专题1.2 有理数及其大小比较（5大知识点+10大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数及其大小比较核心知识点，系统梳理有理数的概念与分类、数轴三要素及应用、相反数的代数与几何意义、绝对值的非负性及化简、有理数大小比较的多种方法，构建从概念到工具再到应用的完整学习支架。 资料通过分层题型设计（基础必考、培优高频、压轴素养），结合实际情境应用题（如食品质量检测）和规律探究题（如数轴动点），培养学生的抽象能力、几何直观与创新意识。课中辅助教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

专题1.2 有理数及其大小比较 知识点1：有理数的概念与分类 　　1、有理数定义：能够写成分数形式（为整数，）的数叫做有理数。整数和分数统称为有理数。 　　2、核心辨析：有限小数、无限循环小数都可以化为分数，属于有理数；无限不循环小数不能化为分数，不是有理数。 　　3、有理数分类，两种分类标准不混淆、不重复、不遗漏： 分类标准 详细分类 备注说明 按定义分类 有理数分为整数、分数；整数包含正整数、0、负整数；分数包含正分数、负分数 整数可写成分母为1的分数，但不属于分数范畴 按性质符号分类 有理数分为正有理数、0、负有理数；正有理数包含正整数、正分数；负有理数包含负整数、负分数 0是有理数，既不是正数也不是负数 　　4、特殊数集定义 数集名称 组成范围 数集名称 组成范围 非负数 正数、0 非正数 负数、0 非负整数 正整数、0（自然数） 非正整数 负整数、0 知识点2：数轴 1、数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴，原点、正方向、单位长度是数轴的三大核心要素，缺一不可。 　　2、画法规范：先画水平直线，选取原点（表示0），向右规定为正方向并标注箭头，选取统一长度作为单位长度，依次标注整数刻度。 　　3、数轴与有理数的关系：所有有理数都可以用数轴上唯一的点表示，但数轴上的点不都表示有理数；原点右侧的点表示正数，左侧的点表示负数。 　　4、两点距离公式：数轴上两点所表示数分别为，两点间距离为。 知识点3：相反数 　　1、定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0。 　　2、代数表示：任意有理数的相反数是。 　　3、几何意义：数轴上互为相反数的两个点，位于原点两侧，且到原点的距离相等。 　　4、多重符号化简规则：符号个数决定结果，偶数个负号结果为正，奇数个负号结果为负，正号不影响最终结果。 　　5、核心性质：若互为相反数，则。 知识点4：绝对值 　　1、定义：数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 　　2、绝对值代数性质 　　若，则；若，则；若，则。 　　3、非负性：任意有理数的绝对值都是非负数，即；若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0。 知识点5：有理数的大小比较 　　1、数轴比较法：数轴上左边的数始终小于右边的数，是有理数大小比较的通用方法。 　　2、性质比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数。 　　3、负数比较法：两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。 　　4、作差比较法：若，则；若，则；若，则。 【基础必考题型】 【题型1】有理数概念辨析与分类 1.核心知识点 　　掌握有理数的定义，能精准区分有理数与无限不循环小数。 　　熟练掌握有理数两种分类标准，准确区分整数、分数、正负数及各类特殊数集。 　　明确0的特殊性，掌握非负数、非正数等特殊数集的组成范围。 2.解题方法技巧 　　逐一筛查数字，优先区分无限不循环小数，快速排除非有理数。 分类时严格遵循单一标准，不混用分类依据，避免重复、遗漏，重点标注0的归属。 【例题1】.（2026·山东菏泽·二模）下列选项中等于7的有理数是（     ） A．7 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题要求选出数值等于的选项，只需直接对比各选项给出的数值即可得到结果 【详解】解：选项A的数值为，符合题意； 选项B的数值为，不等于，不符合题意； 选项C的数值为，不符合题意； 选项D的数值为，不符合题意 【变式题1-1】.（26-27七年级上·全国·课后作业）对于数“”下列说法错误的是（   ） A．是负有理数 B．是负整数 C．可以看作负分数 D．其倒数也是负有理数 【答案】B 【分析】本题考查有理数的分类，根据无限循环小数的属性，判断各选项的正误即可 【详解】解：A、是无限循环小数，无限循环小数可以化为分数，是负有理数，说法正确，不符合题意； B、不是负整数，说法错误，符合题意； C、可以看作负分数，说法正确，不符合题意； D、是不为的负有理数，其倒数也是负有理数，说法正确，不符合题意； 【变式题1-2】.（2026七年级上·全国·专题练习）把下列各数填入相应的大括号里：，，，，，，，，． 正有理数集合： 非正整数集合： 正分数集合： 负分数集合： 【答案】；；； 【分析】根据正有理数（正整数和正分数）、非正整数（零和负整数）、正分数（正的有限小数和正的无限循环小数）、负分数（负的有限小数和负的无限循环小数）的定义，对每个数逐一判断，分别填入对应的集合． 【详解】解：正有理数集合：； 非正整数集合：； 正分数集合：； 负分数集合：． 【变式题1-3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）在下列各数中选出符合条件的数填入相应的集合内： ，0，，，，． 【答案】正数集：，；负整数集：；整数集：，， 【分析】利用正数，负整数以及整数的定义填数即可． 【详解】解：正数是大于0的数，有，； 负整数是小于0的整数，有； 整数是指不含小数部分的数，有，，． 【题型2】数轴三要素辨析与规范作图 1.核心知识点 　　熟记数轴原点、正方向、单位长度三大核心要素，缺一不可。 　　掌握数轴规范画法，理解单位长度统一、刻度均匀的作图要求。 　　能判断不规范数轴的错误类型，明确数轴与直线的区别。 2.解题方法技巧 　　判错数轴时，依次核对三要素，排查无原点、无正方向、单位长度不统一三类核心错误。 作图时先定原点、标方向、定刻度，再标注对应有理数，保证格式规范。 【例题2】.（25-26七年级上·全国·课后作业）关于数轴，下列说法正确的是（    ） A．数轴由原点、单位长度和正方向组成 B．数轴上的一个点只能表示一个数 C．数轴上的点只能表示整数 D．数轴只含有正数部分和负数部分 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的定义. 根据数轴的定义和性质逐一分析选项. 【详解】A：数轴的三要素是原点、正方向和单位长度，但数轴本身是一条直线，这三个要素是其属性而非“组成”部分，因此表述不准确，错误. B：数轴上的点与实数一一对应，每个点只能表示一个数，正确. C：数轴上的点可以表示所有实数（如分数、小数等），错误. D：数轴包含正数、负数和原点（0），错误. 故选：B. 【变式题2-1】.（25-26七年级上·全国·课后作业）关于数轴，下列画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的意义和表示方法，掌握数轴的三要素（规定了原点，单位长度，正方向的直线叫做数轴），是正确判断的前提. 根据数轴的定义对各选项进行分析判断利用排除法求解. 【详解】解：A、单位长度不统一，故此选项不符合题意； B、缺少正方向，故此选项不符合题意； C、没有原点，故此选项不符合题意； D、规定了原点，单位长度，正方向的直线叫做数轴，故此选项符合题意. 故选： D． 【变式题2-2】.（26-27七年级上·全国·课后作业）画出数轴，并在数轴上画出表示下列各组数的点： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：略； （2）解：略． 【变式题2-3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）下列各图表示的数轴是否正确？为什么？ (1) (2) (3) 【答案】(1)该数轴具备三个基本要素，故该图所表示的数轴正确； (2)不正确，该数轴的单位长度不一致； (3)不正确，数轴上的点与数字不相符． 【分析】一个正确的数轴必须具备三个基本要素：原点、正方向和统一的单位长度，三者缺一不可． 【详解】（1）解：略； （2）解：略； （3）解：略； 【题型3】相反数化简与基础求值 1.核心知识点 　　理解相反数的代数定义与几何意义，掌握任意有理数相反数的求解方法。 　　熟练运用多重符号化简规则，快速化简复杂符号有理数。 　　掌握互为相反数的两数和为0的核心性质，用于简单求值计算。 2.解题方法技巧 　　多重符号化简只统计负号个数，忽略正号，快速判断结果正负。 求值题型优先利用相反数和为0的性质，简化计算步骤，避免硬算出错。 【例题3】.（2026·黑龙江大庆·中考真题）2035的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：2035的相反数是． 【变式题3-1】.（2026七年级上·全国·专题练习）计算：（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 【变式题3-2】.（26-27七年级上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】根据符号化简的同号得正、异号得负法则，逐个计算即可. 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 【变式题3-3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）画出数轴，并在数轴上表示下列各数及它们的相反数：． 【答案】 【详解】解：的相反数是，的相反数是，的相反数是，的相反数是； 数轴表示略 【题型4】绝对值基础求解与非负性简单应用 1.核心知识点 　　根据绝对值的代数性质，熟练求解正数、负数、0的绝对值。 　　理解绝对值的非负性，掌握单一绝对值、双绝对值和为0的基础求值方法。 　　已知绝对值，能准确求出对应的有理数（双解情况）。 2.解题方法技巧 　　求绝对值先判断数的正负，再套用对应性质化简，杜绝符号错误。 非负性题型直接令每个绝对值内部式子为0，解方程求出未知数的值。 【例题4】.（2026·江苏徐州·中考真题）的绝对值是（     ） A． B．6 C． D． 【答案】B 【详解】解：． 【变式题4-1】.（2026七年级上·全国·专题练习）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用，进行解答，即可． 【详解】解：， ∴ ． 【变式题4-2】.（25-26七年级上·陕西渭南·期末）一个有理数a，满足a的相反数等于a的绝对值，则a可以是______．（写出一个即可） 【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题考查了绝对值的性质，相反数的定义，设的相反数为，的绝对值为，则，得出，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设的相反数为，的绝对值为， ∴， ∵， ∴，即， 当时，，等式成立， ∴可以是任何非正有理数，例如0， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式题4-3】.（2025七年级上·全国·专题练习）已知，则__________． 【答案】9 【分析】本题考查的是非负数的性质，根据绝对值的非负性，两个绝对值的和为零，则每个绝对值均为零，从而求出和的值，再计算的值． 【详解】解：∵， ∴ 且， 解得：，． 则． 故答案为：9 【题型5】有理数大小常规比较 1.核心知识点 　　掌握正数、0、负数的大小关系基本规律。 　　熟练运用绝对值法比较两个负数的大小，掌握分数、小数、整数混合比较方法。 2.解题方法技巧 　　混合比较时统一形式，分数化小数或小数化分数后再比较。 负数比较先算绝对值，依据“绝对值大的反而小”快速判断。 【例题5】.（25-26七年级上·安徽亳州·阶段检测）比较大小：________；（用“”，“”，“”号填空） 【答案】 【分析】比较两个负数的大小，先计算两个数的绝对值，通分后比较绝对值的大小，再根据负数比较大小的规则得到结果． 【详解】解：，，且， ． 【变式题5-1】.（26-27七年级上·全国·课后作业）比较下列各对数的大小： (1)与； (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】两个负数比较大小，绝对值大的反而小；先求出各数的绝对值，再比较绝对值的大小，最后判定原数的大小关系． 【详解】（1）解：，， ， （2）解：，， ， 【变式题5-2】.（26-27七年级上·全国·课后作业）按从大到小的顺序，用“”号把下列各数连接起来： ． 【答案】 【分析】先将分数化为小数，区分正负数后分别比较大小，再整体按从大到小顺序排列． 【详解】解： ， 正数按从大到小排列为，即， ，，， 负数按从大到小排列为， 综上所述，． 【变式题5-3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）把下列各组数分别在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序排列，用“<”号连接起来： (1)1，，3，； (2)，0， ，0.2． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查用数轴上的点表示有理数以及有理数大小比较． 解题用到数轴的基本性质：数轴上左边的数总小于右边的数．先将各组数分别在数轴上表示出来，再根据点的位置从小到大排列即可． 【详解】（1） 解：把所给各数分别在数轴上表示出来如下图所示： 把它们按从小到大的顺序排列是：； （2） 解：把所给各数分别在数轴上表示出来如下图所示： 把它们按从小到大的顺序排列是：． 【培优高频题型】 【题型6】数轴上点的平移与距离计算 1.核心知识点 　　掌握数轴上点平移的变化规律：右加左减。 　　熟练运用数轴两点距离公式，结合平移规律求解平移后点对应的数。 　　能根据两点距离反向求解点的位置，注意双解情况。 2.解题方法技巧 　　平移问题直接套用“左减右加”，分步计算，避免方向混淆。 已知距离求点时，需分左右两种情况讨论，杜绝漏解。 【例题6】.（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点在数轴上，点在数轴上点右侧个单位长度的位置，点在数轴上与点距离个单位长度，则点表示的数是________． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上的动点问题．根据数轴上的点的移动规则，左移减，右移加，分在点的左侧和右侧两种情况进行求解即可． 【详解】解：∵点在数轴上，点在数轴上点右侧个单位长度的位置， ∴点表示的数为 ∵点在数轴上与点距离个单位长度， ∴点表示的数为或． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·福建南平·期中）若点到原点的距离为3，将点向右移动5个单位长度，到达点，则点在数轴上表示的数为______． 【答案】8或2 【分析】本题考查数轴上点的平移规律． 根据点在数轴上移动的规律：左减右加解答即可． 【详解】解：点A到原点的距离为3， 点表示的数为或， 此时点B表示的数是：或． 故答案为：8或2． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·河南洛阳·期中）在数轴上，点A表示的数为，从点A出发，沿数轴向某一方向移动3个单位长度到达点B，则点B表示的数为（    ） A．2 B． C．或4 D．2或 【答案】D 【分析】本题考查数轴上有理数的加减运算，点B的位置取决于移动方向：向右移动则点B表示的数为，向左移动则点B表示的数为． 【详解】∵点A表示的数为，沿数轴移动3个单位长度， ∴当向右移动时，点B表示的数为：； 当向左移动时，点B表示的数为：． ∴点B表示的数为2或． 故选：D． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·福建·期中）已知有理数：，2.5，，4，0． (1)画出数轴，并在数轴上表示出上述有理数； (2)在数轴上表示与4的点之间（包括这两个点）有_______个点表示的数是整数，其中表示“非负整数”的数分别是_______； (3)在数轴上，从表示数的点A出发，沿着数轴移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是_______． 【答案】(1) 如图所示； (2)7；0,1,2,3,4 (3)2或 【分析】本题主要考查了画数轴，在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离， 对于（1），根据规定了原点，正方向，单位长度的直线画出数轴，并在数轴上描出各点； 对于（2），在数轴上确定整数点，并根据“非负整数”是正整数或0解答； 对于（3），分两种情况解答． 【详解】（1）略 （2）解：在与4之间的整数点有，共有7个点；其中“非负整数”有0,1,2,3,4； 故答案为：7；0,1,2,3,4； （3）解：从表示的点，沿数轴向右移动4个单位长度到达点B，这个数是； 从表示的点，沿数轴向左移动4个单位长度到达点B，这个数是， 所以这个数是2或． 故答案为：2或． 【题型7】数轴结合相反数、绝对值综合辨析 1.核心知识点 　　结合数轴上点的位置，判断数的正负、绝对值大小、相反数关系。 　　利用数轴数形结合思想，化简含绝对值的代数式。 　　掌握数轴上互为相反数两点的位置特征与距离关系。 2.解题方法技巧 　　先根据数轴位置判断式子正负，再依据绝对值性质去符号化简。 利用相反数几何特征，快速定位原点位置，简化数轴相关计算。 【例题7】.（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）求值 (1)已知，互为相反数，，求代数式的值． (2)若是最大的负整数，，是相反数等于本身的数，求的值． 【答案】(1)4 (2)或4 【分析】本题考查了求代数式的值． （1）根据相反数和绝对值的意义求得，的值，再代入求解即可； （2）根据题意求得x，y，z的值，再代入求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，互为相反数， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是最大的负整数， ∴， ∵， ∴， ∵是相反数等于本身的数， ∴， ∴或． 【变式题7-1】.（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）在数轴上表示下列各数的相反数，并把相反数按从小到大的顺序排列． 【答案】 在数轴上表示各数的相反数如下： ． 【分析】本题考查的是相反数的含义，利用数轴比较有理数的大小，在数轴上表示各数的相反数，再利用数轴比较大小即可． 【详解】解：，， ∴的相反数是，的相反数是，的相反数是，的相反数是 【变式题7-2】.（25-26七年级上·全国·单元复习）如图，数轴上每一小段的长度为1，点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d， (1)若a与d互为相反数，则 ； (2)若，则c 0（填“大于”或“小于”）；a、b、c、d中，可能互为相反数的是 ． 【答案】(1) (2)小于；c与d 【分析】本题考查了数轴，相反数、绝对值的定义，解题的关键是掌握相关知识并数形结合． （1）根据相反数的定义以及观察数轴即可求解； （2）根据绝对值、相反数的定义，即可求解． 【详解】（1）解：a与d互为相反数，由题意可得：， ∴a在数轴上表示，d在数轴上表示4， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴c小于0， ∴a、b、c、d中，可能互为相反数的是c与d， 故答案为：小于；c与d． 【变式题7-3】.（2025七年级上·全国·专题练习）有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，，，表示数b的点与原点之间的距离为3个单位长度． (1) ， ， ． (2)如果有一只蚂蚁位于有理数c对应点的位置，要沿着数轴爬行到距离原点2个单位长度的位置，请说明这只蚂蚁应该如何爬行？ 【答案】(1)，3， (2)沿着数轴负方向爬行1个单位长度或沿着数轴正方向爬行3个单位长度 【分析】本题考查的是利用数轴表示有理数，绝对值的含义． （1）根据绝对值的含义，数轴上两点之间的距离可得答案． （2）结合数轴上两点之间的距离可得答案． 【详解】（1）解：∵，，表示数b的点与原点之间的距离为3个单位长度，，， ∴，，． 故答案为：，3， （2）解：沿着数轴负方向爬行1个单位长度或沿着数轴正方向爬行3个单位长度，能爬行到距离原点2个单位长度的位置． 【题型8】有理数大小比较实际情境应用 1.核心知识点 　　将温度、误差、信号强度、产量偏差等实际情境转化为有理数大小比较问题。 　　利用绝对值判断实际偏差大小，解决最优选择类应用题。 　　结合生活、科技、生产情境，落实数学建模核心素养。 2.解题方法技巧 　　提炼题干核心数据，转化为有理数，结合大小比较、绝对值知识解题。 偏差、误差类问题，绝对值越小，数据越接近标准值。 【例题8】.（26-27七年级上·全国·课后作业）某种食品包装袋上标注质量为，对6袋该种食品的实际质量进行检测，检测结果如下（用正号表示超过标注质量，用负号表示低于标注质量）： ， 哪袋食品的实际质量更接近标注质量？为什么？ 【答案】 解：检测结果为的那袋食品实际质量更接近标注质量，理由如下： ，，，，，， ∵偏差的绝对值表示实际质量与标注质量的相差程度，绝对值越小，实际质量越接近标注质量， ， ∴最小， ∴检测结果为的那袋食品实际质量更接近标注质量． 【分析】偏差的绝对值表示实际质量与标注质量的相差程度，绝对值越小，实际质量越接近标注质量，据此求解即可． 【详解】略 【变式题8-1】.（26-27七年级上·全国·课后作业）某地加强高铁沿线环境整治，进行巡回检查维护．境内高铁线路呈东西走向，全长近．某天，巡护车辆从护路联防站出发，按向东为正方向行驶，当天的行驶记录如下（单位：km）：．如果车辆行驶每千米的耗油量为0.08L，问：当天巡护车辆耗油多少升？ 【答案】当天巡护车辆耗油升． 【分析】车辆行驶的总路程决定了耗油量，而不仅仅是最终的位移．因此，需要将所有行驶记录的绝对值相加得到总行驶距离，再乘以单位油耗． 【详解】解：将每个行驶记录的绝对值相加： 总耗油量总路程单位油耗：． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·江苏扬州·期末）某种篮球的标准质量是，检查5个这种篮球的质量，把超过标准质量的克数记作正数，不足的克数记作负数，检查结果如表： 篮球的编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差（g） (1)最接近标准质量的是___________号篮球； (2)求这5个篮球的平均质量． 【答案】(1)3 (2)这5个篮球的平均质量为． 【分析】本题考查了绝对值、有理数四则运算的应用． （1）根据超过标准质量的克数记作正数，不足的克数记作负数，绝对值最小的最接近标准，可得最接近标准质量的球； （2）先求出这5个篮球的总质量，再除以5即可求解． 【详解】（1）解：，， 号篮球质量最接近标准质量， 故答案为：； （2）解： 答：这5个篮球的平均质量为． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·全国·期中）某出租车驾驶员从公司出发，在南北向的人民路上连续接送5批客人，行驶情况记录如下(规定向南为正，向北为负)： 第1批 第 2 批 第 3批 第 4 批 第 5 批 (1)利用数轴，请判断接送完第5 批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米； (2)如果该出租车每千米耗油，那么在这个过程中共耗油多少升？ 【答案】(1) 如数轴所示， 该驾驶员在公司向南方向10千米处 (2)在这个过程中共耗油升 【分析】本题考查了正数和负数在实际问题中的应用，熟练掌握正数和负数的意义并理清题中的数量关系是解题的关键． （1）根据题意，画出数轴，并将各记录逐个相加减，即可求出答案． （2）求出各记录绝对值之和，再乘以即可求出答案． 【详解】（1） 接送完第一批客人后在数轴上的位置为5， 接送完第二批客人后在数轴上的位置为， 接送完第三批客人后在数轴上的位置为， 接送完第四批客人后在数轴上的位置为， 接送完第五批客人后在数轴上的位置为， ∴ 接送完第5 批客人后，该驾驶员在公司向南方向10千米处． （2）解： ． 答：在这个过程中共耗油升． 【压轴素养题型】 【题型9】数轴动点规律探究问题 1.核心知识点 　　结合点的往复平移、周期性运动规律，探究数轴动点对应的数值。 　　利用数轴距离、平移规律，总结运动周期，求解指定次数运动后的位置。 　　融合数形结合、规律探究思想，解决复杂动态数轴问题。 2.解题方法技巧 　　先列举前几次运动结果，找出周期性变化规律，计算周期长度。 　　用除法求余数，结合周期快速判断指定次数的位置，避免逐一计算。 【例题9】.（25-26七年级上·山东日照·期末）如图，数轴上O、A两点的距离为9，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（n≥3，n是整数）处，则经过这样2026次跳动后的点与点O的距离是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离．先根据规律得出各点表示的数，进而求出点2026次跳动的点表示的数，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得， 点表示的数为， 点表示的数为， 点表示的数为， …， 点表示的数为， ∴点表示的数为． ∴点与点O的距离是：． 故答案为：． 【变式题9-1】.（2025·山东淄博·二模）在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是______个单位． 【答案】1013 【分析】本题考查了数轴上点运动规律探索，正确理解题意、得到规律是关键； 根据前4个点的运动规律可得：第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是，进而求解． 【详解】解：因为第一次点向左移动1个单位长度到达点，点表示的数是， 第二次将点向右移动2个单位长度到达点，点表示的数是1， 第三次将点向左移动3个单位长度到达点，点表示的数是， 第四次将点向右移动4个单位长度到达点，点表示的数是2， …， 所以第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是， 所以当时，点表示的数是，与原点的距离是1013； 故答案为：1013. 【变式题9-2】.（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在数轴上，、P两点表示的数分别是1、2，、关于点O对称，、关于点P对称，、关于点O对称，、关于点P对称……依此规律，则点表示的数是_________． 【答案】 【分析】木题考查了数字的规律，找出一般规律是解题的关键；由已知条件找出关于：，：，：，：，：，根据对称规律得、关于点O对称，即可求解． 【详解】解：，P两点表示的数分别是1，2，、关于点O对称， 表示的数是， ，关于点P对称， 表示的数是， 同理可得：：，：，：，：，：， 根据对称规律得、关于点O对称， 点表示的数是， 故答案为：． 【变式题9-3】.（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知点A在数轴上表示的数为1，点M从A出发，第一次向右移动1个单位长度，第二次向左移动2个单位长度，第三次向右移动3个单位长度，第四次向左移动4个单位长度……按照这样的移动规律，点M移动到2025次后所在点表示的数为（    ） A． B．1012 C． D．1014 【答案】D 【分析】本题主要考查规律型问题，点M从数轴上1开始移动，奇数次向右移动，偶数次向左移动，移动长度等于移动次数，移动2025次（奇数次）后，净位移为向右1013个单位，因此最终位置为起点加净位移可解答． 【详解】解：∵移动次数为奇数， ∴净位移数（向右）； ∵起点为1， ∴最终位置， 故选：D． 【题型10】绝对值最值创新探究问题 1.核心知识点 　　理解绝对值的几何意义，掌握数轴上距离和、距离差的最值探究方法。 　　能求解单绝对值、双绝对值代数式的最大值、最小值，确定未知数取值范围。 　　突破常规计算，培养几何直观与数学推理素养。 2.解题方法技巧 　　利用数轴几何意义，将绝对值最值问题转化为数轴上点的距离问题。 　　根据定点位置，判断动点取值区间，快速求出最值及对应取值范围。 【例题10】.（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，绝对值用“”来表示．或指数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． (1)如图，数轴上表示数3和数1的两个点之间的距离是_______；表示数3和数的两个点之间的距离是_______，数x与数表示的两个点之间的距离是_______． (2)如果x表示一个有理数，则时，_______． (3)如果x表示一个有理数，那么是否存在最小值，若存在，请求出最小值，并写出x的范围．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)或 (3)存在，， 【分析】本题主要考查了数轴与绝对值的知识，利用绝对值的几何意义求解是解题的关键． （1）根据绝对值的几何意义，数和数的两个点之间的距离为，数和的两个点之间的距离为，数与数的两个点之间的距离为； （2）表示数轴上表示的点分别到数与数表示的两个点的距离和，分三种情况讨论即可； （3）根据（2）可知，当数位于数和数之间时，的值最小，求出取值范围即可； 【详解】（1）数和数的两个点之间的距离为； 数和的两个点之间的距离为； 数与数的两个点之间的距离为； 故答案是：；；； （2）表示数轴上表示的点分别到数与数表示的两个点的距离和为， 当数位于数的右边，则， ， ， ； 当数位于数的左边，则， ， ， ； 当数位于数和数的中间，则， ，舍去； 故答案是：或； （3）存在，理由如下： 当数位于数的右边，即，则， ； 当数位于数的左边，即，则， ， 当数位于数和数上及中间，即，则， ； 当时，有最小值． 【变式题10-1】.（25-26七年级上·广东中山·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础， 【操作探究】如图，在数轴上，点M表示，点N在点M的右边，且距M点40个单位长度，P、Q是数轴上的动点． （1）直接写出点N所表示的数______； （2）若点P从点M出发，以5个单位长度/秒的速度向右运动，同时点Q从点N出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，经过多少秒时，P、Q两点相距4个单位长度？ 【深入思考】 （3）我们进一步研究，的几何意义是在数轴上的数x对应的点与原点的距离，即若任意点A、B在数轴上分别表示数a、b，A、B两点之间的距离表示为我们也可以探究出数轴上A、B两点之间的距离 ①数轴上表示x和3的两点之间的距离为4，那么x的值是______； ②表示的是数轴上表示x的点到表示和5的两点的距离之和，若有最小值，请求出最小值． 【答案】（1）30   （2） 秒或22秒  （3）①或7；②的最小值为9 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．绝对值以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用点表示的数点表示的数线段的长度，即可求出结论； （2）当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，根据，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）①解关于的含绝对值符号的一元一次方程，即可得出结论； ②分，及三种情况，求出的取值范围或值，此题得解． 【详解】解：（1）根据题意得：点N所表示的为． 故答案为：30； （2）当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或 答：经过18秒或22秒时，P、Q两点相距4个单位长度； （3）①根据题意得：， 即或， 解得：或， 的值是或 故答案为：或7； ②当时，； 当时，； 当时，， 的最小值为． 【变式题10-2】.（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）同学们知道，表示8与3的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数8与数3两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数x与数 两点间的距离； (2)的最小值是 ； (3)计算的最小值． 【答案】(1)； (2)5 (3)1001000 【分析】本题主要考查了绝对值的含义和应用，解答此题的关键是要明确：既可以理解为x与a的差的绝对值，也可理解为x与a两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）根据绝对值的几何意义即可解答； （2）当时，取得最小值5． （3）由题意得出当时，的值最小． 【详解】（1）解：表示数轴上数x与数两点间的距离， 故答案为：； （2）解：可理解为数轴上表示数  ��  的点到表示数和 2的点的距离之和，当点  ��  位于点数 和 2之间（含端点）时，该距离之和最小，最小值为点数和点2之间的距离，当时，取得最小值5． 故答案为：5； （3）解：表示数轴上x所对应的点到1、2、3、…、2001所对应的点的距离之和， 当时，距离之和最小， 最小值为： . 【变式题10-3】.（25-26七年级上·江西赣州·期中）【阅读材料】借助数轴能更好地理解绝对值的几何意义． 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作． 如：表示数轴上5这个点与原点的距离，即． 一般地，数轴上表示数m的点与表示数n的点之间的距离等于． 如：数轴上表示3的点与表示的点之间的距离为． 根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是________；数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离可以表示为________；若，则________． (2)【拓展延伸】 ①若，求x的取值范围； ②对于实数x，的最小值是________，此时________． 【方法指导】 对于问题（2），可以理解为：数轴上表示数x的点到表示的点和到表示3的点的距离之和． 要使这个距离之和等于4，x应该取什么位置呢？ (3)综合应用：江西某快递公司在一条东西走向的街道上设置配送点，该街道上有A，B，C，D，E五个小区，它们在数轴上对应的位置如图所示（单位：百米）： 若快递公司只能在其中一个小区设配送点，为使配送点到五个小区的距离之和最小，应选择在哪个小区设置配送点？请说明理由． 【答案】(1)8，，或 (2)①x的取值范围是；②6，1；x应该取和3之间的位置（包括和3） (3)应该选择在小区C设置配送点，理由： 设在小区A，B，C，D，E设配送点，距离之和分别为： 小区：， 小区：， 小区：， 小区：， 小区：， 因为， 所以应该选择在小区设置配送点． 【分析】本题主要考查绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，绝对值的应用，熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据数轴上的两点距离可直接进行求解前两空；第三空根据绝对值的概念求解即可； （2）根据数轴上的两点距离的几何意义可直接进行求解； （3）设在小区A，B，C，D，E设配送点，分别计算相应的距离之和，即可得到答案． 【详解】（1）解：数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是； 数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离可以表示为； 若，则或， 所以或． 故答案为：8；；7或． （2）解：①由题意知， 即数轴上表示的点到和3两点的距离之和为4， 而与3之间的距离为4， 所以的取值范围是； ②表示数轴上表示的点到，1和4三点的距离之和 当表示的点正好在表示1的点处时，三个距离之和最小，最小值是6，此时． 故答案为：6；1． 可以理解为：数轴上表示数x的点到表示的点和到表示3的点的距离之和，要使这个距离之和等于4，x应该取和3之间的位置（包括和3）． （3）略 易错点 1、有理数概念混淆：误将无限循环小数归为非有理数，混淆整数与分数范畴，忽略0是有理数、非正非负的特殊性，分类时遗漏0。 2、绝对值求解漏解：已知绝对值求数时，只取正数解，忽略对应的负数解；化简绝对值时，未判断式子正负，直接去掉符号导致错误。 3、负数大小比较出错：违背“两个负数绝对值大的反而小”的规则，直接凭借绝对值大小判断数的大小。 4、数轴问题考虑不全：点平移、距离计算时，忽略左右两种位置情况，动点问题不会分类讨论，出现漏解。 重点 1、有理数的分类与辨析：精准区分有理数与非有理数，熟练完成各类数集分类，掌握0的特殊性质。 2、数轴、相反数、绝对值核心性质：掌握数轴三要素、相反数化简规则、绝对值的代数性质与非负性，是本章核心基础。 3、有理数大小比较方法：熟练运用数轴法、绝对值法，能解决常规题型与简单实际应用题型。 4、基础综合计算：结合相反数、绝对值完成化简、求值、比较大小的基础综合运算。 难点 1、数形结合综合应用：结合数轴位置化简绝对值、判断数的大小与符号，无法灵活实现图形与代数的转化。 2、分类讨论思想应用：绝对值化简、数轴动点、已知绝对值求数等题型，难以全面分类，容易出现漏解、错解。 3、创新探究与跨学科题型：从生活、跨学科情境中提取数学模型，解决最值探究、规律探究类新型素养题型。 4、绝对值非负性综合应用：多个绝对值组合的非负性求值、最值探究，逻辑复杂，容易思路混乱。 【对应练习题】 一、单选题 1．的绝对值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 2．下面各数中，最接近的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】要判断哪个数最接近0，需比较每个数与0的距离，也就是要计算每个数的绝对值． 【详解】解：，，，， ， 最接近0的数是． 3．有理数a，b，c，d在数轴上的位置如图所示，与互为相反数的可能是（     ） A．a B．b C．c D．d 【答案】C 【分析】根据数轴上的点所表示数的特征进行计算即可． 【详解】解：∵的相反数是， ∴数轴上表示的数可能是. 二、填空题 4．填空： （1）的正负号是________，绝对值是________； （2）10.5的正负号是________，绝对值是________； （3）绝对值是7的正数是________； （4）绝对值是5.1的负数是________． 【答案】 负号 正号 【分析】根据有理数的正负定义与绝对值的性质，直接判断或计算各空结果即可． 【详解】解：（1）的正负号是负号，绝对值是； （2）10.5的正负号是正号，绝对值是； （3）绝对值是7的正数是； （4）绝对值是5.1的负数是． 5．直线下面的方框里填整数或小数，上面的方框里填分数．方框里从左往右依次填写________、________、________、________． 【答案】 【分析】根据数轴上对应点的位置可得答案． 【详解】解：如图，各位置表示的数如下： 6．用“”号或“”号填空： （1）因为________，所以________； （2）因为________，所以________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的大小比较，在负数里绝对值大的反而小． 【详解】（1），， ， 又负数中绝对值大的反而小， ． （2），， ， 又负数中绝对值大的反而小， ． 三、解答题 7．根据相反数的意义化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：表示的相反数，所以； （2）解：表示的相反数，所以； （3）解：表示的相反数，所以； （4）解：表示的相反数，所以． 8．下面的大括号表示一些数的集合，把第1、2两题中的各数填入相应的大括号内： ，0，，，，，1，，，，325，，10.10，1000.1，． 正整数集：{                                           …}； 负整数集：{                                           …}； 整数集：{                                             …}； 有理数集：{                                           …}； 正有理数集：{                                         …}； 负有理数集：{                                         …}； 自然数集：{                                           …}． 【答案】解：正整数集：{，1，325 …}； 负整数集：{，，…}； 整数集：{0，，1，，，325，…}； 有理数集：{，0，，，，，1，，，，325，，10.10，1000.1，…}； 正有理数集：{，，1，，325，10.10，1000.1…}； 负有理数集：{，，，，，，…}； 自然数集：{0，，1，325…}． 【详解】略 9．在数轴上表示下列各数，并用“＜”把这些数连接起来． 【答案】解：把各数表示在数轴上，如图所示： 【分析】本题主要考查了用数轴上点表示有理数、根据数轴比较有理数的大小等知识点，掌握数轴上点的特点是解题的关键． 根据数轴上点的特点把各数表示在数轴上，并用“＜”连接起来即可． 【详解】略 用“＜”连接起来为． 10．为了更好地推进“阳光体育”活动，在八年级的足球联赛活动期间，某足球守门员在直线跑道上练习折返跑，从初始位置出发，向前跑记作正数，向后跑记作负数，他的练习记录如下（单位：）：，，，，，，． (1)守门员最后是否回到了初始位置？ (2)本次练习中守门员共跑了多少米？ 【答案】(1)守门员最后回到了初始位置 (2)本次练习中守门员共跑了54米 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数加减混合运算的应用、绝对值的应用，熟练掌握正负数的意义是解题关键． （1）将练习记录的七个数字相加即可得； （2）将练习记录的七个数字的绝对值相加即可得． 【详解】（1）解： （米）， 答：守门员最后回到了初始位置． （2）解： （米）， 答：本次练习中守门员共跑了54米． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 有理数及其大小比较 知识点1：有理数的概念与分类 　　1、有理数定义：能够写成分数形式（为整数，）的数叫做有理数。整数和分数统称为有理数。 　　2、核心辨析：有限小数、无限循环小数都可以化为分数，属于有理数；无限不循环小数不能化为分数，不是有理数。 　　3、有理数分类，两种分类标准不混淆、不重复、不遗漏： 分类标准 详细分类 备注说明 按定义分类 有理数分为整数、分数；整数包含正整数、0、负整数；分数包含正分数、负分数 整数可写成分母为1的分数，但不属于分数范畴 按性质符号分类 有理数分为正有理数、0、负有理数；正有理数包含正整数、正分数；负有理数包含负整数、负分数 0是有理数，既不是正数也不是负数 　　4、特殊数集定义 数集名称 组成范围 数集名称 组成范围 非负数 正数、0 非正数 负数、0 非负整数 正整数、0（自然数） 非正整数 负整数、0 知识点2：数轴 1、数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴，原点、正方向、单位长度是数轴的三大核心要素，缺一不可。 　　2、画法规范：先画水平直线，选取原点（表示0），向右规定为正方向并标注箭头，选取统一长度作为单位长度，依次标注整数刻度。 　　3、数轴与有理数的关系：所有有理数都可以用数轴上唯一的点表示，但数轴上的点不都表示有理数；原点右侧的点表示正数，左侧的点表示负数。 　　4、两点距离公式：数轴上两点所表示数分别为，两点间距离为。 知识点3：相反数 　　1、定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0。 　　2、代数表示：任意有理数的相反数是。 　　3、几何意义：数轴上互为相反数的两个点，位于原点两侧，且到原点的距离相等。 　　4、多重符号化简规则：符号个数决定结果，偶数个负号结果为正，奇数个负号结果为负，正号不影响最终结果。 　　5、核心性质：若互为相反数，则。 知识点4：绝对值 　　1、定义：数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 　　2、绝对值代数性质 　　若，则；若，则；若，则。 　　3、非负性：任意有理数的绝对值都是非负数，即；若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0。 知识点5：有理数的大小比较 　　1、数轴比较法：数轴上左边的数始终小于右边的数，是有理数大小比较的通用方法。 　　2、性质比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数。 　　3、负数比较法：两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。 　　4、作差比较法：若，则；若，则；若，则。 【基础必考题型】 【题型1】有理数概念辨析与分类 1.核心知识点 　　掌握有理数的定义，能精准区分有理数与无限不循环小数。 　　熟练掌握有理数两种分类标准，准确区分整数、分数、正负数及各类特殊数集。 　　明确0的特殊性，掌握非负数、非正数等特殊数集的组成范围。 2.解题方法技巧 　　逐一筛查数字，优先区分无限不循环小数，快速排除非有理数。 分类时严格遵循单一标准，不混用分类依据，避免重复、遗漏，重点标注0的归属。 【例题1】.（2026·山东菏泽·二模）下列选项中等于7的有理数是（     ） A．7 B． C． D． 【变式题1-1】.（26-27七年级上·全国·课后作业）对于数“”下列说法错误的是（   ） A．是负有理数 B．是负整数 C．可以看作负分数 D．其倒数也是负有理数 【变式题1-2】.（2026七年级上·全国·专题练习）把下列各数填入相应的大括号里：，，，，，，，，． 正有理数集合： 非正整数集合： 正分数集合： 负分数集合： 【变式题1-3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）在下列各数中选出符合条件的数填入相应的集合内： ，0，，，，． 【题型2】数轴三要素辨析与规范作图 1.核心知识点 　　熟记数轴原点、正方向、单位长度三大核心要素，缺一不可。 　　掌握数轴规范画法，理解单位长度统一、刻度均匀的作图要求。 　　能判断不规范数轴的错误类型，明确数轴与直线的区别。 2.解题方法技巧 　　判错数轴时，依次核对三要素，排查无原点、无正方向、单位长度不统一三类核心错误。 作图时先定原点、标方向、定刻度，再标注对应有理数，保证格式规范。 【例题2】.（25-26七年级上·全国·课后作业）关于数轴，下列说法正确的是（    ） A．数轴由原点、单位长度和正方向组成 B．数轴上的一个点只能表示一个数 C．数轴上的点只能表示整数 D．数轴只含有正数部分和负数部分 【变式题2-1】.（25-26七年级上·全国·课后作业）关于数轴，下列画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（26-27七年级上·全国·课后作业）画出数轴，并在数轴上画出表示下列各组数的点： (1)； (2)． 【变式题2-3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）下列各图表示的数轴是否正确？为什么？ (1) (2) (3) 【题型3】相反数化简与基础求值 1.核心知识点 　　理解相反数的代数定义与几何意义，掌握任意有理数相反数的求解方法。 　　熟练运用多重符号化简规则，快速化简复杂符号有理数。 　　掌握互为相反数的两数和为0的核心性质，用于简单求值计算。 2.解题方法技巧 　　多重符号化简只统计负号个数，忽略正号，快速判断结果正负。 求值题型优先利用相反数和为0的性质，简化计算步骤，避免硬算出错。 【例题3】.（2026·黑龙江大庆·中考真题）2035的相反数是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（2026七年级上·全国·专题练习）计算：（ ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（26-27七年级上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式题3-3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）画出数轴，并在数轴上表示下列各数及它们的相反数：． 【题型4】绝对值基础求解与非负性简单应用 1.核心知识点 　　根据绝对值的代数性质，熟练求解正数、负数、0的绝对值。 　　理解绝对值的非负性，掌握单一绝对值、双绝对值和为0的基础求值方法。 　　已知绝对值，能准确求出对应的有理数（双解情况）。 2.解题方法技巧 　　求绝对值先判断数的正负，再套用对应性质化简，杜绝符号错误。 非负性题型直接令每个绝对值内部式子为0，解方程求出未知数的值。 【例题4】.（2026·江苏徐州·中考真题）的绝对值是（     ） A． B．6 C． D． 【变式题4-1】.（2026七年级上·全国·专题练习）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（25-26七年级上·陕西渭南·期末）一个有理数a，满足a的相反数等于a的绝对值，则a可以是______．（写出一个即可） 【变式题4-3】.（2025七年级上·全国·专题练习）已知，则__________． 【题型5】有理数大小常规比较 1.核心知识点 　　掌握正数、0、负数的大小关系基本规律。 　　熟练运用绝对值法比较两个负数的大小，掌握分数、小数、整数混合比较方法。 2.解题方法技巧 　　混合比较时统一形式，分数化小数或小数化分数后再比较。 负数比较先算绝对值，依据“绝对值大的反而小”快速判断。 【例题5】.（25-26七年级上·安徽亳州·阶段检测）比较大小：________；（用“”，“”，“”号填空） 【变式题5-1】.（26-27七年级上·全国·课后作业）比较下列各对数的大小： (1)与； (2)与． 【变式题5-2】.（26-27七年级上·全国·课后作业）按从大到小的顺序，用“”号把下列各数连接起来： ． 【变式题5-3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）把下列各组数分别在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序排列，用“<”号连接起来： (1)1，，3，； (2)，0， ，0.2． 【培优高频题型】 【题型6】数轴上点的平移与距离计算 1.核心知识点 　　掌握数轴上点平移的变化规律：右加左减。 　　熟练运用数轴两点距离公式，结合平移规律求解平移后点对应的数。 　　能根据两点距离反向求解点的位置，注意双解情况。 2.解题方法技巧 　　平移问题直接套用“左减右加”，分步计算，避免方向混淆。 已知距离求点时，需分左右两种情况讨论，杜绝漏解。 【例题6】.（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点在数轴上，点在数轴上点右侧个单位长度的位置，点在数轴上与点距离个单位长度，则点表示的数是________． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·福建南平·期中）若点到原点的距离为3，将点向右移动5个单位长度，到达点，则点在数轴上表示的数为______． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·河南洛阳·期中）在数轴上，点A表示的数为，从点A出发，沿数轴向某一方向移动3个单位长度到达点B，则点B表示的数为（    ） A．2 B． C．或4 D．2或 【变式题6-3】.（25-26七年级上·福建·期中）已知有理数：，2.5，，4，0． (1)画出数轴，并在数轴上表示出上述有理数； (2)在数轴上表示与4的点之间（包括这两个点）有_______个点表示的数是整数，其中表示“非负整数”的数分别是_______； (3)在数轴上，从表示数的点A出发，沿着数轴移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是_______． 【题型7】数轴结合相反数、绝对值综合辨析 1.核心知识点 　　结合数轴上点的位置，判断数的正负、绝对值大小、相反数关系。 　　利用数轴数形结合思想，化简含绝对值的代数式。 　　掌握数轴上互为相反数两点的位置特征与距离关系。 2.解题方法技巧 　　先根据数轴位置判断式子正负，再依据绝对值性质去符号化简。 利用相反数几何特征，快速定位原点位置，简化数轴相关计算。 【例题7】.（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）求值 (1)已知，互为相反数，，求代数式的值． (2)若是最大的负整数，，是相反数等于本身的数，求的值． 【变式题7-1】.（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）在数轴上表示下列各数的相反数，并把相反数按从小到大的顺序排列． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·全国·单元复习）如图，数轴上每一小段的长度为1，点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d， (1)若a与d互为相反数，则 ； (2)若，则c 0（填“大于”或“小于”）；a、b、c、d中，可能互为相反数的是 ． 【变式题7-3】.（2025七年级上·全国·专题练习）有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，，，表示数b的点与原点之间的距离为3个单位长度． (1) ， ， ． (2)如果有一只蚂蚁位于有理数c对应点的位置，要沿着数轴爬行到距离原点2个单位长度的位置，请说明这只蚂蚁应该如何爬行？ 【题型8】有理数大小比较实际情境应用 1.核心知识点 　　将温度、误差、信号强度、产量偏差等实际情境转化为有理数大小比较问题。 　　利用绝对值判断实际偏差大小，解决最优选择类应用题。 　　结合生活、科技、生产情境，落实数学建模核心素养。 2.解题方法技巧 　　提炼题干核心数据，转化为有理数，结合大小比较、绝对值知识解题。 偏差、误差类问题，绝对值越小，数据越接近标准值。 【例题8】.（26-27七年级上·全国·课后作业）某种食品包装袋上标注质量为，对6袋该种食品的实际质量进行检测，检测结果如下（用正号表示超过标注质量，用负号表示低于标注质量）： ， 哪袋食品的实际质量更接近标注质量？为什么？ 【变式题8-1】.（26-27七年级上·全国·课后作业）某地加强高铁沿线环境整治，进行巡回检查维护．境内高铁线路呈东西走向，全长近．某天，巡护车辆从护路联防站出发，按向东为正方向行驶，当天的行驶记录如下（单位：km）：．如果车辆行驶每千米的耗油量为0.08L，问：当天巡护车辆耗油多少升？ 【变式题8-2】.（25-26七年级上·江苏扬州·期末）某种篮球的标准质量是，检查5个这种篮球的质量，把超过标准质量的克数记作正数，不足的克数记作负数，检查结果如表： 篮球的编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差（g） (1)最接近标准质量的是___________号篮球； (2)求这5个篮球的平均质量． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·全国·期中）某出租车驾驶员从公司出发，在南北向的人民路上连续接送5批客人，行驶情况记录如下(规定向南为正，向北为负)： 第1批 第 2 批 第 3批 第 4 批 第 5 批 (1)利用数轴，请判断接送完第5 批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米； (2)如果该出租车每千米耗油，那么在这个过程中共耗油多少升？ 【压轴素养题型】 【题型9】数轴动点规律探究问题 1.核心知识点 　　结合点的往复平移、周期性运动规律，探究数轴动点对应的数值。 　　利用数轴距离、平移规律，总结运动周期，求解指定次数运动后的位置。 　　融合数形结合、规律探究思想，解决复杂动态数轴问题。 2.解题方法技巧 　　先列举前几次运动结果，找出周期性变化规律，计算周期长度。 　　用除法求余数，结合周期快速判断指定次数的位置，避免逐一计算。 【例题9】.（25-26七年级上·山东日照·期末）如图，数轴上O、A两点的距离为9，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（n≥3，n是整数）处，则经过这样2026次跳动后的点与点O的距离是______． 【变式题9-1】.（2025·山东淄博·二模）在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是______个单位． 【变式题9-2】.（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在数轴上，、P两点表示的数分别是1、2，、关于点O对称，、关于点P对称，、关于点O对称，、关于点P对称……依此规律，则点表示的数是_________． 【变式题9-3】.（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知点A在数轴上表示的数为1，点M从A出发，第一次向右移动1个单位长度，第二次向左移动2个单位长度，第三次向右移动3个单位长度，第四次向左移动4个单位长度……按照这样的移动规律，点M移动到2025次后所在点表示的数为（    ） A． B．1012 C． D．1014 【题型10】绝对值最值创新探究问题 1.核心知识点 　　理解绝对值的几何意义，掌握数轴上距离和、距离差的最值探究方法。 　　能求解单绝对值、双绝对值代数式的最大值、最小值，确定未知数取值范围。 　　突破常规计算，培养几何直观与数学推理素养。 2.解题方法技巧 　　利用数轴几何意义，将绝对值最值问题转化为数轴上点的距离问题。 　　根据定点位置，判断动点取值区间，快速求出最值及对应取值范围。 【例题10】.（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，绝对值用“”来表示．或指数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． (1)如图，数轴上表示数3和数1的两个点之间的距离是_______；表示数3和数的两个点之间的距离是_______，数x与数表示的两个点之间的距离是_______． (2)如果x表示一个有理数，则时，_______． (3)如果x表示一个有理数，那么是否存在最小值，若存在，请求出最小值，并写出x的范围．若不存在，请说明理由． 【变式题10-1】.（25-26七年级上·广东中山·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础， 【操作探究】如图，在数轴上，点M表示，点N在点M的右边，且距M点40个单位长度，P、Q是数轴上的动点． （1）直接写出点N所表示的数______； （2）若点P从点M出发，以5个单位长度/秒的速度向右运动，同时点Q从点N出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，经过多少秒时，P、Q两点相距4个单位长度？ 【深入思考】 （3）我们进一步研究，的几何意义是在数轴上的数x对应的点与原点的距离，即若任意点A、B在数轴上分别表示数a、b，A、B两点之间的距离表示为我们也可以探究出数轴上A、B两点之间的距离 ①数轴上表示x和3的两点之间的距离为4，那么x的值是______； ②表示的是数轴上表示x的点到表示和5的两点的距离之和，若有最小值，请求出最小值． 【变式题10-2】.（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）同学们知道，表示8与3的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数8与数3两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数x与数 两点间的距离； (2)的最小值是 ； (3)计算的最小值． 【变式题10-3】.（25-26七年级上·江西赣州·期中）【阅读材料】借助数轴能更好地理解绝对值的几何意义． 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作． 如：表示数轴上5这个点与原点的距离，即． 一般地，数轴上表示数m的点与表示数n的点之间的距离等于． 如：数轴上表示3的点与表示的点之间的距离为． 根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是________；数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离可以表示为________；若，则________． (2)【拓展延伸】 ①若，求x的取值范围； ②对于实数x，的最小值是________，此时________． 【方法指导】 对于问题（2），可以理解为：数轴上表示数x的点到表示的点和到表示3的点的距离之和． 要使这个距离之和等于4，x应该取什么位置呢？ (3)综合应用：江西某快递公司在一条东西走向的街道上设置配送点，该街道上有A，B，C，D，E五个小区，它们在数轴上对应的位置如图所示（单位：百米）： 若快递公司只能在其中一个小区设配送点，为使配送点到五个小区的距离之和最小，应选择在哪个小区设置配送点？请说明理由． 易错点 1、有理数概念混淆：误将无限循环小数归为非有理数，混淆整数与分数范畴，忽略0是有理数、非正非负的特殊性，分类时遗漏0。 2、绝对值求解漏解：已知绝对值求数时，只取正数解，忽略对应的负数解；化简绝对值时，未判断式子正负，直接去掉符号导致错误。 3、负数大小比较出错：违背“两个负数绝对值大的反而小”的规则，直接凭借绝对值大小判断数的大小。 4、数轴问题考虑不全：点平移、距离计算时，忽略左右两种位置情况，动点问题不会分类讨论，出现漏解。 重点 1、有理数的分类与辨析：精准区分有理数与非有理数，熟练完成各类数集分类，掌握0的特殊性质。 2、数轴、相反数、绝对值核心性质：掌握数轴三要素、相反数化简规则、绝对值的代数性质与非负性，是本章核心基础。 3、有理数大小比较方法：熟练运用数轴法、绝对值法，能解决常规题型与简单实际应用题型。 4、基础综合计算：结合相反数、绝对值完成化简、求值、比较大小的基础综合运算。 难点 1、数形结合综合应用：结合数轴位置化简绝对值、判断数的大小与符号，无法灵活实现图形与代数的转化。 2、分类讨论思想应用：绝对值化简、数轴动点、已知绝对值求数等题型，难以全面分类，容易出现漏解、错解。 3、创新探究与跨学科题型：从生活、跨学科情境中提取数学模型，解决最值探究、规律探究类新型素养题型。 4、绝对值非负性综合应用：多个绝对值组合的非负性求值、最值探究，逻辑复杂，容易思路混乱。 【对应练习题】 一、单选题 1．的绝对值是（     ） A． B． C． D． 2．下面各数中，最接近的是（     ） A． B． C． D． 3．有理数a，b，c，d在数轴上的位置如图所示，与互为相反数的可能是（     ） A．a B．b C．c D．d 二、填空题 4．填空： （1）的正负号是________，绝对值是________； （2）10.5的正负号是________，绝对值是________； （3）绝对值是7的正数是________； （4）绝对值是5.1的负数是________． 5．直线下面的方框里填整数或小数，上面的方框里填分数．方框里从左往右依次填写________、________、________、________． 6．用“”号或“”号填空： （1）因为________，所以________； （2）因为________，所以________． 三、解答题 7．根据相反数的意义化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 8．下面的大括号表示一些数的集合，把第1、2两题中的各数填入相应的大括号内： ，0，，，，，1，，，，325，，10.10，1000.1，． 正整数集：{                                           …}； 负整数集：{                                           …}； 整数集：{                                             …}； 有理数集：{                                           …}； 正有理数集：{                                         …}； 负有理数集：{                                         …}； 自然数集：{                                           …}． 9．在数轴上表示下列各数，并用“＜”把这些数连接起来． 10．为了更好地推进“阳光体育”活动，在八年级的足球联赛活动期间，某足球守门员在直线跑道上练习折返跑，从初始位置出发，向前跑记作正数，向后跑记作负数，他的练习记录如下（单位：）：，，，，，，． (1)守门员最后是否回到了初始位置？ (2)本次练习中守门员共跑了多少米？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $