精品解析：黑龙江哈尔滨市第一二四中学校2026-2027学年度上学期八年级九月学情自测数学试题

哈124中学2026-2027学年度（上）学期 学科素养监测八年级数学学科试卷 温馨提示：亲爱的同学们，这份试卷即将见证你这段时间来的辛勤努力，希望你自信、沉着、冷静、勇敢的接受考验。认真审题，动脑思考，规范书写，一定赢得智慧与进步!讲诚信百倍努力一丝不苟，写答卷千般缜密十分用心!祝你成功! 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 如图，图案中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项符合题意； B、是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 2. 在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（　　） A. 2，3，4 B. 3，6，6 C. 2，2，6 D. 5，6，7 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边进行分析即可． 【详解】解：A、2+3＞4，能构成三角形，故此选项不符合题意； B、3+6＞6，能构成三角形，故此选项不符合题意； C、2+2＜6，不能构成三角形，故此选项符合题意； D、5+6＞7，能构成三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 3. 如图，画一边上的高，下列画法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查画三角形的高．根据三角形的高的定义：从三角形的一个顶点出发，向对边引垂线，顶点与垂足形成的线段即为三角形的高，进行判断即可． 【详解】解：画边上的高，只有C选项正确， 故选：C． 4. 若等腰三角形的周长为，一边长，则腰长为（ ） A. B. C. 或 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形和三角形的三边关系，解题的关键是注意分类讨论思想的应用和三角形的三边关系． 首先对等腰三角形的腰分情况分析，其次验证三角形的三边关系，确定能否组成三角形，即可得到结果． 【详解】解：若是腰长，则底边为， ∴三角形的三边分别为， ∵， ∴此情况成立， 若是底边，则三角形的腰长， ∴三角形的三边分别为， ∵， ∴此情况成立， 故选C． 5. 如图，，，与关于直线对称，则度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称的性质、全等三角形的性质及三角形内角和定理． 先根据轴对称的性质得出，由全等三角形的性质可知，再由三角形内角和定理可得出的度数． 【详解】解： 与关于直线对称， ∴， ， ， ． 故选：C． 6. 如图，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，连接BE、CE，若图中阴影部分的面积为10，则△ABC的面积为（　　） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形面积公式，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，则，，，进而推出即可解答． 【详解】解：∵E为AD的中点， ∴，， ∵AD为BC边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的面积以及三角形中线的性质，熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解题的关键． 7. 如图，将△ABD沿∠BAC的角平分线AD所在直线翻折，点B在AC边上的落点记为点E，若∠BAC＝120°，∠EDC＝20°，那么∠C等于（　　） A. 15° B. 20° C. 30° D. 40° 【答案】B 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得BD=DE，AB=AE，得到∠B＝∠AED，然后根据三角形的外角的性质得到，∠B＝∠EDC+∠C＝20°+∠C，又因为∠B+∠C＝60°，得到20°+∠C+∠C＝60°，即可求解． 【详解】解：根据折叠的性质可得BD＝DE，AB＝AE． ∴∠B＝∠AED， ∵∠AED＝∠EDC+∠C， ∴∠B＝∠EDC+∠C＝20°+∠C， ∵∠BAC＝120°， ∴∠B+∠C＝60°， 即20°+∠C+∠C＝60°， ∴∠C＝20°， 故选：B． 【点睛】本题考查了折叠的性质以，三角形内角和定理及三角形的外角的性质，熟练的利用三角形的外角的性质是解决问题的关键． 8. 如图，是一块三角形的草坪，现在要在草坪上修建一个凉亭供大家乘凉，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 三角形最长的边的中点处 B. 三角形三条高的交点处 C. 三角形三条中线的交点处 D. 三角形三个内角的角平分线的交点处 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键．根据角平分线的性质即可得出答案． 【详解】解：要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在三角形三个内角的角平分线的交点处． 故选：D． 9. 用直尺和圆规画一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，，根据证，即可推出答案． 【详解】解：连接，， 在和中 （）， ， 所以A选项正确． 10. 如图，在四边形中，，，点P是边上的一动点，连接，若，则DP的长不可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】由三角形的内角和定理和角的和差求出∠ABD＝∠CBD，角平分线的性质定理得AD＝DH，垂线段定义证明DH最短，求出DP长的最小值为3，即可得到正确答案 ． 【详解】过点D作DH⊥BC交BC于点H，如图所示： ∵∠A=∠BDC=90° ， 又∵∠C＋∠BDC＋∠DBC＝180°，∠ADB＋∠A＋∠ABD＝180°， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴BD是∠ABC的角平分线， 又∵AD⊥AB，DH⊥BC， ∴AD＝DH， 又∵AD＝3， ∴DH＝3， ∴当点P在BC上运动时，点P运动到与点H重合时DP最短，其长度为DH长等于3，即DP长的最小值为3，故DP的长不可能是2， 故选：A． 【点睛】本题综合考查了三角形的内角和定理，角的和差，角平分线的性质定理，垂线段的定义等知识点，重点掌握角平分线的性质定理，难点是作垂线段找线段的最小值． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 已知，三角形的三边长为3，5，m，则m的取值范围是 __________． 【答案】## 【解析】 【详解】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，进行求解．本题主要考查了三角形三边关系，根据三角形三边关系列出不等式是解决问题的关键 【分析】解：根据三角形的三边关系，得， ∴， 故答案为：． 12. 如图，手机支架采用了三角形结构，这样设计依据的数学道理是三角形具有________性． 【答案】稳定 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，理解三角形具有稳定性是解题的关键． 【详解】解：手机支架采用了三角形结构，这样设计依据的数学道理是三角形具有稳定性， 故答案为：稳定． 13. 如图，，点在上，若，，，则的长为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，欲求的长度，只需求得的长度即可．所以根据全等三角形的对应边相等推知，，再根据求解． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：5． 14. 如图，CM是△ABC的中线，若AC= 8，BC= 11，则△BCM与△ACM的周长的差是__________ 【答案】3 【解析】 【分析】利用中线的性质，进行计算即可． 【详解】解：∵CM是△ABC的中线， ∴， 则：， 即， 故答案为：3． 【点睛】本题考查三角形中线的性质，合理利用中线得到线段的中点平分线段是解题的关键． 15. 王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC＝BC，∠ACB＝90°)，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为______cm. 【答案】20 【解析】 【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答. 【详解】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°， ∴∠BCE＝∠DAC， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB(AAS)； 由题意得：AD＝EC＝6cm，DC＝BE＝14cm， ∴DE＝DC+CE＝20(cm)， 答：两堵木墙之间的距离为20cm. 故答案是：20. 【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件． 16. 如图所示的网格是正方形网格，是网格交点，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用判定三角形全等，从而将与转移到同一个三角形中求得． 【详解】解：如图，在和中： ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 17. 如图一副直角三角板如图放置，，，则求____________． 【答案】75° 【解析】 【分析】先根据平行线的性质，可得∠BAF=∠F=45°，再利用三角形外角的性质，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴∠BAF=∠F=45°， ∴∠1=∠B+∠BAF=30°+45°=75°． 故答案是：75°． 【点睛】本题主要考查平行线的性质以及三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质，是解题的关键． 18. 如图，△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点O，若∠A=70°，则∠BOC=_____°． 【答案】125 【解析】 【详解】试题分析：先求出∠ABC+∠ACB的度数，根据平分线的定义得出∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，求出∠OBC+∠OCB的度数，根据三角形内角和定理求出即可． 解：∵∠A=70°， ∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=110°， ∵BO、CO分别是△ABC的角∠ABC、∠ACB的平分线， ∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=55°， ∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣55°=125°． 故答案为125． 考点：三角形内角和定理． 19. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为，则这个等腰三角形的顶角为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，关键在于正确的画出图形，认真的进行计算．首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为． 【详解】解：①如图，等腰三角形为锐角三角形， ∵，， ∴， 即顶角的度数为． ②如图，等腰三角形为钝角三角形， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：或． 20. 如图，等腰直角三角形和，，F是的中点，，则点E到点D的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点E作于点M，过点D作于点N，延长交于点K，连接，，证明，得出，，证明，得出为直角三角形，最后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：连接，过点E作于点M，过点D作于点N，延长交于点K，连接，，如图所示： 则， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∵F为的中点， ∴、为的中位线， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴，，，， ∴， ∴ ∴， ∴，， ∵， ， 又∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形， ∴． 三、解答题（其中21题~25题各8分，26~27题各10分，共60分） 21. 解下列方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； 【小问2详解】 解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 22. 如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E． （1）若∠A=40°，求∠DBC的度数； （2）若AE=6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长． 【答案】（1）30° （2）32 【解析】 【分析】（1）由在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，利用等腰三角形的性质，即可求得∠ABC的度数，然后由AB的垂直平分线MN交AC于点D，根据线段垂直平分线的性质，可求得AD=BD，继而求得∠ABD的度数，则可求得∠DBC的度数． （2）由△CBD的周长为20，推出AC+BC=20，根据AB=2AE=12，由此即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=40°， ∴∠ABC=∠C=70°， ∵AB的垂直平分线MN交AC于点D， ∴AD=BD， ∴∠ABD=∠A=40°， ∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=30°． 【小问2详解】 ∵MN垂直平分AB， ∴AD=DB， ∵BC+BD+DC=20， ∴AD+DC+BC=20， ∴AC+BC=20， ∵AB=2AE=12， ∴△ABC的周长=AB+AC+BC=12+20=32． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 23. 图①、图②、均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中画，使（点D不与点A重合）； （2）在图②中画，使，其中点E在边上． 【答案】（1）如图，即为所求 （2）如图，即为所求 【解析】 【分析】（1）取格点，连接，使得即可； （2）在上取格点，取格点，连接，使得即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）8 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行线的性质可得，再证明出，最后利用证明即可得证； （2）先求出，再由计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 25. 某商家推出、两款文旅纪念品．已知购进款文旅纪念品比购进款文旅纪念品每个进价多元；购进款文旅纪念品个和款文旅纪念品个，需花费元． （1）求、两款文旅纪念品每个进价分别为多少元？ （2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过元的资金购进、两款文旅纪念品共个，那么至少需要购进款文旅纪念品多少个？ 【答案】（1）款文旅纪念品每个进价元，款文旅纪念品每个进价元； （2）至少需要购进款文旅纪念品个． 【解析】 【分析】（）设款每个进价为元，款每个进价为元，根据题意可得，然后解方程组即可； （）设购进款文旅纪念品个，则购进款文旅纪念品个，根据题意得，然后解不等式即可． 【小问1详解】 解：设款每个进价为元，款每个进价为元， 根据题意可得：， 解得， 答：款文旅纪念品每个进价元，款文旅纪念品每个进价元； 【小问2详解】 解：设购进款文旅纪念品个，则购进款文旅纪念品个， 根据题意得： ， 答：至少需要购进款文旅纪念品个． 26. 综合与实践 （1）【基础巩固】在中，，平分，，，则______． （2）【深入探究】求证：； （3）【扩展探究】，，求的值． 【答案】（1） （2）证明：如图，在上取一点，使得，连接， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，再求出的度数，即可得解； （2）在上取一点，使得，连接，则是线段的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得，再证明，从而可得，即可得证； （3）作交于，交于，由角平分线的性质定理可得，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：如图，作交于，交于， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 27. 四边形，连接，，，． （1）如图1，______． （2）如图2，点在线段上，连接，点为外部一点，连接，使得，连接，且，求证：． （3）如图3，在（2）条件下，延长到点，连接，，，，求长度． 【答案】（1） （2）证明：设． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即平分． 作于点，作交的延长线于点， ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵、、三点共线，、、三点共线， ∴，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， 即． （3） 【解析】 【分析】（1）由知、、都是等腰三角形，用“等边对等角”把三个内角都用同一个字母表示，再作差求出； （2）先用“等边对等角”求出，结合已知条件得，从而平分；再作、，由角平分线的性质得，依次证明、，把结论转化为角的关系； （3）在上取点使，先证得，再证得，从而把转化为． 【小问1详解】 解：设． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵，且， ∴． ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在上取一点，使． ∵，，， ∴， ∴，． ∵在上，且， ∴， ∴． ∵在上，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵在上，在的延长线上， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∴， ∴． ∵点、、在同一条直线上，且点在、之间， ∴． 【点睛】本题综合考查等腰三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质：解题关键是反复使用“等边对等角”把已知的角条件转化为相等的角——先得平分，由角平分线的性质得到，再配合证出两组全等三角形，把逐步转化；求时，通过把转化为，再证，最终把所求线段转化为已知线段之和（）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈124中学2026-2027学年度（上）学期 学科素养监测八年级数学学科试卷 温馨提示：亲爱的同学们，这份试卷即将见证你这段时间来的辛勤努力，希望你自信、沉着、冷静、勇敢的接受考验。认真审题，动脑思考，规范书写，一定赢得智慧与进步!讲诚信百倍努力一丝不苟，写答卷千般缜密十分用心!祝你成功! 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 如图，图案中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（　　） A. 2，3，4 B. 3，6，6 C. 2，2，6 D. 5，6，7 3. 如图，画一边上的高，下列画法正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若等腰三角形的周长为，一边长，则腰长为（ ） A. B. C. 或 D. 以上都不对 5. 如图，，，与关于直线对称，则度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，连接BE、CE，若图中阴影部分的面积为10，则△ABC的面积为（　　） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 7. 如图，将△ABD沿∠BAC的角平分线AD所在直线翻折，点B在AC边上的落点记为点E，若∠BAC＝120°，∠EDC＝20°，那么∠C等于（　　） A. 15° B. 20° C. 30° D. 40° 8. 如图，是一块三角形的草坪，现在要在草坪上修建一个凉亭供大家乘凉，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 三角形最长的边的中点处 B. 三角形三条高的交点处 C. 三角形三条中线的交点处 D. 三角形三个内角的角平分线的交点处 9. 用直尺和圆规画一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明的依据是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，，，点P是边上的一动点，连接，若，则DP的长不可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 已知，三角形的三边长为3，5，m，则m的取值范围是 __________． 12. 如图，手机支架采用了三角形结构，这样设计依据的数学道理是三角形具有________性． 13. 如图，，点在上，若，，，则的长为__________． 14. 如图，CM是△ABC的中线，若AC= 8，BC= 11，则△BCM与△ACM的周长的差是__________ 15. 王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC＝BC，∠ACB＝90°)，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为______cm. 16. 如图所示的网格是正方形网格，是网格交点，则的度数为___________． 17. 如图一副直角三角板如图放置，，，则求____________． 18. 如图，△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点O，若∠A=70°，则∠BOC=_____°． 19. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为，则这个等腰三角形的顶角为______． 20. 如图，等腰直角三角形和，，F是的中点，，则点E到点D的距离为______． 三、解答题（其中21题~25题各8分，26~27题各10分，共60分） 21. 解下列方程组： （1）； （2）． 22. 如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E． （1）若∠A=40°，求∠DBC的度数； （2）若AE=6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长． 23. 图①、图②、均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中画，使（点D不与点A重合）； （2）在图②中画，使，其中点E在边上． 24. 如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 某商家推出、两款文旅纪念品．已知购进款文旅纪念品比购进款文旅纪念品每个进价多元；购进款文旅纪念品个和款文旅纪念品个，需花费元． （1）求、两款文旅纪念品每个进价分别为多少元？ （2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过元的资金购进、两款文旅纪念品共个，那么至少需要购进款文旅纪念品多少个？ 26. 综合与实践 （1）【基础巩固】在中，，平分，，，则______． （2）【深入探究】求证：； （3）【扩展探究】，，求的值． 27. 四边形，连接，，，． （1）如图1，______． （2）如图2，点在线段上，连接，点为外部一点，连接，使得，连接，且，求证：． （3）如图3，在（2）条件下，延长到点，连接，，，，求长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $