北京市中国人民大学附属朝阳学校2026-2027年上学期高三第二次学情诊断数学试卷

2027届高三第二次学情诊断 高三数学 2026年10月 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 已知集合，，，则为（ ） A. B. C. D. 2. 已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 某社区为了丰富居民文化生活，开设了9层阶梯式读书角，每层摆放一个书架，每个书架摆放的图书数量从上到下依次构成数列，其中，，成等差数列，后7项，…，也成等差数列，且，，，则这9层书架上的书一共有（ ） A. 81本 B. 84本 C. 87本 D. 90本 5. 已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ） A. B. 12 C. 21 D. 6. 在无人机集群搜救中，目标区域的未覆盖面积（单位：）与搜索时间（单位：）满足关系式，其中为目标区域总面积，为常数.某次演练中，搜索和后的未覆盖面积分别为和.下表给出了不同地形条件下，演练目标区域总面积指标的参考范围，则此次演练的地形属于（ ）. 地形复杂程度 高山峡谷 复杂山地 浅丘林地 平原水面 评判指标 参考数据：，. A. 高山峡谷 B. 复杂山地 C. 浅丘林地 D. 平原水面 7. 若对任意，，则实数的值可以是（ ）. A. B. C. D. 8. 记为数列的前项和，设甲：是等比数列，乙：是等比数列，则（ ） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 9. 如图，已知正三角形ABC的边长为，其中心为，以为圆心作半径为的圆，点M为圆上任意一点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法中不正确的是（ ） A. 若平面，则动点的轨迹是一条线段 B. 不存在点，使得平面 C. 当且仅当点落在棱上某点处时，三棱锥的体积最大 D. 若，那么点的轨迹长度为 第II卷（非选择题） 二、填空题（每小题5分，共25分） 11. i为虚数单位，若复数，则______ 12. 已知角的终边经过点，则的值为______． 13. 已知函数且关于的方程有四个不等实根，写出一个满足条件的值________． 14. 如图，中，点，，分别是线段，，的中点，设，，则________（用，表示）；已知，，，则的最大值为________. 15. 已知集合.由集合P中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论： ①“水滴”图形与y轴相交，最高点记为A，则点A的坐标为； ②在集合P中任取一点M，则M到原点的距离的最大值为3； ③阴影部分与y轴相交，最高点和最低点分别记为C，D，则； ④白色“水滴”图形的面积是. 其中正确的有______. 三、解答题（共6小题，共85分） 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面为梯形，，平面平面，且，． （1）若平面与平面相交于直线，求证：； （2）求证：． 17. 已知函数， （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）在中，，，，若的平分线交于，求的长. 18. 如图，四棱柱的底面是边长为2的正方形，侧面底面，，是的中点. （1）求证：平面； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个条件作为已知，使二面角唯一确定， （i）求二面角的余弦值； （ii）判断直线是否在平面内，说明理由. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 19. 已知椭圆：（）的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为． （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，，过点和（）的直线与椭圆的另一个交点为，与分别表示与的面积．若，求的值． 20. 设函数，其中． （1）若曲线在处的切线与直线平行，求的值； （2）当时，判断函数是否存在极值.如果存在，求出所有的极值；如果不存在，说明理由. （3）若函数有且只有一个零点，求的取值范围. 21. 已知为有穷数列．若对任意的,都有（规定）,则称具有性质．设． （1）判断数列是否具有性质？若具有性质,写出对应的集合; （2）若具有性质,证明:; （3）给定正整数,对所有具有性质的数列,求中元素个数的最小值． 2027届高三第二次学情诊断 高三数学 2026年10月 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题4分，共40分） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】A 【10题答案】 【答案】D 第II卷（非选择题） 二、填空题（每小题5分，共25分） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】（在之间都可以）. 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 【15题答案】 【答案】②③④ 三、解答题（共6小题，共85分） 【16题答案】 【答案】（1）证明：由，平面，平面，得平面， 又平面，且平面与平面相交于直线，所以． （2）证明：在平面内作于， 平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，则， 又平面，平面，则， 又且都在平面内，故平面， 又平面，则. 【17题答案】 【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为 （2） 【18题答案】 【答案】（1）证明：在四棱柱中，连结，设， 连结，在中，因为、分别为的中点， 所以，又因为平面，平面， 所以平面. （2）（i） 选择条件①：二面角不能确定； 选择条件②：二面角的余弦值为. 选择条件③：二面角的余弦值为. （ii）平面，理由如下： 142px x 157pxAI ，与相交，所以直线与直线异面， 这表明四点不共面，即平面. 【19题答案】 【答案】（1）； （2）1. 【20题答案】 【答案】（1） （2）当时，，定义域为 . 令，则， 故在上单调递减，在上单调递增，， 即恒成立，仅时，且两侧符号不变，故函数不存在极值. （3），或 【21题答案】 【答案】（1）不具有性质,具有性质, （2） “”等价于“证明两个元素至少有一个在中”, 假设两个元素均不在中, 则有 不妨设, 若, 则由, 可得, 与矛盾, 故, 同理, 从而, 所以, 与具有性质矛盾, 所以假设不成立,即; （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $