甘肃天水市第一中学2026-2027学年高三第一学期第二次模拟考试数学试题

天水一中高三级2026—2027学年度第一学期第二次模拟 考试数学试题 （时间：120分钟　满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知复数z满足，则（ ） A． B． C． D． 3．设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知直线是函数图象的一条切线，则（ ） A． B． C． D． 5．已知点在角的终边上，将的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则（ ） A． B． C． D． 6．甲袋中有1个白球和1个红球，乙袋中也有1个白球和1个红球．先从甲袋中任取1个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球．则从乙袋中取出的是2个红球的概率为（ ） A． B． C． D． 7．已知函数，若，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则下列结论正确的是（ ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．是偶函数 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．双曲线的上、下焦点分别为，，下面结论正确的是（ ） A．的虚轴长为 B．的离心率为 C．若为上一点，则 D．的渐近线方程为 10．若正实数，满足，则（ ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最大值是9 D．的最小值是 11．已知函数有三个极值点，，，若，则（ ） A． B．为极大值点 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设为等差数列的前项和，若，，则__________． 13．已知，则__________． 14．实数，，成等差数列，点在动直线上的射影为，点的坐标为，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数 （1）若，求函数的值域； （2）在中，，，且锐角满足，求的值． 16．（15分）如图是某机构统计的某地区2016年至2022年生活垃圾无害化处理量（单位：万吨）的折线图． 注：年份代码分别对应年份． 求关于的回归直线方程（系数精确到0.01），并预测2024年该地区生活垃圾无害化处理量． 参考数据：，，， 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小乘估计公式分别为： ， 17．（15分）如图，在三棱锥中，点在上，，，． （1）求证：； （2）若，，，，求直线与平面所成角的正弦值． 18．（17分）已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围． 19．（17分）在平面直角坐标系中，是坐标原点，定义点与点的“曼哈顿距离”为．若点，点， （1）求； （2）已知直线，求点到直线上动点的“曼哈顿距离”最小值； （3）求平面内与两定点和的“曼哈顿距离”之和等于4的点的轨迹围成的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $天水一中高三级2026一2027学年度第一学期第二次模拟 考试数学试题答案 一、选择题 1.A2.A3.B4.D5.A6.B7.C8.B 二、多选题 9.ABD 10.BCD 11.ACD 三、填空题 12.24 13.2V3-1 14.2V2 四、解答题 15.解： ()sin2x+c)sin2x+co22in …（2分) 0≤x≤元 (1) tsπ sin sint在2取最大值1：在3取最小值32 所以/（四的值域为[-6,2] ……(7分) a因%@-1，所如(28+引月 0<B<π<2B+π<4n 又因 2,则3 33」 2B+-5π→2B=元→B= 所以： 36 4…(11分) b2=1P+(2)2-2-1V2cos-1+2-2=1 由余弦定理得， 4 ,故b=1.… (13分) ~7=1+2+3+4+5+6+7=46-刀}2=28 16.解： 7 …（2分) 6-700y-刃-2y-7=4017-4x932=280 …（7分) 6.三6-76，-) 2.89 ≈0.103 ∑- 28 得 -932-131.a=7-7≈131-0103x4=092 又 7 (11分) y关于t的回归方程为夕=0.10t+0.92 …(13分) :2024-2015=9,将2024对应的t=9代入回归方程得：)=0.10×9+0.92=1.82 ∴.预测2024年该地区生活垃圾无害化处理量将约1.82万吨. …（15分) l7.解：(1)证明：因为AE⊥CE且AE⊥DE,CE∩DE=E, 且CE,DEc平面BCD,所以AE⊥平面BCD. 因为CDC平面BCD,所以AE⊥CD 又AD⊥CD,AE∩AD=A,AEC平面ABD, ADC平面ABD,CDC平面ABD,所以CD⊥平面ABD,故CD⊥AB.…(6分) (2)如图所示，以D为原点，DE所在直线为x轴，DC所在直 线为'轴，过点D且垂直于平面BCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系， 可得D0,0,0),C0,25,0.E(20,0).B3,0,0) 因为ELDE且AE=V2,所以42,02) 所以4D-(2,02).B=(0,-2).Ac=(2,25,-2) …（9分) 元·AB=x-V2z=0 设平面ABC的法向量i=(x,少2)，则方·AC=-2x+2V3y-V22=0 可得x=V2z,令2=2，则：x=22,y=V6,即i=(22,N6,2 …(13分) 设AD与平面ABC所成的角为B: AD.n (-2)×22+0+(-√2)x2 sin= 6N2V6 所以 AD州 V(-22+02+(-V2列×V22y+(W62+26x3V23 6 所以AD与平面ABC所成的角为3. (15分) 法二：在Rt△ADE中，AD=VAE2+DE2=V(N2}+2=6 在Rt△ABE中，AB=VAE2+BE2=V(W2+IP=5 由(I)知CD⊥平面ADE,则CD⊥DE,CD⊥AD 在Rt△BDC中，BC=VBD+CD=V32+(23)=V2i 在Rt△ADC中，AC=VAD2+CD2=V6+12=3√2 :AB2+AC2=(N3)2+(32)2=21=BC2, △ABC为直角三角形，则 4B4c-x5×35-3y6 2 设点D到平面ABC的距离为h,AD与平面ABC所成角为B, 由'-c=V4-D得：3S sino=h=2-v6 解得：h=2.所以 AD√63 18.解，①因为后改/间=-am(aeR),f)-a-1 x, 当a≤0时，f'()>0,函数f(x)=lnr-ar在(0，+切)上单调递增： 当a>0时，由f'(x)=0可得=a, 0<x< 1 <x<a,则f()>0:若>a,则f(<0 x> 当a0。是数8月=匹年区a,衣乙+》 综上所述，当a≤0时，函数f()=lnr-的单调增区间为(0，+o） 当a>0时，函数f()=lnr-a“的单调增区间为 用安合 a), a=Inr 2当xeL,e]时，由f)=0,可得a=x. 则直线y=a与函数 (x)=In x的图象有两个交点， 函数8()小u 的定义域为(0，+∞).8'(x)=1-r 由8'(x)=0 可得x=e, 当1<x<时，g()>0,此时函数8(x)单调递增， y=fx) y=a 当e<x<e时，g()<0,此时函数8()单调递减， 所以，函数8(：)的极大值为 o-f0-0.gte)-,a下a 2 1 由图可知，当e2sa< 时，直线y=a与函数 21 因此，实数a的取值范国围是ee 19.解：(1)由“曼哈顿距离”的定义可得(G,B)=1-(-)+0-0=2 (2)设直线2r-y+2=0上动点C的坐标为(，%）， -3x0-1,x0<-1 d(E,C)=x。-1+x,-1+2x+2上+3，-1≤x≤1， 则 3x0+1,x>1 由一次函数单调性可知，当<-l时，d(5,C)>2,当1≤≤1时，2≤d(E,C)≤4， 当>1时，d(E,C)>4 综上，d(5,C的最小值为2. (3)设点D(x),则d(G,D)+d(F,D)=4 即k-(++x-+以=4.=2-0x+4lx-0 将区少入r连方小2一0x+4-0- 所以.方=2-0+4州x- 表示的曲线关于x轴对称， 放载=2-0+H- 王曲y=2-20++x-0 所围成的面积等于曲线 与x轴所围成的面积的2 倍 x+2,x<-1 y=2-0+lx-0=1-1≤xs1 作出函数 2-x,x>1 的图象，如图： 2 易知E(-2,0),F(1,1),G(1,1).H(2,0). ×(2+4)×1=3 四边形EFGH的面积为2 所以所求轨迹围成的面积为6.