精品解析：黑龙江哈尔滨市第六十九中学校2026-2027学年度八年级上学期10月学情调研数学试题

哈尔滨市第六十九中学校2026-2027学年度八年级上学期 数学学科学情调研 2026-10-10 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 无论在战争年代还是在和平时期，中国人民解放军都是一道坚不可摧的钢铁长城，保卫着祖国的安宁、人民的幸福．如图，某部队战士在射击训练时，手、肘、肩构成托枪三角形，可以在射击过程中保持枪的稳定，其中的数学道理是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 三角形具有稳定性 C. 两点之间，线段最短 D. 垂线段最短 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性即可得到答案． 【详解】解：由题意得这个三角形可以使射击者在射击过程中保持稳定，其中，蕴含的数学道理是三角形的稳定性； 故选：B． 2. 下列各选项中的两个图形属于全等形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】能够完全重合的两个图形全等． 【详解】解：A项中的两个图形一模一样，能够完全重合，属于全等，所以A项符合题意． 3. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】只需验证每组中较短两根小木棒的长度和大于最长根的长度，即可判断能否摆成三角形． 【详解】解：A、，不能摆成三角形． B、 ，不能摆成三角形． C、，不能摆成三角形． D、 ，能摆成三角形． 4. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键． 5. 如图，，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键．利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：由全等三角形的性质得：， ∴，即， ∵，， ∴， 故选：C． 6. 中，若，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，根据在中，，可求出的度数，即可得出结论，熟知三角形内角和是是解答本题的关键． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 故选：B． 7. 如图，在和中，已知，，添加下列条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：在和中，，． A、添加条件：，可以利用证明，故本选项正确，不符合题意； B、添加条件：，可以利用证明，故本选项正确，不符合题意； C、添加条件：，可以利用证明，故本选项正确，不符合题意； D、添加条件：，然后利用不能证明，故本选项不正确，符合题意． 8. 下列说法正确的是（　　） A. 周长相等的两个三角形全等 B. 面积相等的两个三角形全等 C. 三个角对应相等的两个三角形全等 D. 三条边对应相等的两个三角形全等 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法，此题应采用排除法，对选项逐个进行分析从而确定正确答案． 【详解】A、全等三角形的周长相等，但周长相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误； B、全等三角形的面积相等，但面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误； C、判定全等三角形的过程中，必须有边的参与，故本选项错误； D、正确，符合判定方法SSS， 故选D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定方法，常用的方法有SSS，SAS，AAS，ASA等，应该对每一种方法彻底理解真正掌握并能灵活运用．而满足SSA，AAA是不能判定两三角形是全等的． 9. 如图，在中，将沿直线m翻折，点B落在点D的位置，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 60° 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、翻折变换等知识点，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． 由折叠的性质得到，由三角形外角性质可得、，易得，则，即，然后求解即可． 【详解】解：如图所示： 由折叠的性质得：， 根据外角性质得：，， ∴， ∴，即． ∵ ∴． 故选：A． 10. 如图1，已知沿直线翻折得到；如图2，在射线上取点E，连接、；如图3，在射线上取点F，连接、，依此规律，第8个图形中全等三角形的对数是（ ） A. 32 B. 36 C. 40 D. 42 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称的性质和全等三角形的判定方法先得出图1和图2中全等三角形的对数，进而得出规律：第n个图形中全等三角形的对数是，即可解答． 【详解】解：∵和关于直线对称， ∴． 在和中，， ∴． ∴图1中有1对三角形全等； 同理图2中，， ∴， ∵． ∴， 在中，， ∴， ∴图2中有对三角形全等； 同理：图3中有对三角形全等； 由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是． 所以：第个图形中全等三角形的对数是. 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 三角形的三边长分别为5，x，8，则x的取值范围是_____． 【答案】3＜x＜13 【解析】 【分析】由三角形的两边的长分别为8和5，根据已知三角形两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，即可求得答案． 【详解】根据三角形的三边关系，得：8﹣5＜x＜8+5， 即：3＜x＜13． 故答案为3＜x＜13 【点睛】本题考查了能够组成三角形三边的条件，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条就能够组成三角形． 12. 如图，在中，是边的中线，是的中点，连接，，若的面积为，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的面积及三角形的角中线的性质，根据三角形中线的性质及三角形的面积与底和高之间的关系即可解决问题，熟知三角形中线的性质及三角形的面积与底和高之间的关系是解题的关键． 【详解】解：由题知， ∵是边的中线， ， ， 又∵， ， ， 故答案为：． 13. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边于点G，若，，则的面积为___________ 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了基本作图以及角平分线的性质．利用基本作图得到平分，利用角平分线的性质得到G点到的距离为，然后根据三角形面积公式计算的面积； 【详解】解：由作图得平分， ∵， 点到的距离等于的长，即点到的距离为， ∴的面积； 故答案为：2． 14. 如图，B处在A处的南偏西方向，C处在A处的南偏东方向，C处在B处的北偏东方向，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出和，再利用三角形内角和求出． 【详解】解：处在处的南偏西方向，处在处的北偏东方向， ， 处在处的南偏东方向， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了方向角，解题的关键是根据图正确找出各角之间的关系即可计算． 15. 已知等腰三角形的两边长分别为和，则这个等腰三角形的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义、三角形的三边关系，首先分情况讨论腰长和底边长，依据三角形三边的关系验证能否构成三角形，再求三角形的周长． 【详解】解：当腰长为时，三角形的三边分别为，，， ， 不能构成三角形； 当腰长为时，三角形的三边分别为，，， ， 能构成三角形， 三角形的周长为． 故答案为：． 16. 如图，AD是△ABC的高，BE是△ABC的角平分线，BE，AD相交于点F，已知∠BAD＝42°，则∠BFD＝_____度． 【答案】66 【解析】 【分析】根据高线的定义可得∠ADB＝90°，然后根据∠BAD＝42°，求出∠ABC的度数，再根据角平分线的定义求出∠FBD，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解． 【详解】∵AD是高线， ∴∠ADB＝90° ∵∠BAD＝42°， ∴∠ABC＝48°， ∵BE是角平分线， ∴∠FBD＝24°， 在△FBD中，∠BFD＝180°﹣90°﹣24°＝66°． 故答案为：66． 【点睛】本题考查了高线的定义、角平分线性质以及三角形内角和定理． 17. 如图，在3×3的正方形网格中，则_________°． 【答案】180 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，． 通过观察正方形网格，找出全等的直角三角形，利用全等三角形的性质得到角的互余关系，进而计算出四个角的和． 【详解】解：∵在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， 同理得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：180． 18. 已知中，，是边上的高，，则_____________°． 【答案】80或40##40或80 【解析】 【分析】分为两种情况，画出图形，求出的度数，即可得出答案． 【详解】解：分为两种情况：①如图1， 为边上的高， ， ， ， ， ； ②如图2， 为边上的高， ， ， ， ， ． 故答案为：80或40． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理的应用，注意：三角形的内角和等于 ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，，则点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键． 过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，相交于点，进而得出，可得到及的长，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，相交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为： ． 20. 如图，在中，，，平分，于交的延长线于点，则下列结论：①；②；③；④； 其中正确结论的是________．（请填写序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余和等角的余角相等可以判断结论①正确；根据全等三角形的判定与性质可证结论②正确；根据全等三角形的判定与性质可证结论③错误；根据三角形的面积公式和角平分线的性质可证结论④正确． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故结论①正确； 如下图所示，延长、相交于点， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， 在和中， ， ， ， 故结论②正确； 由②可知， ， ， 又， ， 不成立， 故结论③错误； 如下图所示，过点作， 平分， ， ，， ， 故结论④正确； 综上所述，结论正确的有①②④． 三、解答题（共60分） 21. 如图，在中，，，求各内角的度数． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，利用三角形的内角和为即可求解． 【详解】解：，，， ， 解得：， ，． 22. 如图，方格纸中每一个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点均在格点上，用无刻度直尺按下列要求画图．（保留作图痕迹，体现作图过程） （1）在图1中，画出的中线； （2）在图2中，确定线段上一点，使得． 【答案】（1）解：中线即为所求作， （2）解：点即为所求作， 【解析】 【分析】（1）取格点D，连接，交于点E，由平行的性质可得，则，得，则点E为中点，则中线即为所求作； （2）取格点F、M，连接，由，则，得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图所示，小明绘制了一个安全用电的标识，点在同一条直线上，且，．若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，证明，得出，即可求解； 【详解】证明：， ； 又， ， ； 在与中， ， ； ． 24. 如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，CD＝AB，点E在边AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE． （1）如图1，求证：BD＝CE； （2）如图2，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ADE相等的角（∠ADE除外）． 【答案】（1） 证明：在△ABD和△DCE中， ， ∴△ABD≌△DCE（SAS）， ∴BD＝CE． （2）∠EDC，∠BAD，∠B，∠C 【解析】 【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△DCE，可得BD=CE； （2）由全等三角形的性质可得∠B=∠C，由三角形的外角性质和角平分线的性质可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵△ABD≌△DCE， ∴∠B＝∠C， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE＝∠BAD， ∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE， ∴∠B＝∠ADE＝∠BAD＝∠EDC＝∠C， ∴与∠ADE相等的角有∠EDC，∠BAD，∠B，∠C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，角平分线的定义，掌握全等三角形的判定，明确角度的数量关系是解题的关键． 25. 新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做非全等积三角形． （1）如图1，在中，，若P为上一点，当的长为________时，与是非全等积三角形； （2）如图2，D为上一点，与是非全等积三角形，，，且线段为奇数，则的值为________； （3）如图3，与是非全等积三角形，，，求证：． 【答案】（1）5 （2）5或7 （3）过点B作于G，过点E作交的延长线于点F． ， 和是非全等积三角形， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】（1）三角形中线把三角形分成两个面积相等的小三角形； （2）倍长中线构造全等三角形，利用三角形三边关系得出结论； （3）过点B作于G，过点E作交的延长线于点F，与是非全等积三角形，得到，同角的补角相等，用证明，两个三角形全等，对应的边相等． 【小问1详解】 解：， 此时线段是的中线，将分成面积相等的两个小三角形； 【小问2详解】 过点C作交的延长线与于点E，如下图所示， 与是非全等积三角形，且与在、边上的高相等， ， ， ， 又， ， ，， ，且，， ， ， ， 线段为奇数， 的值为5或7； 【小问3详解】 略 26. 已知：在中，和的平分线相交于点K． （1）如图1，当，则的度数为________； （2）如图2，当时，，若，求的长度； （3）如图3，在（2）的条件下，延长至点E，使，延长至点D，使，求四边形的面积． 【答案】（1） （2）10 （3）50 【解析】 【分析】（1）根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义进行求解即可； （2）先求出，设，，，根据三角形的面积公式求出的值，进而求出的长度即可； （3）先证明，再证明，得到，分割法求出三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵和的平分线相交于点K， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：在中， ， ， 平分，平分， ，． ， ． ， 设，，， ， ． （负值舍去）． ． 【小问3详解】 解：由（2）可知，， ∴， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 设， ， ． ， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ． ． 27. 已知：如图，平面直角坐标系中，点，，且满足：． （1）则点A的坐标为________；点B的坐标为________； （2）动点E从B出发以2个单位/秒的速度沿射线运动，设的面积为S，点E的运动时间为t，求S与t之间的关系式； （3）如图3，在（2）的条件下，E在线段上，且，过点E作于点G，延长交y轴于点F，连接，的平分线交于点K，于点H，求的值． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平方和绝对值的非负性求解即可； （2）分当点E在上时和当点E在延长线上时两种情况讨论，用t表示出，根据三角形的面积公式求解即可； （3）先根据，求出，进而得出，，再证得，得出，过点O作于点M，证得，得出平分，过点K作于N，于Q，根据角平分线的性质可得，，证得，得出，设，则，，最后根据，得出，即可求得的值． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴，， ∴点A的坐标为；点B的坐标为． 【小问2详解】 解：，， 轴，，， 当点E在上时，即时，， ， ； 当点E在延长线上时，即时，， ． 【小问3详解】 解：当时，，， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 过点O作于点M， ∵在和中， ∴， ， ， ， 平分， 过点K作于点N，于点Q， ， ∵在和中， ∴， ∴， 平分，，， ，， 设，则， ， ∵在和中， ∴， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市第六十九中学校2026-2027学年度八年级上学期 数学学科学情调研 2026-10-10 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 无论在战争年代还是在和平时期，中国人民解放军都是一道坚不可摧的钢铁长城，保卫着祖国的安宁、人民的幸福．如图，某部队战士在射击训练时，手、肘、肩构成托枪三角形，可以在射击过程中保持枪的稳定，其中的数学道理是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 三角形具有稳定性 C. 两点之间，线段最短 D. 垂线段最短 2. 下列各选项中的两个图形属于全等形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 中，若，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 7. 如图，在和中，已知，，添加下列条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法正确的是（　　） A. 周长相等的两个三角形全等 B. 面积相等的两个三角形全等 C. 三个角对应相等的两个三角形全等 D. 三条边对应相等的两个三角形全等 9. 如图，在中，将沿直线m翻折，点B落在点D的位置，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 60° 10. 如图1，已知沿直线翻折得到；如图2，在射线上取点E，连接、；如图3，在射线上取点F，连接、，依此规律，第8个图形中全等三角形的对数是（ ） A. 32 B. 36 C. 40 D. 42 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 三角形的三边长分别为5，x，8，则x的取值范围是_____． 12. 如图，在中，是边的中线，是的中点，连接，，若的面积为，则阴影部分的面积为________． 13. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边于点G，若，，则的面积为___________ 14. 如图，B处在A处的南偏西方向，C处在A处的南偏东方向，C处在B处的北偏东方向，则______． 15. 已知等腰三角形的两边长分别为和，则这个等腰三角形的周长为__________． 16. 如图，AD是△ABC的高，BE是△ABC的角平分线，BE，AD相交于点F，已知∠BAD＝42°，则∠BFD＝_____度． 17. 如图，在3×3的正方形网格中，则_________°． 18. 已知中，，是边上的高，，则_____________°． 19. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，，则点的坐标是________． 20. 如图，在中，，，平分，于交的延长线于点，则下列结论：①；②；③；④； 其中正确结论的是________．（请填写序号） 三、解答题（共60分） 21. 如图，在中，，，求各内角的度数． 22. 如图，方格纸中每一个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点均在格点上，用无刻度直尺按下列要求画图．（保留作图痕迹，体现作图过程） （1）在图1中，画出的中线； （2）在图2中，确定线段上一点，使得． 23. 如图所示，小明绘制了一个安全用电的标识，点在同一条直线上，且，．若，求的度数． 24. 如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，CD＝AB，点E在边AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE． （1）如图1，求证：BD＝CE； （2）如图2，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ADE相等的角（∠ADE除外）． 25. 新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做非全等积三角形． （1）如图1，在中，，若P为上一点，当的长为________时，与是非全等积三角形； （2）如图2，D为上一点，与是非全等积三角形，，，且线段为奇数，则的值为________； （3）如图3，与是非全等积三角形，，，求证：． 26. 已知：在中，和的平分线相交于点K． （1）如图1，当，则的度数为________； （2）如图2，当时，，若，求的长度； （3）如图3，在（2）的条件下，延长至点E，使，延长至点D，使，求四边形的面积． 27. 已知：如图，平面直角坐标系中，点，，且满足：． （1）则点A的坐标为________；点B的坐标为________； （2）动点E从B出发以2个单位/秒的速度沿射线运动，设的面积为S，点E的运动时间为t，求S与t之间的关系式； （3）如图3，在（2）的条件下，E在线段上，且，过点E作于点G，延长交y轴于点F，连接，的平分线交于点K，于点H，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $