精品解析：浙江湖州市长兴县龙山共同体素养测试2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026学年第一学期长兴县龙山中学共同体素养检测（一） 九年级数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，必须在答题卷的左边填写班级、姓名、座位号等信息． 3．所有答案都必须写在答题卷标定的位置上，注意试题序号和答题序号相对应． 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，y关于x的二次函数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 守株待兔 C. 大海捞针 D. 水中捞月 3. 抛物线y＝2x2﹣4x+1的对称轴是直线（　　） A. x＝2 B. x＝1 C. D. x＝﹣1 4. 二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 如图所示的桥拱是抛物线形，其函数表达式为．当水位线在位置时，水面宽，此时水面离桥拱顶的高度为（ ） A. B. C. D. 6. 在数-1，1，2中任取两个数作为点坐标，那么该点刚好在一次函数y=x-2图象上的概率是（） A. B. C. D. 7. 已知点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使为直角三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的最大值为6，那么关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 10. 已知，两点在抛物线上，下列判断正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 二次函数的图象与轴交点坐标是__________． 12. 若函数是关于x的二次函数，则a的值为______． 13. 从形状、大小相同的9张数字卡片中任意抽1张，抽出的恰好是①偶数；②小于6的数；③不小于9的数．将这些事件的序号按发生的可能性从大到小排列，则有__________（用“”连接）． 14. 如图，抛物线（a，b，c为常数，且）交x轴于，两点，则不等式的解集为_______． 15. 如图，二次函数的图象与x轴交于，，其中．结合图象给出下列结论： ①； ②； ③关于x的一元二次方程的另一个根是； ④b的取值范围为，其中正确结论的有______． 16. 如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标为__________． 三、解答题（第17，18，19，20，21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 已知二次函数图象的顶点坐标是，并经过点求： （1）二次函数表达式． （2）当x取何值时，y随x的增大而减小？ 18. 深圳某中学科技社举办“拥抱智能，探索未来”应用体验日活动，准备了以下四个体验项目供学生随机选择： A．智能语音助手对话编程 B．学习助手解疑体验 C．AI图像生成艺术创作 D．人形机器人指令交互 （1）该校学生小智随机选择一个项目，他选中“图像生成艺术创作”（项目C）的概率是______； （2）科技社成员小深和小港都参加了活动，他们各自从以上四个项目中随机选择一项进行体验．请用画树状图或列表方法，求两人选择的项目恰好相同的概率． 19. 已知二次函数． （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）当时，函数的最大值和最小值分别为多少？ 20. 在一个不透明的盒子里装有黑、白两种球共60个，它们除颜色外其余均相同．圆圆做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，不断重复上述摸球的过程，如表是实验中的若干统计数据： 摸球的次数n 50 100 200 400 1000 2000 3000 摸到白球的次数m 35 69 142 280 702 1398 2103 摸到白球的频率 （1）当n很大时，请估计摸到白球的概率．（精确到） （2）试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个？ （3）若要使摸到白球的概率为，则需要往盒子里再放入多少个白球？ 21. 设二次函数．已知函数值和自变量的部分对应取值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … m 1 n 1 p … （1）若，求二次函数的表达式； （2）若此抛物线上有，两点，求当时，二次函数的值． 22. 已知二次函数（为常数）． （1）证明：该二次函数图象与轴必有两个交点． （2）若图象上有点，，，且满足，求的取值范围． 23. 甲同学家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，甲打算利用围墙和木栏围一块长方形养鸡场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设长为x米． （1）如图1，当时， ①________米（用含x的代数式表示）． ②若围成的养鸡场面积为平方米，求的长． （2）如图2，当时，求养鸡场可达到的最大面积． 24. 喷泉是城市中一道美丽的风景．如图1，水花从垂直地面的水管的顶端处喷射出，其在空中的飞行轨迹可近似看作一条抛物线．以水管与地面的交点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．经测量，水管的高度是米，喷出最远的水花的运动轨迹为抛物线（如图2所示），水花在与水管的水平距离为1米时，达到最大高度2米，水花之后沿抛物线下落，最终落到地面上的点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若图1中喷出的水花的运动轨迹所在的抛物线群如图3所示，且，，，这些抛物线的顶点在同一条直线上，其中一条抛物线与水平直线相交于点，请求出的顶点坐标和的表达式； （3）若喷泉水花瀑布中所有抛物线均可表示为且与直线相交于点，经测算，当时，喷泉的观赏效果最佳，请求出此时抛物线中的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期长兴县龙山中学共同体素养检测（一） 九年级数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，必须在答题卷的左边填写班级、姓名、座位号等信息． 3．所有答案都必须写在答题卷标定的位置上，注意试题序号和答题序号相对应． 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，y关于x的二次函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义“形如的函数”，逐一分析四个选项即可得出结论． 【详解】解：A、当时，不是二次函数，故选项A不符合题意； B、，是二次函数，故选项B符合题意； C、，不是二次函数，故选项C不符合题意； D、，不是二次函数，故选项D不符合题意； 故选：B． 2. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 守株待兔 C. 大海捞针 D. 水中捞月 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查必然事件，关键是理解必然事件就是一定会发生的事件．解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．必然事件就是一定会发生的事件，依据定义即可作出判断． 【详解】解：A、旭日东升是必然事件，正确； B、守株待兔是随机事件，不符合题意； C、大海捞针是随机事件，不符合题意； D、水中捞月是不可能事件，不符合题意； 故选：A． 3. 抛物线y＝2x2﹣4x+1的对称轴是直线（　　） A. x＝2 B. x＝1 C. D. x＝﹣1 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式表达式即可解答． 【详解】解：∵y＝2x2﹣4x+1＝2（x2﹣2x+1）﹣2+1＝2（x﹣1）2﹣1， ∴抛物线y＝2x2﹣4x+l的对称轴是直线x＝1． 故选B． 【点睛】本题主要是对一般形式中对称轴的求法．是一道基础题，需要同学们细心认真审题，对考点熟练掌握应用，达到举一反三的程度，深化理解知识点. 4. 二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】二次函数的图象与轴的交点的横坐标，是一元二次方程的解． 【详解】解：由图可得，二次函数的图象与轴的交点的横坐标为，，即为一元二次方程的解． 故选：C． 5. 如图所示的桥拱是抛物线形，其函数表达式为．当水位线在位置时，水面宽，此时水面离桥拱顶的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的函数表达式和水面宽度求出水面的纵坐标，进而得到水面离桥拱顶的高度． 【详解】解：桥拱对应的函数表达式为且水位线与轴平行， ，关于轴对称， ， ，， 将代入函数表达式得，即水面离桥拱顶的高度为， 故选：C． 6. 在数-1，1，2中任取两个数作为点坐标，那么该点刚好在一次函数y=x-2图象上的概率是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】画树状图如下： 共有6种等可能的结果， 其中只有（1，-1）在一次函数y=x-2图象上， 所以点在一次函数y=x-2图象上的概率=． 故选：D． 【点睛】本题考查了利用列表法或树状图法求概率：先列表或画树状图展示所有等可能的结果，再找出某事件所占有的可能数，然后根据概率的概念求这个事件的概率．也考查了点在一次函数图形上，则点的横纵坐标满足一次函数的解析式． 7. 已知点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，将各点代入函数解析式得出函数值比较即可，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，； ∴． 故选：C． 8. 如图，在的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使为直角三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是简单概率的计算； 找到可以组成直角三角形的点，根据概率公式解答即可． 【详解】解：如图， ，，，均可与点A和点B组成直角三角形，即有4个点满足条件． ∴使为直角三角形的概率是， 故选：D． 9. 已知二次函数的最大值为6，那么关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】将二次函数的解析式化为顶点式，得出当时，二次函数取得最大值为，从而可得，整理得，再结合一元二次方程根的判别式计算即可得出结果． 【详解】解：， ∵， ∴当时，二次函数取得最大值为， ∵二次函数的最大值为6， ∴， ∴， ∵一元二次方程为， ∴， ∴关于的一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根． 10. 已知，两点在抛物线上，下列判断正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】A 【解析】 【分析】先化简抛物线解析式，得到其开口方向与最大值，再计算的差判断大小关系，结合选项验证得到结果． 【详解】解：将抛物线整理得． 二次项系数为负， 抛物线开口向下，顶点坐标为，抛物线上所有点的纵坐标满足． 将，代入抛物线得： ，． ． 当时，， ，即，又恒成立，故A正确． 当时，取，得，故B错误． 当时，， ，即，取，得，故C错误． 当时，若时，，故D错误． 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 二次函数的图象与轴交点坐标是__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：当时，， ∴二次函数的图象与轴交点坐标是. 12. 若函数是关于x的二次函数，则a的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此求解即可． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， ∴， 故答案为；1． 13. 从形状、大小相同的9张数字卡片中任意抽1张，抽出的恰好是①偶数；②小于6的数；③不小于9的数．将这些事件的序号按发生的可能性从大到小排列，则有__________（用“”连接）． 【答案】 【解析】 【详解】解：中，偶数有2，4，6，8共4个，小于6的数有1，2，3，4，5共5个，不小于9的数只有9，共1个， ∵， 故发生的可能性从大到小排列为. 14. 如图，抛物线（a，b，c为常数，且）交x轴于，两点，则不等式的解集为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据图象得到的解集为或，然后不等式两边同时除以a，不等号方向改变即可求解． 【详解】解：由题意可知：和是方程的两根， 由图象可知：的解集为或，且二次函数的开口向下， ∴的解集为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系的运用，数形结合思想，解答时分析函数的图象是关键． 15. 如图，二次函数的图象与x轴交于，，其中．结合图象给出下列结论： ①； ②； ③关于x的一元二次方程的另一个根是； ④b的取值范围为，其中正确结论的有______． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质、抛物线与轴的交点问题、一元二次方程的根与系数的关系、二次函数与不等式的关系等知识．根据二次函数的图象与性质判断结论①②正误；由二次函数与一元二次方程的关系判断结论③；利用结论③及题中条件可求得的取值范围，再由结论②可得取值范围，判断④是否正确． 【详解】解：由图可得：，对称轴， ， ，①错误； 由图得，图象经过点，将代入可得， ，②正确； 该函数图象与轴的交点为， 关于的一元二次方程的一个根为，另一个根为， 由根与系数的关系得， ，即关于的一元二次方程的另一个根是， ③正确； ，即， 解得， ，即， ， ， ④正确． 综上，②③④正确． 故答案为：②③④． 16. 如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设抛物线与x轴另一个交点为F，在y轴上取点E，使得，连接，，，先求出，，，，证明，所以，即点C在上时，的值最小，再求点C的坐标即可． 【详解】解：设抛物线与x轴另一个交点为F，在y轴上取点E，使得，连接，，， 令，则， 令，则， 解得，， ，，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 直线是抛物线的对称轴， ， ， ∵， 当点C在上时，的值最小， 设直线的解析式为， 把，的坐标代入， 得， 解得， 直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线 ∴对于，令，则， 即此时点C的坐标为． 当的值最小时，点C的坐标为． 三、解答题（第17，18，19，20，21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 已知二次函数图象的顶点坐标是，并经过点求： （1）二次函数表达式． （2）当x取何值时，y随x的增大而减小？ 【答案】（1） （2）当时，随的增大而减小． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式． （1）根据抛物线的顶点坐标是，设出顶点式，利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）根据二次函数的图象和性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵二次函数图象的顶点坐标是， ∴设二次函数表达式为， ∵二次函数经过点， ∴， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：∵中， ∴抛物线开口向下， 又∵抛物线的对称轴为， ∴当时，随的增大而减小． 18. 深圳某中学科技社举办“拥抱智能，探索未来”应用体验日活动，准备了以下四个体验项目供学生随机选择： A．智能语音助手对话编程 B．学习助手解疑体验 C．AI图像生成艺术创作 D．人形机器人指令交互 （1）该校学生小智随机选择一个项目，他选中“图像生成艺术创作”（项目C）的概率是______； （2）科技社成员小深和小港都参加了活动，他们各自从以上四个项目中随机选择一项进行体验．请用画树状图或列表方法，求两人选择的项目恰好相同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率公式是解题的关键． （1）根据概率公式求解即可； （2）先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两人选择相同项目的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有四个项目，且每个项目被选择的概率相同， ∴该校学生小智随机选择一个项目，他选中“图像生成艺术创作”（项目C）的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能结果，其中小深和小港选择的项目相同的结果有4种， ∴两人选择的项目恰好相同的概率为． 19. 已知二次函数． （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）当时，函数的最大值和最小值分别为多少？ 【答案】（1） （2）当时，函数的最大值为16，最小值为0 【解析】 【分析】（1）运用配方法得到二次函数的顶点式，写出顶点坐标； （2）由于开口向下，抛物线有最大值，即顶点的纵坐标为最大值，当时取得最小值代入计算即可解题． 【小问1详解】 解： ∴二次函数图象的顶点坐标为； 【小问2详解】 ∵， 抛物线有最大值，当时，， 抛物线离对称轴最远，即时，， ∴当时，函数的最大值为16，最小值为0． 【点睛】本题考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的配方法求顶点坐标是解题的关键． 20. 在一个不透明的盒子里装有黑、白两种球共60个，它们除颜色外其余均相同．圆圆做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，不断重复上述摸球的过程，如表是实验中的若干统计数据： 摸球的次数n 50 100 200 400 1000 2000 3000 摸到白球的次数m 35 69 142 280 702 1398 2103 摸到白球的频率 （1）当n很大时，请估计摸到白球的概率．（精确到） （2）试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个？ （3）若要使摸到白球的概率为，则需要往盒子里再放入多少个白球？ 【答案】（1） （2）白球为42个，黑球为18个 （3）30个 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目相应频率． （1）观察表格中的数据，随着摸球次数的增加，摸到白球频率逐渐趋近于某一个值，据此分析可得到答案； （2）白球个数=球的总数得到的白球的概率，让球的总数减去白球的个数即为黑球的个数； （3）设再放入x白球，根据摸到白球的概率为，列方程即可． 【小问1详解】 解：由表格可知：当n的取值越来越大时，摸到白球的频率将会接近， 所以估计摸到白球的概率为； 【小问2详解】 解：盒子里白球的数量为（个， 所以黑球的数量为（个； 【小问3详解】 解：设再放入x个白球， 则有， 解得， 经检验，是方程的解， 答：需要往盒子里再放入30个白球． 21. 设二次函数．已知函数值和自变量的部分对应取值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … m 1 n 1 p … （1）若，求二次函数的表达式； （2）若此抛物线上有，两点，求当时，二次函数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求得； （2）先得到抛物线对称轴为直线，而此抛物线图象上有两点，，且这两点关于对称轴对称，即可求出，再由表格即可求解函数值； 【小问1详解】 解：由题意得，当时，，当时，， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式是； 【小问2详解】 解：由表格可得，和时的函数值都是1， ∴抛物线对称轴为直线 ∵此抛物线图象上有两点，，且，关于抛物线对称轴对称， ∴， ∴当时，由表格得． 22. 已知二次函数（为常数）． （1）证明：该二次函数图象与轴必有两个交点． （2）若图象上有点，，，且满足，求的取值范围． 【答案】（1）证明：当时，可得：， ， 函数的图象与轴必有两个交点； （2）或 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可得，可证结论成立； （2）根据抛物线的对称轴公式可得，可得抛物线解析式为，再根据即可求出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点，在函数图像上， 对称轴为直线， ，即抛物线解析式为， 当时，， 当时，， ， ， 解得：， 又， ， 整理得：， 解得：或， 综上所述：的取值范围或． 23. 甲同学家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，甲打算利用围墙和木栏围一块长方形养鸡场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设长为x米． （1）如图1，当时， ①________米（用含x的代数式表示）． ②若围成的养鸡场面积为平方米，求的长． （2）如图2，当时，求养鸡场可达到的最大面积． 【答案】（1）①②米 （2）平方米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用．理解题意列出二次函数并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． ①根据图形和条件确定边长表达式；②根据面积公式列出方程求解并关联题意即可解答； 根据面积公式列出方程求解以及利用二次函数性质求最值． 【小问1详解】 解：① ②， 解得，． ， 的长为23米． 【小问2详解】 解：， 养鸡场的面积． ， ． 当时，养鸡场面积可以达到最大值平方米． 24. 喷泉是城市中一道美丽的风景．如图1，水花从垂直地面的水管的顶端处喷射出，其在空中的飞行轨迹可近似看作一条抛物线．以水管与地面的交点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．经测量，水管的高度是米，喷出最远的水花的运动轨迹为抛物线（如图2所示），水花在与水管的水平距离为1米时，达到最大高度2米，水花之后沿抛物线下落，最终落到地面上的点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若图1中喷出的水花的运动轨迹所在的抛物线群如图3所示，且，，，这些抛物线的顶点在同一条直线上，其中一条抛物线与水平直线相交于点，请求出的顶点坐标和的表达式； （3）若喷泉水花瀑布中所有抛物线均可表示为且与直线相交于点，经测算，当时，喷泉的观赏效果最佳，请求出此时抛物线中的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，，顶点坐标为，再利用待定系数法求解； （2）利用配方法求出的顶点坐标，再设直线的表达式，利用待定系数法求解； （3）先求出点、的坐标，再将抛物线顶点坐标代入直线，得出，则，再列不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，，顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将点代入，得， 解得：， 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：, 的顶点坐标为， 设直线的表达式为， ，，，这些抛物线的顶点在同一条直线上，且，的顶点坐标分别为，， ，解得：， 的表达式为； 【小问3详解】 解：令，则， 解得：（舍），， ， 令，则， 解得：（舍），， ， ， 抛物线顶点坐标为 由（2）可知，顶点所在的直线的表达式为， ， ， 解得：或， 当时，抛物线开口向下，顶点在，不符合题意， ， ， ， ， 解得：， 即当喷泉的观赏效果最佳时，抛物线中的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $