精品解析：贵州省贵阳市观山湖区第一高级中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷

贵阳市观山湖区第一高级中学2025-2026学年度第一学期 12月月考高二数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 直线的倾斜角为（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方程，结合倾斜角的定义直接得出结果. 【详解】由，得， 所以直线的斜率为，设直线的倾斜角为， 则，解得. 故选：D 2. 点在抛物线上，若点到点的距离为6，则点到轴的距离为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线的定义知，点到焦点的距离等于点到准线的距离，结合点和准线的位置，求点到轴的距离. 【详解】抛物线开口向右，准线方程为， 点到焦点的距离为6，则点到准线的距离为6， 点在y轴右边，所以点到y轴的距离为4． 故选：A． 3. 已知双曲线的离心率为4，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线离心率，解得，进而可得渐近线方程. 【详解】由双曲线的离心率，可得， 所以双曲线的渐近线方程为； 故答案为：C. 4. 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸到红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式以及独立事件的概率公式，可得答案. 【详解】袋子中有个大小质地完全相同的球，其中个红球，个黄球， 从中不放回地依次随机摸出个球，两次摸到红球的概率： ； 故选：A. 5. 函数f（x）＝·2x的图象大致形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的单调性、值域排除选项可得到结果． 【详解】由函数， 可得函数在上单调递增，且此时函数值大于1； 在上单调递减，且此时函数值大于－1且小于零， 结合所给的选项，只有B项满足条件， 故选：B． 6. 已知等差数列的前项和为，若，则使得成立的正整数的最小值为（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 【答案】C 【解析】 【分析】由可知，则可知，由此即可选出答案. 【详解】因为， 所以，所以， 故， 所以满足的正整数的最小值为22． 故选：C 7. 已知是椭圆的一个焦点，若椭圆上存在关于原点对称的，两点满足，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，，.由已知可得.进而根据椭圆的方程消去，得到.然后根据椭圆的范围，即可求出，进而求出答案. 【详解】设，，. 则，， 由已知可得，，即， 整理可得. 因为，所以， 所以， 又由题意可得，所以. 又，所以， 所以，即，所以. 故选：C. 8. 在如图的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB＝3，点M是侧面BCC'B'内的动点，满足AM⊥BD'，设AM与平面BCC'B'所成角为θ，则tanθ的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构建以为原点，分别为轴的正方向构建空间直角坐标系，根据正方体棱长标识，令结合AM⊥BD'有且，而AM与平面BCC'B'所成角的平面角为，即有，即可求tanθ的最大值. 【详解】如下图，以为原点，分别为轴的正方向构建空间直角坐标系， 则有，令， ∴，，又AM⊥BD'，有且， AM与平面BCC'B'所成角为θ，即，而， ∴，， ∴当时，， 故选：B. 【点睛】本题考查了利用空间向量求线面角的最值，综合应用了向量垂直的坐标公式，线面角，以及利用二次函数求最值. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的部分得分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（　　） A. 的最小正周期为 B. C. 在单调递增 D. 在的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】化简函数的解析式，根据函数性质逐项分析即可. 【详解】, 对于A，故A正确； 对于B的对称轴方程为: ， 即， 当时，关于对称， 即，故B正确； 对于C，由， 得的单调递增区间为， 但不是上述区间的子集，故C错误； 对于 故D正确． 故选： 10. 已知圆：与圆：，下列说法正确的是（ ） A. 与的公切线恰有4条 B. 与相交弦的方程为 C. 与相交弦的弦长为 D. 若，分别是圆，上的动点，则 【答案】BD 【解析】 【分析】判断出两圆的位置关系即可判断A，由两圆的方程作差，即可判断B，由圆的弦长公式即可判断C，由即可判断D. 【详解】对于A，由已知得圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， ，， 故两圆相交，所以与的公切线恰有2条，故A错误； 对于B，做差可得与相交弦的方程为，故B正确； 对于C，到相交弦的距离为， 故相交弦的弦长为，故C错误； 对于D，若，分别是圆，上的动点， 因为， 则，故D正确. 故选：BD 11. 已知函数与的定义域均为，且，若为偶函数，则（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. C. 函数的图象关于点对称 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数的对称性、周期性、函数值等知识确定正确答案. 【详解】A选项，是偶函数，图象关于对称，将的图象的横坐标放大为原来的两倍，得到的图象，则是偶函数，图象关于直线对称；将的图象向左平移1个单位长度，得到的图象，则的图象关于直线对称，A选项错误； B选项，由，以替换x得， 由得， 令得， 由于的图象关于直线对称，所以，B选项正确； C选项，由，以替换x得， 由得， 令得，所以的图象关于点对称，C选项正确； D选项，的图象关于直线对称，，由，， 以替换x得，所以，， 的周期为4，，， ，D选项正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分 12. 在公差不为零的等差数列中，，则________． 【答案】16 【解析】 【分析】根据等差数列前项和的性质及下标和性质求解. 【详解】因为，所以， 所以，得. 故答案为：16. 13. 设抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】 【详解】因为在抛物线的内部， 且抛物线的准线为， 设点到准线的距离为， 则取得最小值， 取不到最大值， 所以, 的取值范围是, 故答案为. 考点：抛物线的性质． 14. 在正三棱锥中，，，点满足，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，延长、、至点、、，使得，，，得到，结合空间向量的共面定理，得到、、、四点共面，把到平面的距离转化为点到平面的距离的，结合正三棱锥的性质，即可求解. 【详解】如图所示，延长、、至点、、，使得，，， 所以， 又由，所以、、、四点共面， 所以的最小值，即为点到平面的距离， 因为，则点到平面的距离是点到平面的距离的， 又因为，， 所以三棱锥为正三棱锥， 取等边的中心为，连接、，可得平面， 所以即为点到平面的距离， 在等边，因为，可得，可得， 在直角中，可得， 即点到平面的距离为，所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记为等差数列的前项和，且满足，. （1）求； （2）是否存在最值，如果存在，求出取得最值时的值？如果不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在；或时，取得最大值，无最小值 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据条件求出，然后写出等差数列通项公式即可； （2）根据等差数列的前项和公式写出，再利用函数性质求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题意得：，， 则，解得， 所以. 【小问2详解】 由， 函数开口向下，对称轴为， 而，则或6， 此时， 所以在或6时，取得最大值，无最小值. 16. 在中，角所对的边分别是，已知. （1）求b:c； （2）若为边上一点，的面积是的面积的两倍，，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合两角和的正弦公式与三角形内角和，得出，进而得到. （2）由面积比得，利用与互补，结合余弦定理列方程求出、，最终求得三角形周长. 【小问1详解】 根据正弦定理，由 可得：， 即. 在中，有， 可以得到：， 即，所以. 【小问2详解】 由 有，由 可得：，即， 又，所以 所以的周长为. 17. 已知双曲线的离心率为，且过点. （1）求双曲线的标准方程； （2）过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于两点，若线段的长为8，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）运用双曲线的离心率的公式和a，b，c的关系，解方程可得，，进而得到双曲线的方程； （2）直线的方程为，代入双曲线方程，设、，运用韦达定理和弦长公式即可求解. 【小问1详解】 依题意可得，解得，，， 双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 右焦点为, 当直线无斜率时，此时，代入双曲线方程可得，满足, 当直线有斜率，此时设直线的方程为， 由，可得， 设、，， 由根与系数的关系可得：，， ，解得，故， 故直线的方程为， 综上可得或. 18. 已知三棱锥（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中： （1）证明：平面平面； （2）求三棱锥的体积； （3）若点是的中点，求二面角的余弦值． 【答案】（1） 取的中点为，连接，， 由题意得，， 因为在中，，为的中点，所以， 因为在中，，，，，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2） ； （3） . 【解析】 【分析】（1）取的中点为，根据长度以及位置关系证明出平面，由此可证明平面平面； （2）根据平面结合棱锥的体积公式可求结果； （3）分别求解出平面和平面的一个法向量，根据法向量夹角的余弦值求解出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，是边长为的等腰直角三角形， 故三棱锥的体积为：. 【小问3详解】 因为，，， 所以可以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 所以，故， 令，得，，即， 设平面的法向量为，则， 所以，故， 令，得，，即， 所以， 所以由图可知，二面角的余弦值为. 19. 已知为坐标原点，椭圆：的两个顶点坐标为，，短轴长为2，直线交椭圆于，两点，直线与轴不平行，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知. （1）求椭圆C的方程； （2）求证：直线恒过定点； （3）斜率为的直线交椭圆于，两点，记以，为直径的圆的面积分别为，，的面积为，求的最大值. 【答案】（1） （2）证明：设直线方程为，，， 由，消去x得，， ， 则，， ， ， 又点在椭圆上，则，即， 则， 即，则， 即 ， 解得，此时， 即直线的方程为， 所以直线恒过定点. （3）. 【解析】 【分析】（1）由已知易知的值，得椭圆C的方程； （2）设直线方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理及，可得，即可得证； （3）设直线，联立直线与椭圆，结合韦达定理可得弦长，再根据点到直线距离可得，再根据点在椭圆上，可得，进而可得，再利用二次函数的性质求得最值. 【小问1详解】 由已知两个顶点坐标为，，短轴长为2，得，， 则椭圆方程：. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设直线的方程为，，， 由，消去得， ，即， 则，， 所以 ， 点到直线的距离， 所以， 又，， 所以 ， 所以 则当即时，取最大值为. 【点睛】关键点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把直线与椭圆的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市观山湖区第一高级中学2025-2026学年度第一学期 12月月考高二数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 直线的倾斜角为（     ） A. B. C. D. 2. 点在抛物线上，若点到点的距离为6，则点到轴的距离为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 已知双曲线的离心率为4，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸到红球的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 函数f（x）＝·2x的图象大致形状是（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列的前项和为，若，则使得成立的正整数的最小值为（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 7. 已知是椭圆的一个焦点，若椭圆上存在关于原点对称的，两点满足，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在如图的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB＝3，点M是侧面BCC'B'内的动点，满足AM⊥BD'，设AM与平面BCC'B'所成角为θ，则tanθ的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的部分得分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（　　） A. 的最小正周期为 B. C. 在单调递增 D. 在的值域为 10. 已知圆：与圆：，下列说法正确的是（ ） A. 与的公切线恰有4条 B. 与相交弦的方程为 C. 与相交弦的弦长为 D. 若，分别是圆，上的动点，则 11. 已知函数与的定义域均为，且，若为偶函数，则（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. C. 函数的图象关于点对称 D. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分 12. 在公差不为零的等差数列中，，则________． 13. 设抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，则的取值范围是 . 14. 在正三棱锥中，，，点满足，则的最小值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记为等差数列的前项和，且满足，. （1）求； （2）是否存在最值，如果存在，求出取得最值时的值？如果不存在，请说明理由. 16. 在中，角所对的边分别是，已知. （1）求b:c； （2）若为边上一点，的面积是的面积的两倍，，求的周长. 17. 已知双曲线的离心率为，且过点. （1）求双曲线的标准方程； （2）过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于两点，若线段的长为8，求直线的方程. 18. 已知三棱锥（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中： （1）证明：平面平面； （2）求三棱锥的体积； （3）若点是的中点，求二面角的余弦值． 19. 已知为坐标原点，椭圆：的两个顶点坐标为，，短轴长为2，直线交椭圆于，两点，直线与轴不平行，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知. （1）求椭圆C的方程； （2）求证：直线恒过定点； （3）斜率为的直线交椭圆于，两点，记以，为直径的圆的面积分别为，，的面积为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $