精品解析：福建厦门市央美恒一高级中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试卷

央美恒一2026～2027学年上学期高二年级第一次月考 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点关于平面对称时，横坐标,纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数即可得到答案. 【详解】根据点关于平面对称时， 横坐标,纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数可知， 点关于平面的对称点为， 故选：C. 2. 已知平面外的直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ） A. l与斜交 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到，即可得到答案. 【详解】由平面外的直线l的方向向量为，平面的一个法向量为， 可得，所以，则. 故选：C. 3. 如图，在直三棱柱中，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由空间向量线性运算即可求解. 【详解】由题意可得 . 故选：B 4. 如果，，三点共线，那么（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】确定，，根据共线得到，计算得到答案. 【详解】即，， ，，三点共线，故， 即，解得，，，故. 故选：D 5. 如图，四面体的所有棱长都是2，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】确定，再计算向量的数量积得到答案. 【详解】四面体的所有棱长都是2，故， . 故选：C. 6. 已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（ ）. A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】利用共面向量的性质，得到三个向量之间的关系，再利用待定系数法解得未知量． 【详解】向量，，共面，存在实数，使得，即． ，． 故选：D． 7. 已知在直三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求两异面直线夹角的余弦值. 【详解】在直三棱柱中以B为顶点，BA为x轴，在平面ABC内过点B作垂直于AB的直线为y轴，为z轴建立空间直角坐标系如图所示： ， ，， 设异面直线与所成角为， 则. 故选：A 8. 已知MN是正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，正方体的棱长是，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的数量积计算得，通过的范围求解即可． 【详解】设正方体为，正方体内切球球心为S，MN是该内切球的任意一条直径，则内切球的半径为， 因为点P在正方体表面上运动， 当P为正方体的表面正方形的中心时，可取到最小值， 当P为正方体的顶点时，可取到最大值， 故，则 即 故选：C． 二、多项选择题（本题共3小题，每题6分，共18分，部分选对得部分分，选错不得分.） 9. 已知空间向量，，则（ ） A. B. C. D. 在的投影向量的坐标是 【答案】AD 【解析】 【分析】根据空间向量坐标运算法则计算可得. 【详解】因为，， 所以，故A正确； ，故B错误； ，所以，故C错误； 又， 所以在的投影向量为，故D正确； 故选：AD 10. 若为空间中不同的四点，则下列各式结果一定是零向量的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算逐一计算可判断其正误. 【详解】对于A，， 结果不一定为零向量，故A错误； 对于B， ，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：BCD. 11. 在棱长为2的正方体中，点满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则面 B. 若，则 C. 若，则到平面的距离为 D. 若时，直线与平面所成角为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用面面平行判断线面平行，即可判断A，建系后写出相关点的坐标，对于B，利用向量的数量积的坐标公式计算即可判断；对于C，利用空间中点到平面的距离公式计算即可：对于D，由条件求得，利用线面角的向量求法得到，借助于函数的单调性即可求得的范围. 【详解】连结，由可知，点在线段上， 因为，平面，平面，所以平面， 同理平面，且，且平面， 所以平面平面，平面，所以平面，故A正确； 如图以为原点建立空间直角坐标系，则 ，， 对于A，， 则，得，则， ，A正确： 对于B，由A分析可得， 故不与垂直，故B错误； 对于C，时，，又， 设平面的法向量为，则， 故可取，又， 则到平面的距离为，故C正确： 对于D，当时，，则， 又由C已得平面的法向量为， 则 当， 当， 因在上单调递减，则，则有， 则，则当时，，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知点，点，点，则点到直线的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据点到直线距离的向量坐标公式计算即可求解. 【详解】因为点，点，点， 所以， 取 则， 得点到直线的距离为：， 故答案为： 13. 已知A,B,C三点不共线，对空间任意一点O，都满足.若A,B,C,D四点共面，则m＝______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理的推论求解. 【详解】因为A,B,C,D四点共面，所以3＋2－3m＋m＝1，解得m＝2. 14. 已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，，且的夹角为钝角， 所以且与不共线， 由，则解得， 当与共线时，，则，解得， 综上可得实数λ的取值范围为． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知空间向量． （1）若，求； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量共线定理，列式求解x的值，则得，由向量模的坐标运算求解即可； （2）利用向量垂直的坐标表示，求出x的值，则得，由空间向量的夹角公式求解即可． 【小问1详解】 空间向量，，， 因为，所以存在实数k，使得， 所以，解得，所以， 则． 【小问2详解】 因为，则，解得， 所以， 故． 16. 如图所示，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为2，且两两夹角为，与的交点为，点在上，且，，，. （1）用，，表示，； （2）求的长度. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据几何关系，结合向量的运算法则即可； （2）用基向量表示，再用数量积的运算法则求解即可； 【小问1详解】 ， . 【小问2详解】 由（1）知 ∴ ∴， 即的长度为. 17. 在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，，，点在上，且． （1）求异面直线与夹角的余弦值； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与夹角的余弦值. （2）利用向量法求得点到平面的距离． 【小问1详解】 依题意可知两两相互垂直， 以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，如图所示， 可得， ，， 即异面直线与夹角的余弦值为. 【小问2详解】 设平面的一个法向量， ， 由，得，于是平面的一个法向量， 点到平面的距离． 18. 如图，已知四棱锥中，底面为矩形，平面，. （1）求证：当时，平面平面； （2）当时， ①求平面与平面的夹角大小； ②求与平面成角的正弦值. 【答案】（1）因为平面，且平面，所以， 又因为底面为矩形，，所以底面为正方形，即， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面． （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直证明线线垂直，再结合正方形对角线垂直，可证明线面垂直，即证明面面垂直； （2）以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求法向量，从而可求二面角的大小和线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】    ①因为平面，平面， 所以， 因为四边形为矩形，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 由， 可得： 则， 设平面的法向量为， 则， 即，令，则，所以， 设平面的法向量为， 则， 即，令，则，所以， 由， 设平面与平面的夹角为，则， 则平面与平面的夹角为； ②设与平面成的角为， 则, 即与平面成角的正弦值为. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，M为棱的中点. （1）证明：平面； （2）若，， （ⅰ）求二面角的余弦值； （ⅱ）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）取的中点，连接，， 为中点，是的中位线， ，且， 由题意得，，， 且， 四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 由线面平行的判定定理得：平面. （2） 二面角的余弦值为 设，， ，，则， ，平面的法向量，， 点到平面的距离公式： ， 令，即， ，，即，解得， 故线段上存在满足条件的点， ， . 【解析】 【分析】取中点，可证四边形是平行四边形，可得，得证； 建立空间直角坐标系，利用向量法求解；假设存在点到平面的距离为，利用点到面距离的向量法求解即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 ，，， ，， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， ，以为原点，分别以的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系， 由已知得各点坐标： ， 是中点，. ， 设平面的法向量为， 令，解得，得， 平面在平面内，取平面的一个法向量， ， 由图可知二面角为钝二面角， 二面角的余弦值为； 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 央美恒一2026～2027学年上学期高二年级第一次月考 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面外的直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ） A. l与斜交 B. C. D. 3. 如图，在直三棱柱中，若，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如果，，三点共线，那么（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图，四面体的所有棱长都是2，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 6. 已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（ ）. A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7. 已知在直三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知MN是正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，正方体的棱长是，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每题6分，共18分，部分选对得部分分，选错不得分.） 9. 已知空间向量，，则（ ） A. B. C. D. 在的投影向量的坐标是 10. 若为空间中不同的四点，则下列各式结果一定是零向量的是（ ） A. B. C. D. 11. 在棱长为2的正方体中，点满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则面 B. 若，则 C. 若，则到平面的距离为 D. 若时，直线与平面所成角为，则 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知点，点，点，则点到直线的距离为__________. 13. 已知A,B,C三点不共线，对空间任意一点O，都满足.若A,B,C,D四点共面，则m＝______. 14. 已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知空间向量． （1）若，求； （2）若，求的值． 16. 如图所示，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为2，且两两夹角为，与的交点为，点在上，且，，，. （1）用，，表示，； （2）求的长度. 17. 在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，，，点在上，且． （1）求异面直线与夹角的余弦值； （2）求点到平面的距离． 18. 如图，已知四棱锥中，底面为矩形，平面，. （1）求证：当时，平面平面； （2）当时， ①求平面与平面的夹角大小； ②求与平面成角的正弦值. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，M为棱的中点. （1）证明：平面； （2）若，， （ⅰ）求二面角的余弦值； （ⅱ）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $