广东省广州市玉岩中学2025-2026学年高一上学期阶段性教学质量检测（三）数学试题

2025-2026学年第一学期广州市玉岩中学阶段性教学质量检测（三） 高一数学 时间：120分钟，总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求． 1. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 在平面直角坐标系中，若角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则终边与角相同的角的集合为（ ） A. 或 B. C. D. 3. 已知某扇形的周长为8，则当此扇形的面积最大时，半径为（ ） A. 2 B. 4 C. 0.5 D. 0.25 4. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过（ ）天. （参考数据：，， A. 9 B. 15 C. 25 D. 35 5. 已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 设函数的最大值为，最小值为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，正实数满足，则的最小值为（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 定义域为的函数，若关于x的方程恰有5个不同的实数解，，，，，则等于（ ） A. 1 B. C. D. 0 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，.则（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中正确的有（ ） A. 幂函数，且在单调递减，则 B. 的单调递增区间是 C. 定义域为，则 D. 的值域是 11. 已知定义在R上的函数满足，且当时，，则（ ） A. 是周期为2的周期函数 B. 当时， C. 的图象与的图象有两个公共点 D. 在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______． 13. 若，则实数的取值范围是________． 14. 设函数，若，则=______；若有三个零点，则a的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）若角满足，且，求，的值； （2）若集合，且，求实数的取值范围． 16. 已知函数. （1）是否存在实数使函数为奇函数； （2）探索函数的单调性； （3）在（1）的前提下，若对，不等式恒成立，求的取值范围. 17. 已知是函数的零点，． （1）求实数的值； （2）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围． 18. 现定义了一种新运算“”：对于任意实数，，都有（且）. （1）当时，计算； （2）证明：，，，都有； （3）设，若在区间（）上的值域为，求实数的取值范围. 19. 若函数满足：对任意的正数，，都有，则称函数为“函数”. （1）分别判断函数和函数是否为“函数”，并说明理由； （2）若函数为“函数”，，且当时，，证明： （i），； （ii），. 2025-2026学年第一学期广州市玉岩中学阶段性教学质量检测（三） 高一数学 时间：120分钟，总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】##. 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1），；（2）. 【16题答案】 【答案】（1）存在； （2）在上单调递增； （3）. 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1）5 （2）证明：因为， ， 所以. （3）. 【19题答案】 【答案】（1）不是“函数”，是“函数”，理由如下： 对于，取， 则，. 因为，不满足， 故不是“函数”； 对于，对任意的正数，， 有 ， 因为，则，所以函数是“函数”. （2） （i）令，， ， . （ii）因为当时，， 所以对任意，有， 又，则， 又， 所以， 由（i）知，则， 所以， 则， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2025一2026学年第一学期广州市玉岩中学阶段性教学质量检测（三) 高一数学参考解析 题号 1 2 5 7 8 9 10 11 答案 B B A D B D B C BCD ACD ACD 1.【答案】B【解析】因为3r∈Rx2-x+a<0,所以△=()2-4a>0,解得a< 4 所以(-m)2(-m,子，故“a<1是3x∈Rx2-x+a<0的必要不充分条件。 2.【答案】B【解析】由题设a=m+工且keZ,故终边与角a:相同的角的集合为{B1B-元+ck∈Z。 4 4 3.【答案】A【解析】设扇形所在的圆的半径为，弧长为1，可得1=8-2r,所以扇形的面积为S=r= 1 (8-2r)r=-2+4r=-(r-2)2+4,所以当r=2时，扇形的面积最大。 4【答案】D【解析】设经过x天“进步的值是退步的值的2倍，则0凸=2， 0.991 x=loga2=1g2=g2。 1g2 0.3010 晞1g107 0.3010≈35 099 1011g101-1g992.0043-1.99560.0087 999 5.【答案】B【解析】函数y=f(x)在R上是奇函数，当x>0时，f(x)=2-2, 根据题意，作出y=f(x)的图象，如下图所示 由[f)4(]水0得[f()+4r]<0,即f(0,则例<0或了国>0 [x>0, 「x<0, 观察图象得0<x<1或-1<x<0,即不等式xf(x)-4f(-x)<0的解集是(-1,0)U(0,1)。 6【答案1D【解折1四-2-少.2+-2- x2+1 x2+1 x2+1 可g间因2与则（对杆气g的， ·8(x)为定义在R上的奇函数，∴8(x)ms+g(x)n=0，则M-2+m-2=0,M+m=4。 试卷第1页，共7页 7.【答案】B【解析】f()+f(-x)=lgV9x2+1-3x+ig(V9x2+1+3x+2=lg(9x2+1-9x2)+2=2, 这说明f(x)的图象关于点(0,1)对称，类似奇函数，在原点两侧单调性相同， 由于x>0时f)=181+1y=V9x+1+3在(0，+四)上单调递增且函数值恒正， V9x2+1+3x 可推出f(x)在(0，+∞)上单调递减，因此f(x)是减函数。 f(2a)+f(b-4)=2→f(2a=2-f(b-4)=f(4-b)→2a=4-b,即2a+b=4, 16 因此 2+a=4b+a=4地+0≥2， a a0德。2a。6g82,当a=46,即 4时取等。 b= 9 8.【答案】C【解析】令u=f(x),作出函数u=f(x)的大致图象， ufx) W=1-----t------- -----1 -8 X2 12x 当x≠2时，f(4-x)=g4-x-2=g2-x=gx-2=f(x),故函数f(x)的图象关于直线x=2对称。 因为关于x的方程(x)+f(x)+c=0恰有5个不同的实数根， 则关于u的方程2+b+c=0恰有两根，设为4、山，且必有一根为1，设山=1， 设方程4=f(x)的两根分别为5、x2,且￥<x,则￥+书=4， 所以，x3+x4+x5=6,,1+x3+为3+x4+x10, 因此，f(10)=lg8=31g2. 9.【答案】BCD【解析】由a>0,b>0,a+b2=1,得a=1-b2>0,所以0<a<1,0<b<1。 因为b=-a,所以a+b=√a+-a≤2 a+o-5,当且仅当a=-a,即a-时， 2 等号成立，所以√a+b≤√2，故A错误： 因为a=1-b2,所以a+2b=1-b2+2b=-6-1)+2,又0<b<1,所以1<-6-1)2+2<2，即1<a+2b<2,故B 正确； 因为6=-a,所以6后=看Faas上g号当且仅当a-a,即a=时，等号成立，所越 2 试卷第2页，共7页 6后s分故C正确： E0-9,当且仅当仁-“，即a= .b= Va b a b 3 6时，等号 3 成，所以是9，改D正确。 2--1=1 10.【答案】ACD【解析】对于A: ,解得=-1，正确： <0 对于B:由x2-2x>0得f(x)的定义域为(-o,0)儿U(2,+o),故单调区间不可能为(1，+0)，错误： 对于C:当a=0时，f(x)=1,定义域为R,当a≠0时，对于x2+ar+1,其△=a2-4a<0,解得0<a<4, 综合a∈[0,4)，正确： 对于D:令√4-x=t≥0，则x=4-t2,则f(x)=g(t)=4-t2+2t=t+2t+4,由二次函数的性质可得 -t2+2t+4∈(-m,5],正确。 【答案】AcDL解折】对于A项，已热回得+/K+2所议+2=石/ f(x)是周期为2的周期函数，故A正确： 1 对于B项，x∈0，，则x-1e[-1,由已知可得，f(-)=2只，又f)=f+D,所以 小-向雪立，又的期为所以-， x∈[4，S),则x-4∈[0,1)，f(x-4)=-2-=-2+5,所以f(x)=f(x-4)=-25,故B错误： 对于C项，由A、B可知，当-1≤x<0时，f(x)=2,当x∈[0,1)时，f(x)=-2-,且f(x)的周期为2。 作出函数y=f(x)以及y=g(x)的图象， y=f(x) y=g(x) 显然，当x<2时，f(x)的图象与g(x)=log5x的图象没有交点。 又f(4)=f(2)=f(0)=-2,8(2)=10g52=-1,8(4)=log54=-2=f(4) 试卷第3页，共7页 由图象可知，f(x)的图象与g(x)=log5x的图象有两个公共点，故C项正确： 对于D项，x∈1,2)，则x-2∈[-1,0)，f(x-2)=2-2,又f(x)的周期为2，所以f(x)=f(x-2)=2-2 在[1,2)上单调递增。当x∈[0,1)时，f(x)=-2-,显然f(x)=-2-在[0,1)上单调递增，且f0)=2-?= 所以f(x)在0,2上单调递增。根据函数的周期性可知，fx)在(202,2 故D正确。 12.【答案】-【解析】 c0s&+sn&-2分子分母同除6osa得，}七C-2,解得：amu-专 。1 cosa-sin a 1-tana 12 所以sim2a-2-sina-2 sin acos_tam2a-2tame_93.-1」 sin2 a+cos2a tan2a+1 1 9×1 。 13.【答案】(-0,0)U1,+∞)【解析】当x20时，f(x)=x2-2x+2=(x-12+1,此时f(x)e1,+∞)， 当a=0且x<0时，f(x)=x,此时f(x)∈(-m,0),且(-∞，0)UL,+o)≠R,所以不满足； 当a>0且x<0时，f(x)=x++3a,由对勾函数单调性可知f(x)在(-n,-a)上单调递增，在（√a,0) 上单调递减，所以f(x)=f(-√a)=3a-2Wa,此时f(x)e（-o,3a-2a, 若要满足f(x)的值域为R,只需要3a-2a≥1，解得a≥1： 当a<0且x<0时，因为y=x,y=C均在(-0,0)上单调递增， 所以f(x)=x+a+3a在(-m,0)上单调递增，且x→0时，f(e)→+o,x→-时，f(x)→-o, 所以此时f(x)∈(-o,+o),此时显然能满足f(x)的值域为R。 综上可知，a的取值范围是(-∞，0)U[1,+o)。 14.【答案】e-2:(n2,1]【解析】由f(x)=f(0)(x>0),得ln(+2)-a=-a+1,即n(x,+2)=1, 解得=e-2; 当x>0时，f=h6x+2》-a在(Q+)上单调递增；当x≤0时，f-}+a-a+1. 若f(x)有三个零点，则x>0时函数必有一个零点，在x≤0时函数必有两个零点， 试卷第4页，共7页 t+x2=一2a<0 不妨设xs0时两零点为，，4<x≤0，则需满足=31-a)≥0 ,解得n2<a≤1， In2-a<0 a=a-(-a+>0 (其中需比较n2号的大小，如下：h2号-me,而2-6E-,即可得n2>号 25’可得sn= 1 12 15.【解析】(1)由(sinu+cos a)2=sin2a+2 sin acosa+cos2a= 25 7 叉0<a<元，则sina>0>cosa,可得sin-cos=,所以sima-cosz妇 5 (2)由题设A={xa+1<x<3a-2},B={x|0<x<3},又A∈B, 3 当A=0,则a+1≥3a-2,可得a≤3，满足： 3a-2>a+1 当A≠⑦，则a+120，可得3a≤3 3 3a-2≤3 2 实数a的取值范围是(-n, 2,=0, 6【解析】)假设存在实数a使函数了①为奇函数，此时f(3)+了G)=Q。+a。市 解得a=1,故存在实数a=1,使函数f(x)为奇函数： (2)函数f(x)的定义域为R x,x2∈R，且<x,f()-f(x3)=a- eitl-a 2 2 2(e*-e*) e+1(e+1)(e5+1) e-e<0,(e+1)(e+l)>0∴f(x)<f(x),即函数f(x)在R上单调递增： s)当a=1=1品 :f(x)是奇函数，∴f(f(x)+f(3-m)>0台f(f(x)>-f(3-m)台f(f(x)>f(m-3), 又∫四)在R上单调递增，f田>m-3,m<f四+3=4。对xeR恒成立 es0e4110e224e4mE2 故实数m的取值范围是(-0,1]。 17.【解析】(1)x=1是函数g(x)=x2-3x+2的零点，∴g)=a-3a+2=2-2a=0,解之得a=1; 试卷第5页，共7页 2由a和g的f2.则f网=-+经则方程0g 3张=0可化为 一3十 3k-3k=0 x≠0,2-1≠0，上述方程去分母得2--(3+3水)2-1+3k+2=0,此方程有三个不同的实数解。 令t=2-1则t>0,则2-(3+3)t+3k+2=0,解之得t=1或t=3k+2, 当t=1时，2-1=1，得x=1: 当1=3+2时，2-小3让+2，则此方程有两个不同的实数解。则0<设+2<1，解之得-号太s 3 则联数的取益为号青· 18.【解析】(1)当a=2时，4⊕4=1og2（24+24)=1og232=5 (2)因为(x⊕y)⊕z=loga(a+d)⊕z=loga(da+a)+ar)=loga(a+d+am), x(v)=xO[oga(a'+a)=loga(a+a(@+))=loga(a*+a+a), 所以(x⊕)⊕2=x⊕(y田)。 (3)由新运算可知， f(x)=mm-loga 2=loga (a+a")-loga 2=m+loga 2-loga 2=m=loga(x2-3ax+2a2) 令g(x)=x2-3ar+2a,则g(x)在(0，a)上单调递减， 由于f(x)在[s,t]上的值域为[logt,loga s],所以log。t<log。s(s<t),则0<a<1, [s2-30s+2m2=t 所以f(x)在[s,t]上单调递增，则 g(s)=t, 即 8()=3,即2-3t+2ad=s, 整理得，2-t2-3a(s-t)=-（s-t),所以s+t-3a=-1, 将t=3a-3-1代入52-3as+2a2=t,得52-(3a-1)s+2d-3a+1=0, 同理得，t2-(3a-1)t+2ad2-3a+1=0 所以s,t是函数h(x)=x2-(3a-1)x+2a2-3a+1在(0，a)上的两个不同的零点， 试卷第6页，共7页 a<或a>1, h(0)=2d-3a+1>0, 2 h(a)=-2a+1>0, a< 21 所以23-3<a<2, 1 则0<3a-1<a 解得 2 △=(3a-1)-4(2am2-3a+1)>0, 3下as1 a<-3-25或a>-3+25, 故实数a的取值范园为(25-3。 19.【解析】(1)对于f(x)=lnx,取a=b=3,则f(a+f(b)=n3+n3=2n3=h9,f(a+b)=h6 因为ln9>n6,不满足f(a)+f(b)<f(a+b),故f(x)=lnx不是“N函数”： 对于y=2+x-1,对任意的正数a,b, 有f(a+b)-f(a-f(b)=2a+a+b-1-2-a+1-2-b+1 =2+-2-22+1=2(2-1)-(2-1)=(2-1(2-1), 因为4b>0,则(2-1(2-1)>0，所以函数y=2+x-1是“N函数”。 (2)①令a=b,f(2a)>2f(a), f2*)>2f(2-)>22.f(2*-3)>…>2*.f0)=2,f(2*)>2*,k∈N。 ②因为当x>0时，f(x)>0,所以对任意xe(2*,2*+)k∈N),有x-2>0,f(x-2)>0 又fQ2)>2keN,所以f>fe-29+f0*>f2*≥2_2> 2>2 由(iD知f(2d>2f(a,则fa)<5f(2a), 所以宁分分0 2， -宁宁宁品是 2 改登是 试卷第7页，共7页▣然 报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 广州市玉岩中学阶段性教学质量检测（三） 高一数学 姓名： 班级： 考场/座位号： 注意事项 1.答题前请将姓名、班级、考场、准考证 号填写清楚。 [0] [0] 2.客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修 [1] 改时用橡皮擦干净。 2] 3.必须在题号对应的答题区域内作答，超出 [3] 答题区域书写无效。 「4] [4] [4] [4] [5] L5] [5] 6 6] 6] [6] 正确填涂 ■ 缺考标记 7] [7] 8] 8] 8 [8] 87 8] [8] [9] 9] 9] 97 L9] [9] [9] [9] [9] 客观题(18为单选题；9~11为多选题) 1[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] T[A][B][C][D] 1O[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 5[A][B][c][D] 8[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 填空题 12. 13. 14. 解答题 15. I 囚囚■ ■ 16. 17. ▣囚■ 0 ■ 18. I I I 1 I ■ 囚■囚 ■ ㄖ■ㄖ ▣ ■