精品解析：天津外国语大学附属滨海外国语学校2026-2027学年高三上学期第一次练习数学试卷

天津外国语大学附属滨海外国语学校 2026-2027学年第一学期高三年级数学学科练习 （时间：120分钟 分值：150分） 一、选择题（12小题，共60分，每题5分.） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集并集的定义即可求出. 【详解】， ，. 故选：C. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由，解得：或， 即时，成立，反之不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 3. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当时，，排除D，即可得解. 【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为偶函数，排除AC； 当时， ，所以，排除D. 故选：B. 4. 设，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解. 【详解】，， ，， ，， . 故选：D. 5. 已知m，n均大于0，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 6 C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据，结合基本不等式即可得出答案. 【详解】解：∵，∴，当且仅当，即，时，等号成立．故最小值为. 故选：C． 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平方法，结合同角三角函数关系式中的平方和关系、二倍角的正弦公式进行求解即可. 【详解】 . 7. 下列函数中最小正周期等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦型函数、正弦函数、正切函数的性质，结合同角的三角函数关系判断即可. 【详解】对于A，最小正周期. 对于B，正切函数的周期是，将在轴下方的图象翻折到轴上方， 周期不变.故最小正周期. 对于C，，是常函数，无最小正周期. 对于D，因为，所以为偶函数，图象关于轴对称，不是周期函数. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二倍角公式及平方关系可得，再代入条件关系即可求出结论. 【详解】. 9. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正切函数的性质整体代换即可得. 【详解】由，得， 所以函数的单调递增区间为． 10. 已知函数在区间上单调递增，则正数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】函数求导得， 在区间上单调递增，故对任意，都有， 即，解得，对任意恒成立， 当时，，故时恒成立， 故正数的取值范围为． 11. 已知二次函数的值域为，且不等式的解集为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次函数值域为非负的特征得到判别式为，结合不等式解集可得对应方程的根，通过韦达定理列方程求解. 【详解】由二次函数的值域为，开口向上， 可知其图像与轴仅有一个公共点，因此判别式. 不等式等价于，其解集为， 所以一元二次方程的两个实根为，. 根据韦达定理：，可得；，可得. 将，代入判别式，得，化简为， 即，解得或，因为，因此. 12. 设函数，已知在上有且仅有4个零点，下列说法错误的是（ ） A. 的取值范围是 B. 在上可能有3个极小值点 C. 与直线在上的交点恰有2个 D. 在上单调递减 【答案】D 【解析】 【分析】由可求得的取值范围，结合已知条件可得出关于的不等式组，解出的取值范围，可判断A选项；结合的极小值位置判断区间内极小值点个数，可判断B选项；在时，由可得出的值，可判断C选项；利用正弦型函数的单调性可判断D选项. 【详解】对于A，，令， 在上有且仅有4个零点，等价于在有且仅有4个零点， 应当依次为，则要求，计算得，故A正确； 对于B，的极小值点为，由A可知，， 在里极小值点最多有3个，故B正确； 对于C，，结合A可知，， 区间右端，因此可取一共两解，故C正确； 对于D，结合，，左端点取值范围为， 右端点取值范围为，的区间随的取值变化,对于任意， 的区间均包含的两侧，因此在上不单调递减，故D错误. 【点睛】正弦函数零点、极值问题，优先进行换元，只看可大幅降低难度. 二、填空题（6小题，共30分，每题5分.） 13. 命题“，”的否定是_________. 【答案】， 【解析】 【分析】存在命题的否定，前面改变量词，后面否定结论即可. 【详解】根据存在命题的否定形式，前面改变量词，后面否定结论. 所以“”变为“”，“”变为“”， 即命题“，”的否定为“，”. 14. 已知扇形半径 ，圆心角为，那么它的面积为________． 【答案】 【解析】 【详解】扇形半径 ，圆心角为， 所以扇形面积为. 15. 已知为角终边上一点，则____________． 【答案】1 【解析】 【详解】因为为角终边上一点，所以， 所以. 16. 若，，且，，则的值为____. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用同角公式及差角的余弦公式计算即得. 【详解】由，且，得， 由，且，得， 所以 . 17. 函数的最大值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】借助二倍角公式将用表示后，利用正弦函数性质与二次函数性质计算即可得. 【详解】 ， 由，故. 18. 对于函数，下列说法正确的序号是___________. ①在上单调递减，在上单调递增 ② ③设有3个不同的零点，则 ④若方程有四个不同的实数根，则 ⑤不等式在时恒成立 【答案】②④⑤ 【解析】 【分析】先确定函数​的定义域，注意为间断点；再求导，根据导数正负判断不同区间的单调性，得到极小值点和极小值，分析在、的取值范围，为后续判断做基础. 对于②，利用在的单调性，结合和的等量关系，比较与的大小. 对于③，将有3个零点转化为有个不同实根，结合的图像，根据的取值范围求解的范围. 对于④，先对二次方程因式分解，得到或，结合的图像，判断两个方程的实根个数之和为时的取值范围. 对于⑤，将不等式在时变形为，构造新函数，通过研究单调性判断不等式是否恒成立. 【详解】先确定函数​的定义域为，求导得， 令，解得. 对于①，当时，单调递减；当时，单调递减； 当时，，单调递增. 且包含和两个不连续的单调递减区间，表述错误，故①错误. 对于②，，因为在单调递增，且， 因此，即，故②正确. 对于③，有个不同的零点,等价于方程有个不同实根. 在处取得极小值，在上， 因此在上的取值范围为，在上的最小值为. 要使方程有个不同实根，需，解得.故③错误. 对于④，对因式分解得， 即或. 结合图像可知有个不同实根，要使原方程共有个不同的实数根， 需也有个不同实根，因此且. 故④正确. 对于⑤，当时，，不等式等价于. 令，求导得. 令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 因此恒成立，在上单调递增， ，即恒成立.故⑤正确. 三、解答题（5小题，共60分，前三道每题10分，后两道每题15分.） 19. 化简求值： （1）； （2）已知为第三象限角，且，若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助对数运算法则计算即可得； （2）借助诱导公式与同角三角函数基本关系计算即可得. 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 ， 则，则， 又为第三象限角，故. 20. 已知，为锐角，，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦的二倍角公式求解； （2）将角拆成，利用两角和的正弦公式求解. 【小问1详解】 因为， 所以． 【小问2详解】 因为为锐角，， 所以， 因为，所以， 又，所以， 所以 ． 21. 已知函数. （1）求的最小正周期与单调递增区间； （2）若，求的最值及相应的取值. 【答案】（1），单调递增区间为 （2）当时，最大值为；当时，最小值为 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式将函数化为后，根据周期公式求出最小正周期，并通过解不等式，求得单调递增区间； （2）通过换元令，根据确定，再结合正弦函数在此区间上的单调性，得到答案. 【小问1详解】 ， 所以； 令，解得， 故单调递增区间为. 【小问2详解】 ，则，， 当即时，最大值； 当即时，最小值. 22. 已知函数． （1）若是函数的极大值点，求实数的取值范围； （2）若，求证：； （3）若，求证：函数有且仅有1个零点． 【答案】（1） （2）证明：由（1）可知，当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以． （3）证明：由（1）可知，①当时，在上单调递增，且， 所以函数有且仅有1个零点； ②当时，在和上单调递增，在上单调递减， 且，所以在区间无零点， 由， 令， 则， 设， 则， 所以在上单调递减， 所以， 所以在上单调递减， 所以 由， 则 所以，即， 又因为，， 所以函数有且仅有1个零点在区间内； 综上所述，若，函数有且仅有1个零点． 【解析】 【分析】（1）利用函数导数与单调性以及函数极值的定义分析求解即可； （2）结合函数单调性分析即可证明； （3）根据函数导数与单调性，函数零点的定义，利用分类讨论分析证明即可. 【小问1详解】 因为，定义域为 所以， ①若，当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 此时是函数的极大值点，符合题意； ②若，则，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 时，，单调递增， 所以是函数的极大值点，符合题意； ③若，则，当时，，单调递增， 此时不是函数的极值点，不符合题意； ④若，则，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 时，，单调递增， 此时是函数的极小值点，不符合题意； 综上所述，实数的取值范围为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 已知函数. （1）若曲线在和处的切线互相平行，求的值 （2）讨论的单调区间； （3）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）. 【解析】 【分析】（1）求导，利用求解即可； （2）对导函数分解因式，分四种情况讨论单调区间； （3）问题等价于上有，利用（2）中单调性结论求出的最大值，再求解的取值范围. 【详解】解：. （1）， 解得. （2）. ①当时，，， 在区间上，；在区间上， 故的单调递增区间是，单调递减区间是. ②当时，， 在区间和上，；在区间上， 故的单调递增区间是和，单调递减区间是. ③当时，，故的单调递增区间是. ④当时，， 在区间和上，；在区间上， 故的单调递增区间是和，单调递减区间是. （3）由已知，在上有. 由已知，，由（2）可知， ①当时，在上单调递增， 故， 所以，解得，故. ②当时，在上单调递增，在上单调递减， 故. 由可知，，， 所以，，， 综上所述，. 【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式； (3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津外国语大学附属滨海外国语学校 2026-2027学年第一学期高三年级数学学科练习 （时间：120分钟 分值：150分） 一、选择题（12小题，共60分，每题5分.） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 4. 设，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知m，n均大于0，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 6 C. D. 10 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 下列函数中最小正周期等于的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 9. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数在区间上单调递增，则正数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 11. 已知二次函数的值域为，且不等式的解集为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 12. 设函数，已知在上有且仅有4个零点，下列说法错误的是（ ） A. 的取值范围是 B. 在上可能有3个极小值点 C. 与直线在上的交点恰有2个 D. 在上单调递减 二、填空题（6小题，共30分，每题5分.） 13. 命题“，”的否定是_________. 14. 已知扇形半径 ，圆心角为，那么它的面积为________． 15. 已知为角终边上一点，则____________． 16. 若，，且，，则的值为____. 17. 函数的最大值为_________. 18. 对于函数，下列说法正确的序号是___________. ①在上单调递减，在上单调递增 ② ③设有3个不同的零点，则 ④若方程有四个不同的实数根，则 ⑤不等式在时恒成立 三、解答题（5小题，共60分，前三道每题10分，后两道每题15分.） 19. 化简求值： （1）； （2）已知为第三象限角，且，若，求的值. 20. 已知，为锐角，，． （1）求的值； （2）求的值． 21. 已知函数. （1）求的最小正周期与单调递增区间； （2）若，求的最值及相应的取值. 22. 已知函数． （1）若是函数的极大值点，求实数的取值范围； （2）若，求证：； （3）若，求证：函数有且仅有1个零点． 23. 已知函数. （1）若曲线在和处的切线互相平行，求的值 （2）讨论的单调区间； （3）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $