精品解析：北京市中国人民大学附属朝阳学校2026-2027年上学期高三第二次学情诊断数学试卷

2027届高三第二次学情诊断 高三数学 2026年10月 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 已知集合，，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合的混合运算可得. 【详解】. 故选：B 2. 已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中线线，线面，面面的位置关系，逐项分析判断其正误即可. 【详解】对于A，若，，，则或异面或相交，故A错误； 对于B，若，，则或，故B错误； 对于C，因为，记，，则， 又，则，又，所以，故C正确； 对于D，如图所示，，，，但，故D错误. 故选：C. 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的奇偶性排除两个选项，再根据时的函数值为正排除余下两个中的一个即得. 【详解】函数的定义域为，， 函数是奇函数，图象关于原点对称，BD不满足； 当时，，则，C不满足，A满足. 故选：A 4. 某社区为了丰富居民文化生活，开设了9层阶梯式读书角，每层摆放一个书架，每个书架摆放的图书数量从上到下依次构成数列，其中，，成等差数列，后7项，…，也成等差数列，且，，，则这9层书架上的书一共有（ ） A. 81本 B. 84本 C. 87本 D. 90本 【答案】C 【解析】 【详解】数列 后 7 项 构成等差数列，公差为 d， 则 ，，. 由 ，得 ， 即 ；① 由 ，得 .② ② − ①，得 ，即 ； 代入②，得 ，即 . 又 成等差数列，且 ，，故 。 因此 9 层书架图书总数为 5. 已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ） A. B. 12 C. 21 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列连续等长片段和仍为等比数列的性质，结合公比平方的非负特性排除增根求解. 【详解】 由等比中项性质可得： ， 已知，， 设，代入得：  ，展开整理为一元二次方程：  ， 解得或，又，其中， 结合，故，舍去增根，即. 6. 在无人机集群搜救中，目标区域的未覆盖面积（单位：）与搜索时间（单位：）满足关系式，其中为目标区域总面积，为常数.某次演练中，搜索和后的未覆盖面积分别为和.下表给出了不同地形条件下，演练目标区域总面积指标的参考范围，则此次演练的地形属于（ ）. 地形复杂程度 高山峡谷 复杂山地 浅丘林地 平原水面 评判指标 参考数据：，. A. 高山峡谷 B. 复杂山地 C. 浅丘林地 D. 平原水面 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得， 两式相除可得， 所以， 所以， 所以对应地形为浅丘林地. 7. 若对任意，，则实数的值可以是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目给出的不等关系，判断应满足的条件，将问题转化为恒成立问题，通过导数分析最值即可求解. 【详解】若对任意，，则等价于，与同时非正或非负， 若且，则，但因为对所有的恒成立，因此不可能成立，故舍去， 若且，则，对所有恒成立， 由，得对所有恒成立，因此应满足， 同理因为，得对所有恒成立，因此， 设，， 因为，当时，单调递增，时，单调递减， 所以， 同理， 综上应满足，故为C选项. 8. 记为数列的前项和，设甲：是等比数列，乙：是等比数列，则（ ） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】分别讨论是等比数列的条件下，是否是等比数列，以及是等比数列的条件下，是否是等比数列，即可判断. 【详解】先判断充分性： 若是等比数列，设其公比为，首项为，可得： ， ， 当时，，不是等比数列， 当时，，是等比数列， 综上，当是等比数列时，不一定是等比数列， 故充分性不成立； 再判断必要性： 若是等比数列， 可设， 此时，若，， 若，， 即是等比数列，但不是等比数列， 故必要性不成立； 综上，甲是乙的既不充分也不必要条件. 故选：D. 9. 如图，已知正三角形ABC的边长为，其中心为，以为圆心作半径为的圆，点M为圆上任意一点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接交于点，连接，建立平面直角坐标系，设，，根据平面向量的数量积的坐标表示及辅助角公式可得，进而结合正弦函数的性质求解即可. 【详解】连接交于点，连接， 在正三角形ABC中，由于O为三角形ABC的中心，且三角形ABC的边长为， 则为中点，且，，， 以为原点，平行于的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系， 则， 由于，设，， 则，， 所以， 由于，则. 故选：A. 10. 如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法中不正确的是（ ） A. 若平面，则动点的轨迹是一条线段 B. 不存在点，使得平面 C. 当且仅当点落在棱上某点处时，三棱锥的体积最大 D. 若，那么点的轨迹长度为 【答案】D 【解析】 【分析】利用线面平行与面面平行的判定定理与性质定理判断A；建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，从而利用线面垂直的向量表示可判断B；利用空间向量法求得点到平面的距离关于的表达式，分类讨论的取值范围求得三棱锥的体积，从而判断C；利用勾股定理求得为定值，从而判断Q的轨迹，进而求其长度判断D. 【详解】选项A，分别取中点，连接， 由与，平行且相等得平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面， 同理平面，又平面， 所以平面平面， 当时，平面， 所以平面，即点轨迹是线段，故A正确； 选项B，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设， 则， 设是平面的一个法向量，则， 取，则， 若平面，则， 所以存在，使得，则，解得， 因此正方形内（含边界）不存在点，使得平面，故B正确； 选项C，面积为定值，当且仅当点到平面的距离最大时， 三棱锥的体积最大，又， 则到平面的距离为， 当时，，则当时，有最大值； 当时，，则当时，有最大值， 综上，当时，取得最大值1， 即与重合时，取得最大值，三棱锥的体积最大，故C正确； 选项D，平面平面，所以， 所以， 所以点轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，圆心角是， 则其轨迹长度为，故D错误. 故选：D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（每小题5分，共25分） 11. i为虚数单位，若复数，则______ 【答案】 【解析】 【分析】先利用复数除法运算化简复数，然后代入模的运算求解即可. 【详解】因为，所以. 故答案为： 12. 已知角的终边经过点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【详解】由题可知，点，则, ， ，， ， ， 则. 13. 已知函数且关于的方程有四个不等实根，写出一个满足条件的值________． 【答案】（在之间都可以）. 【解析】 【分析】画出函数的图象，结合图象可得答案. 【详解】 如图，当时， ，当且仅当时等号成立， 当时，， 要使方程有四个不等实根，只需使即可， 故答案为：（在之间都可以）. 14. 如图，中，点，，分别是线段，，的中点，设，，则________（用，表示）；已知，，，则的最大值为________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用中线的向量公式，将表示为和，再将表示为和，即可列出有关的等式，即可表示出；用和表示，即可用和表示出，利用余弦定理可得到边之间的关系式，再利用基本不等式即可求的最大值. 【详解】， , ， 即， 所以. ，所以， 所以， 所以， 因为，所以， 设，， 所以， 由余弦定理得：， 即，代入中， ， 由基本不等式，， 即，即，当且仅当时等号成立， 所以， 所以的最大值为. 15. 已知集合.由集合P中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论： ①“水滴”图形与y轴相交，最高点记为A，则点A的坐标为； ②在集合P中任取一点M，则M到原点的距离的最大值为3； ③阴影部分与y轴相交，最高点和最低点分别记为C，D，则； ④白色“水滴”图形的面积是. 其中正确的有______. 【答案】②③④ 【解析】 【分析】①方程中，令求得y的取值范围，得出最高点的坐标； ②利用参数法求出点M到原点的距离d，求出最大值； ③求出知最高点C与最低点D的距离； ④计算“水滴”图形的面积是由一个等腰三角形，两个全等的弓形和一个半圆组成. 【详解】对于①中，方程中， 令，得， 所以，其中，所以，所以， 解得； 所以点，点，点，点，所以①错误； 对于②中，由，设， 则点M到原点的距离为 ， 当时，，d取得最大值为3，所以②正确； 对于③中，由①知最高点为，最低点为， 所以，③正确； 对于④中，“水滴”图形是由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成； 计算它的面积是， 所以④正确； 综上知，正确的命题序号是②③④. 故答案为：②③④. 【点睛】本题主要考查了以集合为背景的命题的真假判定，其中解答中涉及到三角函数的性质，圆的参数方程，以及圆的面积公式等知识点的综合考查，着重考查推理与运算能力，属于中档试题. 三、解答题（共6小题，共85分） 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面为梯形，，平面平面，且，． （1）若平面与平面相交于直线，求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明：由，平面，平面，得平面， 又平面，且平面与平面相交于直线，所以． （2）证明：在平面内作于， 平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，则， 又平面，平面，则， 又且都在平面内，故平面， 又平面，则. 【解析】 【分析】（1）先由线面平行的判定定理推得平面，再由线面平行的性质即可证得结论； （2）在平面内作于，利用面面垂直的性质可得平面，进而，再由线面垂直的性质得,根据线面垂直的判定定理推得平面，即可证得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 已知函数， （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）在中，，，，若的平分线交于，求的长. 【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用二倍角公式、辅助角公式将化简为正弦型函数，再结合三角函数性质求解周期和单调递增区间； （2）先由求出角，再利用三角形面积的拆分关系建立方程求解的长度. 【小问1详解】 函数， 最小正周期， 由 ，解得 ， 即的单调递增区间为. 【小问2详解】 由得，即， 因为为的内角，故，则，因此， 解得， 因为是的角平分线，所以， 由面积关系，则有 ， 得 ，解得. 18. 如图，四棱柱的底面是边长为2的正方形，侧面底面，，是的中点. （1）求证：平面； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个条件作为已知，使二面角唯一确定， （i）求二面角的余弦值； （ii）判断直线是否在平面内，说明理由. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）证明：在四棱柱中，连结，设， 连结，在中，因为、分别为的中点， 所以，又因为平面，平面， 所以平面. （2）（i） 选择条件①：二面角不能确定； 选择条件②：二面角的余弦值为. 选择条件③：二面角的余弦值为. （ii）平面，理由如下： 142px x 157pxAI ，与相交，所以直线与直线异面， 这表明四点不共面，即平面. 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理找到可证； （2）（i）选①：说明条件不能确定棱柱特点即可求解；选②③：证明平面，建立空间坐标系，求得二面角； （ii）只需证明直线与直线异面即可. 【小问1详解】 在四棱柱中，连结，设， 连结，在中，因为、分别为的中点， 所以，又因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 （i） 选择条件①： 因为底面是正方形，所以， 侧面平面，且侧面平面，平面， 故平面，又平面，则， 即四边形为矩形，因为，则， 与选择条件①：等价，故条件不能进一步确定的夹角大小，故二面角不能确定； 选择条件②： 连结，因为底面是正方形，所以， 又因为侧面平面，且侧面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 在中，因为，，所以， 在中，因为，，所以， 又平面，所以平面，又， 所以如图建立空间直角坐标系，其中，，，， 且，，易知为平面的一个法向量， 设为平面面的一个法向量，则即 . 不妨设，则，可得，所以， 因为二面角的平面角是钝角，设为 ，故， 所以二面角的余弦值为. 选择条件③： 因为底面是正方形，所以， 因为，且平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为侧面平面，且侧面平面，平面， 所以平面，又， 所以如图建立空间直角坐标系，（下面同选择条件②）. （ii）如图所示， 平面，理由略 19. 已知椭圆：（）的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为． （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，，过点和（）的直线与椭圆的另一个交点为，与分别表示与的面积．若，求的值． 【答案】（1）； （2）1. 【解析】 【分析】（1）根据给定的离心率及面积列式求出即可. （2）根据给定条件，结合三角形面积公式可得点关于轴对称，设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及共线向量的坐标表示求解. 【小问1详解】 由椭圆：的离心率为，得，解得， 由椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为，得，则， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为，点， 由消去并整理得， ，， 由，得，则， 由点在线段上，得都是锐角，则，点关于轴对称， 于是点，，由， 得，即， 整理得，因此，解得， 所以的值为1. 20. 设函数，其中． （1）若曲线在处的切线与直线平行，求的值； （2）当时，判断函数是否存在极值.如果存在，求出所有的极值；如果不存在，说明理由. （3）若函数有且只有一个零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，，定义域为 . 令，则， 故在上单调递减，在上单调递增，， 即恒成立，仅时，且两侧符号不变，故函数不存在极值. （3），或 【解析】 【分析】（1）先求导再根据切线斜率和导数的关系代入计算即可； （2）将代入原函数，求导并求出导函数值域分析即可； （3）求导，根据t的取值情况讨论原函数单调性，再结合零点存在定理可求参数的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域为，， 由题意得，所以，解得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设函数，． 求导，得. ①当时， 由，得，所以在单调递增． 又因为，所以有且仅有一个零点，符合题意． ②当时， 当变化时，与的变化情况如下表所示： 0 ↘ ↗ 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 故有且仅有一个零点，符合题意． ③当时， 令，解得． 当变化时，与的变化情况如下表所示： 0 ↘ ↗ 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，． 因为，，且在上单调递增， 所以. 又因为存在，， 所以存在使得， 所以函数存在两个零点，1，与题意不符. 综上，曲线有一个零点时，的范围是，或. 21. 已知为有穷数列．若对任意的,都有（规定）,则称具有性质．设． （1）判断数列是否具有性质？若具有性质,写出对应的集合; （2）若具有性质,证明:; （3）给定正整数,对所有具有性质的数列,求中元素个数的最小值． 【答案】（1）不具有性质,具有性质, （2） “”等价于“证明两个元素至少有一个在中”, 假设两个元素均不在中, 则有 不妨设, 若, 则由, 可得, 与矛盾, 故, 同理, 从而, 所以, 与具有性质矛盾, 所以假设不成立,即; （3） 【解析】 【分析】(1)根据性质的定义,观察到,可得不具有性质,根据,可以发现中相邻两项及首尾两项的差的绝对值均小于等于1,故具有性质,根据定义代入求值,即可得出; (2) “”等价于“证明两个元素至少有一个在中”,利用反证法假设两个元素都不在中,通过范围推出矛盾即可. (3) 设中元素个数最小值为,根据新定义可得,以此类推可得,由(2)中的结论可得,即可得,再进行验证即可. 【小问1详解】 解:由题知, 即 因为, 所以不具有性质, 由于, 即 因为 故具有性质, 因为 故; 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设 规定时,, 时,, 则, 所以, 考虑数列, , 由题设可知,他们均具有性质, 设中元素个数最小值为, 所以, 所以, 由(2)知,从而, 当时,令, 当时,令, 此时均有, 所以中元素个数的最小值为. 【点睛】思路点睛:此题考查数列与集合结合的新定义问题,属于难题,关于新定义题的思路有: (1)找出新定义有几个要素,找出要素分别代表什么意思; (2)由已知条件,看所求的是什么问题,进行分析,转换成数学语言; (3)将已知条件代入新定义的要素中; (4)结合数学知识进行解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三第二次学情诊断 高三数学 2026年10月 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 已知集合，，，则为（ ） A. B. C. D. 2. 已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 某社区为了丰富居民文化生活，开设了9层阶梯式读书角，每层摆放一个书架，每个书架摆放的图书数量从上到下依次构成数列，其中，，成等差数列，后7项，…，也成等差数列，且，，，则这9层书架上的书一共有（ ） A. 81本 B. 84本 C. 87本 D. 90本 5. 已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ） A. B. 12 C. 21 D. 6. 在无人机集群搜救中，目标区域的未覆盖面积（单位：）与搜索时间（单位：）满足关系式，其中为目标区域总面积，为常数.某次演练中，搜索和后的未覆盖面积分别为和.下表给出了不同地形条件下，演练目标区域总面积指标的参考范围，则此次演练的地形属于（ ）. 地形复杂程度 高山峡谷 复杂山地 浅丘林地 平原水面 评判指标 参考数据：，. A. 高山峡谷 B. 复杂山地 C. 浅丘林地 D. 平原水面 7. 若对任意，，则实数的值可以是（ ）. A. B. C. D. 8. 记为数列的前项和，设甲：是等比数列，乙：是等比数列，则（ ） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 9. 如图，已知正三角形ABC的边长为，其中心为，以为圆心作半径为的圆，点M为圆上任意一点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法中不正确的是（ ） A. 若平面，则动点的轨迹是一条线段 B. 不存在点，使得平面 C. 当且仅当点落在棱上某点处时，三棱锥的体积最大 D. 若，那么点的轨迹长度为 第II卷（非选择题） 二、填空题（每小题5分，共25分） 11. i为虚数单位，若复数，则______ 12. 已知角的终边经过点，则的值为______． 13. 已知函数且关于的方程有四个不等实根，写出一个满足条件的值________． 14. 如图，中，点，，分别是线段，，的中点，设，，则________（用，表示）；已知，，，则的最大值为________. 15. 已知集合.由集合P中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论： ①“水滴”图形与y轴相交，最高点记为A，则点A的坐标为； ②在集合P中任取一点M，则M到原点的距离的最大值为3； ③阴影部分与y轴相交，最高点和最低点分别记为C，D，则； ④白色“水滴”图形的面积是. 其中正确的有______. 三、解答题（共6小题，共85分） 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面为梯形，，平面平面，且，． （1）若平面与平面相交于直线，求证：； （2）求证：． 17. 已知函数， （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）在中，，，，若的平分线交于，求的长. 18. 如图，四棱柱的底面是边长为2的正方形，侧面底面，，是的中点. （1）求证：平面； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个条件作为已知，使二面角唯一确定， （i）求二面角的余弦值； （ii）判断直线是否在平面内，说明理由. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 19. 已知椭圆：（）的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为． （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，，过点和（）的直线与椭圆的另一个交点为，与分别表示与的面积．若，求的值． 20. 设函数，其中． （1）若曲线在处的切线与直线平行，求的值； （2）当时，判断函数是否存在极值.如果存在，求出所有的极值；如果不存在，说明理由. （3）若函数有且只有一个零点，求的取值范围. 21. 已知为有穷数列．若对任意的,都有（规定）,则称具有性质．设． （1）判断数列是否具有性质？若具有性质,写出对应的集合; （2）若具有性质,证明:; （3）给定正整数,对所有具有性质的数列,求中元素个数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $