精品解析：北京市东直门中学2026-2027学年高三上学期10月阶段考试数学试题

北京市东直门中学2026-2027学年度第一学期阶段考试 高三数学 2026.10 考试时间：120分钟 总分150分 第一部分 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数z满足，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，是奇函数且在定义域内是减函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是 A. 若则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 已知等差数列的前项和为，若，，，成等比数列，则（ ） A. 28 B. 42 C. 56 D. 112 6. 已知为非零向量，则“与共线”是“与共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 在生活中，人们常用声强级y（单位：dB）来表示声强度I（单位：）的相对大小，具体关系式为，其中基准值.若声强度为时的声强级为60dB，那么当声强度变为时的声强级约为（ ）（参考数据：） A. 63dB B. 66dB C. 72dB D. 76dB 8. 已知函数，图像上每一点的横坐标缩短到原来的，得到的图像，的部分图像如图所示，若，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则下列结论正确的有（ ） ①存在点，使得；②存在点，使得平面；③三棱锥的体积是定值；④不存在点，使得与所成的角为. A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ①④ 10. 设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 展开式中的系数为__________． 12. 一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示，则此几何体的表面积为___________. 13. 已知菱形的边长为，，，分别是，的中点，则______；若，是对角线上的动点，且，则的最小值为______. 14. 设函数，当时，函数的最小值为______；若无最小值，则实数的取值范围是______． 15. 已知是直角三角形，是直角，内角，，所对的边分别为，，，面积为，，.给出下列四个结论： ①当，时，； ②，； ③存在，使得，为等腰直角三角形； ④任取，为递增数列. 其中所有正确的结论是_____. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为中点，，，. （1）证明：直线平面； （2）求二面角的余弦值. 17. 在中，． （1）求的值； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上的高． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18. 为测试、两款人工智能软件解答数学问题的能力，将100道难度相当的数学试题从1到100编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，记录结果如下： 试题类别 软件 软件 测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量 函数试题 30 24 20 18 几何试题 20 16 30 20 （1）估计软件能正确解答数学问题的概率； （2）小明决定采用这两款软件解答3道类似试题（假设其难度和测试的100道题基本相同），其中函数2道，几何1道；使用软件解答2道函数试题，使用软件解答1道几何试题；每道试题只用其中一款软件解答一次．假设用频率估计概率，且每次解答相互独立．用表示3道类似试题被正确解答的个数，求的分布列与数学期望； （3）小明准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第12题（假设其难度和测试的100道题基本相同），但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是函数题的概率为，几何题的概率为．假设用频率估计概率，试说明小明用哪款软件正确解答这道试题的概率大？（结论不要求证明） 19. 已知椭圆：短轴长为2，过其右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且. （1）求椭圆的方程； （2）若直线：与椭圆交于，两点，线段中点为，在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 20. 已知函数的定义域为，，函数．对任意，曲线在点处的切线方程为． （1）讨论的单调性； （2）求的最小值； （3）已知，求过点且与曲线相切的直线条数 21. 已知各项均为正整数的有穷数列：满足，有.若等于中所有不同值的个数，则称数列具有性质P. （1）判断下列数列是否具有性质P； ①：3，1，7，5；②：2，4，8，16，32. （2）已知数列：2，4，8，16，32，m具有性质P，求出m的所有可能取值； （3）若一个数列：具有性质P，则是否存在最小值?若存在，求出这个最小值，并写出一个符合条件的数列；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市东直门中学2026-2027学年度第一学期阶段考试 高三数学 2026.10 考试时间：120分钟 总分150分 第一部分 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】解：由，即，解得， 所以，又， 所以； 故选：C 2. 若复数z满足，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出复数z，再求z的虚部. 【详解】因为， 所以. 故z的虚部为. 故选：D 3. 下列函数中，是奇函数且在定义域内是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过举反例结合函数的性质逐项判断可确定选项. 【详解】A.设，定义域为， 由得，，故在定义域内不是减函数，选项A错误. B.设，定义域为且，故为奇函数， 由是上的增函数可得是上的减函数，选项B正确. C.设，定义域为， 由得，，故在定义域内不是减函数，选项C错误. D.函数定义域为，定义域不关于原点对称，故该函数不是奇函数，选项D错误. 故选：B. 4. 已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是 A. 若则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B正确. 考点：空间点线面位置关系． 5. 已知等差数列的前项和为，若，，，成等比数列，则（ ） A. 28 B. 42 C. 56 D. 112 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列的性质列式求首项和公差，再代入求和公式. 【详解】设等差数列的公差为，，即， 由，，成等比数列，得，即， 得，所以. 6. 已知为非零向量，则“与共线”是“与共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】借助平面向量共线定理结合充分条件与必要条件定义判断即可得. 【详解】若与共线，当时，存在实数，使得， 整理得， 若与不共线，则且，矛盾，故与共线； 当，有，此时与共线； 故“与共线”是“与共线”的充分条件； 若与共线，则存在实数，使得， 则，，故与共线， 故“与共线”是“与共线”的必要条件； 综上可得：“与共线”是“与共线”的充要条件. 7. 在生活中，人们常用声强级y（单位：dB）来表示声强度I（单位：）的相对大小，具体关系式为，其中基准值.若声强度为时的声强级为60dB，那么当声强度变为时的声强级约为（ ）（参考数据：） A. 63dB B. 66dB C. 72dB D. 76dB 【答案】B 【解析】 【分析】根据声强度为时的声强级为60dB，利用指数与对数互化，求得，再将声强度为代入求解. 【详解】因为若声强度为时的声强级为60dB， 所以， 即，解得， 所以当声强度变为时， 声强级约为， ， 故选：B 8. 已知函数，图像上每一点的横坐标缩短到原来的，得到的图像，的部分图像如图所示，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量数量积的定义可得，从而可得，进而得出，即，求出. 【详解】根据 ， 可得，故， 所以，故的周期为24，所以，， 故选：A． 9. 如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则下列结论正确的有（ ） ①存在点，使得；②存在点，使得平面；③三棱锥的体积是定值；④不存在点，使得与所成的角为. A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ①④ 【答案】C 【解析】 【分析】直接建立空间直角坐标系，用向量的方法判断线线平行可得①错误；再用向量方法判断线面垂直可得②正确；再用向量的方法求线线夹角可得④正确；对③由体积转化，并判断不平行平面，从而可判断错误. 【详解】以为原点，分别以​为轴建立空间直角坐标系，如图： 由正方体棱长为，得各点坐标：， 由是​中点，故. 因为在​上，，设. 判断①：，， 所以， 若​，则且，得且，所以不存在， 故不存在点，使得，①错误； 判断②：设平面的法向量为，， 所以，即，取，得 若平面，则，且， 所以且，得. 当时，，对应为的中点，满足条件，故②正确. 判断③： 因为，显然的面积为定值， 因为，平面，所以不平行平面， 所以三棱锥的高会随在上的移动而改变，因此三棱锥的体积随在上的移动改变， 因此三棱锥的体积不是定值，③错误； 判断④：，，假设存在点，使得与所成的角为， 则， 得，，，方程无解，不存在. 因此不存在点，使得与所成的角为，④正确. 10. 设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，问题转化为存在唯一的整数使得满足，求导可得出函数的极值，数形结合可得且，由此可得出实数的取值范围. 【详解】设，， 由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数， ，当时，；当时，. 所以，函数的最小值为. 又，. 直线恒过定点且斜率为， 故且，解得，故选D. 【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题. 第二部分 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 展开式中的系数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式定理得到展开式的通项公式即可求解. 【详解】根据二项式定理，展开式的通项公式为， 当时，，因此的系数为. 12. 一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示，则此几何体的表面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】直接分别计算圆锥和圆柱的侧面积及底面积，进而可得几何体的表面积. 【详解】该几何体是同底（底面直径为）的圆锥与圆柱的组合体， 圆锥底面半径，高为，由勾股定理得母线长​， 所以圆锥侧面积为. 圆柱底面半径，高为，圆柱侧面积为. 圆柱的下底面面积. 因此几何体的总表面积. 即几何体的总表面积为. 13. 已知菱形的边长为，，，分别是，的中点，则______；若，是对角线上的动点，且，则的最小值为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题设建立平面直角坐标系，利用数量积坐标表示可得答案 【详解】连接，设交于，由题设可得，据此如下图建立平面直角坐标系. 则. ，则,，从而； 设，其中. 则，从而，当，即与重合时取等号. 14. 设函数，当时，函数的最小值为______；若无最小值，则实数的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】作出函数图像，利用数形结合即可求解. 【详解】当时，， 作出函数的图像： 由图可知：， 要使无最小值，只需无最小值， 即的对称轴在直线处或右边，即，且， 解得，所以. 15. 已知是直角三角形，是直角，内角，，所对的边分别为，，，面积为，，.给出下列四个结论： ①当，时，； ②，； ③存在，使得，为等腰直角三角形； ④任取，为递增数列. 其中所有正确的结论是_____. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由题意可知：.对于①：直接代入运算即可；对于②：根据题中关系式相加整理可得，即可得结果；对于③：根据题中关系式相减整理可得，结合等比数列分析判断；对于④：由②可知点在以为直径的圆上，由③可知：数列为递减数列，结合圆的性质分析判断即可. 【详解】由题意可知：. 对于①：当，时，则，即，故①正确； 对于②：因为，， 两式相加可得， 则，即，可得，故②正确； 对于③：因为，， 两式相减可得， 若，则， 可知数列是以公比为的等比数列， 则，即对任意恒成立， 所以不存在，使得，为等腰直角三角形，故③错误； 对于④：由②可知，即的斜边长为定值， 所以点在以为直径的圆上， 以的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，设该圆与y轴交点为， 由③可知：， 则，可知数列为递减数列， 即两者之差越来越小，则点越来越接近点（或）， 则斜边上的高越来越大，即面积越来越大， 所以为递增数列，故④正确； 故答案为：①②④. 【点睛】关键点点睛：对于④的关键在于：将数列问题转化为圆的问题，进而结合图形分析判断. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为中点，，，. （1）证明：直线平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1），且为中点，. ，且平面，平面，. 又平面，平面，平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，然后证明平面. （2）先证明平面，建立空间直角坐标系，利用两平面的法向量去求二面角的余弦值. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 ，为中点，. 平面平面，且平面平面，平面， 平面. 建立如图所示的空间直角坐标系. ，，，在中. 为等腰直角三角形，也是等腰直角三角形，得到. 点，点，点的坐标分别为，，. 而，， 设平面与平面的法向量分别为，. 由平面，可得. 由，令， 解得，，得到. 设二面角的平面角为，得到. 而为锐角，故. 17. 在中，． （1）求的值； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上的高． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2） 选择条件①：不符合题意. 选择条件②：． 选择条件③：． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值； （2）对于条件①，利用余弦函数的单调性求出角的取值范围，结合三角形的内角和定理推出矛盾，可值条件①，不符合要求； 选择条件②，求出的值，利用余弦定理可求出的值，然后利用三角形的面积公式结合等面积法可求出边上的高； 选择条件③；求出、的值，利用两角和的正弦公式可求出的值，利用正弦定理求出的值，进而可得出边上的高为，求解即可； 【小问1详解】 由正弦定理，且， 得，即． 由，得．所以． 由，得，所以． 【小问2详解】 选择条件①：因为，且余弦函数在上单调递减， 故，又因为，从而可得，与三角形的内角和定理矛盾，故①不成立. 选择条件②：由，且，得． 由余弦定理，得， 解得或（舍）． 设边上的高为，则三角形面积， 所以． 选择条件③：由，且，得． 由，且，得． 所以． 由正弦定理，得，所以边上的高． 18. 为测试、两款人工智能软件解答数学问题的能力，将100道难度相当的数学试题从1到100编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，记录结果如下： 试题类别 软件 软件 测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量 函数试题 30 24 20 18 几何试题 20 16 30 20 （1）估计软件能正确解答数学问题的概率； （2）小明决定采用这两款软件解答3道类似试题（假设其难度和测试的100道题基本相同），其中函数2道，几何1道；使用软件解答2道函数试题，使用软件解答1道几何试题；每道试题只用其中一款软件解答一次．假设用频率估计概率，且每次解答相互独立．用表示3道类似试题被正确解答的个数，求的分布列与数学期望； （3）小明准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第12题（假设其难度和测试的100道题基本相同），但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是函数题的概率为，几何题的概率为．假设用频率估计概率，试说明小明用哪款软件正确解答这道试题的概率大？（结论不要求证明） 【答案】（1） （2）分布列为： 0 1 2 3 期望为 （3） 小明应该使用软件来解决这道试题,证明如下： 记“软件能正确解答这道题”为事件，“软件能正确解答这道题”为事件， “该题为几何题”为事件． 则，，， ，，， 由全概率公式可得 ． ． 因为，所以软件能够正确解决这道试题的概率更大， 故小明应该使用软件来解决这道试题． 【解析】 【分析】（1）由古典概型概率计算公式即可求解； （2）法一：确定的每一个取值，求得对应概率即可求解；法二：用、分别表示这2道函数试题与1道几何试题被正确解答的个数，得到，，再由即可求解； （3）记“软件能正确解答这道题”为事件，“软件能正确解答这道题”为事件， 由全概率计算公式求得比较大小即可. 【小问1详解】 记软件能正确解答数学问题为事件， 结合题中数据以及古典概型的概率公式可得． 【小问2详解】 解法一：使用软件解答函数试题正确的概率为， 使用软件解答几何试题正确的概率为； 的可能取值为0、1、2、3， ， ， ， ， 则其分布列为： 0 1 2 3 其期望为：； 解法二：函数试题用软件解答，几何试题用软件解答． 用、分别表示这2道函数试题与1道几何试题被正确解答的个数， 因为，， 0 1 2 0 1 的可能取值为0、1、2、3， ，， ，， 则其分布列为： 0 1 2 3 由二项分布的期望公式可得， 因为，相互独立，则 ． 【小问3详解】 小明应该使用软件来解决这道试题．证明略. 19. 已知椭圆：短轴长为2，过其右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且. （1）求椭圆的方程； （2）若直线：与椭圆交于，两点，线段中点为，在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在定点 【解析】 【分析】（1）直接由椭圆C过点和且，解方程即可； （2）先联立直线和椭圆，通过得到点P在以EF为直径的圆上，即PE⊥PF，表示出，由解出点P的坐标即可. 【小问1详解】 由题知，设椭圆方程为， 椭圆C过点且， 所以，解得 所以椭圆C的方程为． 【小问2详解】 假设在轴上存在定点，使得恒成立，设，， 由，得， ∴，， ， ∵，∴，， ∴点在以为直径的圆上，即， ，， ∴ ， ∴恒成立， ∴，解得， ∴， ∴存在定点，使得恒成立． 20. 已知函数的定义域为，，函数．对任意，曲线在点处的切线方程为． （1）讨论的单调性； （2）求的最小值； （3）已知，求过点且与曲线相切的直线条数 【答案】（1）函数在区间上单调递增 （2）的最小值为； （3）条. 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，令，，再对函数求导，根据导数与函数单调性的关系即可判断求解； （2）由题意可得，根据导数与单调性的关系求解； （3）由题意可得，令，求导，判断函数的单调性，再结合零点存在性定理即可求解. 【小问1详解】 函数的定义域为， ， 令，，则， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数在处有最小值，即函数在处有最小值， 所以，故函数在区间上单调递增； 【小问2详解】 由题意可知曲线在点处的切线斜率为， 所以， 令，得， 单调递减 极小值 单调递增 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数在有最小值，且； 【小问3详解】 由题意可得点在切线上， 所以①， 令， ， 由（2）可知，当时，， 所以当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 因为，所以1是方程①的一个解； 又，， 所以函数在处有一个零点且在区间内存在唯一零点， 所以有两个解， 即过点且与曲线相切的直线的条数有2条. 21. 已知各项均为正整数的有穷数列：满足，有.若等于中所有不同值的个数，则称数列具有性质P. （1）判断下列数列是否具有性质P； ①：3，1，7，5；②：2，4，8，16，32. （2）已知数列：2，4，8，16，32，m具有性质P，求出m的所有可能取值； （3）若一个数列：具有性质P，则是否存在最小值?若存在，求出这个最小值，并写出一个符合条件的数列；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） ①：3，1，7，5，具有性质P. ②：2，4，8，16，32，不具有性质P. （2）或 （3）存在，4045；一个满足条件的数列：1，3，5，…，4043，4047，4045 【解析】 【分析】（1）根据数列具有性质的定义进行判断即可求解. （2）由具有性质，然后利用其性质对分奇偶进行讨论即可求解. （3）根据具有性质，然后利用其性质分别对，分情况讨论，从而其存在最小值，即可求解. 【小问1详解】 ①：3，1，7，5，任意两项和的结果有4，6，8，10，12共5个，而，所以具有性质P. ②：2，4，8，16，32，任意两项和的结果有6，10，12，18，20，24，34，36，40，48共10个，而，所以不具有性质P. 【小问2详解】 对于数列：2，4，8，16，32，m，任意两项和不同的取值最多有15个，所以.而：2，4，8，16，32中任意两项和的结果有10个，且全是偶数. （i）当为奇数时，都是奇数，与前5项中任意两项和的值均不相同，则：2，4，8，16，32，中所有的值共有15个，所以. （ii）当为偶数时，都是偶数，所以. 所以. 时，在前项中任两项和的结果中未出现， 所以：2，4，8，16，32，中任意两项和的不同值的个数大于，即，矛盾. 时，，，这三个结果在前项中任意两项和的结果中未出现，所以：2，4，8，16，32，中任意两项和的不同值的个数大于，即，矛盾. 时，：2，4，8，16，32，中任意两项和的不同值有6，10，12，16，18，20，22，24，30，34，36，40，46，48共个，成立. 综上，或. 【小问3详解】 存在最小值，且最小值为. 将的项从小到大排列构成新数列：， 所以. 所以的值至少有个. 即的值至少有个，即. 数列：1，3，5，…，4043，4047，4045符合条件. ：1，3，5，…，4043，4047，4045可重排成等差数列：1，3，5，…，4045，4047， 考虑，根据等差数列的性质， 当时，；当时，， 因此每个等于中的一个， 或者等于中的一个. 所以：1，3，5，…，4045，4047中共有4045个不同值. 即：1，3，5，…，4043，4047，4045中共有4045个不同值. 综上，的最小值是4045，一个满足条件的数列：1，3，5，…，4043，4047，4045. 【点睛】方法点睛：对于数列的新定义，可根据数列具有性质，根据其定义中所有不同值的个数作为解题的思路进行分类讨论，从而即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $