精品解析：浙江海宁市紫微初级中学2026－2027学年八年级上学期数学10月阶段性练习

海宁市紫微初级中学阶段性练习 八年级数学学科 2026.10 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分） 1. 自行车支架一般都会采用如图的设计．这种方法应用的几何原理是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 三角形的稳定性 C. 两点之间线段最短 D. 垂线段最短 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据图示即可求解． 【详解】解：自行车支架一般都会采用如图的设计，这种方法应用的几何原理是三角形的稳定性， 故选：B ． 2. 等腰三角形的一个外角是，则其底角等于（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的定义，利用邻补角互补求角度，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质及三角形的内角和定理是解题的关键．根据等腰三角形的一个外角等于，可得等腰三角形的顶角为，即可求解． 【详解】解：∵等腰三角形的一个外角等于， ∴等腰三角形的一个内角为， ∵三角形的内角和等于， ∴等腰三角形的顶角为， ∴两个底角都为． 故选：A． 3. 如图，是的一个外角，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，．根据三角形的外角的性质，即“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”，由此求解即可． 【详解】解：∵是的一个外角， ∴． 故选：A 4. 如图，已知，则添加下列一个条件不一定能使的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：由题意可知， 当时，不一定能使，则A符合题意； 当时，，则B不符合题意； 当时，，则C不符合题意； 当时，，则D不符合题意． 5. 对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（　　） A. a=3，b=2 B. a=－3，b=2 C. a=3，b=－1 D. a=－1，b=3 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：在A中，a2=9，b2=4，且3＞2，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故A选项中a、b的值不能说明命题为假命题； 在B中，a2=9，b2=4，且－3＜2，此时虽然满足a2＞b2，但a＞b不成立，故B选项中a、b的值可以说明命题为假命题； 在C中，a2=9，b2=1，且3＞－1，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故C选项中a、b的值不能说明命题为假命题； 在D中，a2=1，b2=9，且－1＜3，此时满足a2＜b2，得出a＜b，即意味着命题“若a2＞b2，则a＞b”成立，故D选项中a、b的值不能说明命题为假命题； 故选B． 考点：命题与定理． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 所有的命题都是定理 B. 定理可能是假命题 C. 不正确的命题称为假命题 D. 假命题不是命题 【答案】C 【解析】 【分析】根据命题，真命题，假命题的定义解答即可． 【详解】解：因为有的命题不一定是定理，所以A不正确； 因为定理一定是真命题，不是假命题，所以B不正确； 因为不正确的命题称为假命题，所以C正确； 因为假命题也是命题，所以D不正确． 7. 下列各图中，的边上的高线，其中作法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形高线的作法解答即可． 【详解】解：如图所示，过点B作，交的延长线于点D，则即为所求作． 8. 如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则判断的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据作图方法可得，据此利用可证明． 【详解】解：由作图方法可得， ∴． 9. 如图，已知中， 厘米， 厘米，点 D 为的中点．如果点 P 在线段 上以 2 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动， 同时，点 Q 在线段 上, 由 C 点向 A 点运动．若点 Q 的运动速度为 v 厘米/ 秒，则当与全等时，的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 2 或 3 D. 1 或 5 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是要分情况讨论，不要漏解，此题要分两种情况：①当时，与全等，计算出的长，进而可得运动时间，然后再求v；②当时，，计算出的长，进而可得运动时间，然后再求v． 【详解】解：当时，与全等， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动， ∴运动时间是1s， ∵， ∴， ∴； 当时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴运动时间为， ∴， 故选：C． 10. 如图，在中，平分，E为的中点，．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长至点F，使，再根据“边角边”证明，可得，然后根据，接下来根据可得，最后根据“角角边”证明可得，则此题可解． 【详解】解：如图所示，延长至点F，使， ∵点E是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分） 11. 把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式________． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 【解析】 【详解】原命题“对顶角相等”中，条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”， 因此改写成“如果…，那么…”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 12. 如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），若测得米，则槽宽为______米． 【答案】5 【解析】 【分析】先根据“边角边”证明，再根据全等三角形的对应边相等得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点O是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴米． 13. 已知，在中，，BD平分，，，则的面积为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过作于点，首先根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过作于点， ∵，平分， ∴， ∴的面积是． 14. 在中，平分，，交于点E．若，，则的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据平行线的性质、三角形的角平分线和等腰三角形的判定，求出，即可求出答案． 【详解】解： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 15. 如图，在中，平分，交于点平分，交于点交于点平分，交于点．若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点O作于M，于N，则，可证明，则可推出，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点O作于M，于N， ∵平分，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴同理可得， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在中，点D，E，F分别是边上的点，将沿折叠得，交于点H，将沿折叠恰好得到，且，．若设，则可表示为______（用含x的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】先根据折叠的性质得，再根据三角形内角和定理得，然后根据三角形外角的性质求出，接下来根据，可得，最后整理可得，则此题可解． 【详解】解：由折叠的性质得， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本题有8小题，第17~22题，每题6分，第23、24题，每题8分，共52分） 17. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）． （1）求的面积． （2）在图中作出与关于直线成轴对称的． （3）利用网格纸，在上找一点P，使得最短． 【答案】（1） （2）如图，即为所求； （3）如图，点P即为所求． 【解析】 【分析】（1）利用长方形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可； （2）分别作出各点关于直线的对称点，再顺次连接即可； （3）连接交直线于点P，则点P即为所求点． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 已知两个三角形全等，其中一个三角形的三边长分别为6，8，10，另一个三角形的三边长分别为6，，．求的值（写出所有情况）． 【答案】，或， 【解析】 【分析】根据全等三角形对应边相等分两种情况求解即可． 【详解】解：①当与8、与10分别是对应边时， 则，， ，， ②当与10、与8分别是对应边时， 则，， ，， 综上，，或，． 19. 如图，点，在上，，，，与交于点．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】先说明，再利用“边角边”证明和全等即可． 【详解】略 【点睛】本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判断方法是解题的关键． 20. 如图，在中，，是边上的中线，是上一点且． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：，是边上的中线， ， 又， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，进而得到，从而得出结论； （2）根据等腰三角形的性质得到，再利用进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，是边上的中线， ． 21. 如图，在中，，垂足为，点在边上，且，垂直平分，交于点，连接． （1）求证：； （2）若的周长为，，求的周长． 【答案】（1）证明：，且， 垂直平分． ， 垂直平分， ， ； （2）13 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的判定与性质证明即可； （2）根据的周长以及的长度可得的长度，再根据垂直平分线的性质得到边长相等，由此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：垂直平分， ， 的周长为，， ， 即的周长为． 22. 如图，是以的顶点为端点的一条射线，，，分别是射线上的两点，连结，． （1）如图1，若，，，求证：． （2）如图2，若，请判断，，三条线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：，， ， ， ， 在与中， ， ； （2） 解：，理由如下： ， ，即， ， ， 在与中， ， ； ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形性质和判定，同角的余角相等，三角形的外角的定义及性质，解题的关键在于熟练掌握全等三角形性质和判定． （1）根据同角的余角相等得到，再利用“”证明即可； （2）类比于（1）证明，推出，进而代换，即可说明，，三条线段之间的数量关系； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 图1，线段、相交于点，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8”字形．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试解答下列问题： （1）在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：___________； （2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：___________个； （3）图2中，当度，度时，求的度数． （4）图2中和为任意角时，其他条件不变，试问与、之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）． 【答案】（1） （2）6 （3） （4） 解：关系：． 如图， ∴①，②， 由得：． ∵和的平分线和相交于点P， ∴，， ∴． 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，对顶角相等，角平分线的定义及阅读理解与知识的迁移能力，利用数形结合的思想是解题关键 ． （1）根据三角形内角和定理即可得出； （2）根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个； （3）先根据“8字形”中的角的规律，可得①，②，再根据角平分线的定义，得出，，将，可得，进而求出的度数； （4）同（3），根据“8字形”中的角的规律及角平分线的定义，即可得出． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴； 【小问2详解】 ①线段、相交于点O，形成“8字形”； ②线段、相交于点O，形成“8字形”； ③线段、相交于点N，形成“8字形”； ④线段、相交于点O，形成“8字形”； ⑤线段、相交于点M，形成“8字形”； ⑥线段、相交于点O，形成“8字形”； 故“8字形”共有6个； 【小问3详解】 解：，① ，② ∵和的平分线和相交于点P， ∴，． 由得：， ∴． ∵度，度， ∴，即； 【小问4详解】 略 24. 定义: 如图1， 若 P 是内部一点， 且， 则称点P为的勃罗卡点， 同时称为的勃罗卡角． （1）如图2， P为等边内部一点． 其中，， 请判断点P是不是等边的勃罗卡点，并说明理由； （2）如图3，P为等边的勃罗卡点，求等边的勃罗卡角的度数； （3）如图4，在（2）的条件下，作点 P 关于 的对称点 ，连接与 相交于点 O，连接，，记的勃罗卡点为 M，的勃罗卡点为N， 求证: 为等边三角形． 【答案】（1） 解：点P不是等边的勃罗卡点，理由如下： ， ， ， 为等边三角形， ，， ， 是的中垂线， 平分， ， ， 点P不是等边的勃罗卡点； （2）等边的勃罗卡角的度数为 （3） 证明：点P，关于对称， 为的中垂线， ， 为等腰三角形， ， 由（2）可知， ， ， 为等边三角形，同理可得为等边三角形， 如图，在内部作交于点N，连接， 为的中垂线， ， ， ， ， ， 点N为的勃罗卡点，且， 在内部作交于点M， 同理可证点M为的勃罗卡点，且， ， ， 为等边三角形． 【解析】 【分析】（1）利用等边对等角得出，再利用等边三角形性质，中垂线的性质得出即可得出结论点P不是等边的勃罗卡点； （2）利用点P为等边的勃罗卡点，求出，证明，即可求出等边的勃罗卡角的度数； （3）先证明为等腰三角形，再证出， 为等边三角形，在内部作交于点N，连接，可证得点N为的勃罗卡点，且，同理可证点M为的勃罗卡点，且，进而得出最后结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 点P为等边的勃罗卡点， ， ， 即， ， 同理可得， 在与中， ， ， ， ， ， ， 等边的勃罗卡角的度数为； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中垂线的判定与性质，对于题目中给出的勃罗卡点定义的理解与运用是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海宁市紫微初级中学阶段性练习 八年级数学学科 2026.10 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分） 1. 自行车支架一般都会采用如图的设计．这种方法应用的几何原理是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 三角形的稳定性 C. 两点之间线段最短 D. 垂线段最短 2. 等腰三角形的一个外角是，则其底角等于（ ） A. B. C. D. 或 3. 如图，是的一个外角，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，则添加下列一个条件不一定能使的是（ ） A. B. C. D. 5. 对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（　　） A. a=3，b=2 B. a=－3，b=2 C. a=3，b=－1 D. a=－1，b=3 6. 下列说法正确的是（ ） A. 所有的命题都是定理 B. 定理可能是假命题 C. 不正确的命题称为假命题 D. 假命题不是命题 7. 下列各图中，的边上的高线，其中作法正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则判断的依据是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知中， 厘米， 厘米，点 D 为的中点．如果点 P 在线段 上以 2 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动， 同时，点 Q 在线段 上, 由 C 点向 A 点运动．若点 Q 的运动速度为 v 厘米/ 秒，则当与全等时，的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 2 或 3 D. 1 或 5 10. 如图，在中，平分，E为的中点，．若，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分） 11. 把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式________． 12. 如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），若测得米，则槽宽为______米． 13. 已知，在中，，BD平分，，，则的面积为______ ． 14. 在中，平分，，交于点E．若，，则的长为______． 15. 如图，在中，平分，交于点平分，交于点交于点平分，交于点．若，则的值为______． 16. 如图，在中，点D，E，F分别是边上的点，将沿折叠得，交于点H，将沿折叠恰好得到，且，．若设，则可表示为______（用含x的代数式表示）． 三、解答题（本题有8小题，第17~22题，每题6分，第23、24题，每题8分，共52分） 17. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）． （1）求的面积． （2）在图中作出与关于直线成轴对称的． （3）利用网格纸，在上找一点P，使得最短． 18. 已知两个三角形全等，其中一个三角形的三边长分别为6，8，10，另一个三角形的三边长分别为6，，．求的值（写出所有情况）． 19. 如图，点，在上，，，，与交于点．求证：． 20. 如图，在中，，是边上的中线，是上一点且． （1）求证：． （2）若，求的度数． 21. 如图，在中，，垂足为，点在边上，且，垂直平分，交于点，连接． （1）求证：； （2）若的周长为，，求的周长． 22. 如图，是以的顶点为端点的一条射线，，，分别是射线上的两点，连结，． （1）如图1，若，，，求证：． （2）如图2，若，请判断，，三条线段之间的数量关系，并说明理由． 23. 图1，线段、相交于点，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8”字形．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试解答下列问题： （1）在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：___________； （2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：___________个； （3）图2中，当度，度时，求的度数． （4）图2中和为任意角时，其他条件不变，试问与、之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）． 24. 定义: 如图1， 若 P 是内部一点， 且， 则称点P为的勃罗卡点， 同时称为的勃罗卡角． （1）如图2， P为等边内部一点． 其中，， 请判断点P是不是等边的勃罗卡点，并说明理由； （2）如图3，P为等边的勃罗卡点，求等边的勃罗卡角的度数； （3）如图4，在（2）的条件下，作点 P 关于 的对称点 ，连接与 相交于点 O，连接，，记的勃罗卡点为 M，的勃罗卡点为N， 求证: 为等边三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $