湖南衡阳市四校2026-2027学年九年级上学期9月阶段检测数学试题

2026年下学期九年级数学学科第一次检测卷 参考答案与试题解析 一.选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 6 7 8 9 10 答案 A B B A D C B D C D 10.解：把方程5n2+2n-3=0变形得到3 -2.1-5=0, n n .3m2-2m-5=0, -2-5=0,.m与1可看作方程3x2-2x-5=0的根， n (1当m=上时，原式=0： (②当m≠时，由韦达定理知m+上 3且m 1)2 3原式 18 m+ -4 3 故选：D 二.填空题（共6小题） 题号1112 13 14 15 16 答案3-√22026k<-12√5-1 16.解：设AB=b,,图1中的正方形面积为4，∴.正方形的边长为2， .直角三角形①中的长直角边为2，∴.b(2+b)=4,解得b=√5-1（舍去负值），∴.AB=√5-1. 三.解答题（共20小题） 17.(本小题满分8分) 计算： 解：原式= 1 ×24+25-√5=25+25-5=35 18.(本小题满分8分) 已知y=Vx-3+V3-x+4,求， 的值 %++4,传8 .x=3, y=Vx-3+3-x+4=3-3+V3-3+4=4, -得9 19.(本小题满分8分) 先阅读下面的材料，再解答下列问题 材料：已知V8-x-V3-x=1,求V8-x+V3-x的值. 小明同学是这样解答的： :(8-x-3-x)(8-x+3-x)=(8--(3-x=(8-x)-(3-)=8-x-3+x=5, ∴把8-x-3-x=1代入上式得1×(8-x+3-x=5,8-x+3-x=5. 这种方法称为“构造乘积对偶法” 问题：已知V50-x+√10-x=10. (1)求√50-x-V10-x的值： (2)求x的值. 第1页（共5页） 解：()：(50-x+10-x(W50-x-10-x)=(W50-x-(10-x=50-x-(10-x)=40, .V50-x-V10-x= 40 40=4 V50-x+10-x10 ②：50-x+i0-x=10】 V50-x=7 ，50-x=49 V50-x-10-x=410-x=3 10-x=9’心x=1. 20.（本小题满分8分) 我们知道，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根x、x,与系数a、b、c之间有如下关系： x+6=。,5=仁.这一结论称为一元二次方程根与系数的关系。请完成下列各题。 a (1)若x、:,是一元二次方程x2-4x+2=0的两个实数根，求代数式(x-1)(x-1)的值： (2)若互异实数a、b满足方程a2-a-5=0和b2-b-5=0,求代数式a3+6b-5的值. 解：(1)x、x2是一元二次方程x2-4x+2=0的两个实数根，∴.x+x2=4,x62=2, .(x-1)(x2-1)=xx3-(x+x3)+1=2-4+1=-1: (2),互异实数a、b满足方程a2-a-5=0和b2-b-5=0, .a、b为一元二次方程x2-x-5=0的两根，∴.a+b=1,a2-a-5=0,.a2-a=5,a2-5=a, .a3+6b-5=a3-a2+a2+6b-5=a(a2-a)+a2+6b-5=5a+6b+(a2-5)=5a+6b+a=6(a+b)=6. 21.(本小题满分10分) 在△ABC中，BC=5,AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实根. (1)求证：无论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根： (2)当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形： (3)当k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求此时△ABC的周长 解：(I),4=「-(2k+3)门-4×1×(k2+3k+2)=1>0,.该方程总有两个不相等的实数根. (2)根据韦达定理可知：AB+AC=2k+3,ABAC=k2+3k+2, 根据勾股定理知：AB+AC2=BC2,变形得：（AB+AC)2-2ABAC=BC2, ∴.(2k+3)-2(k2+3k+2)=5,解得：k=2或k=-5、 三角形的边张必须是正数，总4CC03>0一 k2+3跳+2>0'k=-5不合题意，应舍去， .当k=2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形. (3)当AB=BC=5时， ,AB的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实根， ∴.把x=5代入x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0,整理得k2-7k+12=0,解得k=3或k=4. ,由(I)知，无论k取何值，△>0，AB≠AC,∴.k只能取3或4。 ,·根据一元二次方程的根与系数的关系可得：AB+AC=2k+3, ∴.当k=3时，AB+AC=2×3+3=9,此时CABc=AB+AC+BC=9+5=14; 当k=4时，AB+AC=2×4+3=11.此时CAc=AB+AC+BC=11+5=16. 22.(本小题满分10分) 如图，借助一个直角墙角围成一个矩形劳动基地ABCD(墙角的两边DA、DC足够长)，用总长28m的 篱笆围成另外两边AB、BC.设AB的长为xm,矩形ABCD的面积为ym2, (I)求BC的长及x的取值范围； (2)当x为何值时，劳动基地ABCD的面积为192m2; (3)点P处有一棵树（树的粗细忽略不计），它到墙DC的距离是12m, 到墙DA的距离是8，若这棵树需在劳动基地的内部（包括边界）， 求劳动基地面积的最大值和最小值， 7777777777777 第2页（共5页） 解：(1)依题意得：BC的长为(28-x)m, :AB>0且BC>0,.x>0且28-x>0,.0<x<28: (2)依题意得x(28-x)=192,整理得x2-28x+192=0,解得：x=12或16， ∴.当x为12或16时，劳动基地ABCD的面积为192n2: 28-x212'解得8≤x≤16,5=x(28-)=-(x-14}+196, ③)依题意得x≥8 ,8≤x≤16，.当x=14时，S有最大值，最大值为196m2,当x=8时，S有最小值，最小值为1602， ∴.劳动基地面积的最大值为196m2,最小值为160m2. 23.(本小题满分12分) 小红在学完一元二次方程后发现可以用配方法求二次三项式的最值，于是对最值问题产生了浓厚兴趣， 决定进行深入研究.下面是她收集的素材，汇总如下，请你根据素材帮助她完成相应的任务 实践与探索：关于最值问题的探究 “主元法”是指在有多个字母的代数式或方程中，选取其中一个字母为主元（未知数）， 将其它字母视为常数，就能把一些陌生的代数式或方程转化为我们熟悉的代数式或方程 素材1 例如：当a≠0时，ax2+2a-1=0可以看作关于x的一元二次方程.但若把a看成“主元”， x看作常数，则ax2+2a-1=0可以转化为关于a的一元一次方程(x2+2)a-1=0 对于一个关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠O),除了可以利用配方法求它的最值外， 素材2还有其他的方法，比如：令ax2+bx+c=y(a≠0)，然后移项可得ax2+bx+(c-y)=0, 再利用根的判别式b2-4ac≥0来确定y的取值范围，这钟方法称为判别式法. 问题解决 任务1感受新知：用判别式法求代数式2x2+5x+3的最小值. 探索新知：若实数x、y满足x2-2x-4y=5,求代数式x-2y的最大值 对于这一问题，小红有下面大致的解题思路，请你帮助她写出具体的解题过程， 任务2思路：①令x-2y=k,由此得到用含xk的式子表示y的代数式. ②将得到的代数式代入x2-2x-4y=5,整理得到关于x的一元二次方程. ③利用判别式法得到代数式x-2y的最大值. 应用新知：如图，在口ABCD中，∠C=60°，BD=√39，记AB=a,BC=b 当3a+b的值最大时，求b的值. 任务3 任务1 解：根据素材中的判别式法，令2x2+5x+3=y,整理得2x2+5x+3-y=0 令A≥0，即5-4×2x6-)≥0，解得≥日故y的最小值为日 任务2 解：令太2y=,则y行将y=代入-2x4y=5整理得-4+2-50 把x-4x+2k-5=0看作是关于x的一元二次方程，由△≥0得(4)-4x1×(2k-5)≥0，解得k≤9 2 x2y长号六-2y的最大植为号 任务3 第3页（共5页） 解：如图，过点B作BE⊥DC于点E· 根据题意，AB=DC=a,BC=b,BD=√39. ,在RtABCE中，∠C=60°， CECDE-CD-CE 在ABDE,D=E+DF,西o(a- 整理得a2-ab+b2-39=0. 令3a+b=k,则a=k,b,将之代入上式得到关于b的一元二次方程13b-5b+k2-351=0, 由△≥0得(-5k)2-4×13×(k2-351)≥0，解得-26≤k≤26， ∴.k的最大值为26，即3a+b的最大值为26. 把k=26代入13b2-5b+k2-351=0整理得b2-10b+25=0,解得b=5. ∴.当3a+b的值最大时，b=5. 24.(本小题满分12分) 若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根均为整数，则称该方程为“快乐方程”， 通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式B2-4ac必为完全平方数.现规定F(a,bc)4如c-b 为“快乐方程”ax2+bx+c=0(a≠0)的“快乐数”.例如：两个实数根均为整数的“快乐方程” t-3x-4=0的“快乐数”为F0,-3,-4)=4×1×(-4)-(-3)。25 4×1 4 (1)求“快乐方程”x2-2x-3=0的“快乐数”的值： (2)若关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x+m2-2m-3=0(m为整数，且1<m<6)是“快乐方程”， 求m的值，并求该“快乐方程”的“快乐数”； (3)已知px2+qx+r=0(p≠0)是“快乐数”为F(p,q,r)的“快乐方程”.若…F(a,b,c)=cF（p,q,r）, 则称F(a,b,c)与F(p,q,r）互为“开心数”.若“快乐方程”x2-(n+2)x+2n=0(m、n均为整数) 与x2-mx+m+1=0的“快乐数”互为“开心数”，求n的值. 解：方程-2x-3=0的“快乐数”为F,2,-3》=4x1×(-3)-(-2 三4 4×1 (2)依题意知△=b2-4ac=[-(2m-1)了-4(m2-2m-3)=4m2-4m+1-4m2+8m+12=4m+13, .1<m<6,.17<4m+13<37, 依题意得4m+13=25或36，解得m=3,m=2空（不合题意，舍去）， 把m=3代入x2-(2m-1)x+m2-2m-3=0整理得x2-5x=0, ·“快乐方程”2-5x=0的“快乐数”F0,-5,0)=4x1x0-(-5_25 4×1 4 (3),关于x的一元二次方程x2-mx+m+1=0是“快乐方程”，.△=（-m)2-4(m+1)=(m-2)2-8, 由“快乐方程”的性质设△=a2,则(m-2)2-8=a2,变形得(m-2+a)m-2-)=8, ,m-2+a与m-2-a的奇偶性相同， :m-2+a=4或m-2+a=2或m-2+a=-4或m-2+a=-2 解得：m=5或-1， m-2-a=2m-2-a=4m-2-a=-2m-2-a=-4 当m=5时，“快乐方程”-mx+m+1=0为-5x+6=0,F0,5,6=4x1x6-(-5。-号 4×1 第4页（共5页） 当m=-1时，“快乐方程”x-mx+m+1=0为+x=0,F1,0)=4x1x0-上三号 4x1 4 :关于x的一元二次方程x2-0m+2)x+2n=0是“快乐方程”，.△=[-(n+2)]-4×2n=(0n-2), F0,-n-2,2m）=4×1x2n-(-n-2n-2} 4×1 4 ,“快乐方程”x2-(n+2)x+2n=0与x2-x+m+1=0的“快乐数”互为“开心数”， .当m=5时，由2n× - 解得n=3或4（不是整数，不合题意，舍去）， 4 解得n=0. 综上所述，n的值为0或3. 第5页（共5页）2026年下学期九年级数学学科第一次检测卷 试卷说明：本卷共三大题24小题，共计120分，时量120分钟 一.选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1.若√x-1在实数范围内有意义，则x的值可以是【】 A.2 B.0 C.-1 D.-2 2.计算√2×√6的结果是【】 A.2W2 B.25 C.3√2 D.45 3.计算V(-2)2的结果是【】 A.-2 B.2 C.+2 D.√2 4.下列二次根式中的最简二次根式是【】 A.14 B.§ C.0.7 D. 5.下列计算中正确的是【】 A.√2+√3=5 B.3W2-√2=3 C.√12÷5=4 D.√12×√5=6 6.将关于x的一元二次方程x(x-1)=3化为一般形式为【】 A.x2-x=3 B.x2-x+3=0 C.x2-x-3=0 D.x2+x-3=0 7.方程(x-1)2=1的解正确的是【】 A.x=2,2=1B.x=2,为2=0 C.x=-2,x2=1 D.x=2,x3=-1 8.一元二次方程x(x-3)=0的解是【】 A.x=-3 B.x=0 C.x=3 D.x=3,x2=0 9.一元二次方程x2+2x-3=0可配方成(x+m)=n的形式.则m+n的值为【】 A.-5 B.-4 C.5 D.-2 10.已知3m2-2m-5=0,5m+21-3=0,其中mn为实数，则m-的值为【】 A.0 B c.3或0 D.8或0 8 3 二.填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 11.若最简二次根式Va-1与√2是同类二次根式，则a的值是一 12.计算V⑧-V18的结果是 13.若m是一元二次方程x2-3x+1=0一个根，则2025-m2+3m的值是 14.若关于x的一元二次方程x2-2x-k=0没有实数根，则k的取值范围是 15.若关于x的一元二次方程x2+5x-m=0的一个根是-7，则另一个根是 16.如图1，将面积为4的正方形分为①②③④四部分，若这4部分恰好拼成如图2所示的矩形ABCD, 则AB的长为 ① ③ D ② ③ ③ ④ 图1 图2 三.解答题（共8小题，满分72分） 17.(本小题满分6分) 计算：x+6日-5， 第1页（共4页） 18.(本小题满分6分) 已知y=√x-3+V3-x+4,求， 的 19.(本小题满分8分) 先阅读下面的材料，再解答下列问题。 材料：已知√8-x-√3-x=1,求√8-x+√3-x的值， 小明同学是这样解答的： :(8-x-V3-x)(8-x+3-x)=(V8-x)-（3-x=(8-x)-(3-x)=8-x-3+x=5. ∴把8-x-3-x=1代入上式得1×(V8-x+3-x=5,.8-x+3-x=5. 这种方法称为“构造乘积对偶法” 问题：己知√50-x+√10-x=10. (1)求√50-x-10-x的值： (2)求x的值. 20.(本小题满分8分) 我们知道，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根x、x与系数a、b、c之间有如下关系： 古+名5 ，x:=二.这一结论称为一元二次方程根与系数的关系。请完成下列各题. a (1)若x、x是一元二次方程x2-4x+2=0的两个实数根，求代数式(x-)(x,-)的值； (2)若互异实数a、b满足方程a2-a-5=0和b2-b-5=0,求代数式a3+6b-5的值. 21.(本小题满分10分) 在△BC中，BC=5,AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两实根. (1)求证：无论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形； (3)当k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求此时△ABC的周长. 22.(本小题满分10分) 如图，借助一个直角墙角围成一个矩形劳动基地ABCD(墙角的两边DA、DC足够长)，用总长28m的 篱笆围成另外两边AB、BC.设AB的长为xm,矩形ABCD的面积为ym2. (I)求BC的长及x的取值范围； (2)当x为何值时，劳动基地ABCD的面积为192m2: (3)点P处有一棵树（树的粗细忽略不计），它到墙DC的距离是12m, 到墙DA的距离是8m,若这棵树需在劳动基地的内部（包括边界）， D 求劳动基地面积的最大值和最小值， 777777777777777 第2页（共4页） 23.(本小题满分12分) 小红在学完一元二次方程后发现可以用配方法求二次三项式的最值，于是对最值问题产生了浓厚兴趣， 决定进行深入研究，下面是她收集的素材，汇总如下，请你根据素材帮助她完成相应的任务. 实践与探索：关于最值问题的探究 “主元法”是指在有多个字母的代数式或方程中，选取其中一个字母为主元（未知数）， 将其它字母视为常数，就能把一些陌生的代数式或方程转化为我们熟悉的代数式或方程， 素材1 例如：当a≠0时，ax2+2a-1=0可以看作关于x的一元二次方程.但若把a看成“主元” x看作常数，则ax2+2a-1=0可以转化为关于a的一元一次方程(x2+2)a-1=0. 对于一个关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠O),除了可以利用配方法求它的最值外， 素材2还有其他的方法，比如：令ax2+bx+c=y(a≠0)，然后移项可得ax2+bx+(c-y)=0, 再利用根的判别式b2-4ac>0来确定y的取值范围，这钟方法称为判别式法， 问题解决 任务1感受新知：用判别式法求代数式2x2+5x+3的最小值. 探索新知：若实数x、y满足x2-2x-4y=5,求代数式x-2y的最大值 对于这一问题，小红有下面大致的解题思路，请你帮助她写出具体的解题过程. 任务2思路：①令x-2y=k,由此得到用含x、k的式子表示y的代数式。 ②将得到的代数式代入x2-2x-4y=5,整理得到关于x的一元二次方程， ③利用判别式法得到代数式x-2y的最大值. 应用新知：如图，在口ABCD中，∠C=60°，BD=√39，记AB=a,BC=b 当3a+b的值最大时，求b的值. 任务3 第3页（共4页） 24.(本小题满分12分) 若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根均为整数，则称该方程为“快乐方程”. 通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式B2-4ac必为完全平方数.现规定F(a,bc=4ac-b 为“快乐方程”ax2+bx+c=0(a≠0)的“快乐数”.例如：两个实数根均为整数的“快乐方程” r-3x-4=0的“快乐数”为F,-3,-4)=4×1×(-4)-3)-25 4×1 4 (1)求“快乐方程”x2-2x-3=0的“快乐数”的值： (2)若关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x+m2-2m-3=0(m为整数，且1<m<6)是“快乐方程”， 求m的值，并求该“快乐方程”的“快乐数”： (3)已知px2+qx+r=0(p≠0)是“快乐数”为F(p,q,r)的“快乐方程”.若F(a,b,C)=CF(p,q,r), 则称F(a,b,c)与F(p,q,r）互为“开心数”.若“快乐方程”x2-(n+2)x+2n=0(m、n均为整数) 与x2-x+m+1=0的“快乐数”互为“开心数”，求n的值. 第4页（共4页）