广东省梅州市兴宁市第一中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

兴宁一中九年级上期第一次综合训练（数学） 考试时间120分钟，满分120分 一、选择题（共10小题） 1. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（     ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角相等 2. 如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，AB．若 ，则AC的长是（     ） A.4 B.5 C.6 D.10 3. 若方程可以用直接开平方法解，则k的取值范围是（     ） A. B. C. D. 4. 参加足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛90场，设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（     ） A. B. C. D. 5. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的为（     ） A. B. C. D. 6. 根据下列表格中的对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 - 0.06 - 0.02 0.03 0.09 可判断方程（，且a，b，c为常数）一个解x的范围是（     ） A.3<x<3.23 B.3.23<x<3.24 C.3.24<x<3.25 D.3.25<x<3.26 7. 已知，那么下列比例式中成立的是（     ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形 中，对角线 ， 相交于点 ， 是 边的中点，菱形 的周长为32，则 的长等于（     ） A.4 B.8 C.16 D.18 9. 如图，在 中，，，， 为斜边 上一动点，过点 作 于点 ， 于点 ，连接 ，则线段 的最小值为（     ） A. B. C. D. 10. 对于一元二次方程 ，下列说法： ①若 ，则 ； ②若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相等的实根； ③若 是方程 的一个根，则一定有 成立； ④若 是一元二次方程 的根，则 。 ⑤若 ，，，由根与系数的关系可得 ，， 其中正确的（     ） A. ①②③④⑤ B. ①②③ C. ①②④ D. ④⑤ 二、填空题（共5小题） 11. 已知关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则                         。 12. 已知一元二次方程 的两根为 、，则                                       。 13. 已知关于 的方程 有一个根为，则 的值为                         。 14. 若 ，则                                                 。 15. 如图，在边长为2的正方形 中， 是 的中点，、 分别是边 、 上的动点，且 交 于点 ，则 的最小值为                                                 。 三、解答题（一） 16. 选择适当的方法解方程 （1） （2）. 17. 如图，是的角平分线，过点分别作和的平行线，交于点，交于点. 求证：四边形是菱形. 18. 如图，在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动，点的速度为，点的速度为，点移动到点后停止，点也随之停止运动. 那么运动几秒后，的面积为？ 四、解答题（二） 19. 如图1，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，顶点落到点处，交于点. （1）求证：是等腰三角形. （2）如图2，过点作，交于点，连接交于点. 若，，求的长. 20. 某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元时，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销. （1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率； （2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件. 每天要想获得504元的利润，每件应降价多少元？ 21. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”. 例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”. （1）通过计算，判断是否是“倍根方程”； （2）若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值； 22. 如图， 中，点 O 为 AC 边上的一个动点，过点 O 作直线 ，设 MN 交 的外角平分线 CF 于点 F，交 内角平分线 CE 于 E. （1）试说明 ； （2）当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形并证明你的结论； （3）在（2）的条件下猜想 满足什么条件能使四边形 AECF 是正方形.（直接写出具体条件，不需要证明） 23.【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置，如图1，正方形 ABCD 的对角线相交于点 O，点 O 又是正方形 A₁B₁C₁O 的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形 OEBF 为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点 O 旋转. 【问题发现】 （1）①线段 AE，BF 之间的数量关系是                         . ②在①的基础上，连接 EF，则线段 AE，CF，EF 之间的数量关系是                                     . 【类比迁移】 （2）如图2，矩形 ABCD 的中心 O 是矩形 A₁B₁C₁O 的一个顶点，A₁O 与边 AB 相交点 E，C₁O 与边 BC 相交于点 F，连接 EF，延长 C₁O 交 AD 于点 P，连接 EP，AC，矩形 A₁B₁C₁O 可绕点 O 旋转. 判断线段 AE，CF，EF 之间的数量关系并证明. 【拓展应用】 (3)如图3，在 中，，，，直角 的顶点 D 在边 AB 的中点处，它的两条边 DE 和 DF 分别与直线 AC，BC 相交于点 E，F， 可绕点 D 旋转. 当 AE时，请直接写出线段 BF 的长. 学科网（北京）股份有限公司 $