精品解析：山东省济南燕山中学2026-2027学年上学期七年级10月学情自测数学试题

40级阶段性素养测试（数学） 一、选择题： 1. 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．如果收入元记作元，那么支出元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 《黑神话：悟空》游戏中，某关卡设定角色的初始血量为点，战斗中回血记作正数、掉血记作负数．若角色本关的四个气血变化依次为、、、，则本关结束时该角色的血量为（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 3. 下列说法正确的是（ ） A. 所有整数都是正数 B. 所有分数都是有理数 C. 零是最小的整数 D. 有理数就是指正数和负数 4. “红军不怕远征难，万水千山只等闲”．数据看长征，从年月至年月，历时天，中央红军行程二万五千里，主力红军总行程超六万五千里．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 有理数、在数轴上的位置如图所示（在原点左侧，在原点右侧），则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列各式中错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是20时，根据程序计算，第一次输出的结果为10，第二次输出的结果为5．…这样下去第2026次输出的结果为（ ） A. B. C. D. 8. 对于有理数，定义一种新运算“”，规定，则（ ） A. 77 B. C. 63 D. 13 9. 正六边形（六条边相等）在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为2…按此规律继续翻转下去，数轴上数2026所对应的顶点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 10. 我国古代算盘（如图1）暗藏着十六进制，其算珠结构为“上二下五”，上珠以一当五，下珠以一当一．当算盘归零时，上下珠靠框，拨珠时靠梁，上珠下拨，下珠上拨．每档代表一个数位，从右往左数位依次增加．若通过“逢十六进一”的运算规则，则可适配古代重量单位“一斤等于十六两”的度量体系．图2表示的十六进制数为，通过（规定：时，），可知表示的十进制数为97．若十进制数88用该算盘表示为十六进制数，正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题： 11. 若m与互为相反数．则m的值为_______． 12. 已知点在数轴上的位置如图，则其中对应的数的绝对值最大的点是点_____． 13. 已知a为有理数，则的最小值为________． 14. 如图所示，在圆环的10个空格内分别填入1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字，将所有相邻两个格子（具有公共边）内的两数之差的绝对值相加，若使这个和最大，则此最大值为___________． 15. 这组数字的第7个数是__________． 16. 在一组互不相等的正整数中任意提取个数，若这个数的和与积相加正好等于这个数的和，则称这样的提取为完美提取．例如：在1，2，3，4，5中，因为这五个数的和为15，所以提取1，2，4这三个数就是完美提取（提取的数字相同，排序不同，属于同一种提取）．若要在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数中实现完美提取，下列说法：①6，7是这十个数中的一种完美提取；②1，2，4，5是这十个数中的一种完美提取；③这十个数的完美提取一共有4种．其中正确的说法是_____（填序号）． 三、解答题： 17. 把下列各数填在相应的集合里： ． 正有理数集合：{_________________________…} 负有理数集合：{_________________________…} 整数集合：{_________________________…} 非负整数集合：{_________________________…} 18. 计算： （1） （2） （3） （4） 19. 如图，数轴上每相邻两个刻度之间的距离为1个单位长度，点表示的数是． （1）在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是_____． （2）在数轴上表示，并用“”把这些数按从小到大连接起来． 20. 阅读下面解题过程： 计算： 解：原式…………① …………② …………③ （1）上面解题过程中有两处错误，第一处是第_____步，第二处是第_____步； （2）请你写出这道题的正确解答过程． 21. 出租车司机小李某天上午营运时是在东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接六位乘客的行车里程（单位：）如下： ． （1）将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ （2）若汽车的耗油量为，这天上午小李接送乘客，共耗油多少升？ （3）若出租车起步价为8元，起步里程为（包括），超过部分每千米12元，问小李这天上午共得车费多少元？ 22. 已知三点在不完整的数轴上的位置如图所示，它们表示的数分别是 （1）比较大小：__________0（填写“＞”或“＜”） （2）若，请把的倒数表示在数轴上； （3）在（2）的条件下，点从点出发，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，求此时点在数轴上表示的数． 23. 在学习了有理数的除法后，我们知道了有理数的除法可以转化为乘法，除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数．请根据所学知识完成下列问题： （1）根据倒数的定义我们知道，若，则_____； （2）计算：； （3）根据以上信息可知：_____． 24. 材料：杨辉三角（如图），出现在中国宋朝时期数学家杨辉的著作《详解九章算法》中，是我国数学史上一颗璀璨的明珠，是居于世界前列的数学成就，杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律，蕴含很多有趣的数学性质，运用规律可以解决很多数学问题． 计算公式 各项的系数 各项系数和 1 2 4 8 16 结合材料，回答以下问题： （1）多项式展开式共有_____项，各项系数和为_____； （2）利用展开式规律计算：_____； （3）我们借助杨辉三角中第三斜行的数：，记，则_____；_____（用表示）；_____． 25. 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点和点表示的数为，则两点之间的距离，若，则可化简为．若点为数轴上一动点，点对应的数记为，请你利用数轴解决以下问题： （1）若点与表示有理数的点的距离是3个单位长度，则的值为_____； （2）表示数轴上点到有理数_____所对应的点之间的距离，表示数轴上点到有理数_____所对应的点之间的距离； （3）利用数轴，找出所有符合条件的整数，使得．则这样的整数有_____，共_____个． （4）若数轴上比小2的数用表示，比大5的数用表示，则的最小值为_____ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 40级阶段性素养测试（数学） 一、选择题： 1. 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．如果收入元记作元，那么支出元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】根据收入记正的规定，结合相反意义的量求解． 【详解】解：收入元记作元，支出与收入是具有相反意义的量， 支出元记作元． 2. 《黑神话：悟空》游戏中，某关卡设定角色的初始血量为点，战斗中回血记作正数、掉血记作负数．若角色本关的四个气血变化依次为、、、，则本关结束时该角色的血量为（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】B 【解析】 【分析】将四次气血变化相加，结果为，用初始血量加上即可． 【详解】解：把四次气血变化相加得， 则本关结束时该角色的血量为（点）． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 所有整数都是正数 B. 所有分数都是有理数 C. 零是最小的整数 D. 有理数就是指正数和负数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整数、有理数的定义和分类，解题的关键在于明确整数、有理数的定义和分类，然后逐一分析选项． 【详解】解：整数包含正整数、、负整数， 所有整数都是正数的说法错误，也不是最小的整数，即、错误； 有理数分为整数和分数， 所有分数都是有理数，即正确； 有理数包含正有理数、0、负有理数， 有理数并非仅指正数和负数，即错误． 4. “红军不怕远征难，万水千山只等闲”．数据看长征，从年月至年月，历时天，中央红军行程二万五千里，主力红军总行程超六万五千里．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于1时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数． 【详解】解：． 5. 有理数、在数轴上的位置如图所示（在原点左侧，在原点右侧），则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由数轴可得，，故C符合题意． 6. 下列各式中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A. ，正确； B. ∵，， ∴，正确； C. ∵，， ∴，正确； D. ∵，， 又∵，，， ∴，即，原式错误． 7. 程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是20时，根据程序计算，第一次输出的结果为10，第二次输出的结果为5．…这样下去第2026次输出的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据程序计算得出前8次输出的结果，得出一般规律，据此解答即可． 【详解】解：由题意得：第1次输出的结果为， 第2次输出的结果为， 第3次输出的结果为， 第4次输出的结果为， 第5次输出的结果为， 第6次输出的结果为， 第7次输出的结果为， 第8次输出的结果为， 由此可知，从第5次开始，输出的结果以为一个周期循环的， ∵， ∴第2026次输出的结果与第7次输出的结果相同，即为． 8. 对于有理数，定义一种新运算“”，规定，则（ ） A. 77 B. C. 63 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】根据新运算将数值代入计算即可． 【详解】解： ． 9. 正六边形（六条边相等）在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为2…按此规律继续翻转下去，数轴上数2026所对应的顶点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】D 【解析】 【分析】根据正六边形翻转规律，确定数轴上整数点对应的顶点呈周期性变化，周期为6，据此解答即可． 【详解】解：由题意得，点，，，，，对应的数分别为0，1，2，3，4，5， 点再次对应的数为6，点再次对应的数为7， 顶点对应的数以6为周期循环， ， 数2026对应的顶点与数4对应的顶点相同，即为点． 10. 我国古代算盘（如图1）暗藏着十六进制，其算珠结构为“上二下五”，上珠以一当五，下珠以一当一．当算盘归零时，上下珠靠框，拨珠时靠梁，上珠下拨，下珠上拨．每档代表一个数位，从右往左数位依次增加．若通过“逢十六进一”的运算规则，则可适配古代重量单位“一斤等于十六两”的度量体系．图2表示的十六进制数为，通过（规定：时，），可知表示的十进制数为97．若十进制数88用该算盘表示为十六进制数，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数制转换，算盘的算珠表示规则及数字表示的逻辑推理，根据题意理解十六进制转十进制的规则，再分析算盘的算珠表示规则，将十进制数88转化为十六进制数，逐一验证选项中算盘的算珠表示是否对应，选出正确选项即可． 【详解】解：A项：，不符合题意； B项：，不符合题意； C项：，符合题意； D项：，不符合题意， 故选：C． 二、填空题： 11. 若m与互为相反数．则m的值为_______． 【答案】 【解析】 【详解】本题考查了相反数，绝对值，关键是掌握相反数的定义，绝对值的意义．负数的绝对值是它的相反数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案． 解：， 与互为相反数， ． 故答案为：． 12. 已知点在数轴上的位置如图，则其中对应的数的绝对值最大的点是点_____． 【答案】Q 【解析】 【分析】根据绝对值越大的数离数轴原点越远，进行作答即可． 【详解】解：结合数轴，点离数轴原点最远，则点对应的数的绝对值最大． 13. 已知a为有理数，则的最小值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据绝对值的非负性，，从而确定表达式的最小值． 【详解】解：∵， ∴， 故最小值为3． 故答案为：3． 14. 如图所示，在圆环的10个空格内分别填入1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字，将所有相邻两个格子（具有公共边）内的两数之差的绝对值相加，若使这个和最大，则此最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知及要求，1~10的十个数字应大小间隔相排，如10，1，9，2，8，3，7，4，6，5且相邻两个格子(具有公共边)两个数之差的绝对值之和最大． 【详解】解：如图所示： 最大值． 故此最大值为50． 15. 这组数字的第7个数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先确定数的符号：根据数的属性与序号的关系确定，再确定分子是常数1，确定分母的规律，解答即可． 本题考查了有理数乘方的规律探索，熟练掌握规律探索是解题的关键． 【详解】解：根据题意，第1个数为：，第2个数为：， 第3个数为：，第4个数为：， 故第n个数为， 当时，第7个数是． 故答案为：． 16. 在一组互不相等的正整数中任意提取个数，若这个数的和与积相加正好等于这个数的和，则称这样的提取为完美提取．例如：在1，2，3，4，5中，因为这五个数的和为15，所以提取1，2，4这三个数就是完美提取（提取的数字相同，排序不同，属于同一种提取）．若要在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数中实现完美提取，下列说法：①6，7是这十个数中的一种完美提取；②1，2，4，5是这十个数中的一种完美提取；③这十个数的完美提取一共有4种．其中正确的说法是_____（填序号）． 【答案】① 【解析】 【分析】根据完美提取的定义计算可得①正确，②错误；再根据完美提取的定义枚举所有符合条件的情况即可得③错误． 【详解】解：∵，， ∴， ∴6，7是这十个数中的一种完美提取；则说法①正确； ∵， ∴， ∴1，2，4，5不是这十个数中的一种完美提取；则说法②错误； 枚举所有符合条件的完美提取如下： 当时，只有6，7符合，共1种； 当时，只有1，4，10符合，共1种； 当时，只有1，2，3，7符合，共1种； 当，且为整数时，最小的乘积为，则没有符合条件的； ∴这十个数的完美提取一共有3种，则说法③错误； 综上，正确的说法是①． 三、解答题： 17. 把下列各数填在相应的集合里： ． 正有理数集合：{_________________________…} 负有理数集合：{_________________________…} 整数集合：{_________________________…} 非负整数集合：{_________________________…} 【答案】；；； 【解析】 【分析】根据有理数的分类方法可得答案． 【详解】解：， 是负有理数，是整数， 是负有理数， 是正有理数 是正有理数，是整数，是非负整数， 是负有理数， 是整数，是非负整数， 是正有理数， 是负有理数， 是正有理数，是整数，是非负整数， 是负有理数， 正有理数集合：{…}； 负有理数集合：{…}； 整数集合：{…}； 非负整数集合：{…}． 18. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 【小问3详解】 解：原式 【小问4详解】 解：原式 19. 如图，数轴上每相邻两个刻度之间的距离为1个单位长度，点表示的数是． （1）在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是_____． （2）在数轴上表示，并用“”把这些数按从小到大连接起来． 【答案】（1），4 （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：在数轴上标出原点：略． ∵点表示的数是，点之间共有7个单位长度， ∴点所表示的数是． 【小问2详解】 解：，， 在数轴上表示这四个数：略． 由数轴可知，． 20. 阅读下面解题过程： 计算： 解：原式…………① …………② …………③ （1）上面解题过程中有两处错误，第一处是第_____步，第二处是第_____步； （2）请你写出这道题的正确解答过程． 【答案】（1）②③ （2）36 【解析】 【分析】（1）第②步运算顺序出错；第③步运算符号出错； （2）根据乘除运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：第②步运算顺序出错；第③步运算符号出错； 【小问2详解】 解：原式 ． 21. 出租车司机小李某天上午营运时是在东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接六位乘客的行车里程（单位：）如下： ． （1）将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ （2）若汽车的耗油量为，这天上午小李接送乘客，共耗油多少升？ （3）若出租车起步价为8元，起步里程为（包括），超过部分每千米12元，问小李这天上午共得车费多少元？ 【答案】（1）小李在出发点西处； （2）共耗油升； （3）小李这天上午共得车费元． 【解析】 【分析】（1）根据正负数的意义，将记录的行车里程相加的结果为正数，就在出发点东，为负数就在出发点西； （2）将记录的行车里程绝对值相加即为行驶的总路程，与耗油量相乘即得结果； （3）行车里程记录中绝对值小于等于的每次收费元，超过的收起步价再加上超出的费用，最后所有费用相加即可． 【小问1详解】 解：， 故将最后一位乘客送到目的地时，小李在出发点西处； 【小问2详解】 解： ， 故这天上午小李接送乘客，共耗油升； 【小问3详解】 解：行车里程不超过的有4位乘客， 故所收车费为（元） 行车里程为的乘客车费为（元） 行车里程为的乘客车费为（元） （元） 答：小李这天上午共得车费元． 22. 已知三点在不完整的数轴上的位置如图所示，它们表示的数分别是 （1）比较大小：__________0（填写“＞”或“＜”） （2）若，请把的倒数表示在数轴上； （3）在（2）的条件下，点从点出发，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，求此时点在数轴上表示的数． 【答案】（1）， （2）在数轴上表示如图所示： （3） 【解析】 【分析】（1）由数轴可得，，，即可得出答案； （2）的倒数为，再将表示在数轴上即可； （3）根据题意即可求解． 【小问1详解】 解：由数轴可得，，， ∴，； 【小问2详解】 解：的倒数为， 数轴见答案； 【小问3详解】 解：∵，点从点出发，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度， ∴， 即点在数轴上表示的数是． 23. 在学习了有理数的除法后，我们知道了有理数的除法可以转化为乘法，除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数．请根据所学知识完成下列问题： （1）根据倒数的定义我们知道，若，则_____； （2）计算：； （3）根据以上信息可知：_____． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据倒数的定义求解即可； （2）先将除法转化为乘法，再利用乘法分配律计算即可； （3）根据倒数的定义结合（1）（2）求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴． 【小问2详解】 解：原式 ． 【小问3详解】 解：由（1）（2）可知，． 24. 材料：杨辉三角（如图），出现在中国宋朝时期数学家杨辉的著作《详解九章算法》中，是我国数学史上一颗璀璨的明珠，是居于世界前列的数学成就，杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律，蕴含很多有趣的数学性质，运用规律可以解决很多数学问题． 计算公式 各项的系数 各项系数和 1 2 4 8 16 结合材料，回答以下问题： （1）多项式展开式共有_____项，各项系数和为_____； （2）利用展开式规律计算：_____； （3）我们借助杨辉三角中第三斜行的数：，记，则_____；_____（用表示）；_____． 【答案】（1）6，32 （2） （3）36，， 【解析】 【分析】（1）总结规律得多项式展开式共有项，各项系数和为， （2）令中，，由展开式得，从而即可得解； （3）总结规律得，，从而代入求解即可． 【小问1详解】 解：多项式展开式共有项，各项系数和为； 多项式展开式共有项，各项系数和为； 多项式展开式共有项，各项系数和为； 多项式展开式共有项，各项系数和为； ∴多项式展开式共有项，各项系数和为； 【小问2详解】 解：由（1）知，多项式展开式各项系数为， 则中，， ∴， ， ∴原式； 【小问3详解】 解：， ， ， … ∴； ∴， . 25. 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点和点表示的数为，则两点之间的距离，若，则可化简为．若点为数轴上一动点，点对应的数记为，请你利用数轴解决以下问题： （1）若点与表示有理数的点的距离是3个单位长度，则的值为_____； （2）表示数轴上点到有理数_____所对应的点之间的距离，表示数轴上点到有理数_____所对应的点之间的距离； （3）利用数轴，找出所有符合条件的整数，使得．则这样的整数有_____，共_____个． （4）若数轴上比小2的数用表示，比大5的数用表示，则的最小值为_____ 【答案】（1）2或 （2）2， （3），，，，，0，1，2；8 （4）14 【解析】 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离求解即可； （2）根据数轴上两点间的距离和绝对值的几何意义求解即可； （3）根据数轴上两点间的距离和绝对值的几何意义求解即可； （4）根据题意得出，，从而得出，根据数轴上两点间的距离和绝对值的几何意义得出当有理数所对应的点在有理数4所对应的点和有理数所对应的点之间时，最小，最小值为，即可求出的最小值． 【小问1详解】 解：∵点与表示有理数的点的距离是3个单位长度， ∴或； 【小问2详解】 解：表示数轴上点到有理数2所对应的点之间的距离， 表示数轴上点到有理数所对应的点之间的距离； 【小问3详解】 解：表示数轴上点到有理数2所对应的点之间的距离与数轴上点到有理数所对应的点之间的距离之和为7， ∵， ∴点在有理数2所对应的点和有理数所对应的点之间，包括2和， ∴这样的整数有，，，，，0，1，2，共8个； 【小问4详解】 解：∵数轴上比小2的数用表示，比大5的数用表示， ∴，， 则， 表示数轴上有理数所对应的点到有理数4所对应的点之间的距离与数轴上有理数所对应的点到有理数所对应的点之间的距离之和， 当有理数所对应的点在有理数4所对应的点和有理数所对应的点之间时，最小，最小值为， 则的最小值为14． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $