精品解析：湖南长沙市中雅培粹学校2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026年下学期初三第一次错题回练试卷 数学科目 考生注意：本试卷共8道大题，16道小题，满分120分，时量120分钟 一、选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查倒数的基本定义，根据倒数的概念直接计算即可得到答案． 【详解】解：∵乘积为的两个数互为倒数，且， ∴的倒数是． 2. 清代诗人袁枚创作了一首诗《苔》：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”歌颂了苔在恶劣环境下仍有自己的生命意向．若苔花的花粉粒直径线约为米，用科学记数法表示为（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解： 故选B． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故计算错误； B、，故计算错误； C、，故计算错误； D、，故计算正确． 4. 一将一副三角尺如图所示放置，其中，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题路程了平行线的性质，与三角板有关的计算，先得出，结合两直线平行，内错角相等得，再根据角的和差关系列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， 则， 故选：B 5. 已知二元一次方程组，则的值是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把方程组中的两个方程的左右两边分别相减即可得到答案． 【详解】解： 得． 6. 将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到抛物线（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线向左平移个单位所得抛物线的解析式为：； 由“上加下减”的原则可知，将抛物线向上平移个单位所得抛物线的解析式为：， 故选：A． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键． 7. 在数轴上表示不等式组的解集正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解不等式组，然后再将解集在数轴上正确表示出来即可解答． 【详解】解： 解不等式可得， 解不等式可得， 所以不等式组的解集为：， 在数轴上表示如图： 故选C． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示解集等知识点，正确求得不等式组的解集是解题的关键． 8. 如图，已知A点是反比例函数 的图像上一点，轴于点B，且的面积为3，则k的值为（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得到 ， 解得或， 然后根据反比例函数的性质得到满足条件的k的值． 【详解】详解：∵，的面积是3， ∴， 解得或， ∵反比例函数图象分布在第一、三象限， ∴． 9. 《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有x辆车，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据题意，设有x辆车，通过两种乘车方式表示总人数并相等，列出方程. 【详解】解：由题知， 因为每3人乘一车，最终剩余2辆车， 所以总人数可表示为：． 因为每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘， 所以总人数可表示为：， 则可建立方程：． 故选：B． 10. 某天，某同学早上9点坐车上高速出发去外地研学，汽车进入高速行驶距离S（千米）与所用时间t（分）之间的函数关系如图所示，已知汽车在途中停车加油一次，则下列描述不正确的是（ ） A. 汽车在途中加油用了15分钟 B. 该同学到达目的地 C. 若，则加满油以后的速度为96千米/小时 D. 若汽车加油后的速度是110千米/小时，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查函数图象，能够读懂图象并从中获取有效信息是解题的关键． 根据速度、时间、路程之间的关系，结合函数图象逐项分析判断，即可解题． 【详解】解：由图知，汽车在途中加油用了（分钟）， 故A选项正确，不符合题意； 该同学早上9点出发，路上用时分钟， 该同学到达目的地，故B选项正确，不符合题意； ， ， 解得， 加满油以后的速度为（千米/小时）， 故C选项正确，不符合题意； 若汽车加油后的速度是110千米/小时，则， 解得， 故D选项正确，符合题意； 故选：D． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 已知分式有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】x≠-1 【解析】 【分析】根据分式有意义时分母≠0列式求解即可. 【详解】由题意得 x+1≠0， ∴x≠-1. 故答案为x≠-1. 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，当分母不等于零时，分式有意义；当分母等于零时，分式无意义.分式是否有意义与分子的取值无关. 13. 按从小到大排序的9个数据：10，15，23，32，38，43，49，65，70，这组数据的第三四分位数是_______ ． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查四分位数的求法，掌握四分位数的求法是解题的关键． 根据第三四分位数的不同计算规则，分别计算即可得到结果． 【详解】解：已知从小到大排序的数据共个， 方法一： 计算第三四分位数的位置为， 不是整数，将向上取整得， 这组数据的第三四分位数为排序后第个数据，即； 方法二： 第三四分位数为数据后四分之一部分的中位数，个数据的后四个数据为，，，， 第三四分位数为． 14. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，为边的中点，且，则菱形的周长为__________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质和直角三角形的性质；根据菱形的性质可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵为边的中点，且， ∴， ∴菱形的周长为； 故答案为：24． 15. 如图，在中，，平分，则的面积是________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，据此作，得出即可求解． 【详解】解：作，如图所示： ∵平分， ∴ ∵， ∴的面积， 故答案为： 16. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③若点、点、点在该函数图象上，则；④若方程的两根为和，且，则．其中正确的结论是_________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据对称轴公式可得，据此可判断①；根据对称性可得该二次函数的图象过点，则可得到，据此可判断②；函数图象开口向下，则离对称轴越远，函数值越小，据此比较三个点到对称轴的距离即可判断③；根据题意可得在中，当时，或，据此结合函数图象可判断④． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴，即，故①正确； ∵该二次函数的图象过点， ∴由对称性可知，该二次函数的图象过点， ∴当时，， ∴，即，故②错误； ∵该二次函数的图象开口向下， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵点、点、点在该函数图象上，且， ∴，故③正确； 若方程的两根为和，且， ∴在中，当时，或， 又∵该二次函数的图象过点和， ∴由函数图象可知，，故④正确； 综上所述，正确的有①③④． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算零指数幂、绝对值、算术平方根和负整数指数幂，再加减运算即可解答． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的运算法则把所给代数式化简，再把代入计算． 【详解】解：原式 当时， 原式． 【点睛】本题考查了分式的计算和化简，解决这类题目关键是把握好通分与约分，分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分．同时注意在进行运算前要尽量保证每个分式最简． 19. 某中学为了提高学生们的消防意识，特邀某消防支队队员到学校开展消防安全讲座和组织实操演习，并在学习结束后开展消防知识竞赛，竞赛成绩分别为6分、7分、8分、9分、10分，为了更好地了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从所有学生竞赛成绩中随机抽取部分学生的竞赛成绩作为样本进行整理，绘制条形统计图和扇形统计图，部分信息如下： 请根据以上信息，完成下列问题： （1）此次抽查的学生总数为_______； （2）请补全抽取的学生成绩条形统计图；在扇形统计图中：_______；得分为“8分”这一项所对应的圆心角是_______度； （3）已知该校共有2000名学生参加本次知识竞赛，且规定成绩为9分及以上为优秀，请估计该校参加本次知识竞赛成绩为优秀的学生有多少名？ 【答案】（1）100 （2）图如下： 40； （3）600名 【解析】 【分析】（1）根据“部分数量除以其所占百分比等于总量”，即可解答； （2）根据“总量乘以该部分所占百分比等于该部分数量”，即可得出竞赛成绩为8分的人数，据此作图即可；利用8分的人数除以总人数即可得出m的值；利用乘以该部分所占百分比，即可求出圆心角的度数； （3）利用样本所占百分比估计总体的数量，即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得，此次抽查的学生总数为（人）； 【小问2详解】 由题意得，竞赛成绩为8分的人数为：（人）, 图略； ∴， ∴； ∴得分为“8分”这一项所对应的圆心角是； 【小问3详解】 由题意得，（名）． 答：估计该校参加本次知识竞赛成绩为优秀的学生有600名． 20. 如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线，交于点． （1）若，求的度数； （2）若，垂足为，求证：． 【答案】（1）； （2） 证明：平分， ， ∵， ， ， ， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题考查作图基本作图，全等三角形的判定，角平分线的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用平行线的性质求出，再利用角平分线的定义求出； （2）根据证明三角形全等即可． 【小问1详解】 解：∵， ， ， ， 由题意平分， ； 【小问2详解】 略 21. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于二、四象限内的、两点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，若，，且点的横坐标为． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出满足的的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理得到，可知反比例函数的解析式，进而求出，即可求出一次函数的解析式； （2）求出，再根据三角形面积公式计算即可； （3）根据函数图象作答即可． 【小问1详解】 解：∵轴，，， ∴， ∴， 将代入得， 解得：， 即， 将代入得：， 即， 将、代入得： ，解得：， ∴； 【小问2详解】 解：当时，解得， 即， ∴； 【小问3详解】 解：根据函数图象可知，当时，或． 22. 根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 求该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率． 任务2 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 任务3 假设该厂所取得的月销售利润为W元，请问当售价定为多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为； （2）该零件的实际售价应定为50元； （3）当售价定为65元时，月销售利润最大，最大利润是12250元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，二次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为x，利用该车间6月份生产数量=该车间4月份生产数量该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设该零件的实际售价应定为y元，则每个的销售利润为元，月销售量为个，利用总利润=每个的销售利润月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要尽可能让车企得到实惠，即可确定结论； （3）依据由题，结合（2）该零件的实际售价定为y元，则月销售利润为，进而结合二次函数的性质即可判断得解． 【详解】解：（1）设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为； （2）设该零件的实际售价应定为y元，则每个的销售利润为元，月销售量为个， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要尽可能让车企得到实惠， ， 答：该零件的实际售价应定为50元； （3）结合（2），该零件的实际售价定为y元， 月销售利润为 ， 当时，月利润W最大，最大值为， 答：当售价定为65元时，月销售利润最大，最大利润是12250元． 23. 如图，已知二次函数与轴交于点和点，与轴交于点，连接，是直线下方抛物线上一点，连接交于点． （1）求二次函数解析式； （2）如图1，连接，若，求点的坐标； （3）如图2，点为第一象限内抛物线上一点，且点到轴的距离为，以、为边作，连接，若的面积为，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）将点，，分别代入即可求出二次函数的解析式； （2）先求出直线的解析式为，设点的坐标为，然后求出直线的解析式为，将直线的解析式与直线的解析式联立求出点的坐标，然后根据，即可求出点的坐标； （3）连接，可得，进而得出，从而求出直线的解析式为，将直线的解析式与二次函数解析式联立可求出点坐标，当时，面积的最大，求出，最后即可求出面积的最大值． 【小问1详解】 解：将点，，分别代入可得： ，解得：， ∴二次函数解析式为． 【小问2详解】 解：设直线的解析式为，将，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为，， 设直线的解析式为，将点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 将直线的解析式与直线的解析式联立得： ，解得：， ∴点的坐标为， ∵， ∴， 又∵点、点都在轴下方， ∴，解得：或， ∴点的坐标为或． 【小问3详解】 解：如图所示，连接， ∵点，点， ∴， ∵点到轴的距离为， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵直线的解析式为， ∴设直线的解析式为， 将点代入得：，解得：， ∴直线的解析式为， 将直线的解析式与二次函数解析式联立可得： ，解得：或 ∴是点坐标，是点坐标， ∴， ∴当时，面积最大， ∵直线的解析式为， ∴此时，解得：， ∴此时， ∴， ∴面积的最大值为． 24. 综合探究 （1）如果你身旁没有量角器和三角尺，又需要作的角，可以采用下面的方法（如图1所示）：①对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． ②再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段，把纸片展平．由此得到，请你写出证明过程． （2）如图2，在第（1）问的基础上，以，为邻边作平行四边形，连接交线段于点，连接．若四边形为矩形，，求的长． （3）如图3，在矩形的边上任取一点，过点作边的平行线，交于点．在上取一点，以为折痕，将折叠，使顶点落在线段上的点处．再以，为邻边作平行四边形，连接交线段于点，交线段于点，连接，若，求证：． 【答案】（1）证明：连接， 由折叠性质得，垂直平分，， ∴ ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴； （2）4 （3）证明：由题意，，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，即， 过H作于S，过N作于K，则，， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴，又， ∴四边形是平行四边形， ∴，即． 【解析】 【分析】（1）连接，由折叠性质得，垂直平分，证明是等边三角形得到，结合可得结论； （2）先由矩形性质和折叠性质得到，，，则有，，由勾股定理求得，则，利用平行四边形的性质和矩形的性质得到，，易得，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得即可解答； （3）过H作于S，过N作于K，证明得到，利用三角形的面积公式，结合平行线间的距离处处相等可证明，进而证明四边形是平行四边形得到即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形，， ∴，， 由折叠性质可得，，， ∴，， 在中，，， ∴，则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由得， ∴； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年下学期初三第一次错题回练试卷 数学科目 考生注意：本试卷共8道大题，16道小题，满分120分，时量120分钟 一、选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 清代诗人袁枚创作了一首诗《苔》：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”歌颂了苔在恶劣环境下仍有自己的生命意向．若苔花的花粉粒直径线约为米，用科学记数法表示为（     ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一将一副三角尺如图所示放置，其中，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知二元一次方程组，则的值是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 6. 将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到抛物线（ ） A. B. C. D. 7. 在数轴上表示不等式组的解集正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知A点是反比例函数 的图像上一点，轴于点B，且的面积为3，则k的值为（ ） A. B. 3 C. D. 6 9. 《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有x辆车，则可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 某天，某同学早上9点坐车上高速出发去外地研学，汽车进入高速行驶距离S（千米）与所用时间t（分）之间的函数关系如图所示，已知汽车在途中停车加油一次，则下列描述不正确的是（ ） A. 汽车在途中加油用了15分钟 B. 该同学到达目的地 C. 若，则加满油以后的速度为96千米/小时 D. 若汽车加油后的速度是110千米/小时，则 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：_______． 12. 已知分式有意义，则x的取值范围是_______． 13. 按从小到大排序的9个数据：10，15，23，32，38，43，49，65，70，这组数据的第三四分位数是_______ ． 14. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，为边的中点，且，则菱形的周长为__________． 15. 如图，在中，，平分，则的面积是________． 16. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③若点、点、点在该函数图象上，则；④若方程的两根为和，且，则．其中正确的结论是_________． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 某中学为了提高学生们的消防意识，特邀某消防支队队员到学校开展消防安全讲座和组织实操演习，并在学习结束后开展消防知识竞赛，竞赛成绩分别为6分、7分、8分、9分、10分，为了更好地了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从所有学生竞赛成绩中随机抽取部分学生的竞赛成绩作为样本进行整理，绘制条形统计图和扇形统计图，部分信息如下： 请根据以上信息，完成下列问题： （1）此次抽查的学生总数为_______； （2）请补全抽取的学生成绩条形统计图；在扇形统计图中：_______；得分为“8分”这一项所对应的圆心角是_______度； （3）已知该校共有2000名学生参加本次知识竞赛，且规定成绩为9分及以上为优秀，请估计该校参加本次知识竞赛成绩为优秀的学生有多少名？ 20. 如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线，交于点． （1）若，求的度数； （2）若，垂足为，求证：． 21. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于二、四象限内的、两点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，若，，且点的横坐标为． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出满足的的取值范围． 22. 根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 求该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率． 任务2 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 任务3 假设该厂所取得的月销售利润为W元，请问当售价定为多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少？ 23. 如图，已知二次函数与轴交于点和点，与轴交于点，连接，是直线下方抛物线上一点，连接交于点． （1）求二次函数解析式； （2）如图1，连接，若，求点的坐标； （3）如图2，点为第一象限内抛物线上一点，且点到轴的距离为，以、为边作，连接，若的面积为，求面积的最大值． 24. 综合探究 （1）如果你身旁没有量角器和三角尺，又需要作的角，可以采用下面的方法（如图1所示）：①对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． ②再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段，把纸片展平．由此得到，请你写出证明过程． （2）如图2，在第（1）问的基础上，以，为邻边作平行四边形，连接交线段于点，连接．若四边形为矩形，，求的长． （3）如图3，在矩形的边上任取一点，过点作边的平行线，交于点．在上取一点，以为折痕，将折叠，使顶点落在线段上的点处．再以，为邻边作平行四边形，连接交线段于点，交线段于点，连接，若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $