第8讲：二次函数与一元二次方程、不等式【九大题型+知识归纳+高分精练】-2026-2027学年高一上学期数学必修第一册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版）

**基本信息** 以“概念-原理-应用”为逻辑主线，系统整合二次函数、方程与不等式关系，通过9类题型构建“问题情境-方法提炼-变式迁移”的完整训练体系，培养数学思维与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|6个核心知识点|解不等式四步法（化标准-算Δ-求根-写解集）、恒成立问题最值转化法|从一元二次不等式概念出发，通过二次函数零点建立与方程、不等式的对应关系，形成“概念生成-原理推导-应用拓展”链条| |题型突破|9类题型+多变式|含参不等式分类讨论、根分布数形结合法、实际问题建模法|覆盖基础求解到综合应用，题型与方法一一对应，典例精选高考高频考法，实现从知识理解到解题能力的迁移|

第8讲：二次函数与一元二次方程、不等式 题型一、解一元二次 分式与含绝对值不等式 2 题型二、由一元二次不等式的解确定参数 3 题型三、解含有参数的一元二次不等式 3 题型四、一元二次方程根的分布问题 4 题型五、一元二次不等式在实数集上的恒成立问题 4 题型六、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 5 题型七、一元二次不等式在某区间上有解问题 5 题型八、一元二次不等式的实际应用 6 题型九：二次函数与不等式的综合问题 7 知识点一　一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 知识点二　一元二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 知识点三　二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点四 解一元二次不等式 ①化为基本形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)； ②计算Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解； ③有根求根； ④根据图象写出不等式的解集. 知识点五 解分式不等式 (1)>0⇔f(x)·g(x)>0；(2)≤0⇔(3)≥a⇔≥0. 知识点六 一元二次不等式恒成立问题 恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立⇔k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x)min. 题型一、解一元二次 分式与含绝对值不等式 【例1】．（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)． 【变式1】求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3). 【变式2】．（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）求下列不等式的解集： (1)；(2). (3) 题型二、由一元二次不等式的解确定参数 【例2】．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）若一元二次不等式的解集是或，那么下列选项正确的是（ ） A． B． C． D．的两根为 【变式1】．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 【变式2】．（25-26高一上·江苏徐州·期末）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 题型三、解含有参数的一元二次不等式 【例3】．（26-27高一上·全国·课堂例题）解关于x的不等式. 【变式1】．（26-27高一上·全国·课后作业）解下列关于的不等式： (1)； (2)． 【变式2】．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）已知． (1)若的解集为，求关于x的不等式的解集； (2)解关于x的不等式． 题型四、一元二次方程根的分布问题 【例4】．（25-26高一上·山东威海·期中）已知方程的两根都在区间内，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·陕西·阶段检测）关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【变式2】．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 题型五、一元二次不等式在实数集上的恒成立问题 【例5】．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【变式1】．（25-26高一下·浙江衢州·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高一上·广东·期末）若不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型六、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【例6】．（25-26高一上·湖南湘西·期末）若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的最大值为（    ） A．6 B． C． D．8 【变式1】．（25-26高一上·云南红河·阶段检测）当时，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高一上·山西晋中·期中）已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型七、一元二次不等式在某区间上有解问题 【例7】．（25-26高一上·重庆开州·阶段检测）已知关于的不等式在区间有解，则实数的取值范围为________. 【变式1】．（25-26高一上·山西临汾·阶段检测）关于的不等式在区间上有实数解，则实数的取值范围是___________． 【变式2】．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是______． 题型八、一元二次不等式的实际应用 【例8】．（2025高一上·安徽·竞赛）某企业原有200名科技人员，年人均工资a万元（）．现加大对某芯片研发力度，该企业把原有200名科技人员调整成技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且）．调整后，研发人员的年人均工资比调整前增加了，技术人员的年人均工资为万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员年总工资的1.5倍，求调整后的技术人员最少有多少人？ (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件： ①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资； ②技术人员的年人均工资始终不低于调整前200名科技人员的年人均工资． 请问是否存在这样的实数m？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由． 【变式1】．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）（1）某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（）与货价p元/件之间的关系为，生产件所需成本为元.问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300元? （2）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站10km处建仓库，则和分别为2万元和8万元，这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小? 【变式2】．（25-26高一上·广东·期末）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上追加投入万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加的利润（单位:万元）与之间的函数关系式. (2)若要追加的总成本不超过3万元，求的取值范围. (3)当为多少时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？ 题型九：二次函数与不等式的综合问题 【例9】．（25-26高一上·广西桂林·阶段检测）已知函数． (1)若，求函数在区间上的最大值； (2)若不等式的解集为，求实数，的值； (3)若，解关于的不等式． 【变式1】．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）已知函数，． (1)恒成立，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 【变式2】．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）已知函数. (1)若关于的不等式的解集是实数集，求的取值范围； (2)当时，解关于的不等式. 一、单选题 1．（26-27高一上·全国·课后作业）不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 2．（26-27高一上·湖南岳阳·开学考试）已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 3．（26-27高一上·广东揭阳·开学考试）若命题“，都有”是真命题，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 4．（2026高一·全国·专题练习）若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（ ） A． B． C．1或-1 D．4 5．（2026高一·全国·专题练习）下列说法不正确的有（    ） A．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 B．在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 D．若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围 6．（25-26高一下·湖北·期中）已知函数，若满足对任意，都有成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（26-27高一上·四川遂宁·开学考试）下列选项中，正确的是（    ） A．不等式的解集为或 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式 的解集为 8．（2026·西藏林芝·二模）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 9．（25-26高一下·浙江·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 10．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A．若，则且 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则关于的不等式的解集为或 D．若为常数，且，则的最小值为8 三、填空题 11．（26-27高一上·全国·课堂例题）若关于的不等式的非空解集为，则________． 12．（2026高一·全国·专题练习）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是_______. 13．（2026高一·全国·专题练习）已知方程的两不相等实根小于2，求实数的取值范围_______． 14．（2026高一·全国·专题练习）若不等式组的解集中所含整数解只有，则的取值范围是________． 四、解答题 15．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知关于方程 (1)若方程有两个根且都大于，求实数的取值范围 (2)若方程至少有一个正根，求实数的取值范围 16．（25-26高一下·天津河北·开学考试）设． (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 17．（24-25高三上·安徽铜陵·阶段检测）美国国家海洋和大气管理局最近发布的一则预测引发全球关注：预计在年月，拉尼娜现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆转全球变暖的趋势.某企业欲生产一款防暑降温套装，其每月的成本(单位：万元)由两部分构成： ①固定成本(与生产产品的数量无关)：万元； ②生产所需材料成本：万元，(单位：万套)为每月生产产品的套数． (1)该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？ (2)若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该套装每月的利润不低于万元． 18．（25-26高一上·山东德州·期末）已知关于x不等式． (1)若时，求不等式的解集； (2)若，解这个关于的不等式； (3)，恒成立，求实数a的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8讲：二次函数与一元二次方程、不等式 题型一、解一元二次 分式与含绝对值不等式 2 题型二、由一元二次不等式的解确定参数 4 题型三、解含有参数的一元二次不等式 5 题型四、一元二次方程根的分布问题 7 题型五、一元二次不等式在实数集上的恒成立问题 9 题型六、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 10 题型七、一元二次不等式在某区间上有解问题 11 题型八、一元二次不等式的实际应用 12 题型九：二次函数与不等式的综合问题 15 知识点一　一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 知识点二　一元二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 知识点三　二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点四 解一元二次不等式 ①化为基本形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)； ②计算Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解； ③有根求根； ④根据图象写出不等式的解集. 知识点五 解分式不等式 (1)>0⇔f(x)·g(x)>0；(2)≤0⇔(3)≥a⇔≥0. 知识点六 一元二次不等式恒成立问题 恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立⇔k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x)min. 题型一、解一元二次 分式与含绝对值不等式 【例1】．（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）将不等式化简为，即 解得x＞1或，则解集为. （2）将不等式化简为，因为，所以该不等式无实数解，即解集为. （3）因为，即，所以通分可得，则，解得， 所以解集为． 【变式1】．高一数学上学期苏教版必修第一册）求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）因为，所以，解得，故不等式的解集为. （2）因为，所以，解得，所以的解集为. （3）因为，所以，等价于，解得或， 所以不等式的解集为. 【变式2】．（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）求下列不等式的解集： (1)；(2). (3) 【答案】(1)或 (2) (3) 【详解】（1）因为方程的， 所以该方程有两个不相等的实数根，解得，. 不等式的解集为或. （2）原不等式可化为，即，解得. 所以原不等式的解集为. （3）可化为，即， 可等价为①或②，解①得，解②得不等式组无解. 综上，. 所以原不等式的解集为. 题型二、由一元二次不等式的解确定参数 【例2】．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）若一元二次不等式的解集是或，那么下列选项正确的是（ ） A． B． C． D．的两根为 【答案】D 【详解】因为一元二次不等式的解集是或， 所以且的两根为， 所以，即， 所以，即， 故ABC错误，D正确. 【变式1】．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】因关于的不等式的解集为，则，即， 则，即， 所以，解得或． 【变式2】．（25-26高一上·江苏徐州·期末）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法以及韦达定理，可得参数的值，利用分式不等式的解法，可得答案. 【详解】由不等式的解集为， 则方程的解为或，且， 可得，， 由不等式等价于，即， 则，可得，解得或. 故选：A. 题型三、解含有参数的一元二次不等式 【例3】．（26-27高一上·全国·课堂例题）解关于x的不等式. 【答案】当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【分析】根据含参一元二次不等式的解法，分类讨论最高项系数以及根的大小即可得答案. 【详解】①当时，原不等式即为，解得； ②当时，原不等式化为，解得或； ③当时，原不等式化为， 若，即，不等式无解, 若，即时，解得, 若，即时，解得. 综上可知，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【变式1】．（26-27高一上·全国·课后作业）解下列关于的不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． (2)当时，不等式的解集为；当或时，不等式的解集为． 【详解】（1）对于一元二次方程，判别式． 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为． 综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． （2）对于一元二次方程， 当时，，的解集为； 当时，的解集为； 当或时，，方程的两根分别为，且， 所以不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当或时，不等式的解集为． 【变式2】．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）已知． (1)若的解集为，求关于x的不等式的解集； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2) 当时，； 当时，； 当时，． 【分析】（1）根据一元二次不等式解集与一元二次方程的根的关系求出，代入求解分式不等式即可得答案； （2）不等式可化为，分为，和三种情况，分别求解即可. 【详解】（1）已知的解集为，说明1和2是方程的根． 由韦达定理：，可得， 将代入不等式，得， 所以或． 因此，不等式的解集为． （2）先对进行因式分解： 即解，需要根据a的取值分类讨论： （1）当，即时，不等式的解为或； （2）当，即时，不等式变为，解集为全体实数R； （3）当，即时，不等式的解为或． 综上所述：当时，；当时，；当时，． 题型四、一元二次方程根的分布问题 【例4】．（25-26高一上·山东威海·期中）已知方程的两根都在区间内，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用一元二次方程实根分布列出不等式组求解即得. 【详解】令，设的两根为， 由都在区间内，得，解得， 所以m的取值范围为. 故选：D 【变式1】．（25-26高一上·陕西·阶段检测）关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】当时，方程只有一个根，显然不符合题意；当时，则，解得；当时，则，解得，故或． 故选：B 【变式2】．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【详解】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知，所以由题意知， 即 ，解得. 故选：B. 题型五、一元二次不等式在实数集上的恒成立问题 【例5】．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】条件可转化为命题“，”是真命题，结合二次函数性质可得结论. 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 由题意可得，解得， 故实数的取值范围是. 【变式1】．（25-26高一下·浙江衢州·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意当时，解得当时，不等式恒成立，符合题意； 当，不等式，不符合题意；当，的不等式的解集为， 所以，解得 综上所述，. 【变式2】．（25-26高一上·广东·期末）若不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由 ，得： ， 由于分母 ，故只需满足 ， 即原不等式恒成立等价于对任意实数恒成立， 即：， 解得： . 故选：D 题型六、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【例6】．（25-26高一上·湖南湘西·期末）若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的最大值为（    ） A．6 B． C． D．8 【答案】A 【详解】由在区间恒成立，可得， 即在区间恒成立. 因为，则，当且仅当，时等号成立， 所以，故，即的最大值为， 故选：A. 【变式1】．（25-26高一上·云南红河·阶段检测）当时，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合题意利用主元变换法转化为一次函数的恒成立问题，进而建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】因为当时，不等式恒成立， 所以恒成立，整理得恒成立， 令，则， 解得，则的取值范围为，故C正确. 故选：C 【变式2】．（25-26高一上·山西晋中·期中）已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，命题的否定为真命题，根据x的范围，整理可得，根据基本不等式，化简计算，即可得答案. 【详解】因为命题“”为假命题，所以命题的否定为真命题， 则，整理得，因为，当且仅当，即时取等号，符合题意， 所以，则实数的取值范围是. 故选：B 题型七、一元二次不等式在某区间上有解问题 【例7】．（25-26高一上·重庆开州·阶段检测）已知关于的不等式在区间有解，则实数的取值范围为________. 【答案】 【详解】令函数， 由题意可知函数在区间的最大值 由二次函数可知， ，，， ①时，，，即，∴， ②时，，，即，∴， 综上所述：. 故答案为：. 【变式1】．（25-26高一上·山西临汾·阶段检测）关于的不等式在区间上有实数解，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】分离参数，转化为求最值，利用对勾函数的单调性求解最值得解. 【详解】由于在区间上有实数解，则在区间上有实数解， 故， 由于在单调递增，故当时，取最小值3， 因此， 故答案为： 【变式2】．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】由题意知，“，使得成立”是真命题， 所以，根据基本不等式的性质可得：，当且仅当，即时，等号成立. 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 题型八、一元二次不等式的实际应用 【例8】．（2025高一上·安徽·竞赛）某企业原有200名科技人员，年人均工资a万元（）．现加大对某芯片研发力度，该企业把原有200名科技人员调整成技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且）．调整后，研发人员的年人均工资比调整前增加了，技术人员的年人均工资为万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员年总工资的1.5倍，求调整后的技术人员最少有多少人？ (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件： ①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资； ②技术人员的年人均工资始终不低于调整前200名科技人员的年人均工资． 请问是否存在这样的实数m？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1)50 (2)存在， 【分析】（1）根据题意得到不等式，求出答案； （2）由两个条件得到不等式，结合基本不等式求出答案 【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均工资为万元， 则，（），化简得， 解得， 因为且，所以， 所以调整后的技术人员的人数最少为50人； （2）假设存在实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件， 由条件①得，整理得； 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以， 由条件②得，解得； 又因为，所以． 所以． 【变式1】．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）（1）某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（）与货价p元/件之间的关系为，生产件所需成本为元.问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300元? （2）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站10km处建仓库，则和分别为2万元和8万元，这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小? 【答案】（1）且；（2）5km 【分析】（1）先根据“日获利=日销售额-成本”列出获利函数，再通过解一元二次不等式，得出日产量的取值范围即可； （2）先根据已知条件求出反比例函数与正比例函数的系数，得到总费用表达式，再利用均值不等式求最值即可. 【详解】（1）因为日获利等于销售额减去成本， 销售额为，成本为， 故利润函数为：， 要求日获利不少于1300元，即解不等式：， 化简得：，解得：， 又因为，故日产量为20到45之间的整数. （2）设土地占地费，库存货物费， 由题意知，当时，， ， 得：，所以，即； ，所以，即， 则两项费用之和为：， 由均值不等式得：，当且仅当，即时等号成立， 此时费用之和取到最小值，故仓库应建在距离车站5km处. 【变式2】．（25-26高一上·广东·期末）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上追加投入万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加的利润（单位:万元）与之间的函数关系式. (2)若要追加的总成本不超过3万元，求的取值范围. (3)当为多少时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？ 【答案】(1)； (2)的取值范围为； (3)当为5万元时，该公司在本季度增加的利润最大,最大万元. 【详解】（1）由题知，又，解得， 所以. （2）由题知追加的总成本，整理得，解得， 又，所以的取值范围为. （3）由知，令，则，代入函数解析式得，当且仅当时，等号成立， 此时，. 故当为5万元时，该公司在本季度增加的利润最大，最大万元. 题型九：二次函数与不等式的综合问题 【例9】．（25-26高一上·广西桂林·阶段检测）已知函数． (1)若，求函数在区间上的最大值； (2)若不等式的解集为，求实数，的值； (3)若，解关于的不等式． 【答案】(1) (2)， (3)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为。 【详解】（1）若，则，因为 开口向上，，，所以函数在区间上的最大值为3； （2）因为不等式的解集为，所以的解集为和， 由韦达定理得：，，解得； （3）若，整理得， 当时，，解得； 当时，， 当时，， 的解集为； 当时，，的解集为 当时，，的解集为； 当时，，的解集为； 综上所述：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 【变式1】．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）已知函数，． (1)恒成立，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由得恒成立， 故不等式对任意的恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. （2）由可得，整理得， 由题意可知，且，解得或， 由韦达定理可得，，可得，故， 所以， 因为，所以，所以， 故的取值范围是. （3）当时，令，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时取等号， 依题意可得关于的方程有四个不等实根， 令，则，则问题转化为存在使得关于的方程 有两个不同正根、，所以， 因为，则，由可得， 由可得或，故， 由知，存在使不等式成立， 把看成主元代入，可得，即， 解得或，综合可得， 故实数的取值范围是. 【变式2】．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）已知函数. (1)若关于的不等式的解集是实数集，求的取值范围； (2)当时，解关于的不等式. 【答案】(1) (2)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 【详解】（1）的解集是实数集，则该不等式在上恒成立. 当时，，则，解集不是实数集，故排除. 当时，要使的解集为，必须满足抛物线开口向上且与 轴最多有一个交点，即： ，，即，解得，综合，可得，即. （2），不等式两边同时除以，，.这是一个开口向上的二次不等式，解集在两根之外， 当时，即，此时解集为； 当时，即，此时解集为；当时，即，此时解集为. 一、单选题 1．（26-27高一上·全国·课后作业）不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】当时，原不等式等价于，解得，所以， 当时，原不等式等价于，解得，所以， 综上，原不等式的解为. 2．（26-27高一上·湖南岳阳·开学考试）已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 【答案】B 【详解】当，即，方程为，解得，方程有实数根，符合题意； 当，即，∵此时一元二次方程有实数根，∴，解得且； 综上，的取值范围是． 3．（26-27高一上·广东揭阳·开学考试）若命题“，都有”是真命题，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和讨论，求解的取值范围后取并集. 【详解】分情况讨论： 当时，不等式化为，符合题意； 当时，为二次函数， 命题为真则二次函数需满足 开口向下，即； 且函数图像与轴至多有一个交点，即， 即， 化简得，解得， 结合，得的取值范围为， 综上，的取值范围为. 4．（2026高一·全国·专题练习）若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（ ） A． B． C．1或-1 D．4 【答案】B 【分析】根据不等式的解集为，利用根与系数的关系，结合题意，列出方程，即可求解. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以，且，解得， 因为，所以，解得或（舍去）. 所以实数的值为. 5．（2026高一·全国·专题练习）下列说法不正确的有（    ） A．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 B．在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 D．若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围 【答案】D 【分析】利用判别式法来判断二次不等式恒成立，可判断A，利用二次式因式分解法，即可判断B，利用分离参变量再结合基本不等式求最值来判断二次不等式恒成立，即可判断CD． 【详解】对于A，当时，恒成立， 当时，由题意可知：，解得， 综上得，k的取值范围是，故A正确； 对于B，由得， 因该不等式在上恒成立，则需使，即在上恒成立， 故得，即实数k的取值范围是，故B正确； 对于C，由题意得，对恒成立，即 ， 因（当且仅当时取等号），则得，故C正确； 对于D，由题意得，对恒成立，即 ， 因（当且仅当时取等号），可知，故D错误. 6．（25-26高一下·湖北·期中）已知函数，若满足对任意，都有成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解析： 或． 综上所述或. 二、多选题 7．（26-27高一上·四川遂宁·开学考试）下列选项中，正确的是（    ） A．不等式的解集为或 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式 的解集为 【答案】AB 【详解】不等式，即，解得或， 故不等式的解集为或，A正确； 不等式，即，即， 所以，解得， 故不等式的解集为，B正确； 不等式，即或，解得或， 即不等式的解集为或，C错误； 因为不等式， 所以，即，D选项的解集中包含了，所以D错误. 8．（2026·西藏林芝·二模）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AD 【分析】由不等式的解集的特征判断A；利用解集可得、、间关系，即可判断B；利用、、间关系，计算即可判断C、D. 【详解】对于选项A：由关于的不等式的解集为，可得，故A正确； 对于选项B：由题意可得， 故，，则，故B错误； 对于选项C：，由，故，即， 所以不等式的解集为，故C错误； 对于选项D：， 由，则该不等式解集为，故D正确. 9．（25-26高一下·浙江·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】由不等式的解集的特征可得A；利用解集可得、、间关系，即可得B；利用、、间关系，计算可得C、D. 【详解】对A：由关于的不等式的解集为，可得，故A正确； 对B：由题意可得， 故，，则，故B错误； 对C：，由，故，即，故C正确； 对D：， 由，则该不等式解集为，故D正确. 10．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ） A．若，则且 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则关于的不等式的解集为或 D．若为常数，且，则的最小值为8 【答案】ACD 【详解】A选项，若，即一元二次不等式无解，则一元二次不等式恒成立，且，A正确； B选项，令，则、、， ∴不等式可转化为，当时，得，其解集不等于原来的，故B错误； C选项，若，则，且和是一元二次方程的两根,且，， 所以，, 把代入可得， 因为,所以不等式的解集为或，C正确； D选项，因为，所以开口向上且，即， 又，得,把代入得, 令，则， ，当且仅当等号成立， 所以的最小值为，D正确. 三、填空题 11．（26-27高一上·全国·课堂例题）若关于的不等式的非空解集为，则________． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系即可求解． 【详解】由不等式的非空解集为， 则二次函数开口向上，且和是一元二次方程的两个不相等的实数根， 即，且，整理得， 解得，或， 当时，，不符合题意，所以． 12．（2026高一·全国·专题练习）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【详解】该全称命题“”为假命题， 则其否定“”为真命题，即方程在上有解， 的取值范围就是函数在上的值域. ，这是开口向上，对称轴为的二次函数，. 则最小值在处取得：；最大值在端点处取得：. 因此的值域为，即. 13．（2026高一·全国·专题练习）已知方程的两不相等实根小于2，求实数的取值范围_______． 【答案】 【分析】由二次函数的图像性质求解 【详解】令，对称轴为； 根据题意，作函数的图象： 则，解不等式组得. 14．（2026高一·全国·专题练习）若不等式组的解集中所含整数解只有，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】由，得，得或， 所以的解集为，由，得， 当，即时，得，所以的解集为，此解集中不含，不符合题意；当，即时，化为， 所以的解集为空集，不符合题意； 当，即时，得，所以的解集为， 因为不等式组的解集中所含整数解只有， 结合数轴分析可知，得． 四、解答题 15．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知关于方程 (1)若方程有两个根且都大于，求实数的取值范围 (2)若方程至少有一个正根，求实数的取值范围 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设二次函数，开口向上且对称轴. 则， 由方程有两个实根且都大于，所以， ，解得. 因此，实数的取值范围为. （2）若方程至少有一个正根，用补集法：即方程没有正根，也等价于方程无实根或所有实根非正. 若方程无根，则，解得； 若方程所有实根非正，则，，解得. 综上，方程无根或方程所有实根非正，则或，即. 因此，根据补集思想，方程至少有一个正根，则. 所以方程至少有一个正根，实数的取值范围 16．（25-26高一下·天津河北·开学考试）设． (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2)当时，解集为；时，解集为；当时，解集为 【详解】（1）解：因为对一切实数恒成立， 所以对一切实数恒成立，所以，当时，，不满足成立；当时，需满足，即，解得，综上，实数的取值范围为 （2）解：， ，因为的实数根为， 所以，当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为. 综上，时，解集为；时，解集为；当时，解集为. 17．（24-25高三上·安徽铜陵·阶段检测）美国国家海洋和大气管理局最近发布的一则预测引发全球关注：预计在年月，拉尼娜现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆转全球变暖的趋势.某企业欲生产一款防暑降温套装，其每月的成本(单位：万元)由两部分构成： ①固定成本(与生产产品的数量无关)：万元； ②生产所需材料成本：万元，(单位：万套)为每月生产产品的套数． (1)该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？ (2)若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该套装每月的利润不低于万元． 【答案】(1)万套时，每万套的最低成本为12万元； (2)该企业至少要生产30万套，才能确保该套装每月的利润不低于万元. （2）由题设得到，解一元二次不等式求解，即可得结论. 【详解】（1）由题设，平均每万套的成本， 当且仅当万套时取等号，平均每万套的成本最低为12万元/万套； （2）由题设，该套装每月的利润为， 所以，可得， 所以，即该企业至少要生产30万套，才能确保该套装每月的利润不低于万元. 18．（25-26高一上·山东德州·期末）已知关于x不等式． (1)若时，求不等式的解集； (2)若，解这个关于的不等式； (3)，恒成立，求实数a的取值范围. 【详解】（1）当时，则， 即，因式分解可得：， 所以，则不等式的解集为. （2）当时，则为，即， 当时，则， 因式分解可得：， 当时，有，则此时不等式解集为， 当时，等价于， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为空集， 综上所述，当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. （3）因为， 所以， 因为， 则，则题目等价于，， 令，因为，所以， 则， 由基本不等式，当且仅当时取等号， 因此的最大值为，即， 所以实数a的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $