北京市朝阳区对外经济贸易大学附属中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学模拟试卷

北京市朝阳区对外经济贸易大学附属中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学模拟试卷 一、单选题 1．设α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，且m⊂α，n⊂β，则“m⊥n”是“α⊥β”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．将边长为4的正方形ABCD沿对角线AC折起，折起后点D记为D′．若BD′＝4，则四面体ABCD′的体积为（　　） A． B． C． D． 3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，则“Sn有最大值”是“d＜0”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 4．在△ABC中，，则△ABC的面积为 　 　． 5．若函数的部分图象如图所示，则φ的值是 　 　． 6．已知是第一象限角，且角α，β的终边关于y轴对称，则tanβ＝　 　． 7．如图，在某个海域，一艘渔船以60海里/时的速度，沿方位角为150°的方向航行，行至A处发现一个小岛C在其东偏南15°方向，半小时后到达B处，发现小岛C在其东北方向，则B处离小岛C的距离为 　 　海里． 8．已知△ABC的面积为，则∠C＝　 　． 9．已知平面向量，，，正实数t，满足||＝4，与的夹角为，且+t+＝，则||的最小值为 　 　． 10．陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成（如图）．已知一木制陀螺模型内接于一表面积为16πcm2的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上，若圆柱的高为2cm，则该圆柱的侧面积为 　 　cm2，该陀螺的体积为 　 　cm3． 三.解答题 11．（16分）在△ABC中，． （1）求A； （2）若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求△ABC的面积． 条件①：； 条件②：a＝2； 条件③：． 12．（17分）如图，六面体ABCD﹣EFGD1是直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1被过点D1的平面α所截得到的几何体，DD1⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，DD1＝4，AE＝2，CG＝3． （Ⅰ）求证：AC⊥D1F； （Ⅱ）求平面EFGD1与平面ABCD的夹角的余弦值； （Ⅲ）在线段DG上是否存在一点P，使得AP∥平面EFGD1？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 13．（17分）已知函数f（x）＝xex． （Ⅰ）求曲线y＝f（x）在（0，0）处的切线方程； （Ⅱ）求f（x）的最小值； （Ⅲ）设，已知g（x）＜0，求x的取值范围． 参考答案 一、单选题 1．【分析】当m⊥n时，α与β不一定垂直，当α⊥β时，m与n不一定垂直，进而可得结论． 【解答】解：如图1，当m⊥n时，α与β不一定垂直， 如图2，当α⊥β时，m与n不一定垂直， 所以“m⊥n”是“α⊥β”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 【点评】本题考查点、线、面的位置关系与充分必要条件的判定，考查空间想象能力与逻辑推理的核心素养，属于基础题． 2．【分析】作出图形，取BD′的中点E，连接AE，CE，则易证BD′⊥平面ACE，从而可得四面体ABCD′的体积为，再计算即可求解． 【解答】解：如图，取BD′的中点E，连接AE，CE， 则根据题意可得AE⊥BD′，CE⊥BD′，又AE∩CE＝E， ∴BD′⊥平面ACE， 又易知AE＝CE＝，AC＝， ∴△ACE的面积为＝， ∴四面体ABCD′的体积为＝＝． 故选：A． 【点评】本题考查四面体的体积的求解，化归转化思想，属中档题． 3．【分析】根据等差数列前n项和的函数性质及d＝0的等差数列，判断题设条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即可知答案． 【解答】解：∵等差数列前n项和， 当d＜0时，由Sn对应的二次函数开口向下可知，Sn有最大值， 若等差数列{an}是各项为0的常数列，则Sn最大值也为0，此时d＝0， 所以“Sn 有最大值”是“d＜0”的必要不充分条件． 故选：B． 【点评】本题考查等差数列的前n项和性质，充要条件的判定，属基础题． 二、填空题 4．【分析】根据给定条件，利用余弦定理求出bc，再利用三角形面积公式计算即得． 【解答】解：在△ABC中，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA， 可得19＝b2+c2+bc，即19＝（b﹣c）2+3bc， 又b﹣c＝1，解得bc＝6， 所以△ABC的面积． 故答案为：． 【点评】本题考查余弦定理及三角形面积公式，属基础题． 5．【分析】由对称性及周期性求出ω，结合特殊点求出φ． 【解答】解：由题图可知f（0）＝m，， 所以是f（x）的图象的一个对称中心， 由图象可得最小正周期T满足， 则， 又ω＞0，所以ω＝2， 由图象可得， 所以，k∈Z， 又，所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了由部分函数的图象求解y＝Asin（ωx+φ）的解析式，属于基础题． 6．【分析】由于角α，β的终边关于y轴对称，可得β＝π﹣α+2kπ，k∈Z，进而利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式即可求解． 【解答】解：因为是第一象限角， 所以sinα＝＝，tan＝， 又角α，β的终边关于y轴对称，可得β＝π﹣α+2kπ，k∈Z， 所以tanβ＝tan（π﹣α+2kπ）＝tan（π﹣α）＝﹣tanα＝﹣． 故答案为：﹣． 【点评】本题考查了诱导公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题． 7．【分析】结合图形，利用正弦定理求得答案． 【解答】解：由题意，可得∠CAB＝45°，∠ACB＝60°，∠ABC＝75°， 因为渔船以每小时60海里的速度航行，所以AB＝30， 所以由正弦定理得， 所以，解得． 故答案为：． 【点评】本题考查解三角形的应用，属中档题． 8．【分析】根据余弦定理及三角形面积公式求解即可． 【解答】解：因为， 且由余弦定理知，2abcosC＝a2+b2﹣c2， 所以， 因为ab＞0，C∈（0，π），所以sinC＞0， 解得， 又因为C∈（0，π），所以． 故答案为：． 【点评】本题考查了解三角形的应用问题，是基础题． 9．【分析】先移项得到，再在等式两边加平方，再根据配方法求解即可． 【解答】解：因为+t+＝，所以， 所以＝＝≥12， 所以的最小值为． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查平面向量的数量积，属于中档题． 10．【分析】先求出陀螺的外接球的半径，再利用勾股定理求出圆柱的底面半径，以及圆锥的高，从而求出结果． 【解答】解：设圆柱的底面半径为r，高为h，圆锥的高为t、陀螺的外接球的半径为R， 由题意可知，4πR2＝16π，h＝2， ∴R＝2， ∴， ∴圆柱的侧面积为， 圆柱体积为； 圆锥的高为， 所以圆锥的体积为； ∴该陀螺的体积为V＝V1+V1＝7π． 故答案为：；7π． 【点评】本题主要考查了圆柱的体积公式，考查了圆柱和圆锥的表面积公式，属于中档题． 三.解答题 11．【分析】（1）根据已知条件，利用正弦定理即可得解； （2）选择①，先求得sinC，进而可得sinB，由此求得a，再由三角形的面积公式即可得解；选择②，先求得sinB，判断△ABC为等腰直角三角形，进而得解；选择③，求得a，再由余弦定理可知此时△ABC不唯一． 【解答】解：（1）因为2asinB＝b， 则由正弦定理可得，， 又因为sinB≠0，所以， 又因为A为△ABC的内角， 所以或； （2）若选择①：因为cosC＝﹣，且C∈[0，π]， 所以， 所以， 又因为b＝2，2asinB＝b， 所以， 所以； 若选择②：因为b＝2，2asinB＝b，a＝2， 所以，则， 所以，则△ABC为等腰直角三角形， 所以； 若选择③：因为b＝2，2asinB＝b，sinB＝， 所以， 由余弦定理可得，a2＝b2+c2﹣2bccosA， 当时，，即c2﹣4c﹣12＝0，解得c＝6； 当时，，即c2+4c﹣12＝0，解得c＝2； 此时△ABC不唯一，不合题意． 【点评】本题考查利用正余弦定理和三角形的面积公式解三角形，属于中档题． 12．【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质可得DD1⊥AC，由AC⊥BD，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明； （Ⅱ）建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用空间向量法求面面角即可； （Ⅲ）设 （λ∈[0，1]），由向量线性运算的坐标表示，可得，结合，计算即可． 【解答】（Ⅰ）证明：连接BD，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，BF∥DD1，则点F在平面D1D 内， 因为DD1⊥平面ABCD，且AC⊂平面ABCD，所以DD1⊥AC， 又底面ABCD为正方形，所以AC⊥BD， 又DD1∩BD＝D，所以AC⊥平面D1DBF， D1F⊂平面D1DBF，所以AC⊥D1F； （Ⅱ）解：因为DD1⊥平面ABCD，DA，DC⊂平面ABCD，所以DD1⊥DA，DD1⊥DC， 又底面ABCD为正方形，所以DA⊥DC，建立空间直角坐标系D﹣xyz，如图所示： 则E（2，0，2），G（0，2，3），D1（0，0，4）， 所以，， 设平面EFGD1的一个法向量为＝（x，y，z），则， 即，令z＝2，则x＝2，y＝1，所以＝（2，1，2）； 因为DD1⊥平面ABCD，所以是平面ABCD的一个法向量； 设平面EFGD1与平面ABCD的夹角为θ，则cosθ＝|cos＜，＞|＝＝＝， 所以平面EFGD1与平面ABCD的夹角余弦值为； （Ⅲ）解：存在一点P使得AP∥平面EFGD1，此时，理由如下： 设，λ∈[0，1]，则＝+＝+λ＝（﹣2，0，0）+λ（0，2，3）＝（﹣2，2λ，3λ）， 线段DG上存在一点P，使得AP∥平面EFGD1，等价于， 即﹣4+2λ+6λ＝0，解得λ＝， 所以． 【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系应用问题，也考查了二面角的计算问题，是中档题． 13．【分析】（I）先对函数求导，结合导数几何意义可求切线斜率，进而可求切线方程； （Ⅱ）结合导数与单调性及最值关系即可求解； （Ⅲ），令g′（x）＝h（x），对h（x）求导，利用导数研究函数的单调性即可得出函数g（x）在（0，+∞）上单调性，结合g（1）＝0，可得x范围；x＜0时，由函数y＝（x﹣1）ex﹣1单调递减，可得g（x）＜0不成立． 【解答】解：（I）由题意得f'（x）＝（x+1）ex， ∴f'（0）＝1，又f（0）＝0， 故曲线y＝f（x）在（0，0）处的切线方程为y＝x； （Ⅱ）令f'（x）＞0，得x＞﹣1，令f'（x）＜0得x＜﹣1， ∴函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增， ∴当x＝﹣1时，f（x）取得最小值，最小值为； （Ⅲ）， g′（x）＝xex﹣1﹣2+＝h（x）， h′（x）＝（x+1）ex﹣1﹣， h′（x）在（0，+∞）上单调递增，h′（1）＝0， ∴x＝1时，函数h（x）取得极小值即最小值，h（1）＝0， ∴g′（x）≥0， ∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，g（1）＝0， ∴x∈（0，1）时，g（x）＜0成立． x＜0时，[（x﹣1）ex﹣1]′＝xex﹣1＜0，此时函数y＝（x﹣1）ex﹣1单调递减，因此（x﹣1）ex﹣1＞﹣，而﹣2x﹣+3＞3，可得g（x）＞0． 综上可得：x∈（0，1）． 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及最值、切线方程，考查了分类讨论与转化思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$