专题12 相似三角形的判定与性质及应用期中复习讲义 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

专题12相似三角形的判定与性质及应用期中复习讲义 知识点 01相似三角形预备定理（由平行线直接判定相似，教材先行出现） 文字表述：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 几何语言 若DE∥BC，则 △ADE∽△ABC。 A 型（正 A 模型）：直线截三角形两条边，在三角形内部； 8 字型（X 型）：直线截三角形两条边的延长线。 ⚠️重要说明： 这条定理是最先学习的相似判定方法，是推导后面 AA、SAS、SSS 判定的理论基础；本质依靠平行线产生同位角相等（AA）证明相似。 知识点02：三大相似判定定理 1.两角对应相等（AA） 两角分别相等的两个三角形相似。 几何语言：若 ∠A=∠A′，∠B=∠B′，则 △ABC∽△A′B′C′。 2.三边对应成比例（SSS） 三边成比例的两个三角形相似。 几何语言：若​，则 △ABC∽△A′B′C′。 3.两边成比例且夹角相等（SAS） 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 几何语言：若 ​，且 ∠A=∠A′，则 △ABC∽△A′B′C′。 知识点 03 直角三角形相似特殊判定（拓展） 通用方法：任意一组锐角相等（AA）；两条直角边对应成比例（SAS）；三边对应成比例（SSS）均可判定。 斜边、直角边型：一组直角三角形斜边与一条直角边对应成比例，则两个直角三角形相似。 几何语言：在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，若  ，则 Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ 知识点 04 相似判定与全等判定类比表 知识点05：相似三角形性质 1.相似三角形的对应角相等，对应边的比相等。 2.相似三角形中的重要线段的比等于相似比。 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比。 要点：要特别注意 “对应” 两个字，在应用时，要注意找准对应线段。 3.相似三角形周长的比等于相似比。 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的。 知识点 06：相似三角形的应用 1.测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用 “在同一时刻物高与影长的比例相等” 的原理解决。 要点：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法　 影子测量法　 手臂测量法　 标杆测量法 2.测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段 DC、BD、CE 的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出 AB 的长。 2．如乙图所示，可先测 AC、DC 及 DE 的长，再根据相似三角形的性质计算 AB 的长。 要点： 比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺 = 图上距离 / 实际距离； 太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比； 视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）； 4．仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角。 知识点07解题通用思路 1.识图：找到目标两个三角形； 2.找条件：优先观察有无平行线（直接使用预备定理）；若无平行线，寻找等角或边比例； 3.选用合适判定证明相似； 4.利用相似性质列出比例式； 5.设未知数，解方程求出线段长度。 1、遗漏图形中的隐含等角条件 易错提醒：证明三角形相似，要主动查找图中的公共角、对顶角、平行线所产生的相等角；忽略这些隐含条件，会造成证明条件不足。 2、两角相等忽略边角的对应关系 易错提醒：运用两角对应相等判定相似，必须保证两组角分别对应；仅仅找到两个角相等，位置不对应，不能判定两个三角形相似。 3、两边成比例但误用非夹角证相似 易错提醒：当两条边对应成比例时，必须是这两条边的夹角相等，才可判定相似；若是非夹角相等，即SSA情形，不能判定相似。 4、找错相似三角形的对应边 易错提醒：相似三角形遵循“等角对对应边”的规则，不能依靠视觉上边的长短、图形摆放位置去随意匹配对应边。 5、混淆对应线段之比与面积之比 易错提醒：相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线、周长的比等于相似比；上述线段的比值不是相似比的平方。 6、周长、面积比例公式混用 易错提醒：相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；已知面积比反求相似比，一定要做开平方运算。 7、面积比公式随意用于非相似局部图形 易错提醒：面积比等于相似比的平方，只适用于两个相似的完整三角形；不可直接套用在拆分之后的局部图形上。 8、实际问题中识别错相似模型 易错提醒：在测高、测距类题目中，依靠平行、垂直、水平面来锁定相似三角形；找错三角形，所列的比例关系式就会出错。 9、影长计算缺少同一时刻的前提 易错提醒：利用影子长度建立比例，必须满足同一时刻、同一地面，太阳光光线互相平行；不同时刻不能建立比例等式。 10、列比例式颠倒对应边的顺序 易错提醒：书写比例式时，要保持两个三角形对应边位置一致；对应顺序颠倒，会造成计算结果错误。 题型 考察方向 难度 题型一 利用平行判定相似 ★★ 题型二 利用两角对应相等判定相似 ★★ 题型三 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 ★★ 题型四 利用三边对应成比例判定相似 ★★ 题型五 相似三角形的判定综合 ★★★ 题型六 选择或补充条件使两个三角形相似 ★★ 题型七 利用相似三角形的性质求解 ★★ 题型八 利用相似求坐标 ★★★ 题型九 在网格中画与已知三角形相似的三角形 ★★ 题型十 相似三角形 —— 动点问题 ★★★★ 题型十一 相似三角形实际应用 ★★★ 题型十二 相似三角形的判定与性质综合 ★★★★ 题型十三 重心的概念 ★ 题型十四 重心的有关性质 ★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 利用平行判定相似 1．如图，，，则图中相似三角形有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定．根据平行线的性质，得出同位角相等，即可得出，，故，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ，， ∴， 故选：B 2．如图是一张三角形纸片，沿边上的中线折叠，点落在点处，与相交于点，若与垂直，且，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变换—折叠，三角形中位线的性质、三角形全等的判定及性质、三角形相似的判定及性质，熟练掌握以上知识点、会添加适当的辅助线是解题的关键．取的中点，连接交于点，构造为的中位线， 得到，，即，，得出，由折叠的性质得，进而证明，得出，，由，得，即，推出，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，取的中点，作射线交于点， 为的中线， 为的中点， 为的中点， ，， 与垂直，， ，， ， 三角形沿边上的中线折叠， ，，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为． 3．如图，点在的边的延长线上，连接分别交于F、G．图中相似的两个三角形共有（   ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定进行分析即可． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴，即，是一对特殊的相似， ∴相似的两个三角形共有6对． 题型二 利用两角对应相等判定相似 4．如图，在中，的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E．若，则图中的相似三角形共有（   ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质以及相似三角形的判定，综合运用以上知识是解题的关键．由角平分线的定义和平行线性质以及已知条件，得到，，再判定相似的三角形即可． 【详解】解：∵的平分线交于点D， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴一共有4对相似三角形， 故选：A． 5．如图，点、分别在的边、上，且，则图中相似三角形有______对． 【答案】4/四 【分析】本题考查相似的判定，熟练掌握相似的判定条件是解题的关键． 是、、的公共角，然后根据所给的相等的角，可找出图中的相似三角形； 再根据，可知，可得出，即可判定出，看共有几组即可． 【详解】解：∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴图中相似三角形有4对． 故答案为：4． 6．在和中，，下列条件不能判定这两个三角形相似的是（   ） A．， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定方法对各选项进行判断即可． 【详解】解：选项：，，， ， ， ； 选项：，， ； 选项：有一组角相等且两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似； 选项：，，， ， ，，， ， ， ， ． 题型三 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 7．如图，已知．下列图形中与相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用三边对应成比例的两个三角形相似，即可得出结果. 【详解】解：的顶角度数未知，故C,D选项中的三角形不一定与相似； ∵， 故A选项中的三角形与不相似； ∵， 故B选项中的三角形与相似. 8．在与中，有下列条件：①；②；③；④．如果从中任取两个条件组成一组，那么能判定的共有_______组． 【答案】3 【分析】枚举所有任取两个条件的组合，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：从4个条件中任取两个，共得到6种组合，逐一判断如下： 取①②， ∵，， ∴，三边对应成比例，可判定； 取①③，两边对应成比例，但相等的角不是这两边的夹角，无法判定相似； 取①④，两边对应成比例，但相等的角不是这两边的夹角，无法判定相似； 取②③，两边对应成比例，但相等的角不是这两边的夹角，无法判定相似； 取②④， ∵，， ∴两边对应成比例且夹角相等，可判定； 取③④， ∵，， ∴两角对应相等，可判定； 综上，能判定相似的共有3组． 9．如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（   ） A．平分 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在和中，， ．平分，则，则，故该选项不符合题意； ．，则故该选项不符合题意； ．不是和对应的比例，不能判断和相似，故该选项符合题意； ．即，则，故该选项不符合题意； 题型四 利用三边对应成比例判定相似 10．将的各边长作如下变化，得到的新三角形与相似的是（   ） A．各边长都加2 B．各边长都减2 C．各边长都乘2 D．各边长都平方 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：的边长分为， 则，，， 故选：C． 11．如图，在四边形中，．若，则的度数是_________． 【答案】/度 【分析】本题考查了相似三角形的定义及判定相似三角形的性质，解题的关键是掌握其性质． 利用三边成比例证明，可得的度数． 【详解】解：， ， ， ． ． 故答案为： ． 12．如图，在边长为1的正方形网格中，所有三角形的顶点都在格点上，下列选项中的三角形与相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理求得三角形的三边的长，然后利用三边对应成比例的两个三角形相似，判断解答即可． 【详解】解：在边长为1的正方形网格中，所有三角形的顶点都在格点上， ，，， A. 三角形的最小边的长为，较长的边长为，最长的边长为， 此时，三边不成比例，此三角形与不相似； B. 三角形的最小边的长为，较长的边长为3，最长的边长为， 此时，三边不成比例，此三角形与不相似； C. 三角形的最小边的长为，较长的边长为4，最长的边长为， 此时， 故 三边对应成比例，此三角形与相似； D. 三角形的最小边的长为，较长的边长为，最长的边长为4，此时， 三边不成比例，此三角形与不相似． 题型五 相似三角形的判定综合 13．下列说法中，错误的是（    ） A．顶角为的两个等腰三角形相似 B．一个锐角为的两个直角三角形相似 C．一个直角三角形两边长分别是12和8，另一个直角三角形两边长分别是9和6，则这两个直角三角形相似 D．两个等边三角形一定相似 【答案】C 【分析】本题考查三角形相似的判定条件，选项A和B通过两组角对应相等判断相似，正确；选项D等边三角形必然相似，正确；选项C中直角三角形两边成比例但对应关系不确定，可能不相似． 【详解】解：A：∵顶角为的等腰三角形，底角均为， ∴两个等腰三角形的三个内角对应相等，故两三角形相似，原说法正确，不符合题意． B：∵两个直角三角形的一锐角都为， ∴两个直角三角形的两个角对应相等，两三角形相似，原说法正确，不符合题意． C：设第一个直角三角形两边为12和8，第二个为9和6，若第一个直角三角形的直角边为12和8，斜边为；第二个直角三角形的斜边为9，一条直角边为6，另一直角边为，此时，故两三角形此时不相似，原说法错误，符合题意； D：∵等边三角形三角均为且三边成比例， ∴两个等边三角形一定相似，原说法正确，不符合题意． 故选：C． 14．如图，点E是的边延长线上的一点，和交于点G，是的对角线，则图中相似三角形共有________对． 【答案】4 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定定理． 【详解】解：∵， ∴①． 又∵， ∴②，    ∴③． 由平行四边形的性质可得④， 共有4对相似三角形． 故答案为：4． 15．如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，则图中相似而不全等的三角形的对数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据三角形相似的判定定理，结合等腰直角三角形的性质解答即可． 本题考查了三角形相似的判定，等腰直角三角形的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得和是两个全等的等腰直角三角形，， ， ， ， ， 又， ， ， 故有3对， 故选：B． 16．如图，已知在和中，，，，现在用一条直线将分割成两个小三角形，分别记作，，用另一条直线将也分割成两个小三角形，分别记作，．那么以下说法不正确的是（     ） A．当两条分割线分别经过点A、D时，存在与相似且与相似 B．当两条分割线分别经过点B、E时，存在与相似且与相似 C．当两条分割线分别经过点A、D时，存在与相似且与相似 D．当两条分割线分别经过点B、E时，存在与相似且与相似 【答案】C 【分析】首先计算两个三角形的各内角度数， 为等腰直角三角形， 为含 角的直角三角形，然后根据相似三角形的判定定理，分别分析四个选项中分割后的三角形角度关系，判断是否存在相似情况即可． 【详解】解：在中，，则， 在中，，则 ， 对于A选项：作，则角度为，角度为， 作，则角度为，角度为， 此时且，故说法A正确； 对于B选项：作，则角度为，角度为， 作，则角度为，角度为， 此时且，故说法 B 正确； 对于C选项：当分割线经过点A时，设交于点M，则为，为， ， 是直角三角形， ， ， 是钝角三角形， 直角三角形与钝角三角形不可能相似， 不存在与相似； 同理，当分割线经过点D时，是直角三角形，是钝角三角形，不存在与相似，说法C不正确； 对于D选项：当分割线经过点B且时，均为等腰直角三角形， ， 当分割线经过点E且时，均为含 的直角三角形， ，故说法D正确 ． 题型六 选择或补充条件使两个三角形相似 17．在中，，分别是，上的点，连，依据下列条件不能判断与相似的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握三角形相似的判定方法是解题的关键． 由已知及三角形相似的判定方法，对每个选项分别分析、判断解答出即可． 【详解】解：A.当，则，，可以利用“两组角对应相等，两三角形相似”，即，故不符合题意； B. 当，又有，可以利用“两组角对应相等，两三角形相似”，即，故不符合题意； C. 当，又有，可以利用“两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似”，即，故不符合题意； D. 当，无法判定，故符合题意． 故选：D． 18．如图，中，点E，F分别是上的点，连接，请你添加一个条件_______，使得． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由条件可知和有公共角，根据三角形相似的判定方法可再添加一组角对应相等，即可使得． 【详解】解：在和中，， 添加一组对应角相等可得，添加条件为：或； 添加和的两边对应成比例，可得，添加条件为； 因此添加的条件可以是：或或． 19．在和中，，，根据下列条件，一定能判断和相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合相似三角形的判定定理分析各选项即可． 【详解】解：如图， A、，， ， 不能判定和相似，不符合题意； B、，和不是对应边，不能判定和相似，不符合题意； C、，和不是对应角，不能判定和相似，不符合题意； D、，， ， 又， ，符合题意． 题型七 利用相似三角形的性质求解 20．如图所示，在中，，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，再证明，由相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．已知，和是它们对应的角平分线，和是它们对应的高线，若，，则的值为_______． 【答案】4 【分析】根据相似三角形对应角平分线的比和对应高线的比都等于相似比，列出比例式即可求解 【详解】解：∵ ，和是对应角平分线，和是对应高线， 由相似三角形对应角平分线的比等于相似比，对应高线的比也等于相似比，可得 ∵，， 22．如图，在中，，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平行线证两三角形相似，根据面积比等于相似比平方得到大小三角形面积之比，用大三角形面积减去小三角形面积得到四边形面积，进而求出两者面积比． 【详解】解：， ， ， ， ， 设，则， ， ． 23．一个三角形框架模型的边长分别为，，，工人师傅要利用两根和的铁丝做一个与模型相似的三角形，要求以其中一根铁丝为一边，另一根上截出两段（允许有余料）作为另外两边，那么工人师傅做的这个三角形的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形对应边成比例的性质，以铁丝为最长边；以铁丝为中等边；以铁丝为最短边长；以铁丝为一边时，同理验证即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，以铁丝为最长边，设中等边长为，短边长为， ∴， 则，， ∵， ∴符合题意，周长为：， 以铁丝为中等边，设最长边为，短边长为， ∴， 则，， ∵， ∴不符合题意； 以铁丝为最短边，设最长边为，中等边长为， ∴， 则，， ∵， ∴不符合题意； 以铁丝为最短边，设最长边为，中等边长为， ∴， 则，， ∵， ∴不符合题意； 以铁丝为中等边，设最长边为，短边长为， ∴， 则，， ∵， ∴不符合题意； 以铁丝为最长边，设中等边长为，短边长为， ∴， 则，， ∵， ∴不符合题意， 故选：． 题型八 利用相似求坐标 24．如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为___________． 【答案】 【分析】过点B作BC⊥OA于点C，由题意易得OA=10，然后由勾股定理可得，进而可得△BOC∽△AOB，设OC=x，则有BC=2x，最后利用勾股定理可求解． 【详解】解：过点B作BC⊥OA于点C，如图所示： ∵∠B=∠BCO=90°，∠BOA=∠BOA， ∴△BOC∽△AOB， ∵点， ∴OA=10， ∵， ∴， ∴AB=2OB， ∴BC=2OC， ∴在Rt△BOC中， ，即， ∴， ∴BC=4， ∴点B的坐标为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 25．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上，时，点C的坐标是______． 【答案】 【分析】先通过条件证明，然后根据相似三角形对应边成比例即可求出CO，从而得到点C的坐标． 【详解】解：如图， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴, 由点的坐标为，点的坐标为，可知AO=4，BO=2， ∴，即CO=1， ∴点C的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，坐标系内点的坐标，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 26．如图，是小芳在制作“简易视力表”时的两个成相似的“E”字，若把这两个“E”字放在图中的平面直角坐标系内，会发现它们的对应点B，G和对应点C，H的连线刚好经过原点O，其中点C，H均在x轴上．若，点G的坐标是，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形的性质及平面直角坐标系中坐标的变化规律．先根据已知条件得出的比值，在平面直角坐标系中，根据点G的坐标得出其横纵坐标的值，由题意易证得，从而得到相关线段的长度，进而求得点B的横纵坐标并最终求出点B的坐标． 【详解】解：∵， ∴， 又∵点， ∴，， 由题意知，， ∴， ∴， ∴，即，，即， ∴点B坐标为， 故选：D． 题型九 在网格中画与已知三角形相似的三角形 27．如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使，则点R应是甲、丙、丁四点中的________． 【答案】丙 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似．（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．（3）三边对应成比例的两个三角形相似． 令每个小正方形的边长为1，分别求出的边长，从而根据相似三角形的对应边成比例即可找到点R对应的位置． 【详解】解：令每个小正方形的边长为1， ∴， 要使， ∴，即 ∴ ∵点P到甲的距离为，点P到乙的距离为，点P到丙的距离为，点P到丁的距离为， ∴点R应是甲、丙、丁四点中的丙． 故答案为：丙． 28．如图，是的方格，已知4个格点，，，，点也在格点上，若以，，为顶点的三角形与相似，则符合条件的点共有________个． 【答案】6 【分析】根据网格结构得出为直角三角形，且两直角边，，比值为．由相似三角形的性质可知也应为直角三角形，且两直角边之比为．已知且在竖直格线上，分和两种情况讨论，结合分别对应短直角边或长直角边计算或的长度，确定点的位置并验证是否在网格范围内． 【详解】如图所示： 设小正方形的边长为，在中，，，，． ∵与相似， ∴是直角三角形，且两直角边之比为． 由图可知，在同一条竖直格线上，．若，则在以为直径的圆上，此时为等腰直角三角形，与不相似， 故排除． ∴直角顶点为或． 当时，，即在水平格线上．若对应，则， 解得，点在左侧个单位处（右侧超出网格），符合题意． 若对应，则， 解得，点在左侧或右侧个单位处，均符合题意． 当时，，即在水平格线上．若对应，则，解得，点在左侧个单位处（右侧超出网格），符合题意． 若对应，则， 解得，点在左侧或右侧个单位处，均符合题意． 综上所述，符合条件的点E共有个． 29．如图，在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点，也是小正方形的顶点，从点中选取三个点所构成的三角形与相似，那么这个三角形是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由正方形的性质得出，由勾股定理得，证出，得出即可． 【详解】解：与相似的是；理由如下： 连接，如图所示： 则， 、和均找不出的角，不可能与相似， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴． 题型十 相似三角形 —— 动点问题 30．如图，在中，，，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为，当________s时，以A、P、Q为顶点的三角形与相似． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形的动点问题，根据路程速度时间即可表示出的长度；再分两种情况进行讨论，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：根据题意可得：，， ∴， ∵，为顶点的三角形与相似， ∴或， ∴或， ∴或， ∴或时，以、、为顶点的三角形与相似． 故答案为：或． 31．如图，在中，已知，动点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点运动．当点到达终点时，点也停止运动，设运动的时间为秒．若是的中点，当时，的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查动点问题、相似三角形，利用未知数t表示线段的长度是解题的关键． 首先根据运动时间表示出，，的长度，再利用垂直得到三角形相似，即可求解的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵O为的中点， ∴， 如图，当时， ， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴当时，的值为； 故答案为：． 32．如图，中，，，，一动点从出发沿着方向以的速度运动，另一动点从出发沿着方向以的速度运动，、两点同时出发，运动时间为；当与相似时，运动时间的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形判定与性质的应用，运动时间为，则得到，，当与相似时，有或，列方程即可得到结论．利用分类讨论及方程的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：∵运动时间为，则，， ∵，，， ∴当与相似时，有或， 当时，则有， ∴， 解得：； 当时，则有， ∴， 解得：； 综上所述，当点、同时运动秒或秒后，与相似． 故选：D． 33．如图，在钝角三角形中，，，动点从点出发沿以的速度向点运动，同时动点从点出发沿以的速度向点运动，当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间约是（     ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【详解】解：设运动时，以，，为顶点的三角形与相似，则，，． ①当点与点对应时，有， ，， ， ， ． ②当点与点对应时，有， ，， ， ， ． 当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间约是或． 题型十一 相似三角形实际应用 34．如图，在同一时刻，身高的小丽在阳光下的影长为，一棵大树的影长为，则这棵大树的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设这棵树的高度为，根据“同一时刻，影长之比等于对应物体高度之比”可得，求解即可获得答案． 【详解】解：设这棵树的高度为，根据题意可得： ， 解得， 即这棵树的高度是． 35．如图，小红把梯子斜靠在墙壁上，梯脚距墙米，小红上了两节梯子到点，此时点距墙米，长米，则梯子的长为__________米． 【答案】6 【分析】根据梯子、墙、地面三者构成的直角三角形与梯子、墙、梯上点D三者构成的直角三角形相似，利用相似三角形对应边成比例解答即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， 设梯子的长为x米， ，，， ， ，即梯子的长度为6米． 36．如图，木棒竖直举起靠近墙面，打开手机手电筒P照射木棒（点P在的垂直平分线上且位于右侧），在墙面上形成投影，已知，，此时点P到的距离为，若木棒不动，水平移动手机手电筒P使投影的长度缩短，则点P相对于木棒的移动方式（   ） A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移 【答案】B 【分析】过点P作于点F，交于点E，证明得，即可求出，移动后过点作于点，交于点，，同理，则，即，求出，即可求解． 【详解】如图，过点P作于点F，交于点E， ∵， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 移动后如图，过点作于点，交于点， ∵投影的长度缩短了， ∴， 同理， ∴，即， ∴， 经检验，是原分式方程的根， ∴点P相对于木棒向右平移了． 题型十二 相似三角形的判定与性质综合 37．小孔成像是利用光的直线传播实现实物投影的一种方法．如图，蜡烛（竖直放置）燃烧的火焰经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．若，小孔O到的距离为，小孔O到像的距离为，则火焰的高为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴，即， 解得：． 38．如图，在中，，，，…，照这样继续下去，，且，，，…，，则______． 【答案】 【分析】利用三角形相似的性质和归纳一般规律即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ． ， ． 同理可得， ，…， 以此类推，可得， ． 39．如图，中，，，点为的中点，连接，将沿翻折，使点落在同一平面内的点处，连接、，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交于F，过E作于G，证明，求出，则，分别在和中，根据双勾股定理得出，求出，则，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：延长交于F，过E作于G， ∵，点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵沿翻折，使落在同一平面内的点处， ∴，，， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵，即， 又， ∴， ∴到的距离为，即为， ∴． 题型十三 重心的概念 40．如图，点O为的重心，连接并延长交于点D，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】三角形的重心是三角形三条中线的交点，据此即可获得答案． 【详解】解：∵点O是的重心，连接并延长交于点D， ∴是的中线， ∴． 41．如图，有一块质地均匀的的长方形硬纸片上，沿实线剪下一个三角形，在三角形硬纸片上选一点，在这个点处用细绳将其提起来，如果该三角形纸片处于平衡状态，那么这一点是(     ) A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】物体处于平衡状态被提起，说明提起的点是三角形的重心，即三条中线的交点，判断四个点中哪个点在中线上即可． 【详解】解：如图，由网格特点可得，点N是的中点，则是的中线， ∴的重心在上， ∴重心是点， 即在三角形硬纸片上选点C，在这个点处用细绳将其提起来，该三角形纸片处于平衡状态． 42．如图为货车长方体货箱的平面示意图，货箱长为6.8米，高始终与水平地面垂直．现有一较重但分布均匀的正方体货物，工人师傅将货物沿坡面推送至重心处在适当位置时，无需借助工具即可将货物轻松平放进货箱．此时，正方体货物点H到直线的距离为1米，则正方体货物点G到直线的距离为____米． 【答案】5.8 【分析】本题主要考查重心的概念及全等三角形的性质与判定，熟练掌握重心的概念及全等三角形的性质与判定是解题的关键；分别过点H、G作，垂足为点F、P，连接，交于点O，则有，由重心可知，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：分别过点H、G作，垂足为点F、P，连接，交于点O，如图所示： ∴， 根据重心的定义可知：正方形的对角线的交点即为重心，即为图中点O， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意可知， ∴正方体货物点G到直线的距离为； 故答案为5.8． 题型十四 重心的有关性质 43．在中，边上的中线等于，那么这个三角形的重心到顶点的距离是________． 【答案】4 【分析】根据三角形重心的性质，三角形的重心将中线分为长度比为的两段，重心到顶点的距离为对应中线长度的，代入中线的长度即可计算得到结果． 【详解】解：是的重心，是边上的中线， ， ， ． 44．如果点是的重心，是边的中点，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长至点，使得，连接，连接并延长交于点，证明，得出，，从而可得，再证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接，连接并延长交于点， ∵点是的重心， ∴为的中点， ∴， ∵是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 45．两个等腰直角三角形和的位置如图所示，点、、和点、、分别在一直线上，，，，点、分别是、的重心，联结，那么______． 【答案】 【分析】根据等腰直角三角形的性质可求出，再由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，然后根据重心到顶点的距离等于到对边中点距离的2倍即可求解． 【详解】解：联结并延长交于，联结并延长交于， ∵等腰直角三角形和， ∴，， ∴， ∵点、分别是、的重心， ∴，，，，， ∴，即、、三点共线， ∵等腰直角三角形和， ∴，， ∴. 解答题 1．已知：如图，，垂足为B，，垂足为D，与相交于点O．求证：． 【答案】证明：， ， ． 【分析】根据“平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似”，证明即可． 【详解】略 2．已知：如图，在中，，，垂足为D． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 又∵， ∴； (2)证明：∵，， ∴． 【详解】（1）略 （2）略 3．综合与实践 实验操作 (1)如图1，点O为中点，点B在上方，连接，． 尺规作图：用无刻度的直尺和圆规，作点B关于点O的对称点D（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明四边形为平行四边形； 拓展应用 (2)如图2，延长至点F，使得，当点B在直线的上方运动，直线的上方有异于点B的动点E，连接，，，．若，求证：． 【答案】(1) 解：如图，点D即为所求， (2)证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴． 【分析】（1）连接并延长，在的延长线上截取，即可得点B关于点O的对称点D，连接，，进而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证； （2）根据得出，，根据已知，可得． 【详解】（1）解：如图，连接并延长，以点为圆心以为半径画弧，交的延长线与点， ∵点O为中点， ∴， 根据作图可得， ∴四边形为平行四边形． （2）略 【点睛】本题考查尺规作图，平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定． 4．如图，在和中，已知，，，． (1)求证：； (2)求与的长． 【答案】(1)证明：，，，， ． 设每小格的长度为，则，， ， ， ； (2)， 【分析】（1）设每小格的长度为，勾股定理求出的长，进而得到，即可得出结论； （2）根据网格特点和勾股定理进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：设每小格的长度为，则，又， ，解得， 由（1）知，， ；. 5．一数学兴趣小组为了测量灯柱的高度，设计了以下三个方案： 方案一：如图1，在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动（即）放在点F处．从点F处向后退到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得眼睛距地面的高度为，已知点在同一水平线上，且．（平面镜的大小忽略不计） 方案二：如图2，利用标杆测量灯柱的高度．已知标杆高，测得． 方案三：如图3，利用三角板的直角边保持水平，并且边与点M在同一直线上．已知两条边，测得边离地面距离． 三种方案中，方案________不可行，请选择可行的方案求出灯柱的高度． 【答案】二、三， 选方案一，灯柱高12米 根据题意可得，， ， ， ． 根据题意可得，， ∴， ， ， ， 解得， 米． 即灯柱高12米． 【分析】由相似三角形的知识可知方案二中缺少边长的条件，故方案二不可行；方案三中缺少边长的条件，故方案三不可行；选方案一，根据光的反射角相等，以及，进而证明，同理可得，根据方案一的数据计算即可． 【详解】略 6．已知：如图，在中，，点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为，解答下列问题： (1)当t为何值时，与相似？ (2)是否存在某一时刻，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)是否存在某一时刻，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当或时，与相似 (2)存在，当时， (3)存在，当或或时，为等腰三角形 【分析】（1）由勾股定理求出，再分为当时及当时，两种情况求解即可； （2）作于点，首先证明，可表示出，由，可得，代入面积公式即可列出方程，从而得出答案； （3）分，，三种情形，分别画出图形，进行计算即可解决问题． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得： ， 由题意得，， 当时， 有， 即， 解得：， 当时， 有， 即， 解得：， 当t为或时，与相似； （2）解：存在， 如图，作于点， ，， ， ， 即， 解得：， ， ， ， ∵ ， 解得：， 当时，； （3）解：存在，当时， ， ， 当时，作于点， ，， ， ， 即， ， ∵， ， ， 解得：； 当时， 作于点， ， ， ， 即， ， ∵，， ， ， 解得：， 当或或时，为等腰三角形． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12相似三角形的判定与性质及应用期中复习讲义 知识点 01相似三角形预备定理（由平行线直接判定相似，教材先行出现） 文字表述：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 几何语言 若DE∥BC，则 △ADE∽△ABC。 A 型（正 A 模型）：直线截三角形两条边，在三角形内部； 8 字型（X 型）：直线截三角形两条边的延长线。 ⚠️重要说明： 这条定理是最先学习的相似判定方法，是推导后面 AA、SAS、SSS 判定的理论基础；本质依靠平行线产生同位角相等（AA）证明相似。 知识点02：三大相似判定定理 1.两角对应相等（AA） 两角分别相等的两个三角形相似。 几何语言：若 ∠A=∠A′，∠B=∠B′，则 △ABC∽△A′B′C′。 2.三边对应成比例（SSS） 三边成比例的两个三角形相似。 几何语言：若​，则 △ABC∽△A′B′C′。 3.两边成比例且夹角相等（SAS） 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 几何语言：若 ​，且 ∠A=∠A′，则 △ABC∽△A′B′C′。 知识点 03 直角三角形相似特殊判定（拓展） 通用方法：任意一组锐角相等（AA）；两条直角边对应成比例（SAS）；三边对应成比例（SSS）均可判定。 斜边、直角边型：一组直角三角形斜边与一条直角边对应成比例，则两个直角三角形相似。 几何语言：在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，若  ，则 Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ 知识点 04 相似判定与全等判定类比表 知识点05：相似三角形性质 1.相似三角形的对应角相等，对应边的比相等。 2.相似三角形中的重要线段的比等于相似比。 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比。 要点：要特别注意 “对应” 两个字，在应用时，要注意找准对应线段。 3.相似三角形周长的比等于相似比。 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的。 知识点 06：相似三角形的应用 1.测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用 “在同一时刻物高与影长的比例相等” 的原理解决。 要点：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法　 影子测量法　 手臂测量法　 标杆测量法 2.测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段 DC、BD、CE 的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出 AB 的长。 2．如乙图所示，可先测 AC、DC 及 DE 的长，再根据相似三角形的性质计算 AB 的长。 要点： 比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺 = 图上距离 / 实际距离； 太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比； 视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）； 4．仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角。 知识点07解题通用思路 1.识图：找到目标两个三角形； 2.找条件：优先观察有无平行线（直接使用预备定理）；若无平行线，寻找等角或边比例； 3.选用合适判定证明相似； 4.利用相似性质列出比例式； 5.设未知数，解方程求出线段长度。 1、遗漏图形中的隐含等角条件 易错提醒：证明三角形相似，要主动查找图中的公共角、对顶角、平行线所产生的相等角；忽略这些隐含条件，会造成证明条件不足。 2、两角相等忽略边角的对应关系 易错提醒：运用两角对应相等判定相似，必须保证两组角分别对应；仅仅找到两个角相等，位置不对应，不能判定两个三角形相似。 3、两边成比例但误用非夹角证相似 易错提醒：当两条边对应成比例时，必须是这两条边的夹角相等，才可判定相似；若是非夹角相等，即SSA情形，不能判定相似。 4、找错相似三角形的对应边 易错提醒：相似三角形遵循“等角对对应边”的规则，不能依靠视觉上边的长短、图形摆放位置去随意匹配对应边。 5、混淆对应线段之比与面积之比 易错提醒：相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线、周长的比等于相似比；上述线段的比值不是相似比的平方。 6、周长、面积比例公式混用 易错提醒：相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；已知面积比反求相似比，一定要做开平方运算。 7、面积比公式随意用于非相似局部图形 易错提醒：面积比等于相似比的平方，只适用于两个相似的完整三角形；不可直接套用在拆分之后的局部图形上。 8、实际问题中识别错相似模型 易错提醒：在测高、测距类题目中，依靠平行、垂直、水平面来锁定相似三角形；找错三角形，所列的比例关系式就会出错。 9、影长计算缺少同一时刻的前提 易错提醒：利用影子长度建立比例，必须满足同一时刻、同一地面，太阳光光线互相平行；不同时刻不能建立比例等式。 10、列比例式颠倒对应边的顺序 易错提醒：书写比例式时，要保持两个三角形对应边位置一致；对应顺序颠倒，会造成计算结果错误。 题型 考察方向 难度 题型一 利用平行判定相似 ★★ 题型二 利用两角对应相等判定相似 ★★ 题型三 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 ★★ 题型四 利用三边对应成比例判定相似 ★★ 题型五 相似三角形的判定综合 ★★★ 题型六 选择或补充条件使两个三角形相似 ★★ 题型七 利用相似三角形的性质求解 ★★ 题型八 利用相似求坐标 ★★★ 题型九 在网格中画与已知三角形相似的三角形 ★★ 题型十 相似三角形 —— 动点问题 ★★★★ 题型十一 相似三角形实际应用 ★★★ 题型十二 相似三角形的判定与性质综合 ★★★★ 题型十三 重心的概念 ★ 题型十四 重心的有关性质 ★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 利用平行判定相似 1．如图，，，则图中相似三角形有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 2．如图是一张三角形纸片，沿边上的中线折叠，点落在点处，与相交于点，若与垂直，且，则的长为___________． 3．如图，点在的边的延长线上，连接分别交于F、G．图中相似的两个三角形共有（   ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 题型二 利用两角对应相等判定相似 4．如图，在中，的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E．若，则图中的相似三角形共有（   ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 5．如图，点、分别在的边、上，且，则图中相似三角形有______对． 6．在和中，，下列条件不能判定这两个三角形相似的是（   ） A．， B．，，， C．，，， D．，，， 题型三 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 7．如图，已知．下列图形中与相似的是（     ） A． B． C． D． 8．在与中，有下列条件：①；②；③；④．如果从中任取两个条件组成一组，那么能判定的共有_______组． 9．如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（   ） A．平分 B． C． D． 题型四 利用三边对应成比例判定相似 10．将的各边长作如下变化，得到的新三角形与相似的是（   ） A．各边长都加2 B．各边长都减2 C．各边长都乘2 D．各边长都平方 11．如图，在四边形中，．若，则的度数是_________． 12．如图，在边长为1的正方形网格中，所有三角形的顶点都在格点上，下列选项中的三角形与相似的是（     ） A． B． C． D． 题型五 相似三角形的判定综合 13．下列说法中，错误的是（    ） A．顶角为的两个等腰三角形相似 B．一个锐角为的两个直角三角形相似 C．一个直角三角形两边长分别是12和8，另一个直角三角形两边长分别是9和6，则这两个直角三角形相似 D．两个等边三角形一定相似 14．如图，点E是的边延长线上的一点，和交于点G，是的对角线，则图中相似三角形共有________对． 15．如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，则图中相似而不全等的三角形的对数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 16．如图，已知在和中，，，，现在用一条直线将分割成两个小三角形，分别记作，，用另一条直线将也分割成两个小三角形，分别记作，．那么以下说法不正确的是（     ） A．当两条分割线分别经过点A、D时，存在与相似且与相似 B．当两条分割线分别经过点B、E时，存在与相似且与相似 C．当两条分割线分别经过点A、D时，存在与相似且与相似 D．当两条分割线分别经过点B、E时，存在与相似且与相似 题型六 选择或补充条件使两个三角形相似 17．在中，，分别是，上的点，连，依据下列条件不能判断与相似的是（    ）． A． B． C． D． 18．如图，中，点E，F分别是上的点，连接，请你添加一个条件_______，使得． 19．在和中，，，根据下列条件，一定能判断和相似的是（     ） A． B． C． D． 题型七 利用相似三角形的性质求解 20．如图所示，在中，，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 21．已知，和是它们对应的角平分线，和是它们对应的高线，若，，则的值为_______． 22．如图，在中，，，则等于（     ） A． B． C． D． 23．一个三角形框架模型的边长分别为，，，工人师傅要利用两根和的铁丝做一个与模型相似的三角形，要求以其中一根铁丝为一边，另一根上截出两段（允许有余料）作为另外两边，那么工人师傅做的这个三角形的周长是（   ） A． B． C． D． 题型八 利用相似求坐标 24．如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为___________． 25．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上，时，点C的坐标是______． 26．如图，是小芳在制作“简易视力表”时的两个成相似的“E”字，若把这两个“E”字放在图中的平面直角坐标系内，会发现它们的对应点B，G和对应点C，H的连线刚好经过原点O，其中点C，H均在x轴上．若，点G的坐标是，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型九 在网格中画与已知三角形相似的三角形 27．如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使，则点R应是甲、丙、丁四点中的________． 28．如图，是的方格，已知4个格点，，，，点也在格点上，若以，，为顶点的三角形与相似，则符合条件的点共有________个． 29．如图，在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点，也是小正方形的顶点，从点中选取三个点所构成的三角形与相似，那么这个三角形是（     ） A． B． C． D． 题型十 相似三角形 —— 动点问题 30．如图，在中，，，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为，当________s时，以A、P、Q为顶点的三角形与相似． 31．如图，在中，已知，动点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点运动．当点到达终点时，点也停止运动，设运动的时间为秒．若是的中点，当时，的值为________． 32．如图，中，，，，一动点从出发沿着方向以的速度运动，另一动点从出发沿着方向以的速度运动，、两点同时出发，运动时间为；当与相似时，运动时间的值为（    ） A． B． C．或 D．或 33．如图，在钝角三角形中，，，动点从点出发沿以的速度向点运动，同时动点从点出发沿以的速度向点运动，当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间约是（     ） A．或 B． C． D．或 题型十一 相似三角形实际应用 34．如图，在同一时刻，身高的小丽在阳光下的影长为，一棵大树的影长为，则这棵大树的高度为（   ） A． B． C． D． 35．如图，小红把梯子斜靠在墙壁上，梯脚距墙米，小红上了两节梯子到点，此时点距墙米，长米，则梯子的长为__________米． 36．如图，木棒竖直举起靠近墙面，打开手机手电筒P照射木棒（点P在的垂直平分线上且位于右侧），在墙面上形成投影，已知，，此时点P到的距离为，若木棒不动，水平移动手机手电筒P使投影的长度缩短，则点P相对于木棒的移动方式（   ） A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移 题型十二 相似三角形的判定与性质综合 37．小孔成像是利用光的直线传播实现实物投影的一种方法．如图，蜡烛（竖直放置）燃烧的火焰经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．若，小孔O到的距离为，小孔O到像的距离为，则火焰的高为（     ） A． B． C． D． 38．如图，在中，，，，…，照这样继续下去，，且，，，…，，则______． 39．如图，中，，，点为的中点，连接，将沿翻折，使点落在同一平面内的点处，连接、，则的面积为（     ） A． B． C． D． 题型十三 重心的概念 40．如图，点O为的重心，连接并延长交于点D，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 41．如图，有一块质地均匀的的长方形硬纸片上，沿实线剪下一个三角形，在三角形硬纸片上选一点，在这个点处用细绳将其提起来，如果该三角形纸片处于平衡状态，那么这一点是(     ) A．点 B．点 C．点 D．点 42．如图为货车长方体货箱的平面示意图，货箱长为6.8米，高始终与水平地面垂直．现有一较重但分布均匀的正方体货物，工人师傅将货物沿坡面推送至重心处在适当位置时，无需借助工具即可将货物轻松平放进货箱．此时，正方体货物点H到直线的距离为1米，则正方体货物点G到直线的距离为____米． 题型十四 重心的有关性质 43．在中，边上的中线等于，那么这个三角形的重心到顶点的距离是________． 44．如果点是的重心，是边的中点，那么的值为（     ） A． B． C． D． 45．两个等腰直角三角形和的位置如图所示，点、、和点、、分别在一直线上，，，，点、分别是、的重心，联结，那么______． 解答题 1．已知：如图，，垂足为B，，垂足为D，与相交于点O．求证：． 2．已知：如图，在中，，，垂足为D． (1)求证：． (2)求证：． 3．综合与实践 实验操作 (1)如图1，点O为中点，点B在上方，连接，． 尺规作图：用无刻度的直尺和圆规，作点B关于点O的对称点D（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明四边形为平行四边形； 拓展应用 (2)如图2，延长至点F，使得，当点B在直线的上方运动，直线的上方有异于点B的动点E，连接，，，．若，求证：． 4．如图，在和中，已知，，，． (1)求证：； (2)求与的长． 5．一数学兴趣小组为了测量灯柱的高度，设计了以下三个方案： 方案一：如图1，在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动（即）放在点F处．从点F处向后退到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得眼睛距地面的高度为，已知点在同一水平线上，且．（平面镜的大小忽略不计） 方案二：如图2，利用标杆测量灯柱的高度．已知标杆高，测得． 方案三：如图3，利用三角板的直角边保持水平，并且边与点M在同一直线上．已知两条边，测得边离地面距离． 三种方案中，方案________不可行，请选择可行的方案求出灯柱的高度． 6．已知：如图，在中，，点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为，解答下列问题： (1)当t为何值时，与相似？ (2)是否存在某一时刻，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)是否存在某一时刻，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $