5.2.2求导法则及其应用同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 以基础题与选做题分层，覆盖求导法则及应用，从单一导数计算到综合切线问题，强化运算能力与推理意识，适配新授课巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|求导法则、切线斜率、导数应用|选择填空结合解答题，强化基础运算与概念理解| |提升层（选做）|斜率范围、切线与面积定值|情境化综合问题，培养逻辑推理与创新意识|

求导法则及其应用同步练 1.1.6求导法则及其应用（一） 1.设fx=xInx,若fx=2,则x等于（) A.e2 B.e c吗 D.In2 2.函数fx=e*cosx的图像在点0，f0川处的切线的倾斜角为) A.0 B.II 4 C.1 3.若函数fx=ax4+bx2+c满足f1=2，,则f-1等于() A.-1 B.-2 C.2 D.0 4.已知曲线fx=+a 在点1，f1处切线的倾斜角为 ，则实数。等 3π X+1 于() A.1 B.-1 C.7 D.-7 5.已知曲线fx=x+anx在点1，f1处的切线与直线2x-y=0垂直， 则a等于() A B.1 D.-1 6.若fx=2lnx-x2,则fx>0的解集为 A.0,1B.-oo,-1U0,1 C.-1,0U1,+∞ D.1,+o 7.已知fx对=00sx sinx 8.己知fx-,则f1=一，若fx+fx,=0，则=一 X 9.己知函数fx=e,sinx,则曲线y=fx在点(0，fo)处的切线方程是 10.已知函数fx=xlnx,若直线1过点(0，-1，并且与曲线y=fx相切，则 直线1的方程为一 11.求下列函数的导函数. 1)fx=1- 2)fx=e (3)y=xcosx (4)flx)=x+cosx x+sin x 12.设函数fx-ax-是，由线y=x在点2，f2)处切线方程为 7x-4y-12=0· (1)求fx的解析式； (2)证明曲线fx)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形 面积为定值，并求此定值 (选做)13.设P为曲线C:y=x2-x+1上一点，曲线C在点P处的切线的斜 率的范围是1,3，求点P纵坐标的取值范围. 1.1.7求导法则及其应用（二） 1.函数fx=Rx.sinx的导数为() A.fxsinx+xcox B.fx)=icos 2x C.f(x)=2inx+xcosx D.flx)=sinx-xcosx x 2.若fx=1-x sin x ,则fx=（) A.-2xsinx-1-x2cosx B.-2xsinx+1-x2cosx sinx sinx C.-2xsinx+1-x2) D.-2xsinx-1-x2) sinx sin x 3.已知f1x=sinx+cosx,记 f2x=fix,f3x=f2x,…,fnx=fn-1xn∈N',n≥2l, 则f+f}-+fm 等于（) A.-1 B.2 C.3 D.-4 4.已知函数fx=asin3x+bx+4a∈R,b∈R,fx为fx的导函数，则 f2014+f-2014+f2015-f-2015=（) A.8 B.2014 C.2015 D.0 5.曲线y=2sinx+cosx在点π，-1处的切线方程为) A.x-y-π-1=0 B.2x-y-2π-1=0 C.2x+y-2π+1=0 D.x+y-π+1=0 6.设fx,9x是定义在R上的恒大于零的可导函数，且满足 fxgx-fxgx>0,则当a<x<b时，有( A.fx gx>f b g bB.f x g a>f ag x C.fx g b>f bg x D.fx g x>f a g a 7.函数y=X0sx在X=号处的导数值是 8.已知fx=ax3+3x2+2,f(-1=4,则a的值为 9.函数fx=x2-f2x,则f2= 10.曲线y=x3+3x2+6x-10的所有切线中，斜率最小的切线方程是 11.若曲线y=x-ax+lnx存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围. 12.已知函数fx=ax2+bx+3a≠0，其导函数fx=2x-8. (1)求a,b的值： (2)设函数gx=e'sinx+fx,求曲线gx在点x=0处的切线方程. (选做)13.偶函数fx=ax+bx+cx2+dx+e的图像过点P0,1，且在点 x=1处的切线方程为y=x-2,求fx的解析式. 求导法则及其应用同步练参考答案 1.1.6求导法则及其应用（一） 1. B.提示：由fx=xnx可得fx=nx+1,所以fxo=lnx+1=2,故 X,=e· 2. B.提示：fx=ec0sX-@'sinx,则f10=1,则倾斜角为4. 3. B.提示：考查函数的奇偶性，求导后导函数为奇函数，所以选B. 4. C.提示：fX=2xx+1-X+a-X+2x-a,因为k=f1=an3亚=-1 x+12 x+12 4 ,即3-0=-1，所以a=7. 4 5.C.提示：由题设fW=hx+1+是，则f1=1+a,又fx在点 1,f处的切线与肖线2x-y-0释直，所以f1=1+a=专所以a=是· 6. A提示：由题设知fx的定义域为10，+，fx=2-2x=2-1, 若f(x>0,则x>0且x2-1<0,解得x∈0,1. 7子是示f1+如nxf引号 3 (1+cosx &.0;05.提示fx=eX1,f1=0,f1k+fk=e。+g=0,则 Xo 9.y=x.提示：fx=e*sinx+cosx, 10.x-y-1=0.分析：设切点坐标xyo,求函数的导数，利用导数的几何意 义可得切线方程为y-xl血x,=nx+1x-xo,再根据切线1过点0，-1，可 求出，，进而得到结果。 提示：因为点0，-1不在曲线fx=xnx上，设切点坐标为x,yo. 又因为fx=1+nx,所以fxo=1+lnX,所以fx=xnx在x,y处的切 线方程为y-x,lnx,=nx,+1x-x,因为切线1过点0，-1，所以 -1-xlnx=nx+1〔-x,解得x=1所以直线1的方程为y=x-1,即直 线方程为x-y-1=0. 故答案为x-y-1=0. 11.(1) x;(2)ex-1 (3)cosx-xsinx (4) 1-x23 + sin x-cosx-1-xsin x+cosx) (x+sinx2 12.(1)fx=x-3:(2)证明见提示.提示：（但方程7x-4y-12=0可化为 X y子x-3当x2时，y号 b1 2a- 又fx=a+b,于是 22 b7 b=3 a+ 44 2证明：设P,%为血线上任一点，由fx=1+是知，曲线在点Px, 处的线方为y1即y小引引小 x=0得，y=-6,从而切线与直线x=0,交点坐标为 0,-6 Xo 令y=x,得y==2x,,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x,2x,. 所以点P(x,y处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为 曲线y=fx上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面 积为定值，此定值为6. (选做)13.1,31·提示：设Px,x-x,+1 f(x)=2x-1 1≤2x-1≤3 1≤x≤2 1≤y≤3 1.1.7求导法则及其应用（二） 1. B.分析：利用导数的乘法法则(uv=uv+uv计算即可.提示：因为 传2克snx=os×所以fx=-snx+9x6snX20+csx, 2x 故选 g1 2. A.提示：fX=-2 xsinx-1-cosx, sinx 3.A.提示：因为f1x=sinx+cosx,所以 f2(x)=fi(x)=cosx-sinx,f3(x)=f2(x)=-sinx-cosx,fa(x)=f3(x)=-cosx+sinx,fs(x)=fa(x)=sinx+ 所以fx=f又1，f引=-1，f}-1'f1则 =0×504+1+-1+-1=-1. 故选 A A.分析：观察已知解析式fx=asin3x+bx2+4,构造 gx=fx-4=asin3x+bx3,可知gx是奇函数，而它的导数是偶函数，利用奇 偶函数的性质解答. 提示：据题意，设函数gx=fx-4=asin3x+bx是奇函数，由g-x=-gx, 所以gx为奇函数，f(x=3acos3x+3bx2为偶函数，所以f-x=fx,所以 f2014+f-2014+f2015-f-2015=g2014+4+g-2014+4+f2015-f2015=g2014-9 故选 A. 5. C.分析：求出原函数的导函数，得到函数在x=π时的导数，再由直线方 程点斜式得答案」 提示：由y=2sinX+cosx,得y=2cosx-sinx,所以yk=n=2cosπ-sinπ=-2 ,所以曲线y=2sinx+cosx在点（π，-1处的切线方程为y+1=-2x-π，即 2x+y-2π+1=0. 故选 6. B.分析：由fxgx-fxgx>0知 O,故函数fX在R g x 上为单调增函数，则当a<x<b时，有fg<fX<fb·根据fx,gx g a g x g b 是定义在R上的恒大于零的可导函数可得到fxga>fagx. 提示：因为fxgX-fxgx>0,所以 f(x) 之0，所以函数x在R上为 g x g x 单调递增函数 因为a<x<b,所以a<f<fb因为fx'gx是定义在R上的恒大 g a gx gb 于零的可导函数. 所以fxga>f a g x. 故选 B. 是 ·分析：利用导数的运算法则及导数的公式求出导函数，再令导函数 中的x= ·,求出导数值. 3 提示：y=XCOSX+xcos x)=cosx-xsinx,所以y=X COS X在点x=乃处的导数 3 值是cos乃-刀s 13π 5n牙号8m放答案为6" s3 326 8.9.提示：因为fx=ax+3x2+2,所以fx=3ax2+6x,又f-1=4所 3 以3a-6=4,a=3 10 敏答案为吕 9.2.提示：fx=2x-f2,取x=2,得到f2=4-f2,f2=2. 10.3x-y-11=0.提示：函数的导数为y=fx=3x2+6x+6=3x+1+3≥3， 即切线斜率的最小值为k=3,此时x=-1,y=-1+3-6-10=-14,即切点 P(-1,-14),此时的切线方程为y+14=3x+1,即3x-y-11=0,故答案为 3x-y-11=0 11.22,+∞.分析：求出原函数的导函数，由导函数等于0得到a=2x+ 利用基本不等式求得2x+1的范围得答案。 提示：因为fx=x2-ax+1nx,所以fx=2x-a+,由题意可知存在实数 x>0,使得fx=2x-a+1=0,解得a=2x+1,所以a=2x+1≥22（当且仅 当2X=,即X=要时等号成立.所以实数0的取值范围是2吃，+四) 故答案为[2V2,+o∞). 12.(1)a=1,b=-8:(2)7x+y-3=0. 分析：(1)先求导，再对比系数，即可求解： (2)根据导数的几何意义，直线的点斜式方程，化归转化思想，即可求解. 提示：(1)因为fx=ax+bx+3a≠0，所以fx=2ax+b=2x-8,所以 a=1,b=-8’ (2)因为gx=e'sinx+x2-8x+3,所以gx=e(sinx+cosx+2x-8,所以 g10=-7,g10=3所以gx在x=0处的切线方程为y=-7x+3,即 7x+y-3=0. 选做13.fx=5x4-号x+1.分析：由偶函数的性质可得b=d=0,再由 2 f0=1可得c=1,求得fx的导数，可得切线的斜率和切点，结合已知切线的 方程，可得a,c,进而得到fx的解析式. 提示：偶函数fx=ax4+bx+cx2+dx+e,可得b=d=0,由题意可得 f10=e=1,fx=ax+cX2+1的导数为fx=4ax+2cx,由在点x=1处的切 线方程为y=-2,可得4a+2c=1,a+c+1=-1解得a=号，c= 2 所以f--昌x+1.