精品解析：广东省广州市玉岩中学2026-2027学年高一上学期限时训练（一）数学试题

广州市玉岩中学2026学年第一学期高一年级限时训练（一） 高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列关系正确的是（ ） A. B. C.  D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系进行判断. 【详解】解：选项A：因为是集合中的元素，所以，所以选项A错误； 选项B：因为是任何集合的子集，所以，所以选项B错误； 选项C：因为中含有元素0，1，而且还有其他元素，所以，所以选项C正确； 选项D：因为是无理数，而是有理数集，所以，所以选项D错误； 故选：C 2. 已知全集，集合，则=（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，再由交集和补集的定义求解即可. 【详解】 所以或， 而 . 故选：D. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】由，得或， 所以原不等式的解集为或. 4. 下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（ ） A. 每一个命题都能判断真假 B. 存在一条直线与两条相交直线都平行 C. 对任意实数，若，则 D. 存在，使 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称量词命题以及存在量词命题的概念以及命题的真假判断，一一判断各命题，即得答案. 【详解】对于A，“每一个命题都能判断真假”是全称量词命题，命题都能判断真假， A是真命题，符合题意； 对于B，“存在一条直线与两条相交直线都平行”是存在量词命题，不符合题意； 对于C，该命题是全称量词命题，当时，，C中命题是假命题，不符合题意； 对于D，该命题是存在量词命题，不符合题意， 故选：A. 5. 对于实数，，，下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的性质进行证明或举例判断即可. 【详解】对于A，若，令，，则，，，故选项A是假命题； 对于B，若，令，则，故选项B是假命题； 对于C，若，则， ∵，∴，∴，故选项C是真命题； 对于D，若，令，，则，故选项D是假命题. 故选：C. 6. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】由，得且，所以“”可以得到“”； 由，得，所以“”不能得到“”. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 7. 已知全集，能表示集合与关系的Venn图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式，结合集合的交运算即可判断. 【详解】因为， 又， 所以， 所以，，， 根据选项的Venn图可知选项D符合. 故选：D. 8. 已知实数，则（ ） A. 有最小值2 B. 有最大值2 C. 有最小值6 D. 无最大值 【答案】B 【解析】 【分析】对分式变形，利用均值不等式即可求解. 【详解】， 因为，所以. 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最大值为. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 设全集，若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据集合的包含关系得到AB正确；C选项，根据补集概念得到C正确；D选项，画出韦恩图，可得D错误. 【详解】对于A，因为集合，所以，故A正确； 对于B，因为集合，所以，故B正确； 对于C，因为集合，所以，故C正确； 对于D，因为集合，如图，①表示， 所以，故D错误. 故选：ABC. 10. 若正实数x，y满足，则下列说法正确的是（ ） A. xy有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最大值为 D. 有最大值为 【答案】AB 【解析】 【分析】直接利用不等式即可求解AC，利用乘“1”法即可求解B，利用不等式成立的条件即可求解D. 【详解】对于A：因为，则，当且仅当，即时取等号，故A正确， 对于B，=，当且仅当，即时取等号，故B正确， 对于C：因为，则，当且仅当，即时取等号，故C错误， 对于D：因为，当且仅当，即时取等号，这与均为正实数矛盾，故D错误， 故选：AB． 11. 对于给定的实数，关于实数的不等式的解集不可能为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】解含参一元二次不等式即可求得结果. 【详解】因为， ①当时，不等式的解集为， ②当时，不等式变为， 方程的根为或， 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为， 当且时，不等式的解集为或， 综上所述，当或时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或， 当且时，不等式的解集为或， 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题的否定为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定是全称量词求解即可. 【详解】命题的否定为. 故答案为：. 13. 已知都是正实数，若，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由基本不等式即可求解； 【详解】， 可得：，当且仅当时，取等号， 所以的最大值为， 故答案为： 14. 若集合，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据集合，分和两种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解. 【详解】由题意，集合， 若时，集合，满足题意； 若时，要使得集合， 则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及集合中元素的判定，其中解答中正确理解集合的表示方法，结合一元二次方程的性质求解是解答的关键，属于基础题. 四、解答题：本题共5小题，共97分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）求 （2）若，，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简集合A，然后根据补集运算求出，最后再求. （2）由题意可知或，解不等式即可. 【小问1详解】 解：，， 则. 【小问2详解】 集合，， . 若，则，即； 若则解得. 综上，实数的取值范围为. 16. 已知. （1）若成立，求实数的取值范围， （2）若和中至多有一个成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，根据存在性问题分析求解； （2）取反面：当和均成立时，求参数的取值范围，进而可得结果. 【小问1详解】 若成立， 因为时，，可得， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 和中至多有一个成立，考虑其反面：和均成立， 若成立， 因为时，，可得； 若成立时，，解得或； 若均成立时，可得， 所以至多有一个成立时，则. 综上上述：实数的取值范围为. 17. 如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为（四个阴影部分加中间小正方形）的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设总造价为（单位：元），长为（单位：m）. （1）试用表示的长，并求的取值范围； （2）求关于的函数关系式，当为何值时，最小？并求出这个最小值. 【答案】（1）； （2），且时元. 【解析】 【分析】（1）设，根据十字形地域的面积得出的关系式，即可求解； （2）由（1）可求得，从而可求出各个图形的面积，将花坛、地坪、草坪的各个区域造价相加，求得总造价，再利用基本不等式求出最小值即可. 【小问1详解】 设，由两个相同的矩形和构成的面积为， 得，解得，由，得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，则， 矩形的面积为，正方形为， 所以 ，由及，得， 所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值118000元. 18. 设函数 （1）若，求的解集． （2）若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； （3）解关于的不等式：． 【答案】（1） （2） （3） 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为 【解析】 【分析】（1）将代入，根据图象的开口方向，以及，即可求得不等式的解集； （2）根据题意，转化为恒成立，分与，两种情况讨论，结合二次函数的性质，列出不等式（组），即可求解； （3）将原式化为，分，，三种情况讨论，结合一元二次不等式的解法，即可得到结果． 【小问1详解】 由函数， 若，可得， 又由，即不等式，即， 因为，且函数对应的抛物线开口向上， 所以不等式的解集为，即的解集为. 【小问2详解】 由对一切实数恒成立，等价于恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意． 当时，则满足，即，解得， 所以的取值范围是． 【小问3详解】 依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为． 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为． 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为或； 综上，当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 19. 问题：正数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题： （1）若正实数满足求的最小值； （2）若正实数满足，且，试比较和的大小，并说明理由； （3）利用（2）的结论，求代数式的最大值，并求出使得最大的的值． 【答案】（1） （2），理由如下： ， 当且仅当，即时，等号成立，所以. （3）的最大值为，此时． 【解析】 【分析】（1）已知正实数满足核心思路是等式两边同除以构造“和为定值”的齐次式，再采用乘1法，将乘以该定值，分式展开，利用基本不等式求最小值，关键是构造可使用均值不等式的乘积结构. （2）已知，采用乘1法，将与条件式相乘展开，拆分后用均值不等式放缩，通过等号成立条件对比和的大小关系，核心是借用题干示范的乘1构造法完成放缩证明. （3）先根据根式定义域求出的范围，换元令，，转化为已知求的最大值，直接套用第（2）问结论，用乘1法结合均值不等式求解，实现结论迁移应用. 【小问1详解】 因为，所以． 所以． 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为． 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 由得， 令，则， 令，由（2）知，， 所以，即， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，此时． 【点睛】方法归纳： 1.核心通用方法：乘1法，已知分式和为定值时，将所求代数式乘以该定值，展开后配凑均值不等式； 2.题型迁移技巧：多问递进题型，后一问可直接套用前一问推导的不等式结论，减少重复推导； 3.含双根式最值：先换元消去根号，转化为二次分式约束条件，再使用乘1法. 易错归纳： 1.均值不等式使用前提：变量必须为正数，解题前先判定定义域； 2.等号成立条件必须检验，忽略取等条件会出现取不到最值的错误； 3.乘1代换时，分式拆分容易出现系数计算错误，需核对展开后的交叉项； 4.根式问题遗漏定义域限制，导致参数范围出错. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市玉岩中学2026学年第一学期高一年级限时训练（一） 高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列关系正确的是（ ） A. B. C.  D. 2. 已知全集，集合，则=（ ） A. B. 或 C. D. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 4. 下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（ ） A. 每一个命题都能判断真假 B. 存在一条直线与两条相交直线都平行 C. 对任意实数，若，则 D. 存在，使 5. 对于实数，，，下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知全集，能表示集合与关系的Venn图是（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数，则（ ） A. 有最小值2 B. 有最大值2 C. 有最小值6 D. 无最大值 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 设全集，若集合，则（ ） A. B. C. D. 10. 若正实数x，y满足，则下列说法正确的是（ ） A. xy有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最大值为 D. 有最大值为 11. 对于给定的实数，关于实数的不等式的解集不可能为（ ） A. B. C. 或 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题的否定为__________. 13. 已知都是正实数，若，则的最大值为__________. 14. 若集合，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共97分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）求 （2）若，，求实数的取值范围. 16. 已知. （1）若成立，求实数的取值范围， （2）若和中至多有一个成立，求实数的取值范围. 17. 如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为（四个阴影部分加中间小正方形）的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设总造价为（单位：元），长为（单位：m）. （1）试用表示的长，并求的取值范围； （2）求关于的函数关系式，当为何值时，最小？并求出这个最小值. 18. 设函数 （1）若，求的解集． （2）若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； （3）解关于的不等式：． 19. 问题：正数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题： （1）若正实数满足求的最小值； （2）若正实数满足，且，试比较和的大小，并说明理由； （3）利用（2）的结论，求代数式的最大值，并求出使得最大的的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $