精品解析：浙江省湖州市长兴县龙山共同体2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025学年第一学期长兴县龙山中学共同体素养检测（三） 九年级数学试题卷 考生须知： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题纸上填写好姓名、班级、座位号和准考证号． 3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效． 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列事件中属于必然事件的是（ ） A. 三角形内角和为 B. 抛掷一枚硬币，正面朝上 C. 某运动员跳高的最好成绩是 D. 从车间刚生产的产品中任意抽取一个是次品 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了随机事件，必然事件、不可能事件的概念等知识点，必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据随机事件，必然事件、不可能事件的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．由三角形内角和定理可知：三角形内角和为，故A选项是必然事件，符合题意； B．抛掷一枚硬币，正面朝上是随机事件，不符合题意； C． 某运动员跳高的最好成绩是是不可能事件，不符合题意； D． 从车间刚生产的产品中任意抽取一个是次品属于随机事件，不符合题意． 故选A． 2. 已知线段是线段，的比例中项，其中，，则等于（ ） A. 4 B. 10 C. 25 D. 100 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了比例线段，理解比例中项的概念是解题的关键． 根据比例中项的定义可得，然后代入a和b的值计算 c即可． 【详解】解：∵ c 是 a 和 b 的比例中项， ∴， ∵，， ∴， ∴（c 为线段，取正值）． ∴． 故选B． 3. 如图，两灯塔A、B间的距离恰好为暗礁所在圆的半径，要使船P不驶入暗礁区，则航行中应保持（ ） A. 大于 B. 小于 C. 大于 D. 小于 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、三角形的外角性质、等边三角形的性质，根据题意作出辅助线，灵活运用圆周角定理是解题的关键． 连接，，，，根据圆周角定理解题即可． 【详解】解：连接，，，，如图所示： ∵，即为等边三角形， ∴， ∴， 又为的外角， ∴，即．   故选：B ． 4. 抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移，熟练掌握“上加下减，左加右减”是解题的关键．根据二次函数平移规律“左加右减，上加下减”进行变换即可． 【详解】解：∵ 抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位， ∴ 所得抛物线为：， 故选：D． 5. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 6. 如图，在边长为6的正方形中，以为直径画半圆，则阴影部分的面积是（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，证明BE=CE，得到弓形BE的面积=弓形CE的面积，则． 【详解】解：设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠OCE=45°， ∵OE=OC， ∴∠OEC=∠OCE=45°， ∴∠EOC=90°， ∴OE垂直平分BC， ∴BE=CE， ∴弓形BE的面积=弓形CE的面积， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了求不规则图形的面积，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的性质，熟知相关知识是解题的关键． 7. 如图是平放在地上的油漆桶横截面，已知油漆桶的直径为，油漆面宽为，则现在油漆桶中油漆的最大深长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理，根据垂径定理和勾股定理即可求出答案，先求出的长，再由垂径定理求出的长，根据勾股定理求出的长，然后用即可求出结果． 【详解】解：过O点作垂直于的半径，交于点D，连接，如下图， ∵油漆桶的直径为， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴油漆桶中油漆的最大深长为． 故选：B． 8. 如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F，若四边形的面积为6，则的面积为（　　） A. 15 B. 18 C. 24 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】连接,根据三角形重心的性质可知：P在上，由三角形中线平分三角形的面积可知：，证明和,根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可解答． 【详解】解：如图，连接， 点P是的重心，点D是边的中点，P在上， ， ， ， ， ， ， ， 设的面积为m，则的面积为，的面积为， 四边形的面积为6， ， ， 的面积为9， 的面积是18． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中，准确作出辅助线是解题的关键． 9. 已知二次函数，当时，的取值范围是，且在该二次函数的图象上有且仅有两个点到轴的距离等于3，则的值可以是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据当时，的取值范围是，得到抛物线的开口向上，且抛物线与直线的交点的横坐标为和，进而求出的关系式，再根据该二次函数的图象上有且仅有两个点到轴的距离等于3，得到顶点的纵坐标在和3之间，进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数，当时，的取值范围是， ∴抛物线的开口向上，且抛物线与直线的交点的横坐标为和， ∴，的两个根为和， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的对称轴为， ∵该二次函数的图象上有且仅有两个点到轴的距离等于3， ∴当时，， ∴， ∴； 故的值可以是2； 故选：B． 10. 如图所示，由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形，P为的中点，连结交于点，若，则的值是（ ） A. 4 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质． 设，则，，延长到M，使，连接，证明，得到，，，进而得到，设，则，根据得到，可知，现由得到，求出，再得到，进而得到，求解即可． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∴， 如图，延长到M，使，连接， ∵P为的中点， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， 由得到， 解得：， ∴， ∵， ∴， 解得： 即． 故选：A． 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 已知，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的变形代入求值，准确的计算是解决本题的关键． 将所求表达式拆分为，然后代入计算即可． 【详解】解：由题意得， ． 故答案为：． 12. 在一个不透明的袋子中装有8个白球，个红球，这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为，则___________ 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了概率公式． 根据概率公式，摸到红球的概率等于红球数量与总球数的比值，列出方程求解． 【详解】解：总球数为，摸到红球的概率为． ， ， ． 经检验，是原方程的解． 故答案为2． 13. 物理实验课上，同学们分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小明发现，重物上升时，滑轮上点A 的位置在不断改变．已知滑轮的半径为，当滑轮上点A 转过的度数为时，重物上升了_______（结果保留π）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 根据题意使用弧长公式计算即可． 【详解】解：根据题意，当滑轮上点转过的度数为时，重物上升了． 故答案为：． 14. 二次函数的图像过点，其部分图像如图所示，则关于的方程的根是___________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了根据函数图像求一元二次方程的根． 根据对称轴得到关于直线的对称点为，结合函数图像作答即可． 【详解】解：由图可知对称轴为直线， 则关于直线的对称点为， 可知的根是，． 故答案为：，． 15. 如图，，射线和互相垂直，是上一个动点，点在射线上，，作并使，连接并延长交射线于点．若，则的长为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形和相似三角形．熟练掌握全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，添加辅助线，是解题的关键．作于点G．证明，得，，由，得，即可得． 【详解】解：过点F作于点G， 则， ∵， ∴， ∴ ，∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 图是一张长为米、球网高度为米的智能发球乒乓球桌，图是发球机从中线的端点的正上方米处的点发球，球呈抛物线飞行，当飞行的水平距离为米时，球达到最大高度米．记第一次落球点为，则的长为___________．球从点处弹起后飞行轨迹与段抛物线形状相同，且最大高度可达米，当球运行到点正上方处，运动员进行直线扣杀，球擦网而过，落点为．如图，则的长为___________米． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意建立直角坐标系求得过的抛物线解析式，进而得到点的坐标，然后再求得过的抛物线解析式，从而得到点的坐标，最后利用相似解得的长． 【详解】解：如图建立平面直角坐标系， ∴，顶点， 设， 把代入得： ， ∴， 即：， 当时， ， 解得：（舍）， ∴， ∵从点处弹起后飞行轨迹与段抛物线形状相同，且最大高度可达米， ∴设段抛物线解析式为：， 把代入得：（舍）， ∴， 当时，， 即：， 令与球网的交点为，作于，连接， 由题意得：， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了二次函数与实际问题、相似三角形的判定与性质、待定系数法求函数解析式，关键是建立恰当的直角坐标系用函数模型解决实际问题． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分．） 17. 如图，已知二次函数的图象经过点，． （1）求这个二次函数的表达式． （2）当时，求的取值范围． 【答案】（1）二次函数的表达式为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求出二次函数的解析式是解决本题的关键． （1）利用待定系数解答，即可求解； （2）先求出二次函数的图象与x轴的交点，再根据该抛物线的开口向上，即可求解． 【小问1详解】 解：将和代入解析式， 得， 解得：， ∴该二次函数的表达式是； 【小问2详解】 解：当时，， 解得：或， 由图可得，该抛物线的开口向上， ∴当时，x的取值范围为． 18. 一个不透明的口袋中装有3张分别标有数字，，4的卡片，它们的形状、大小完全相同．先从口袋中随机摸出一张卡片，记下数字为，在剩下的2张卡片中再随机摸出一张，记下数字为． （1）第一次摸出标有数字4的卡片的概率是___________． （2）用列表法或画树状图的方法，求点落在第二象限的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了求概率． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）列出表格，进而根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：共3种情况，4占一种，则第一次摸出标有数字4的卡片的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 4 4 可知共6种情况，其中点落在第二象限的情况有种， （落在第二象限） 19. 如图，在中，，是边上一点，且，过点作，交的延长线于点． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由等边对等角可得，再结合对顶角相等可得，即；再说明，进而证明结论； （2）由勾股定理可得，即，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，． ∴， ∵， ∴，即，解得：． 20. 如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，． （1）求证平分，并求的大小； （2）过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴平分， （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理得出，结合题意可得，再由三角形内角和定理得，最后由圆内接四边形对角互补可求解； （2）根据（1）的结论结合已知条件得出，，是等边三角形，进而得出，由是直径，根据含度角的直角三角形的性质可得，在中，根据含度角的直角三角形的性质求得的长，进而即可求解． 【小问1详解】 解：∵平分， ∴， 又∵ ∴ 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，则． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形，则． ∵平分， ∴． ∵是直径， ∴，则． ∵四边形是圆内接四边形， ∴，则， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是直径， ∴此圆半径的长为． 【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键． 21. 学习了相似三角形相关知识后，小明想利用“标杆”测量教学楼的高度．如图，小明站在地面点处，他的同学在点处竖立“标杆”，使得点、、在一条直线上（点、、也在一条直线上）已知小明的目高为米，“标杆”为米，米，米，、、均垂直于地面，求教学楼的高度． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，添加辅助线构造相似三角形解决问题是解题的关键． 过点作交于，垂足为，则四边形、、都是矩形， 即可得、、、长，进而求出、长，由得，利用相似比求出长，由即可得出． 【详解】解：如图，过点作交于，垂足为，则四边形、、都是矩形， ∴米，米， 米，米，， ∴米，米， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴米， ∴米． 22. 近年来，便携式加湿器因体积小、操作简单等优点迅速成为上班族的宠儿．某代理根据市场需求，销售一种便携式加湿器，每台进价为20元．供应商规定，每台售价不低于36元，且销售利润不高于进价的．经市场销售后发现：该产品月销售量（台）与售价（元/台）之间满足一次函数关系，部分数据如表： 售价（元/台） 36 38 40 42 月销售量（台） 4000 3800 3600 3400 （1）求关于的函数表达式． （2）当每台售价定为多少元时，商场每月销售这种家用加湿器获得的利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1） （2）当元时利润最大，最大利润为元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用、不等式组的应用等知识点，明确题意、正确列出函数解析式是解题的关键． （1）直接运用待定系数法求关于的函数表达式即可； （2）先根据题意列不等式求得x的取值范围，再列出获得的利润与x的函数解析式，最后根据二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设，分别把代入得：，解得：， ． 【小问2详解】 解：由题意得：， 由题意可得： ， 当时，元． 答：每台售价定为45元时利润最大，最大利润为元． 23. 如图，等腰内接于，．D为上一点，连结交于点E，连结并延长交延长线于点F． （1）求证：． （2）若． ①求证：． ②当时，求的值． 【答案】（1） 解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2） ①过点A作于G，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ② 【解析】 【分析】（1）根据，，得 ，结合，得； （2）①过点A作于G，根据等腰三角形性质得，根据，得，结合，∴得；②延长交于点H，连接，由垂径定理推论知过点O，得，可得，得，根据，得 ，，得，即得 ． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②延长交于点H，连接， 由①知，，， ∴过点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴, ， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴． 【点睛】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理及其推论，相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理等．等腰三角形性质，熟练掌握各定理及其性质是解决本题的关键． 24. 如图，四边形内接于，对角线平分，连接交于点． （1）求证：． （2）当，时，求的值． （3）如图，在（）的条件下，若为直径，点分别在上，，且为中点，判断的面积是否为定值．若不是，求出其最大值，若是，求出其定值． 【答案】（1） 证明：平分， ， ， ， ， ∴； （2） （3）面积为定值，定值为 【解析】 【分析】（）由角平分线的定义及圆周角定理可得，进而即可证明； （）利用相似三角形的性质可得，即得，进而由得到即可求解； （）作交于点，作交于点，连接，由得，即得，得到，利用和可得，得到，即得到四边形是平行四边形，得，进而由得，即可判断求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， 即， ∴， ∴， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：面积为定值，理由如下： 作交于点，作交于点，连接， 平分， ， ， ∵为直径， ，， 在中，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ∴， ∴， ， 的面积为定值，定值． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理的推论，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期长兴县龙山中学共同体素养检测（三） 九年级数学试题卷 考生须知： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题纸上填写好姓名、班级、座位号和准考证号． 3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效． 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列事件中属于必然事件的是（ ） A. 三角形内角和为 B. 抛掷一枚硬币，正面朝上 C. 某运动员跳高的最好成绩是 D. 从车间刚生产的产品中任意抽取一个是次品 2. 已知线段是线段，的比例中项，其中，，则等于（ ） A. 4 B. 10 C. 25 D. 100 3. 如图，两灯塔A、B间的距离恰好为暗礁所在圆的半径，要使船P不驶入暗礁区，则航行中应保持（ ） A. 大于 B. 小于 C. 大于 D. 小于 4. 抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在边长为6的正方形中，以为直径画半圆，则阴影部分的面积是（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 12 7. 如图是平放在地上的油漆桶横截面，已知油漆桶的直径为，油漆面宽为，则现在油漆桶中油漆的最大深长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F，若四边形的面积为6，则的面积为（　　） A. 15 B. 18 C. 24 D. 36 9. 已知二次函数，当时，的取值范围是，且在该二次函数的图象上有且仅有两个点到轴的距离等于3，则的值可以是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图所示，由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形，P为的中点，连结交于点，若，则的值是（ ） A. 4 B. 3 C. D. 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 已知，则的值为___________． 12. 在一个不透明的袋子中装有8个白球，个红球，这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为，则___________ 13. 物理实验课上，同学们分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小明发现，重物上升时，滑轮上点A 的位置在不断改变．已知滑轮的半径为，当滑轮上点A 转过的度数为时，重物上升了_______（结果保留π）． 14. 二次函数的图像过点，其部分图像如图所示，则关于的方程的根是___________． 15. 如图，，射线和互相垂直，是上一个动点，点在射线上，，作并使，连接并延长交射线于点．若，则的长为___________． 16. 图是一张长为米、球网高度为米的智能发球乒乓球桌，图是发球机从中线的端点的正上方米处的点发球，球呈抛物线飞行，当飞行的水平距离为米时，球达到最大高度米．记第一次落球点为，则的长为___________．球从点处弹起后飞行轨迹与段抛物线形状相同，且最大高度可达米，当球运行到点正上方处，运动员进行直线扣杀，球擦网而过，落点为．如图，则的长为___________米． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分．） 17. 如图，已知二次函数的图象经过点，． （1）求这个二次函数的表达式． （2）当时，求的取值范围． 18. 一个不透明的口袋中装有3张分别标有数字，，4的卡片，它们的形状、大小完全相同．先从口袋中随机摸出一张卡片，记下数字为，在剩下的2张卡片中再随机摸出一张，记下数字为． （1）第一次摸出标有数字4的卡片的概率是___________． （2）用列表法或画树状图的方法，求点落在第二象限的概率． 19. 如图，在中，，是边上一点，且，过点作，交的延长线于点． （1）求证：． （2）若，求的长． 20. 如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，． （1）求证平分，并求的大小； （2）过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长． 21. 学习了相似三角形相关知识后，小明想利用“标杆”测量教学楼的高度．如图，小明站在地面点处，他的同学在点处竖立“标杆”，使得点、、在一条直线上（点、、也在一条直线上）已知小明的目高为米，“标杆”为米，米，米，、、均垂直于地面，求教学楼的高度． 22. 近年来，便携式加湿器因体积小、操作简单等优点迅速成为上班族的宠儿．某代理根据市场需求，销售一种便携式加湿器，每台进价为20元．供应商规定，每台售价不低于36元，且销售利润不高于进价的．经市场销售后发现：该产品月销售量（台）与售价（元/台）之间满足一次函数关系，部分数据如表： 售价（元/台） 36 38 40 42 月销售量（台） 4000 3800 3600 3400 （1）求关于的函数表达式． （2）当每台售价定为多少元时，商场每月销售这种家用加湿器获得的利润最大？最大利润为多少元？ 23. 如图，等腰内接于，．D为上一点，连结交于点E，连结并延长交延长线于点F． （1）求证：． （2）若． ①求证：． ②当时，求的值． 24. 如图，四边形内接于，对角线平分，连接交于点． （1）求证：． （2）当，时，求的值． （3）如图，在（）的条件下，若为直径，点分别在上，，且为中点，判断的面积是否为定值．若不是，求出其最大值，若是，求出其定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $