精品解析：甘肃省天水市第一中学2026-2027学年高三上学期第二次月考数学试题

天水一中2026～2027学年度第一学期高三第二次月考 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 4．本卷主要命题范围：湘教版必修第一册第一章～第五章5.2，选择性必修第二册第一章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数是定义在上的减函数，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. 6 B. 5 C. 8 D. 9 4. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 若一个扇形的圆心角为，周长为，则该扇形的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. “，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，且，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在范围内，与角终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知角的始边为x轴非负半轴，终边上有一点，则 B. 函数的单调递增区间为 C. 若，，则 D. 已知函数为奇函数，则 11. 已知函数，则（ ） A. 函数的图象过定点 B. 若函数单调递增，则 C. 当时，是函数的极大值点 D. 若的极大值与极小值互为相反数，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题，，则命题p的否定为_______________． 13. 曲线上的点到直线的最短距离是_______________． 14. 已知均为正数，，则的最小值为_______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知角的始边为x轴非负半轴，终边过点． （1）求的值； （2）求的值． 16. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，． （1）求函数的解析式； （2）若关于x的方程恰有两个实数根，求a的取值范围． 17. （1）设曲线在点处的切线与直线垂直，求a的值； （2）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求a的值． 18. 已知幂函数在上单调递增. （1）求函数的解析式； （2）若，求的取值范围； （3）若对，，使得成立，求实数的取值范围. 19. 设函数． （1）当时，求的极值； （2）若当时，恒成立，求的取值范围； （3）当时，若，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天水一中2026～2027学年度第一学期高三第二次月考 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 4．本卷主要命题范围：湘教版必修第一册第一章～第五章5.2，选择性必修第二册第一章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为集合， 又因为集合，所以． 2. 已知函数是定义在上的减函数，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意所求变为或，求解即可得答案． 【详解】因为是定义在上的减函数，且， 所以当时，，当时，， 由， 得或， 即或， 解得或，所以解集为． 故选：C． 3. 已知，则（ ） A. 6 B. 5 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得，利用导数的运算法则，即可求得的值. 【详解】由函数， 即， 可得，所以． 4. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的图象与性质，求得的取值范围，即可求解. 【详解】由指数函数的性质，可得， 又由对数函数的性质，可得， 所以，即． 故选：D． 5. 若一个扇形的圆心角为，周长为，则该扇形的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 设扇形的半径为，则扇形的弧长为， 由题意得：，解得. 6. “，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由正切函数性质，应用定义法判断条件间充分、必要关系. 【详解】当，，则， 当时，，. ∴“，”是“”的充分不必要条件. 故选：A 7. 若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由关于的不等式的解集为，计算可得，代入不等式计算即可求解. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以是方程的两个实数根， 所以， 故不等式可化为， 解得， 所以不等式的解集为. 故选：D 8. 已知函数的定义域为，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，再利用函数的奇偶性推导出的周期，进而利用函数的周期性即可求解． 【详解】由， 则， 即， 所以函数为偶函数， 则， 又， 则， 则， 则， 则， 所以函数是周期为12的偶函数． 在中， 取，则， 又由，则， 所以． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在范围内，与角终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用终边相同的角的定义求解. 【详解】因为，， 所以与角终边相同的角是和， 故选：AC． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知角的始边为x轴非负半轴，终边上有一点，则 B. 函数的单调递增区间为 C. 若，，则 D. 已知函数为奇函数，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，利用三角函数的定义以及两角和的正切公式即可求解；对于B，利用复合函数的单调性即可求解；对于C，利用不等式的性质即可求解；对于D，利用奇函数的性质即可求解. 【详解】对A，因为角的终边上有一点，所以， 则，所以A正确； 对B，令，，因为单调递增， 所以的单调递增区间即为的单调递增区间，且保证， 所以函数的单调递增区间为：，所以B错误； 对C，因为，，所以，则有，所以C正确； 对D，是奇函数， ，，，得， ，，所以D错误． 11. 已知函数，则（ ） A. 函数的图象过定点 B. 若函数单调递增，则 C. 当时，是函数的极大值点 D. 若的极大值与极小值互为相反数，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意得出定点判断A，对函数求导可得函数单调性得出极值点判断B，C，最后根据极值关系计算求参判断D. 【详解】由，过定点，A选项正确 由，可得， 若函数单调递增，则恒成立，则即得，B选项正确； 当时，，当或时，；当时，. 于是在和上都是增函数，在上是减函数， 所以是函数的极小值点，是函数的极大值点，C选项错误； 当时，是函数的极大值点，是函数的极小值点， 的极小值为与极大值， 若的极大值与极小值互为相反数， 则，满足方程， 设， 当时，；当时，. 于是在上是减函数，在上是增函数， 所以，，即方程至少还有一个根在内，D选项不正确； 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题，，则命题p的否定为_______________． 【答案】，． 【解析】 【详解】命题，，则命题p的否定为，． 13. 曲线上的点到直线的最短距离是_______________． 【答案】 【解析】 【详解】可知直线的斜率为， 因为，则， 令，解得，此时， 所以点到直线的距离最短，最短距离为． 14. 已知均为正数，，则的最小值为_______ 【答案】 【解析】 【分析】通过换元将目标表达式转化为关于新变量的式子，再利用基本不等式求最小值，换元后简化了表达式结构，使基本不等式的应用更直观. 【详解】由均为正数，，得，且， 令，则，，， 代入， 得 ， 记，则，且. 表达式化为， 由基本不等式，当且仅当，即时取等号. 此时，解得，故，，满足条件. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知角的始边为x轴非负半轴，终边过点． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 角的终边过点，由定义得； 【小问2详解】 原式． 16. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，． （1）求函数的解析式； （2）若关于x的方程恰有两个实数根，求a的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性求解析式； （2）数形结合判断a的取值范围. 【小问1详解】 因为函数是定义在R上的奇函数， 当时，，当时，； 当时，，所以， 综上，； 【小问2详解】 函数的图象如图所示： 所以且，解得或， 即a的取值范围是． 17. （1）设曲线在点处的切线与直线垂直，求a的值； （2）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求a的值． 【答案】（1）；（2）或． 【解析】 【分析】（1）求得，得到，根据题意，列出方程，即可求解； （2）求得，得到，得出切线方程为，联立方程组，结合一元二次方程的性质，即可求解. 【详解】解：（1）由函数，可得，当时，， 因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以，解得； （2）由函数，可得，当时，， 所以曲线在点处的切线方程为， 因为切线与曲线只有一个公共点， 联立方程组，整理得， 当时，可得，解得，符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数的值为或． 18. 已知幂函数在上单调递增. （1）求函数的解析式； （2）若，求的取值范围； （3）若对，，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由幂函数的概念及单调性列出等式求解即可； （2）由幂函数的单调性列出不等式即可； （3）由题意通过，及，即可求解. 【小问1详解】 由幂函数在上单调递增， 可得，解得， 所以； 【小问2详解】 因为在上单调递增， 则可化为，解得，所以的取值范围为； 【小问3详解】 由（1）知， 因为对，使得都成立， 所以，其中， 由（1）可得函数在上的最大值为8，所以， 因为存在，使得成立，可得， 又因为，所以是关于的单调递增函数， 所以，即，解得或， 所以实数的取值范围为. 19. 设函数． （1）当时，求的极值； （2）若当时，恒成立，求的取值范围； （3）当时，若，证明：． 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） （3）证明如下; 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以， 要证，即证， 只需证明，即证， 令，则需证， 令， 求导， 因为，所以，所以， 所以函数在上单调递增， 所以，所以， 所以， ∴. 【解析】 【分析】（1）求导，令，解得，进而可求得极小值； （2）令，求导，利用分类讨论求得的取值范围； （3）利用已知条件求得，利用分析法可知需证，利用换元法，进而构造函数证明即可. 【小问1详解】 当时，，求导得， 令，解得， 当时，，当时，， 所以时，取得极小值， 极小值为，无极大值； 【小问2详解】 由，可得， 令，则， 令，则， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以，所以，所以， 当时，所以， 函数在单调递增，则， 所以不等式恒成立， 当时， ， 所以函数在单调递增，， 所以不等式恒成立， 当时，令，， 令，， 存在，使得，在，，则在上单调递减，， ，，则在上单调递减，， 即在，，则在上单调递减， 又，故不等式不恒成立， 综上所述：的取值范围为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $