小题，第17题、第18题各8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 某校为落实劳动教育，开展了“劳动知识知多少”答题竞赛活动．现从该校八、九年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩均不低于60分）进行整理分析，得分用表示，共分为4组，A：，B：，C：，D：．下面给出部分信息： 八年级抽取的20名学生在C组中竞赛成绩是：82，84，84，86，86，86，88 九年级抽取的20名学生的竞赛成绩是：65，67，70，71，72，75，78，80，81，83，84，85，87，87，87，88，90，94，96，100 两个年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 八年级 82 86 九年级 82 83.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出扇形统计图中、八年级抽取学生的竞赛成绩的中位数以及九年级抽取的学生竞赛成绩的众数的值； （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级此次竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级共有学生500人，九年级共有学生450人，请估计该校八、九年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少？ 20. 在学习矩形之后，某同学想要利用矩形的性质对图形中的角度大小进行探究 【动手操作】 在矩形中，连接对角线，取线段中点，连接，用尺规完成基本作图：过点作的垂线交于点． 【问题提出】 当时，的度数是多少？ 【问题解决】 任务： （1）请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； （2）请你帮该同学求出的大小，并写出推理过程． 21. 甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时生产零件的个数比乙每小时生产零件的个数的2倍少10个，甲生产1500个零件和乙生产900个零件的时间相等． （1）求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ （2）由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件个数比原来增长了，乙每小时生产的零件个数比原来多个，甲、乙两人同时工作小时共生产1350个零件，求的值． 22. 如图，在中，，，．动点从点出发以每秒1个单位的速度沿运动，同时，动点以相同的速度从点出发沿射线运动．设运动时间为秒（），的面积为，且． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并分别写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并结合函数图象，直接写出当时，的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 23. 项目式学习： 项目背景：甲、乙两人周末去景区游玩，调查公园景点位置与路线，测算景点间的相关数据，形成如下报告． 项目主题 景区的调查与测算 驱动任务 调查各景点的方位与距离，比较不同游览路线的远近 活动过程 调查 图示 ，，，，分别是某公园五个景点，景点在景点的正北方向，景点在景点的西北方向且在景点的北偏西75°方向，景点在景点的正西方向，景点在景点的正南方向．经测量，，两景点间的距离为100米，到直线的距离为100米． 活动反思 结合方位角，解直角三角形的知识，解决实际游览路线问题 测算： （1）求景点和景点之间的距离（结果保留根号）； （2）甲、乙以相同的速度从景点出发去景点，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：，且乙在段上用时是段的2倍，请计算说明谁选择的路线较近？（结果保留整数，参考数据：，，） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴分别交于，，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点是线段下方抛物线上的一动点，过作轴交于点，点是轴上的动点，连接，当的长度取得最大值时，求点坐标及的最小值； （3）如图2，取线段的中点为，将抛物线沿射线方向平移后经过点得到新抛物线，点的对应点为点，平移后的新抛物线的对称轴上有一点，点为新抛物线上一动点，若，请直接写出点的坐标，并写出求点的坐标的其中一种情况的过程． 25. 如图，在中，，，以为斜边在上方作等腰直角三角形，和交于点． （1）如图1，若点为中点，，求的长度； （2）如图2，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点向左作，且，连接，点，分别是，的中点，连接．用等式表示线段与的数量关系，并证明； （3）如图3，，，，直线上有点，连接，将绕点顺时针旋转得到．点在直线上，连接，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，使．当取得最大值时，连接，，请直接写出此时的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $