精品解析：重庆实验外国语学校2026-2027学年初三上学期第一学月定时作业数学试题

初三（上）第一学月定时作业 数学试题 一．选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、方程中含有2个未知数，不是一元二次方程； B、方程中含有2个未知数，不是一元二次方程； C、方程中的不是整式，不是整式方程，不是一元二次方程； D、方程是含有1个未知数的整式方程，且未知数的最高次数为2，是一元二次方程． 2. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转角求得，再根据计算的度数． 【详解】解：绕点按逆时针方向旋转得到， ． ， ． 3. 已知的半径为．若点P到圆心O的距离为，则（ ） A. 点P在上 B. 点P在内 C. 点P在外 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】通过比较点到圆心的距离与圆的半径的大小，即可判断点的位置． 【详解】解：设的半径为，点到圆心的距离为， ∵由题意得 ，， ∴ ，即 ， 根据点与圆的位置关系判定规则：当时，点在圆外， ∴点在外． 4. 已知点在反比例函数的图象上，则该函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴该函数的解析式为． 5. 在用配方法解一元二次方程的过程中配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，根据完全平方公式配方的过程即可得到答案． 【详解】 解： 故选：B． 6. 将二次函数的图象向右平移个单位，得到的新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将二次函数利用配方化为顶点式，再根据“左加右减”的平移规律获得新抛物线解析式． 【详解】解：， 将原图象向右平移个单位得到新图象的解析式为， 化简得． 7. 如图，在菱形中，将绕点逆时针旋转至，连接交于点．若为的中点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由旋转的性质与菱形的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，结合三角形的内角和定理求出． 【详解】解：由旋转的性质可得，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 又∵为的中点， ∴， ∵， ∴． 8. 《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程和勾股定理的应用，根据题意，甲、乙的行走路径构成直角三角形，利用勾股定理列方程求解． 【详解】设相遇时间为x，则乙向东行步，甲向南行步后斜向东北行步与乙相遇． ∵ 甲向南行步（直角边），乙向东行步（直角边），甲斜向行步（斜边）， ∴ 由勾股定理，得． 故选：A． 9. 如图，是半径为的的直径，是弦，是上一点，连接、，分别交于点，交于点，若为的中点，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，证明，得，证明，得，，求出，，由勾股定理求出和即可． 【详解】解：连接，如图， ∵是半径为的的直径， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴，即 ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，． 10. 二次函数的部分图象如图所示，其顶点坐标为，有以下结论：①；②；③；④若方程（为常数）有唯一解，则．其中正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】先得出，，再根据对称轴可得，则①正确；当时，，据此化简可得②正确；将点代入函数解析式可得，进而可得，据此可得③正确；根据一元二次方程根的判别式可得④错误． 【详解】解：∵二次函数的开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵二次函数的顶点坐标为， ∴其对称轴为直线， ∴，， ∴，则结论①正确； 由函数图象可知，当时，， ∴， ∴，则结论②正确； 将点代入函数解析式得：， ∴， ∴，则结论③正确； 由二次函数的图象可知，， ∵方程（为常数）有唯一解， ∴这个方程根的判别式， ∴， 由上可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，则，此时方程中的二次项和一次项系数都等于0，不符合题意，舍去； ∴， ∴，即， 假设成立，则，解得，这与不符， ∴假设不成立，即不成立，结论④错误； 综上，结论正确的有3个． 二．填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应横线上． 11. 已知反比例函数的图象经过点和点，则________．（填“”，“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】把点和点分别代入，求出，，再根据，得出，，即可判断大小． 【详解】解：把点和点分别代入得： ，， ∴，， ∵， ∴，， ∴． 12. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根． 【详解】解：设该方程的另一个根是， 是关于的一元二次方程的一个根， ， ， 解得：， 该方程的另一个根为． 13. 已知实数、满足，则代数式的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据可得，代入整理可得，根据平方的非负性即可求出结果． 【详解】解：， ， 把代入， 可得：， 的最小值为， 的最小值为． 14. 如图，在正方形中，点在边上，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接．若，，则的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，交延长线于点，作于点，先证出，则，，再得出，进而可得，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作，交延长线于点，作于点， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∴， ∴在中，． 15. 如图，为的直径，点是上一点，点是上的点，四边形为平行四边形，交于点，连接，．若，，，则的长度为________；的长度为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】作于点，作交的延长线于点，连接，设圆的半径为，由垂径定理可得，容易证明四边形是矩形，则．易得四边形是矩形，则，，使用勾股定理分别表示出与，列方程求出，最后计算出的长即可． 【详解】解：如图，作于点，作交的延长线于点，连接，设圆的半径为， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 整理，得， 解得或（负根，舍去）， ∴，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在中，． 16. 对任意一个四位数，它的各个数位上的数字互不相等，若它的千位与百位组成的两位数除以的余数，等于其十位与个位组成的两位数除以的余数，则称四位数为“同余数”．例如四位数，，，是“同余数”；四位数，，，不是“同余数”．则最大的“同余数”为________；一个“同余数”，记，若能被整除，且，则满足条件的为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】对于第一空：要使“同余数”最大，则要保证千位数字和百位数字都最大，可确定千位数字为9，百位数字为8，根据，得到十位数字与个位数字组成的两位数能被7整除，据此确定十位数字和个位数字即可；对于第二空：根据题意可得，则可推出，进而得到能被7整除；则可推出或；据此讨论a、b的值，从而确定c、d的值，再根据“同余数”的定义验证即可． 【详解】解：对于第一空： ∵要使“同余数”最大， ∴要保证千位数字和百位数字都最大， ∴千位数字为9， 又∵“同余数”的各个数位上的数字互不相等， ∴百位数字为8， ∵， ∴十位数字与个位数字组成的两位数能被7整除， ∵要保证“同余数”最大， ∴要保证十位数字最大， ∴十位数字为7， ∴个位数字为0， ∴最大的“同余数”为； 对于第二空： ∵， ∴， ∴ ， ∵能被整除，且63能被7整除， ∴能被7整除，即能被7整除； ∵，且， ∴， ∴或； 当时， 若，则，此时， ∵， ∴此时N不是“同余数”，不符合题意； 若，则，此时， ∵， ∴此时N是“同余数”，符合题意； 若，则，此时， ∵， ∴此时N不是“同余数”，不符合题意； 若，则，此时， ∵， ∴此时N不是“同余数”，不符合题意； 若，则，此时， ∵， ∴此时N不是“同余数”，不符合题意； 若，则，此时， ∵， ∴此时N不是“同余数”，不符合题意； 若，则，此时， ∵， ∴此时N不是“同余数”，不符合题意； 当时， 若，则，此时， ∵此时十位数字与个位数字不能组成两位数， ∴此时N不是“同余数”，不符合题意； 若，则，此时， ∵， ∴此时N不是“同余数”，不符合题意； 若，则，此时， ∵， ∴此时N不是“同余数”，不符合题意； 若，则，此时， ∵， ∴此时N不是“同余数”，不符合题意； 综上所述，满足条件的N为． 三．解答题：（本大题9个小题，第17题、第18题各8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（）利用公式法解答即可； （）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可． 【小问1详解】 解：，，， ∵， ∴， 即，； 【小问2详解】 解：移项，得， 即， 因式分解，得， ∴或， ∴，． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先利用分式的性质和运算法则进行化简，再对的值进行化简，最后把的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴原式 ． 19. 某中学为了丰富同学们的校园文化生活，激发学生对科技创新的兴趣，举办了“校园科技体育节·智能机器人竞速赛”，比赛成绩为百分制．该校从七年级和八年级中各随机抽取了名参赛学生的比赛成绩进行整理、描述和分析（成绩用表示，共分四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 信息一：七年级名学生的竞赛成绩是：，，，，，，，，，． 信息二：八年级名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：，，，． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生在本次智能机器人竞速赛中成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校七年级共有名学生参赛，八年级共有名学生参赛，请估计这两个年级在本次竞赛中成绩达到优秀的学生总共有多少人？ 【答案】（1）95；93；30 （2）解：七年级成绩较好； 理由：虽然七、八年级成绩的平均数相同，但是七年级的成绩的中位数比八年级的高，因此七年级的成绩较好． （3）380人 【解析】 【分析】（1）找出七年级成绩出现次数最多的数即为七年级成绩的众数，找出八年级成绩处在中间位置的两个数的平均数即为中位数，根据频数之和为10，可求出八年级D组的人数所占百分比； （2）从中位数角度得出七年级的成绩较好； （3）根据样本中七、八年级成绩的优秀率，进而计算七、八年级优秀的人数即可． 【小问1详解】 解：七年级10名学生的成绩中出现次数最多的是95，出现2次， ∴众数； 八年级学生成绩在A组的人数为：（人）， 在B组的人数为：（人）， 在C组的人数为4人， 在D组的人数为人， ∴八年级学生成绩中位数； ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计这两个年级在本次竞赛中成绩达到优秀的学生总共有380人． 20. 综合与实践 学习了平行四边形和矩形的知识后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究． 【动手操作】 如图，四边形是矩形，连接，过点作于点．用尺规完成基本作图：过点作直线的垂线，垂足为点，连接、． 【问题提出】 他们猜想：四边形是平行四边形． 【问题解决】 （1）请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； （2）请帮助该学习小组完成以上猜想的证明． 【答案】（1）如图，即为所作； （2）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）利用基本作图，过点作直线的垂线即可； （2）先根据平行四边形的性质得到，， 得到， 再利用垂直的定义得到，接着证明， 所以， 然后根据平行四边形的判定方法得到四边形是平行四边形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 长江索道是重庆的标志性交通方式之一，也是热门旅游打卡地．已知长江索道甲、乙两检票口某日等候放行游客人，甲检票口每小时比乙检票口多放行人，当甲检票口放行小时，乙检票口放行小时后，还剩人未放行． （1）求甲、乙两检票口每小时各放行多少人？ （2）经调研发现：按原有放行速度，平均每位游客能给索道带来文创、餐饮等附加收入为元；每小时放行人数每增加人，平均每位游客带来的附加收入就减少元．求当甲检票口每小时放行多少人时，它每小时的附加收入为元？ 【答案】（1）甲检票口每小时放行 1200 人，乙检票口每小时放行 1000 人． （2）甲检票口每小时放行 1600 人时，每小时附加收入为 25600 元． 【解析】 【分析】（1）设乙每小时放行人，甲每小时放行人，用总人数 5700 减去未放行 300 得到已经放行 5400 人，根据甲放行 2 小时、乙放行 3 小时的人数相加等于 5400 列出方程，算出乙每小时放行 1000 人，再加 200 得到甲每小时放行 1200 人． （2）设每小时放行人数增加人，此时每小时放行人，每位游客收入变为元，用每小时放行人数乘单人附加收入等于 25600 列出方程，求出，代入算出甲每小时放行 1600 人． 【小问1详解】 解：设乙检票口每小时放行人，则甲检票口每小时放行人． 总游客 5700 人，还有 300 人未放行，已经放行人数： 人， 甲放行 2 小时，乙放行 3 小时，列方程： ， 解得：， 甲每小时：， 答：甲检票口每小时放行 1200 人，乙检票口每小时放行 1000 人． 【小问2详解】 解：设甲检票口每小时放行人数增加人，则此时每小时放行人． 原来每位游客附加收入 20 元；每增加 100 人，每人收入减少 1 元，现在每人收入为元． 总收入 = 每小时放行人数 × 每人附加收入，列方程： ， 解得：． 此时甲每小时放行人数： ， 答：甲检票口每小时放行 1600 人时，每小时附加收入为 25600 元． 22. 如图，在中，，，．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿运动，到达点C时停止；同时，点Q以相同的速度从点C出发，沿射线方向运动，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t秒，记的面积为，与的面积之比为． （1）请直接写出，分别关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时t的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1）； （2） 解：图象如图所示，即为所求： 函数的性质：当时，随t的增大而增大；当时，随t的增大而减小； （3）或 【解析】 【分析】（1）过点B作于H，利用勾股定理求得，用t表示出；当点P在上时，，此时；当点P在上时，，此时；然后根据三角形面积公式求解即可； （2）利用描点法作出函数的图象，从函数的增减性角度可以写出一条性质即可； （3）当时，即函数图象在函数图象上方时，根据图像得出取值范围即可． 【小问1详解】 解：如图，过点B作于H， ∵，，， ∴， 由题意可知，， 当点P在上时，，此时， 当点P在上时，，此时， ∴； 当时，， 当时，， ∴综上所述：；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据图象可得：当或时，． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，涉及求函数解析式，一次函数与反比例函数的性质，勾股定理等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键． 23. 国庆期间，甲、乙两位同学相约去某个景区游玩．如图，大门，非遗展示馆，观景台，美食广场为景区内在同一平面内的四个景点．已知点在点东北方向，点在点正东方向，点在点南偏西方向且千米，点在点北偏西方向，点在点正东方向．（参考数据：，） （1）求，两地之间的距离；（结果保留一位小数） （2）现甲从出发沿方向前往，乙从出发沿方向前往，两人同时出发，甲的速度是乙的速度的倍．在途中，甲接到乙询问位置的电话，乙利用导航软件发现此时两人的直线距离为千米，求此时乙离处还有多少千米？（结果保留一位小数） 【答案】（1）B，C两地之间的距离约为千米 （2）此时乙离处还有千米或千米 【解析】 【分析】(1) 由方向角得到，作两条垂线构造直角三角形与矩形，在中，利用、算出，由的东北方向，得到等腰，求出，，代入近似值计算即可． (2) 先证，算出，设乙行走路程为，甲路程为，则，在中，用勾股定理列一元二次方程，解出的两个解，用算出乙剩余距离，检验两个解是否符合题意即可． 【小问1详解】 解：过点作于点， 由题意，得，， ，，千米， 在中， ， ， 则， 过点作于点， ，四边形是矩形， ， 在中，， 为等腰直角三角形， ， ， 答：B，C两地之间的距离约为千米； 【小问2详解】 解：在中， ， ∴，， ∴， 解得， ∴， ， 是直角三角形，， 设乙的速度为，则甲的速度为，当运动时间为时，甲所在位置为M，乙所在位置为N，如图 设，则乙走的路程，甲走的路程， ， 在中，，，由勾股定理，得 ， 解得，， ① 当时，甲路程，甲刚好到达点，符合题意； 此时剩余距离：（千米） ②当时，甲路程，甲在线段AC上，符合题意， 此时剩余距离：（千米）， 答：此时乙离处还有千米或千米． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，过点作交轴于点，点，分别为直线上的两点（点在点左上侧），，连接，，当取得最大值时，求此时的最小值； （3）如图，将抛物线沿射线平移个单位长度得到新抛物线，点为轴上一点，点为新抛物线上一点．若，请直接写出所有满足条件的点的横坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）， （3）点的横坐标为或， ∵点，， ∴，， ∵ ∴是直角三角形，且， ∴， 设 ∴ ∵， ∴ ∵，沿射线平移个单位长度得到新抛物线， ∴， 情况一：当在轴的右侧时，如图， ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴点为与的交点， 联立 解得：（舍去） ∴点的横坐标为； 情况二：如图，当在轴的左侧时，设为点上方任意一点，延长交轴于点 ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 设， ∴ 解得： ∴ 设直线解析式为 ∴ 解得： ∴直线解析式为 联立 整理得， 解得， ∵ 点在点的左上方，， ∴ ，即的横坐标为． 综上所述， 所有满足条件的点的横坐标为或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线； （2）先由得出，证为等腰直角三角形，，过点作轴交的延长线于点，可得，从而，设,表示，将化为关于的二次函数，配方求最大值确定点坐标．对于的最小值，将沿射线方向平移个单位得，由且证四边形为平行四边形，从而，问题转化为的最小值，即，根据勾股定理，即可求解； （3）先求出新抛物线的解析式；证明是直角三角形，且，再由点的坐标求出，从而得到，确定射线的两个可能位置，分别与新抛物线联立求点的坐标并检验取舍，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点，点， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：对于，令，则， ， 又， 为等腰直角三角形， ， 交轴于点， ， 过点作轴交的延长线于点， 轴， ∴ ∴ 设直线的解析式为：， 把代入，得， 解得，， 直线的解析式为：， 设，则， ， ， ∵ ， ∴ 当时，取最大值， 此时点的坐标为 将沿射线方向平移个单位长度得到即向右平移1个单位长度，向下平移1个单位长度， ， ， 四边形为平行四边形， ， ； 【小问3详解】 略 25. 在中，，，点在的内部，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接． （1）如图，当点在上时，延长交于点．若，求证：； （2）如图，连接，，点恰好在上，延长交于点，点是的中点，连接，求证：； （3）如图，连接，，，将线段沿所在直线翻折至所在平面内得到线段，点为点的对应点，连接，当取得最小值时，请直接写出此时的值． 【答案】（1）证明：在中，，， ， 由旋转的性质得：，， 为等腰直角三角形， ， 是的外角， ， 即， 又， 即， ， ， ， ； （2）证明：过点作，交的延长线于点，如图 ， ， 点在上，， ， ， ， 在和中： ， ，， 由旋转的性质得， ， 在和中： ， ，，即为的中点， ，且， ， 又， ， ，且， ， ， 又， 代入得：， 化简得：，即， ， 作点N的中点，连接， 是的中点， 是的中位线， ， ∴，，， ， 将、代入得： ， 将代入得： ， 又， ， 又， ， ， 是等腰直角三角形， ， 即， 将代入上式，得 ； （3） 【解析】 【分析】（1）先推导出，为等腰直角三角形，得到，继而推导出，可证明出，即可解答； （2）过点作，交的延长线于点，推导出，得到，，进而推导出，得到，，可推导出，，得到，过点作于点，推导出是的中位线，继而求出，推导出是等腰直角三角形，得到，将化简即可； （3）解：设，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则，，，取的中点，连接，则，设，推导出，过点作轴的平行线，分别过点、作该平行线的垂线，垂足分别为、，推导出，可得到点的坐标为，点的坐标为，求出，则要使最小，需使最小，即最小，设，则，得到，根据该一元二次方程有实数根，得到，求出 ，即的最小值为，此时取得最小值，继而求出，求出，，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则，，， 取的中点，连接，则， ，为中点， ， 设， ， 即， 过点作轴的平行线，分别过点、作该平行线的垂线，垂足分别为、，如图 由旋转的性质得：，， ， 又， ， 在和中： ， ，， 点的坐标为， 线段沿（轴）翻折得到， 点与点关于轴对称， 点的坐标为， ∴ 将代入上式，得 ， 、a为正数且为定值， 要使最小，需使最小，即最小， 设，则， 将代入，得 ， ， 存在实数点，即该一元二次方程有实数根， ∴， 即， 解方程，得 ， 二次函数开口向上， 不等式的解集为 ，， 的最小值为，此时取得最小值， 当时，方程有唯一实数根：， ， ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三（上）第一学月定时作业 数学试题 一．选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知的半径为．若点P到圆心O的距离为，则（ ） A. 点P在上 B. 点P在内 C. 点P在外 D. 无法判断 4. 已知点在反比例函数的图象上，则该函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 在用配方法解一元二次方程的过程中配方正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 将二次函数的图象向右平移个单位，得到的新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，将绕点逆时针旋转至，连接交于点．若为的中点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是半径为的的直径，是弦，是上一点，连接、，分别交于点，交于点，若为的中点，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的部分图象如图所示，其顶点坐标为，有以下结论：①；②；③；④若方程（为常数）有唯一解，则．其中正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二．填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应横线上． 11. 已知反比例函数的图象经过点和点，则________．（填“”，“”或“”） 12. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根为________． 13. 已知实数、满足，则代数式的最小值为________． 14. 如图，在正方形中，点在边上，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接．若，，则的长度为________． 15. 如图，为的直径，点是上一点，点是上的点，四边形为平行四边形，交于点，连接，．若，，，则的长度为________；的长度为________． 16. 对任意一个四位数，它的各个数位上的数字互不相等，若它的千位与百位组成的两位数除以的余数，等于其十位与个位组成的两位数除以的余数，则称四位数为“同余数”．例如四位数，，，是“同余数”；四位数，，，不是“同余数”．则最大的“同余数”为________；一个“同余数”，记，若能被整除，且，则满足条件的为________． 三．解答题：（本大题9个小题，第17题、第18题各8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解一元二次方程： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 某中学为了丰富同学们的校园文化生活，激发学生对科技创新的兴趣，举办了“校园科技体育节·智能机器人竞速赛”，比赛成绩为百分制．该校从七年级和八年级中各随机抽取了名参赛学生的比赛成绩进行整理、描述和分析（成绩用表示，共分四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 信息一：七年级名学生的竞赛成绩是：，，，，，，，，，． 信息二：八年级名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：，，，． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生在本次智能机器人竞速赛中成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校七年级共有名学生参赛，八年级共有名学生参赛，请估计这两个年级在本次竞赛中成绩达到优秀的学生总共有多少人？ 20. 综合与实践 学习了平行四边形和矩形的知识后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究． 【动手操作】 如图，四边形是矩形，连接，过点作于点．用尺规完成基本作图：过点作直线的垂线，垂足为点，连接、． 【问题提出】 他们猜想：四边形是平行四边形． 【问题解决】 （1）请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； （2）请帮助该学习小组完成以上猜想的证明． 21. 长江索道是重庆的标志性交通方式之一，也是热门旅游打卡地．已知长江索道甲、乙两检票口某日等候放行游客人，甲检票口每小时比乙检票口多放行人，当甲检票口放行小时，乙检票口放行小时后，还剩人未放行． （1）求甲、乙两检票口每小时各放行多少人？ （2）经调研发现：按原有放行速度，平均每位游客能给索道带来文创、餐饮等附加收入为元；每小时放行人数每增加人，平均每位游客带来的附加收入就减少元．求当甲检票口每小时放行多少人时，它每小时的附加收入为元？ 22. 如图，在中，，，．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿运动，到达点C时停止；同时，点Q以相同的速度从点C出发，沿射线方向运动，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t秒，记的面积为，与的面积之比为． （1）请直接写出，分别关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时t的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 23. 国庆期间，甲、乙两位同学相约去某个景区游玩．如图，大门，非遗展示馆，观景台，美食广场为景区内在同一平面内的四个景点．已知点在点东北方向，点在点正东方向，点在点南偏西方向且千米，点在点北偏西方向，点在点正东方向．（参考数据：，） （1）求，两地之间的距离；（结果保留一位小数） （2）现甲从出发沿方向前往，乙从出发沿方向前往，两人同时出发，甲的速度是乙的速度的倍．在途中，甲接到乙询问位置的电话，乙利用导航软件发现此时两人的直线距离为千米，求此时乙离处还有多少千米？（结果保留一位小数） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，过点作交轴于点，点，分别为直线上的两点（点在点左上侧），，连接，，当取得最大值时，求此时的最小值； （3）如图，将抛物线沿射线平移个单位长度得到新抛物线，点为轴上一点，点为新抛物线上一点．若，请直接写出所有满足条件的点的横坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 25. 在中，，，点在的内部，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接． （1）如图，当点在上时，延长交于点．若，求证：； （2）如图，连接，，点恰好在上，延长交于点，点是的中点，连接，求证：； （3）如图，连接，，，将线段沿所在直线翻折至所在平面内得到线段，点为点的对应点，连接，当取得最小值时，请直接写出此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $