精品解析：浙江省海宁宏达实验学校2025--2026学年上学期八年级数学月考试卷

宏达实验学校2025学年第一学期10月学生素养调研 八年级数学试题卷 一、选择题（本小题有4个选项10小题，每题3分，共30分） 1. 北京2022年冬奥会会徽“冬梦”已经发布，下列图案是参选的部分作品，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列句子中，是命题的是（ ） A. 画一个角等于已知角 B. a，b两条直线平行吗 C. 对顶角相等 D. 过一点画已知直线的垂线 3. 如图，在中，，点C为边上一点，连接．若，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A. 5，6， B. 7，8， C. 3，4，8 D. 5，5， 5. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点；②作直线交于点，连接．下列线段中，与线段长度一定相等的是（　　） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 6. 如图，在中，点D在上，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 若等腰三角形的两边长分别是4和8，则它周长是（ ） A. 16 B. 20 C. 16或18 D. 16或20 8. 如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（） A. B. C. D. 9. 如图所示，若，，分别平分和，于，且，则与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 无法确定 10. 如图，等边中，平分，点P、Q分别为、上的点，且，，在上有一动点E，则的最小值为（ ） A. 20 B. 18 C. 16 D. 14 二、填空题（本题有6小题，徐老师每小题3分，共18分） 11. 如图，，，，则______． 12. 判断命题“对于任何实数，都有”是假命题，只需举一个反例，反例中的值可以是______．（填写一个符合条件的的值）． 13. 如图，在等腰中，，的垂直平分线交于点，若，，则的周长为___________． 14. 如图，在的方格纸中，等于_____． 15. 如图，将一块直角三角板放置在锐角上，使得该三角板的两条直角边，恰好分别经过点，．若时，点在内，则的值是__________． 16. 如图，，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②是等边三角形；③；④．其中，正确的结论的选项是________． 三、解答题（本题有8小题，第17~22题每题6分，第22，23题每题8分，共52分） 17. 已知：如图，在和中，点D在上，，，．求证：． 18. 如图，在中，为边上的中线，已知，，的周长为20，求的周长． 19. 如图，已知，点在上，，，求的度数． 20. 如图，在中，，其中、边上的高、相交于点O．求证：； 21. 如图，在中，，，将沿直线m翻折，点B落在D点位置，若，求的度数． 22. 如图，四边形中，，为的中点，连结并延长交的延长线于点F． （1）求证：； （2）连结，当，，时，求的长． 23. 如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请使用无刻度直尺和圆规按要求作图．（注意求作的图形用实线） （1）在图1中，画出的角平分线； （2）在图2中，画出边上的中线； （3）在图3中，找一个点D，使得与全等（点D不能与点A重合） 24. 【问题探究】 （1）已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是______． （2）已知：如图2，与分别是的两个外角，且，则______． 【拓展与应用】 （3）如图3，在四边形中，为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，若设，，求的度数；（用含，的式子表示） （4）如图4．平分，平分，把折叠，使点A与点I重合，若，则______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宏达实验学校2025学年第一学期10月学生素养调研 八年级数学试题卷 一、选择题（本小题有4个选项10小题，每题3分，共30分） 1. 北京2022年冬奥会会徽“冬梦”已经发布，下列图案是参选的部分作品，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，判别轴对称图形的关键是找对称轴，根据轴对称图形的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列句子中，是命题的是（ ） A. 画一个角等于已知角 B. a，b两条直线平行吗 C. 对顶角相等 D. 过一点画已知直线的垂线 【答案】C 【解析】 【分析】根据命题的定义：判断一件事情的句子逐项判断即可． 【详解】解：A、画一个角等于已知角，不是命题，本选项不符合题意； B、a，b两条直线平行吗，不是命题，本选项不符合题意； C、对顶角相等，是命题，本选项符合题意； D、过一点画已知直线的垂线，不是命题，本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了命题的定义，属于基础概念题型，熟知命题定义是解题关键． 3. 如图，在中，，点C为边上一点，连接．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，直接利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：，，是的一个外角， ， ． 故选：B． 4. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A. 5，6， B. 7，8， C. 3，4，8 D. 5，5， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了构成三角形的条件，解题关键是掌握构成三角形的条件并能运用求解． 根据构成三角形的条件，对四组数据分别通过计算，再作出判断． 【详解】解：，5，6，能组成三角形，故A符合； ，7，8，不能组成三角形，故B不符合； ，3，4，8不能组成三角形，故C不符合； ，5，5，不能组成三角形，故D不符合， 故选：A． 5. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点；②作直线交于点，连接．下列线段中，与线段长度一定相等的是（　　） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的作图以及性质，根据作图可知垂直平分线段，由线段垂直平分线的性质即可得出． 【详解】解：根据作图可知：垂直平分线段， ∴， 故选：C 6. 如图，在中，点D在上，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形外角的定义和性质．由等边对等角得出，再由三角形外角的定义和性质得出，最后再根据等边对等角即可得出答案． 【详解】解∶∵ ，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D 7. 若等腰三角形的两边长分别是4和8，则它周长是（ ） A. 16 B. 20 C. 16或18 D. 16或20 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，熟练掌握三角形的任意两边之和大于第三边是解题的关键． 分两种情况：当4为腰长，8为底边长时，不符合三角形三边关系，该三角形不存在；当8为腰长，4为底边长时，符合三角形三边关系，即而可以求出周长． 【详解】解：当三边长是4，4，8时，，不符合三角形的三边关系； 当三边长是8，8，4时，符合三角形的三边关系，此时周长是． 因此等腰三角形的周长为20． 故选：B． 8. 如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 本题要判定，已知，，得，具备了一组边一对角对应相等，根据判定方法对选项一一分析，即可选出正确答案． 【详解】解：∵，， ∴， 即， A、添加，根据有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角，故不能判断，该选项符合题意； B、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意； C、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意； D、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意． 故选：A． 9. 如图所示，若，，分别平分和，于，且，则与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，作辅助线并熟记性质是解题的关键．过点作于，作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，再根据平行线间的距离的定义解答即可． 【详解】解：如图，过点作于，作于， 、分别平分和，， ， 与之间的距离， 故选：C． 10. 如图，等边中，平分，点P、Q分别为、上的点，且，，在上有一动点E，则的最小值为（ ） A. 20 B. 18 C. 16 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识． 作点关于的对称点，连接交于，此时的值最小，最小值为，然后根据等边三角形的性质可得是等边三角形，即可求得． 【详解】解：是等边三角形，平分， ，，为中点， ，， ， 作点关于的对称点，则，连接交于，如图， 则， 此时的值最小，最小值为， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， 的最小值为． 故选：A． 二、填空题（本题有6小题，徐老师每小题3分，共18分） 11. 如图，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，熟记全等三角形的对应边相等是解题的关键． 根据全等三角形的对应边相等可得，再根据线段的和差关系求得的长即可． 【详解】解：， ． 又， ． 故答案为：． 12. 判断命题“对于任何实数，都有”是假命题，只需举一个反例，反例中的值可以是______．（填写一个符合条件的的值）． 【答案】－2（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是命题和定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 根据绝对值的性质、有理数的大小比较法则解答即可． 【详解】解：当时，， 说明命题“对于任何实数，”是假命题， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如图，在等腰中，，的垂直平分线交于点，若，，则的周长为___________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等腰三角形的性质，熟记性质是解题的关键． 先根据线段垂直平分线的性质得到，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， 在等腰中，∵， ∴， ∵， ∴的周长为． 故答案为：10 14. 如图，在的方格纸中，等于_____． 【答案】90°##90度 【解析】 【分析】标注字母，然后利用“边角边”求证和全等，根据全等三角形对应角相等可得，再根据直角三角形两锐角互余求解． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：90°． 【点睛】本题考查全等三角形的判定定理及性质，直角三角形两锐角互余．解本题的关键是证明． 15. 如图，将一块直角三角板放置在锐角上，使得该三角板的两条直角边，恰好分别经过点，．若时，点在内，则的值是__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查三角形外角的性质，解题的关键是正确作出辅助线． 根据三角形外角的性质，结合角的和差运算，即可得的值． 【详解】解：如图，连接并延长，交于点，则，， ∵， ∴， ∵， ∴ 故答案为： ． 16. 如图，，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②是等边三角形；③；④．其中，正确的结论的选项是________． 【答案】④ 【解析】 【分析】解题时，首先针对每个结论，结合已知条件逐步分析： ①利用“是高”得直角三角形两锐角互余，再结合角平分线定义，求出的度数，最后根据三角形内角和定理算出，判断结论①错误． ②根据现有条件，没有足够依据证明三边相等，所以判定不是等边三角形． ③延长构造全等三角形和，得出，将转化为，再利用三角形外角性质和“大角对大边”，得出，从而判断结论③错误． ④证明，得到面积相等关系，再结合和是角平分线的性质，对三角形面积进行转化，得出，判定结论④正确．通过这样逐一分析每个结论，最终确定正确结论的个数． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵是的角平分线，平分， ∴，， ∴， ∴，故①错误； ∵是的高，， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴为等腰三角形，条件不足，无法得到为等边三角形，故②错误； 如图，延长交于点， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③错误； 在和中， ∴， ∴， ∵，平分， ∴，， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有④， 故答案为：④． 【点睛】本题考查了三角形的高、角平分线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定（、）及性质，三角形外角性质，“大角对大边”定理，三角形面积的计算与转化．解题思想方法有转化思想（将角的关系、面积的关系进行转化），数形结合思想（结合图形分析角和线段的关系）．解题关键为熟练运用全等三角形的判定与性质，结合角平分线、高的性质，对三角形的角、边、面积进行分析转化．易错点是在分析角的关系时，容易忽略三角形外角性质或“大角对大边”的应用条件；证明三角形全等时，易找错对应角或对应边． 三、解答题（本题有8小题，第17~22题每题6分，第22，23题每题8分，共52分） 17. 已知：如图，在和中，点D在上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即：， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据，得到，利用，即可得证． 【详解】略 18. 如图，在中，为边上的中线，已知，，的周长为20，求的周长． 【答案】17 【解析】 【分析】首先由三角形中线的定义得到，然后求出，然后求解即可． 【详解】解：∵在中，为边上的中线， ∴， ∵的周长为20， ∴，即， ∴， ∴的周长． 19. 如图，已知，点在上，，，求的度数． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的外角性质，等边对等角，根据全等三角形的性质得，，则有，然后通过三角形外角性质即可求解，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴． 20. 如图，在中，，其中、边上的高、相交于点O．求证：； 【答案】 证明：∵、边上的高分别为、， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的高．根据，即可解答． 【详解】略 21. 如图，在中，，，将沿直线m翻折，点B落在D点位置，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，外角性质，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识， 由折叠的性质得到，由三角形外角性质可得、，得，求解即可． 【详解】解：如图所示： 因为，， 所以在中，， 由折叠的性质得：， 根据外角性质得：，， 因为， 所以， ∴． 22. 如图，四边形中，，为的中点，连结并延长交的延长线于点F． （1）求证：； （2）连结，当，，时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴． （2）3 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行线的性质、线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，，再根据线段中点的定义可得，然后根据定理即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，，则可得垂直平分，再根据线段垂直平分线的性质可得，然后根据线段和差求出的长，由此即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）已证：， ∴，， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 23. 如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请使用无刻度直尺和圆规按要求作图．（注意求作的图形用实线） （1）在图1中，画出的角平分线； （2）在图2中，画出边上的中线； （3）在图3中，找一个点D，使得与全等（点D不能与点A重合） 【答案】（1） 如图，点D即为所求． （2） 如图，即为所求． （3） 如图，． 【解析】 【分析】本题考查作图的应用和设计，中线，三角形全等，角平分线的性质，相似三角形的性质，掌握网格线的特征是解题的关键． （1）根据角平分线的性质作图； （2）根据中线性质作图； （3）根据全等三角形的性质作图． 【小问1详解】 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 24. 【问题探究】 （1）已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是______． （2）已知：如图2，与分别是的两个外角，且，则______． 【拓展与应用】 （3）如图3，在四边形中，为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，若设，，求的度数；（用含，的式子表示） （4）如图4．平分，平分，把折叠，使点A与点I重合，若，则______． 【答案】（1）;（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的定义，三角形的内角和定理，四边形的内角和定理的应用，轴对称的性质； （1）在中， ，结合角平分线的含义可得，再进一步利用三角形的内角和定理可得答案； （2）求解，再进一步利用内角和定理可得答案； （3）延长，交于点，同（2）可得，证明，，结合外角的性质可得，，可得，进一步求解即可； （4）求解，，可得，由（1）得：． 【详解】解：（1）在中，， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． （2）∵与分别是的两个外角，且， ∴， ∴； 故答案为：． （3）延长，交于点， ∵，， 同（2）可得， ∵为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （4）∵，结合折叠， ∴，， ∴， ∵平分，平分， 由（1）得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $