精品解析：甘肃兰州市西北师范大学附属中学2026-2027学年高三上学期第一次月考数学试卷

西北师大附中 2026—2027学年第一学期第一次月考考试试题 高三数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的定义域为，设甲：，乙：不是减函数，则（   ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 3. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 设函数，函数的图像经过第一､三､四象限，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，，则该蓄电池的常数大约为（ ） A. 1.25 B. 1.75 C. 2.25 D. 2.55 7. 已知为偶函数的导函数，且，的定义域均为，若对，，且，都有，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若存在两相异实数使，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的单调递减区间是 B. 若，则方程有两个不等的实根 C. 若点是曲线上的动点，则点到直线距离的最小值为 D. 若过点可以作曲线的三条切线，则 11. 已知函数，则（   ） A. B. 是的极值点 C. 当时， D. 当时， 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，过原点作曲线的切线，则切点的横坐标为_____________. 13. 定义在上的函数满足对任意的，都有.设，若，则__. 14. 已知函数，且，则实数的取值范围为___________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤） 15. （1）已知，，，求的最大值； （2）若正数，满足，求的最小值． 16. 已知且． （1）若，解关于的方程； （2）若，求的取值范围． 17. 已知函数，，. （1）当时，若对于任意，，恒成立，求的取值范围； （2）若存在，使得与同时成立，求的取值范围. 18. 已知函数. （1）若，证明：当时，；当时，； （2）若是的极大值点，求的取值范围. 19. 已知函数，其中，，曲线在点处的切线方程为． （1）求，的值； （2）证明：存在唯一的极大值点且； （3）设，为的导数，若方程有两个不相等的实数根，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西北师大附中 2026—2027学年第一学期第一次月考考试试题 高三数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质求出分式不等式的解集即可. 【详解】因为不等式满足，所以， 所以，即，解得. 所以该不等式的解集为. 2. 已知函数的定义域为，设甲：，乙：不是减函数，则（   ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据减函数定义判断充分性，举特例可判断必要性. 【详解】充分性：如果，那么不是减函数，因为减函数要求增大时减小， 所以甲能推出乙，即甲是乙的充分条件； 必要性：不是减函数，它可能是增函数、常函数、或非单调函数， 如果，则，不满足， 所以乙不能推出甲，即甲不是乙的必要条件； 综上，甲是乙的充分条件但不是必要条件， 故选：A. 3. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由指数函数单调性得到值域. 【详解】，又在R上单调递减， 故，又，故值域为. 故选：A 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象. 【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误； 当时，，选项B错误. 故选：A. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 5. 设函数，函数的图像经过第一､三､四象限，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求得，化简得到，结合指数函数的性质，即可求解. 【详解】由函数的图像经过第一､三､四象限，可得， 所以， 又因为，所以的取值范围为. 故选：A. 6. 近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，，则该蓄电池的常数大约为（ ） A. 1.25 B. 1.75 C. 2.25 D. 2.55 【答案】C 【解析】 【分析】利用经验公式将数据代入构造方程组，再由对数运算法则可解得常数. 【详解】根据题意由可得， 两式相除可得，即可得， 两边同时取对数可得，即可得； 即. 故选：C 7. 已知为偶函数的导函数，且，的定义域均为，若对，，且，都有，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用偶函数导函数是奇函数，判断、的单调性，再比较自变量大小判断选项. 【详解】因为为偶函数，所以，故，所以为奇函数，且，因为对，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 又为偶函数，为奇函数，所以在上单调递减，在上单调递减， 可得在上单调递减，可得，所以，A错误； 因为，但不能确定和的正负，所以不能确定和的大小关系，B错误； 因为，在上单调递减，所以，C正确； 因为，在上单调递减，所以，D错误，故选C． 【点睛】偶函数的导数为奇函数，借助奇偶性可由一侧单调性直接推出另一侧单调性. 8. 已知函数，若存在两相异实数使，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，是方程的两个不等实数根，利用根与系数的关系把化为含有的代数式，令，进一步转化为关于的二次函数，再由配方法求最值. 【详解】由题意，当， 有， ， 是方程的两个不等实数根， ，， 而， ，即， ， 令，则， 则当时，有最小值且为. 故选：B 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 【答案】AC 【解析】 【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D. 【详解】由题，，令得或， 令得， 所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确； 因，，， 所以，函数在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故B错误； 令，该函数的定义域为，， 则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 令，可得，又， 当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误. 故选：AC. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的单调递减区间是 B. 若，则方程有两个不等的实根 C. 若点是曲线上的动点，则点到直线距离的最小值为 D. 若过点可以作曲线的三条切线，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，由及函数连续性可判断；对B、D，将问题转化为两个函数图象交点的个数问题，画出函数的大致图象，结合图象可判断；对C，当在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小，求出点坐标，用点到直线距离公式求最值. 【详解】对于A：，由得，又函数在连续， 所以的单调递减区间是，A正确； 对于B：当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，取得最大值，又时，； 时，，所以的图象大致如图： 当时，函数与函数图象有两个交点， 即方程有两个不等的实根，B错误； 对于C：当曲线在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小， 设点，则，解得，此时， 点到直线的距离，C正确； 对于D：设过点的切线切点为，则，整理得， 若过点可以作曲线的三条切线，则函数与函数有三个交点， 对函数， 当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增； 当时，函数单调递减. 又当时，；当时，；时，；时，， 所以函数的图象大致如下： 则当时，函数与函数有三个交点， 此时过点可以作曲线的三条切线，D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，则（   ） A. B. 是的极值点 C. 当时， D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】直接求的值可判断选项A，利用导数分析函数的单调性，可判断选项B,C；分析函数的对称性并结合单调性可判断选项D. 【详解】选项A：由题可知：，所以选项A正确； 选项B：由得函数的定义域为， 在上恒成立，所以函数单调递增，没有极值点，所以选项B错误； 选项C：当时，因为，所以，由选项B知，函数单调递增，所以，所以选项C正确； 选项D：因为函数， 所以， 所以，所以. 当时，，即，由选项B知函数单调递增，所以，所以所以选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，过原点作曲线的切线，则切点的横坐标为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】设切点坐标为，根据导数几何意义可得切线方程，代入坐标原点可构造方程求得. 【详解】函数的定义域为， 设切点为，求导得到， 所以在切点处切线斜率：， 则切线方程为：， 因为切线过原点，所以， 解得：. 13. 定义在上的函数满足对任意的，都有.设，若，则__. 【答案】. 【解析】 【分析】利用抽象函数关系，判断函数是奇函数，结合函数奇偶性建立方程组进行求解即可. 【详解】解：有， ， 即， 令，则有 即，即是奇函数， 若，， 则，① 则，② 两式相加得：， 得， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查函数值的计算，结合抽象函数关系判断函数是奇函数，以及利用奇偶性建立方程组是解决本题的关键.属于中档题. 14. 已知函数，且，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的对称轴，判断出单调性，利用单调性解不等式即可. 【详解】， 令，则，， 所以， 所以为偶函数， 故的图象关于直线对称，所以， 又， 当时，，即，所以，即， 所以在上单调递增，由对称性可知，在上单调递减. 所以等价于或， 解得，或，又，所以或. 故实数的取值范围为. 故答案为：． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤） 15. （1）已知，，，求的最大值； （2）若正数，满足，求的最小值． 【答案】（1）2；（2）8. 【解析】 【分析】（1）由基本不等式可求得答案； （2）由已知得，根据基本不等式可求得答案； 【详解】解：（1），当且仅当即时取等号． 故的最大值为2． （2），即，∵， 故，当且仅当时等号成立， 又，∴时，． 16. 已知且． （1）若，解关于的方程； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）或. （2） 【解析】 【分析】（1）利用对数运算将方程进行化简，然后将视作为整体，解方程即可； （2）根据函数单调性的情况，分情况讨论求解实数a的取值范围. 【小问1详解】 时，， ， 方程，即，化简得， 所以或，解得或. 【小问2详解】 ， ①当时，函数在上单调递减， 故，解得：，此时； ②当时，函数在上单调递增， 故，解得：， 综上可得的取值范围为. 17. 已知函数，，. （1）当时，若对于任意，，恒成立，求的取值范围； （2）若存在，使得与同时成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据双变量恒成立的条件，判断出在上的最小值大于在上的最大值，进而根据函数单调性，求出函数在定义域内的最值，列出不等式，求出参数的范围； （2）根据不等式存在成立的条件，由二次不等式的性质，求出参数的范围，分别进行讨论，判断不等式存在成立时的最值情况，根据参数范围，求出在区间内的单调性和最值，判断是否符合题意，求出结果. 【小问1详解】 对于任意，，恒成立，即在上的最小值大于在上的最大值， 可知在时，函数在上单调递增，在上的最大值为， 函数的对称轴为， 当，函数在上单调递增，最小值为， 此时有，解得，此时的取值范围， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，最小值为， 此时有，解得，此时的取值范围， 当，函数在上单调递减，最小值为， 此时有，解得，此时无解， 综上所述，的取值范围. 【小问2详解】 存在，成立，由，可得，解得或， 当时，，解得， 若存在，使得与同时成立，即在有解，即当时，在上的最小值为负数， 函数的对称轴为，在时，在上单调递增，最小值为不符合题意； 当时，，解得， 若存在，使得与同时成立，即在有解，即当时，在上的最小值为负数， 函数的对称轴为，在时，在上单调递减，最小值为，符合题意； 综上所述，的取值范围. 18. 已知函数. （1）若，证明：当时，；当时，； （2）若是的极大值点，求的取值范围. 【答案】（1）证明：当时，，令， 则， 当时，，单调递增；又 所以当时，，即，整理得，即； 当时，，即，整理得，即. （2） 【解析】 【分析】（1）构造，求导判定单调递增，结合完成证明； （2）先排除，再构造，利用原点附近分母为正，将在是否为极大值点等价转化为是否为极大值点的问题，分情况讨论在原点邻域的符号，验证得到仅满足条件. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，若， 则由（1）可得， 与是的极大值点矛盾； 当时，令， 因为当时，， 所以是否为的极大值点的结论，与是否为的极大值点的结论相同. 则， 若，则当，且时，，单调递增，不是的极大值点； 若，则对方程，， 设方程的两根为且，则，， 所以，当时，，单调递减， 所以不是的极大值点； 若，则，此时，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以是的极大值点，从而也是的极大值点. 综上，的取值范围是. 19. 已知函数，其中，，曲线在点处的切线方程为． （1）求，的值； （2）证明：存在唯一的极大值点且； （3）设，为的导数，若方程有两个不相等的实数根，，证明：． 【答案】（1） （2）由上知，则， 设，则，令，即， 即， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， ，且，且在单调递减， 由零点存在性定理得在存在唯一零点，记为， ，，且在单调递增， 由零点存在性定理得在存在唯一零点，记为， 综上，当时，，单调递增， 当时，， 单调递减， 所以是唯一的极大值点，且， 所以有，即， 将其代入到中得， 因为，所以，且， 两式相乘得， 两边同时加上得，即证. （3）不妨设，由上知的极大值点， 因为在单调递增，在单调递减，所以. 要证，即证，即， 因为，所以， 又因为，且在上单调递增，故可证， 由于，问题等价于证明， 设，其中， 则， ，则， 其中，则， 因此， 因为，则， 当且仅当时等号成立， 由于，故等号不成立，所以，所以恒成立， 则在上单调递减， 因为，所以当时，， 代入，可得， 即， 即，整理得， 代入，即证. 【解析】 【分析】（1） 利用切点在曲线上与切点处导数值等于切线斜率这两个条件建立方程组，并结合参数为整数的条件解出未知数. （2） 通过二次求导分析一阶导数的单调性与零点，从而确认唯一极大值点的位置，接着利用极值点处导数为零的条件进行不等式的放缩与证明. （3）构造辅助函数，利用求导证明其单调性，从而将函数值的大小关系转化为两根之和的不等关系. 【小问1详解】 ，由题意得， 且，代入得， 因为，所以，显然时等式成立， 设，当时， 即在上单调递增，故是唯一正整数解，解得， 则. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $