精品解析：吉林省长春市东北师范大学附属中学2027届高三上学期第一次模拟数学试题

高三年级数学科试卷 注意事项： 1．答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由已知， 又，故. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】. . 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以“”是“”的充分不必要条件. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由于，故， 结合，得， 因此. 4. 已知是定义域为的奇函数，的部分图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的性质，补全函数图象，结合图象，可得答案． 【详解】因为是奇函数，所以在上的图象关于坐标原点对称， 因此由在上的图象，可得它在上的图象如图所示， 故当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 因此不等式的解集为． 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式和二倍角的余弦公式即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 6. 已知实数满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】易得，从而，再利用基本不等式求解. 【详解】解：因为实数满足， 所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是的最小值是， 故选：B 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨单调性进而比较大小即得. 【详解】令函数，求导得，函数在上单调递减， ，即当时，， 则，，即， 所以. 故选：D 8. 已知，若函数存在零点，则实数的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将函数存在零点转化为方程有解，构造函数和，利用导数讨论其单调性求出最值，即可求出实数的取值范围. 【详解】函数存在零点，即方程有解， 即有解， 令，故问题转化为有解. 设，则， 则当时，；当时，， 故函数在单调递减，在单调递增，故， 所以存在唯一解，即，即. 令，则， 则当时，；当时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增，故， 所以方程有解的充要条件为，解得， 故实数的值可能为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设函数，则（ ） A. B. 是的极大值点 C. 当时， D. 函数有2个零点 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，直接计算可得A正确；B选项，求导，得到是的极小值点，B错误；C选项，在B基础上得到函数单调性，求出函数值域；D选项，方程法求解函数零点. 【详解】A选项，， ，A正确； B选项，，令得，解得或2， 令得或，令得， 所以是的极小值点，B错误； C选项，由B知，在上单调递增，在上单调递减， 其中， 故当时，，C错误； D选项，令得，即，解得或3， 函数有2个零点，D正确 10. 如图，质点和在单位圆上逆时针作匀速圆周运动.若和同时出发，的角速度为，起点位置坐标为，B的角速度为，起点位置坐标为，则（ ） A. 在末，点的坐标为 B. 在末，扇形的弧长为 C. 在末，点在单位圆上第二次重合 D. 面积的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出末点和的坐标可判断选项AB;求出末点和的坐标，结合诱导公式可判断C；根据三角形面积公式可判断D. 【详解】在末,点的坐标为，点的坐标为；，扇形的弧长为； 设在末，点在单位圆上第二次重合， 则，故在末，点在单位圆上第二次重合； ,经过s后，可得，面积的可取得最大值. 故选:BCD. 11. 已知函数的定义域为，且，不恒为0，则下列说法中正确的是（） A. B. 为奇函数 C. D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.令，解得或，再排除；B.令，推导出，因此是偶函数；C. 令，得到，即，从而；D.先通过递推赋值确定函数周期，再利用周期分组简化求和运算. 【详解】选项A，令，代入等式得， 化简得，解得或. 若，令代入等式得， 即对任意恒成立，与题设“不恒为”矛盾，因此，A正确； 选项B，令，代入等式得， 将代入，得，化简得，因此是偶函数，不是奇函数，B错误； 选项C，令，代入等式得，因为，所以，即， 由 ，可得， 令，则对任意，都有，即， 因此，C正确； 选项D，已知，， 令，，得， 令：，得， 令：，得， 令：，得， 令：，得， 令：，得， 因此是周期为的周期函数. 一个周期内的函数值之和为， 由于，即包含337个完整周期，剩余4项为， 因此，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】 求出导函数，得切线斜率后可得切线方程． 【详解】，∴切线斜率为， 切线方程为． 故答案为：． 13. 已知，分别是函数和的零点，则________． 【答案】2026 【解析】 【分析】本题通过同构变形构造严格单调函数，推导出的等量关系，代入目标式后结合零点等式即可直接求出结果. 【详解】由是的零点，得， 由是的零点，得， 令，根据指数与对数的互逆关系，可得，将代入得，即，又， 二者结构完全一致，均满足函数的函数值为， 设函数， 当时，和均为正且单调递增， 因此函数在上严格单调递增， 因为，，故， 定义域，且时，，故零点， 因此， 由，且在单调递增，可得，即， 所以. 14. 已知函数及其导函数的定义域均为，且满足，，若不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，利用导数和积分确定函数的解析式，再利用导数分析函数的单调性，再设，明确函数图象的性质，把问题转化成，可求的取值范围. 【详解】由. 设，则，所以. 因为，所以. 所以，. 又， 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减，且时，时，，. 设，其图象为过定点的直线， 要使不等式只有1个整数解，必有. 由； 由； 由. 综上可得，即实数的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知在中，． （1）证明：是直角三角形； （2）若，求的值． 【答案】（1）证明：因为， 所以， 因为，所以， 即或，因为，所以或， 所以为直角三角形. （2） 【解析】 【分析】（1）根据恒等变换得或，即可得证； （2）根据利用二倍角公式得或，再根据（1）得，后利用三角恒等变换及齐次式即可求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为，即，所以， 即，解得或. 由（1）知，若，则，与已知矛盾，所以，，，. ， 因为，所以， 即. 16. 下表提供了甲产品的产量x（吨）与利润y（万元）的几组对照数据： x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 （1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程； （2）计算决定系数的值，并判断（1）中线性回归模型的拟合效果是否良好；（注：若，则认为回归模型拟合效果良好） （3）请利用（1）中的线性回归方程，试估计当甲产品的产量为10吨时，利润是多少万元． 参考公式：，， 【答案】（1） （2），（1）中线性回归模型的拟合效果良好 （3）当甲产品的产量为10吨时，利润是7.35万元 【解析】 【分析】（1）直接利用公式，代入数据求解即可； （2）利用公式代入数据求解即可； （3）利用（1）中的线性回归方程，代入甲产品的产量为10吨求解利润即可. 【小问1详解】 由题意可知，，， ，， 所以， ， 所以关于的线性回归方程为. 【小问2详解】 ，， 所以， 因此（1）中线性回归模型的拟合效果良好. 【小问3详解】 当时，， 因此估计当甲产品的产量为10吨时，利润是7.35万元. 17. 如图，在三棱柱中，侧面是菱形，，底面，垂足为的中点． （1）若过点，，D的平面与棱交于点，证明：是的中点，且四边形为矩形； （2）若，求与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】（1）证明：连接，. 在三棱柱中，侧面为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面. 因为平面，且平面平面，所以， 所以， 因为是的中点，所以是的中点. 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以，所以四边形为平行四边形. 在中，因为，是的中点，所以. 因为平面，平面，平面， 所以，. 因为平面，平面，， 所以平面， 因为平面，所以，所以四边形为矩形. （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据线面平行的判定定理和性质定理证明，即可证明点是中点，再证明，以及面面平行的性质定理证明，首先证明四边形是平行四边形，再根据垂直关系的转化证明四边形是矩形； （2）根据条件以点为原点建立空间直角坐标系，求平面的法向量，再代入线面角的向量公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，两两垂直，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，在中，，， ，所以， 所以，，，， 则，. 因为，所以. 因为，所以.设平面的法向量为， 则即所以 令，则，，所以. 设与平面所成角为，则 ， 当且仅当，即时等号成立. 故与平面所成角的正弦值的最大值为. 18. 已知椭圆的左焦点为，左顶点为，上顶点为，（为坐标原点）． （1）求的离心率； （2）过点的直线交于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连接并延长交于点，求直线与直线的斜率之积； （3）设过点且斜率为的直线与在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且，求椭圆的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用条件等式结合的关系消去，即可求得离心率； （2）由（1）可设，设点，，由点差法，推得，再由，，三点共线，推得，再由直线的斜率计算，代入化简即可求得定值； （3）依题意写出直线的方程，与椭圆方程联立求出，设，由确定，再由圆与相切求得，即得椭圆方程. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为，则有，即，代入， 可得，解得，所以椭圆的离心率为. 【小问2详解】 由（1）知，，，故椭圆方程可化为. 设，，则，则有，， 将两式作差，可得，则， 又轴，则，且，，三点共线，所以， 所以直线与直线的斜率之积为. 【小问3详解】 由题意知，，则直线的方程为. 联立消去，化简得， 解得，.分别代入的方程，解得，. 因为点在轴上方，所以.由圆心在直线上，可设. 因为，且由（1）知，故，解得. 因为圆与轴相切，所以圆的半径为2， 又由圆与相切，得，解得. 所以椭圆的方程为. 19. 已知函数，． （1）讨论函数在上的单调性； （2）若，证明：当时，； （3）当时，，求的取值范围. 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增 （2）证明：令， 则. 当时，，即 ，则在上恒成立，故在上单调递增. 则当时，，故. （3） 【解析】 【分析】（1）通过求导得导函数，利用余弦函数的性质判定其符号，即得单调性； （2）设，通过求导，利用三角函数与二次函数的单调性判断导函数的符号，即得函数单调性，进而利用单调性即可得证； （3）【解法一】令，，计算可得；再利用求导证明“若，当时，恒成立”，即得，从而求得参数范围；【解法二】先证当时，，结合原不等式可化为，设，求导后推得在内存在最小值且，由即得参数范围. 【小问1详解】 由求导得，因， 令，得，解得； 令，得或，解得， 故在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 令， 则由题意可知，即.（必要条件） 若，则当时，由，有. 下面证明：当时，.① 令，， 则. 令，得，或， 即或，其中，且. 由在内单调递减且恒大于0，可得的单调性如下： + 0 - 0 + 单增 极大值 单减 极小值 单增 又因为，且，所以当时，，即①式成立. 由此，若，则当时，，符合题意.（充分条件） 综上所述，的取值范围为. 【解法二】首先证明不等式：当时，. 令，当时，，在上单增. 由此当时，，即，不等式得证. 下面回到原题. 当时，不等式显然成立. 当时，由，原不等式可化为. 令，则. 令，得. 当时，，，从而在内单调递减； 当时，，，从而在内单调递增. 所以在内存在最小值且. 由题意，，即.综上，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级数学科试卷 注意事项： 1．答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知是定义域为的奇函数，的部分图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知实数满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若函数存在零点，则实数的值可能为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设函数，则（ ） A. B. 是的极大值点 C. 当时， D. 函数有2个零点 10. 如图，质点和在单位圆上逆时针作匀速圆周运动.若和同时出发，的角速度为，起点位置坐标为，B的角速度为，起点位置坐标为，则（ ） A. 在末，点的坐标为 B. 在末，扇形的弧长为 C. 在末，点在单位圆上第二次重合 D. 面积的最大值为 11. 已知函数的定义域为，且，不恒为0，则下列说法中正确的是（） A. B. 为奇函数 C. D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线的方程为__________. 13. 已知，分别是函数和的零点，则________． 14. 已知函数及其导函数的定义域均为，且满足，，若不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知在中，． （1）证明：是直角三角形； （2）若，求的值． 16. 下表提供了甲产品的产量x（吨）与利润y（万元）的几组对照数据： x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 （1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程； （2）计算决定系数的值，并判断（1）中线性回归模型的拟合效果是否良好；（注：若，则认为回归模型拟合效果良好） （3）请利用（1）中的线性回归方程，试估计当甲产品的产量为10吨时，利润是多少万元． 参考公式：，， 17. 如图，在三棱柱中，侧面是菱形，，底面，垂足为的中点． （1）若过点，，D的平面与棱交于点，证明：是的中点，且四边形为矩形； （2）若，求与平面所成角的正弦值的最大值． 18. 已知椭圆的左焦点为，左顶点为，上顶点为，（为坐标原点）． （1）求的离心率； （2）过点的直线交于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连接并延长交于点，求直线与直线的斜率之积； （3）设过点且斜率为的直线与在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且，求椭圆的方程． 19. 已知函数，． （1）讨论函数在上的单调性； （2）若，证明：当时，； （3）当时，，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $