第三章 函数的概念与性质 同步单元必刷卷-2026-2027学年高一上学期数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版必修第一册）

第三章《函数的概念与性质》同步单元必刷卷 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．函数的定义域为（       ） A． B． C． D． 2．“幂函数在上单调递减”是“”的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．充要条件 3．如图，在一块等腰三角形空地中欲建一个内接矩形花园（阴影部分），已知，，则内接矩形花园面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知是定义在上的偶函数，且在上为减函数，则的解集为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数的定义域是，的图象关于点中心对称，若，且对任意，，都有，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 7．已知函数若存在，且，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数的定义域为R，对于任意实数x，y满足，且 ，则下列结论错误的是（    ） A． B．为偶函数 C．为奇函数 D． 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 10．已知函数（为实数）的定义域为D，，且，则下列说法正确的是（    ） A．的图象不经过第四象限 B．若为偶函数，则为偶数 C．若，则 D． 11．已知函数，的定义域均为，且，，若是偶函数，，则（    ） A．关于直线对称 B．4是的一个周期 C．是偶函数 D． 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 若幂函数满足，则实数m的值为________． 13． 已知奇函数在上单调递减，且.若不等式对及恒成立，则的最小值是___________. 14．已知是定义在上的奇函数，且对任意都有.当 时，，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)解不等式 16．为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，（万元）.每件产品售价为元. 假设小王生产的产品当年全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） (2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 17．已知函数，． (1)证明：对任意，； (2)根据定义证明在区间上单调递增； (3)求的解集． 18．已知函数． (1)若，求函数的值域； (2)若，试判断的单调性并证明； (3)对，使得，求实数a的取值范围． 19．已知定义域为的函数对于，，都满足，且当时，． (1)求，并用定义法判断在区间上单调递增 (2)是否存在实数，使得关于的不等式，恒成立若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章《函数的概念与性质》同步单元必刷卷 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．函数的定义域为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由解析式得 ，解得且，即函数定义域为. 2．“幂函数在上单调递减”是“”的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．充要条件 【答案】C 【详解】若是幂函数，则， 解得或，当时，， 由反比例函数性质得在上单调递减， 当时，， 由幂函数性质得在上单调递减， 故在上单调递减时，或， 即当在上单调递减时，无法推出，充分性不成立， 当时，可以推出在上单调递减，必要性成立， 综上，在上单调递减是的必要不充分条件，故C正确. 故选：C 3．如图，在一块等腰三角形空地中欲建一个内接矩形花园（阴影部分），已知，，则内接矩形花园面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，矩形的面积为．取的中点，连接，交于．由等腰三角形求得，由三角形相似表示出，从而得到，然后得到，通过配方法求得其最大值. 【详解】设，矩形的面积为． 取的中点，连接，交于． 因为，所以，，则． 易知，则，则， 则AI＝，所以， 所以， 当时，取得最大值，且最大值为96，故内接矩形花园面积的最大值为． 故选： 4．已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据时的单调性可确定在上的单调性，结合二次函数性质和分段处函数值大小关系可构造不等式组求得结果. 【详解】当时，单调递增， 在上单调递增，，解得：， 实数的取值范围为. 故选：D. 5．已知是定义在上的偶函数，且在上为减函数，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由偶函数定义域的对称性可求，从而可得在上为减函数，在上为增函数，距离对称轴越远，函数值越大，即可求解． 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以，所以， 因为在上单调递减， 所以在上单调递增， 由可得， 解得或， 故不等式的解集为或. 故选：B． 6．已知函数的定义域是，的图象关于点中心对称，若，且对任意，，都有，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为对任意，，都有， 所以在上为减函数， 因为的对称中心为，所以的对称中心为， 所以为奇函数， 所以在上为减函数． 则在，上为减函数， 因为，所以， ，即或， 则或， 解得或，所以解集为． 7．已知函数若存在，且，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，是开口方向向下，对称轴为的二次函数， ①当，即时，由二次函数对称性知：必存在，使得； ②当，即时，若存在，使得，则函数图象需满足下图所示：    即，解得：，； 综上所述：. 故选：A. 【点睛】思路点睛：根据可知分段函数某一段自身具有对称轴或两个分段的值域有交集，通过函数图象进行分析即可确定结果. 8．已知函数的定义域为R，对于任意实数x，y满足，且 ，则下列结论错误的是（    ） A． B．为偶函数 C．为奇函数 D． 【答案】C 【分析】由条件等式通过取特殊值求，由此判断A，D，再取特殊值确定，的关系结合函数的奇偶性的定义判断选项B，C. 【详解】因为，， 取，可得，又，所以；A对； 取，可得，因为，所以，所以为偶函数，C错，B对； 取，可得，又， ； 所以，D对； 故选：C. 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】BD 【详解】对于A选项，函数与的定义域均为， 又因为，这两个函数的对应法则不一样， A中的两个函数不是同一函数； 对于B选项，函数的定义域为，且， 函数的定义域为，这两个函数的对应法则相同， B选项中的两个函数是同一函数； 对于C选项，对于函数，有，解得， 对于函数，有，解得或， 所以函数的定义域为，函数的定义域为或， 这两个函数的定义域不同，C选项中的两个函数不是同一函数； 对于D选项，，， 这两个函数的定义域均为，且对应关系相同，D选项中的两个函数是同一函数. 10．已知函数（为实数）的定义域为D，，且，则下列说法正确的是（    ） A．的图象不经过第四象限 B．若为偶函数，则为偶数 C．若，则 D． 【答案】AC 【分析】利用幂函数的图象性质可判断A；当时，为偶函数，但是不为偶数，可判断B；利用基本不等式验证，判断C；当时，，可判断D. 【详解】对于A，利用幂函数的图象性质可知，的图象不经过第四象限，故A正确； 对于B，当时，为偶函数，但是不为偶数，故B错误； 对于C，，所以，， 由基本不等式可得，因为，所以等号不成立，故C正确； 对于D，当时，则，故D错误. 11．已知函数，的定义域均为，且，，若是偶函数，，则（    ） A．关于直线对称 B．4是的一个周期 C．是偶函数 D． 【答案】ABD 【详解】由，用代入，得， 所以， 所以函数关于点对称； 又因为是偶函数，即，A选项正确； 所以，则， 所以，所以， ，所以， 所以4是函数的一个周期，B选项正确； 所以，用代入，得， 则函数关于点对称，C选项错误； 因为奇数的平方可以表示为， 所以所有奇数的平方除以4余数都是1，所有偶数的平方除以4余数都是0， 所以中共有1014个奇数的平方，每个奇数平方除以4余数是1， 偶数平方除以4余数都是0， 所以总和除以4的余数等于为1014除以4的余数，为2，结合函数的周期为4， 得，D选项正确. 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若幂函数满足，则实数m的值为________． 【答案】 【详解】幂函数， 所以，解得或， 当时，，此时，当时，，此时， 又因为，所以满足要求， 即. 13．已知奇函数在上单调递减，且.若不等式对及恒成立，则的最小值是___________. 【答案】 【分析】根据恒成立转化为，利用函数单调性、奇偶性求最值可得解. 【详解】不等式对及恒成立， 只需. 因为奇函数在上单调递减，且， 所以，可得， 可得对恒成立. 只需解得，则的最小值是. 故答案为： 14．已知是定义在上的奇函数，且对任意都有.当 时，，则________. 【答案】/ 【分析】根据条件，得是以为周期的周期函数，从而可得，再代入即可求解. 【详解】由得，所以是以为周期的周期函数. 又，故， 又，则 得， 因为，所以，故. 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)解不等式 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）因为是幂函数，且在上单调递增， 则且，由解得， 又，所以或3. 又是偶函数，则是偶数， 将或3分别代入，可得或6， 故或； （2）由（1），偶函数在上单调递增， 则由可得，故有， 两边取平方，整理得，解得或， 所以原不等式的解集是. 16．为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，（万元）.每件产品售价为元. 假设小王生产的产品当年全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） (2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)年产量为万件时，所获利润最大，最大利润为（万元） 【分析】（1）直接根据题中所给的利润关系及相应成本可得函数解析式； （2）根据分段函数的性质，分别求出函数在两段上的最大值，再比较可得最大利润. 【详解】（1）因为年产量（万件），年销售收入为万元，固定成本为万元， 且年利润年销售收入固定成本流动成本， 当时，流动成本， 所以； 当时，流动成本， 所以. 因此，年利润的函数解析式为. （2）分当时，由基本不等式，当且仅当，​即时取等号，满足， 因此，（万元） 当时，是开口向下的二次函数， 对称轴为，且在定义域内，所以当时，利润函数取得最大值. 比较得，因此当年产量为万件时，利润最大，最大利润为（万元）. 17．已知函数，． (1)证明：对任意，； (2)根据定义证明在区间上单调递增； (3)求的解集． 【答案】(1)因为，所以，所以， 所以． (2)证明：任取，且， 则， 因为，，，所以， 所以，即在上单调递增． (3)． 【分析】（1）直接代入函数表达式算出，再与相加化简完成等式证明； （2）利用函数单调性定义，作差变形，判断差值正负，证明函数单调递增； （3）利用第（1）问结论变形不等式，再利用单调性化简，联立定义域与大小关系解不等式组． 【详解】（1）略 （2）略 （3）因为，所以． 由（2）知在上单调递增，所以，解得， 故不等式的解集为． 18．已知函数． (1)若，求函数的值域； (2)若，试判断的单调性并证明； (3)对，使得，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 时，， 下面证明函数在单调递减，在单调递增． 设 ， ∴当时，则故函数在上单调递增； 当时，则故函数在上单调递减． 故函数在上单调递减，在上单调递增． (3) 【分析】（1）写出分段函数的解析式并利用二次函数的性质即可求解； （2）写出的解析式，利用定义法证明单调性； （3）分，，，，五类进行讨论. 【详解】（1）若， 当时，，函数在上单调递增，则； 当时，，故的值域为． （2）略 （3）因当时，， 当时，． ①时，应满足，则； ②时，应满足，解得； ③时，应满足，解得； ④时，应满足，解得； ⑤时，此时在上单调递减，不合题意． 综上所述，实数a 的取值范围为． 19．已知定义域为的函数对于，，都满足，且当时，． (1)求，并用定义法判断在区间上单调递增 (2)是否存在实数，使得关于的不等式，恒成立若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由 【答案】(1)，证明： 令，则，即， 由，可得， 令，，且，则， 令，，则， 则， 又当时，， ， 故在区间上单调递增； (2)不存在，理由为： 在区间上单调递增， 若关于的不等式恒成立， 则恒成立，即， 且恒成立，即， 又当，则，当且仅当时等号成立， 所以， 又由函数单调性可知 即在上恒成立， 即恒成立， 设，即， 又，当且仅当时等号成立， 所以，所以， 又，与无公共解， 所以不存在实数，使得关于的不等式恒成立． 2 学科网（北京）股份有限公司 $