5.3.1 函数的极值课时作业-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 分层设计清晰，从基础概念辨析到综合应用，梯度合理，强化数学思维与逻辑推理，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|极值概念、极值点判断|选择1-5题考查三次函数、基本函数极值，夯实概念理解| |能力提升|极值与参数、函数性质综合|选择6-8题及填空题涉及参数范围讨论，提升逻辑推理| |综合应用|极值与方程根、恒成立问题|解答题14-16题综合考查极值求法及应用，强化数学语言表达|

课时作业43 函数的极值 一、选择题 1．设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝xf′(x)的图象的一部分如图所示，则正确的是(　　) A．f(x)的极大值为f()，极小值为f(－) B．f(x)的极大值为f(－)，极小值为f() C．f(x)的极大值为f(－3)，极小值为f(3) D．f(x)的极大值为f(3)，极小值为f(－3) 2．下列四个函数：①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝|x|；④y＝2x. 在x＝0处取得极小值的有(　　) A．①② B．②③ C．③④ D．①③ 3．函数y＝x＋(－2<x<0)的极大值为(　　) A．－2 B．2 C．－ D．不存在 4．函数f(x)＝1－x＋x2的极小值为(　　) A．1 B． C． D． 5．设函数f(x)＝x·ex，则(　　) A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点 C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点 6.若函数f(x)＝x3－3bx＋3在(－1，2)内有极值，则实数b的取值范围是(　　) A.(0，4) B.[0，4) C.[1，4) D.(1，4) 7.(多选题)已知函数f(x)的定义域为R且导函数为f′(x)，如图是函数y＝xf′(x)的图象，则下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)的增区间是(－2，0)，(2，＋∞) B.函数f(x)的增区间是(－∞，－2)，(2，＋∞) C.x＝－2是函数的极小值点 D.x＝2是函数的极小值点 8.若函数f(x)＝ex－ax－b在R上有小于0的极值点，则实数a的取值范围是(　　) A.(－1，0) B.(0，1) C.(－∞，－1) D.(1，＋∞) 二、填空题 9.若函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则a＝________. 10.已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________． 11.若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于________． 12.若x＝2是函数f(x)＝x(x－m)2的极大值点，则函数f(x)的极大值为________． 13.函数f(x)＝x3－3x的图象与直线y＝a有三个不同的交点，则a的取值范围是________． 三、解答题 14.求函数y＝x3－3ax＋2的极值，并讨论方程x3－3ax＋2＝0何时有三个不同的实根，何时有唯一的实根(其中a>0)． 15.设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点. (1)试确定常数a和b的值； (2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由. 16.设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R. (1)求函数f(x)的单调区间和极值； (2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同实根，求实数a的取值范围； (3)已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围． 课时作业43 函数的极值 （答案） 一、选择题 1．设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝xf′(x)的图象的一部分如图所示，则正确的是(　　) A．f(x)的极大值为f()，极小值为f(－) B．f(x)的极大值为f(－)，极小值为f() C．f(x)的极大值为f(－3)，极小值为f(3) D．f(x)的极大值为f(3)，极小值为f(－3) 解析：当x∈(－∞，－3)时，xf′(x)>0，即f′(x)<0； 当x∈(－3,0)时，xf′(x)<0，即f′(x)>0； 当x∈(0,3)时，xf′(x)>0，即f′(x)>0； 当x∈(3，＋∞)时，xf′(x)<0，即f′(x)<0. 故函数f(x)在x＝－3处取得极小值，在x＝3处取得极大值． 故选：D 2．下列四个函数：①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝|x|；④y＝2x. 在x＝0处取得极小值的有(　　) A．①② B．②③ C．③④ D．①③ 解析：作出各函数的图象，由极值的定义可知函数y＝x2＋1，y＝|x|在x＝0处取得极小值． 故选：B 3．函数y＝x＋(－2<x<0)的极大值为(　　) A．－2 B．2 C．－ D．不存在 解析：y′＝1－＝.令y′＝0得x＝－1. 在(－2，－1)上，y′>0；在(－1,0)上，y′<0，故函数在x＝－1处取得极大值－2. 故选：A 4．函数f(x)＝1－x＋x2的极小值为(　　) A．1 B． C． D． 解析：f′(x)＝－1＋2x＝2，令f′(x)＝0，得x＝. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x f′(x) － 0 ＋ f(x) 单调递减 极小值 单调递增 当x＝时，f(x)有极小值f＝. 故选：B． 5．设函数f(x)＝x·ex，则(　　) A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点 C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点 解析：f′(x)＝ex(x＋1)．令f′(x)＝0，则x＝－1，且当x<－1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>－1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以x＝－1是f(x)的极小值点． 故选：D 6.若函数f(x)＝x3－3bx＋3在(－1，2)内有极值，则实数b的取值范围是(　　) A.(0，4) B.[0，4) C.[1，4) D.(1，4) 解析:f′(x)＝3x2－3b＝0，即x2＝b.又∵f(x)在(－1，2)内有极值，∴f′(x)在(－1，2)内有变号零点，∴0≤b<4.当b＝0时，f(x)＝x3＋3在R上单调递增，没有极值，故选A. 故选：A 7.(多选题)已知函数f(x)的定义域为R且导函数为f′(x)，如图是函数y＝xf′(x)的图象，则下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)的增区间是(－2，0)，(2，＋∞) B.函数f(x)的增区间是(－∞，－2)，(2，＋∞) C.x＝－2是函数的极小值点 D.x＝2是函数的极小值点 解析:由题意，当0<x<2时，f′(x)<0；当x>2，f′(x)>0；当－2<x<0时，f′(x)<0；当x<－2时，f′(x)>0；即函数f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上单调递增，在(－2，2)上单调递减，因此函数f(x)在x＝2时取得极小值，在x＝－2时取得极大值；故A错，B正确；C错，D正确.故选：BD. 故选：BD 8.若函数f(x)＝ex－ax－b在R上有小于0的极值点，则实数a的取值范围是(　　) A.(－1，0) B.(0，1) C.(－∞，－1) D.(1，＋∞) 解析:由题意知f′(x)＝ex－a. 当a≤0时，f′(x)>0恒成立，则f(x)在R上单调递增，不符合题意. 当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝ln a， ∴当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0. 可知x＝ln a为f(x)的极值点，∴ln a<0，∴a∈(0，1).故选B. 故选：B 二、填空题 9.若函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则a＝________. 解析：f′(x)＝＝，由题意得f′(1)＝＝0，解得a＝3.经检验，a＝3符合题意. 答案：3 10.已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________． 解析：f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，因为原函数既有极大值又有极小值，所以方程f′(x)＝0有两个不同的实根，即(6a)2－4×3×3(a＋2)>0，解得a>2或a<－1. 答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞) 11.若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于________． 解析：y′＝－3x2＋12x，由y′＝0，得x＝0或x＝4， 易知当x＝4时函数取得极大值，所以－43＋6×42＋m＝13，解得m＝－19. 答案：－19　 12.若x＝2是函数f(x)＝x(x－m)2的极大值点，则函数f(x)的极大值为________． 解析：f′(x)＝3x2－4mx＋m2＝(x－m)·(3x－m)． 令f′(x)＝0，则x＝m或x＝， 由题设知m＝2或m＝6. 当m＝2时，极大值点为x＝，与题意不符； 当m＝6时，极大值为f(2)＝32. 答案：32　 13.函数f(x)＝x3－3x的图象与直线y＝a有三个不同的交点，则a的取值范围是________． 解析：令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1， 可得极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2. y＝f(x)的大致图象如图所示，观察图象得当－2<a<2时恰有三个不同的交点． 答案：(－2,2)　 三、解答题 14.求函数y＝x3－3ax＋2的极值，并讨论方程x3－3ax＋2＝0何时有三个不同的实根，何时有唯一的实根(其中a>0)． 解：函数的定义域为R，其导函数为y′＝3x2－3a. 由y′＝0可得x＝±，列表讨论如下： x (－∞，－) － (－，) (，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由此可得，函数在x＝－处取得极大值2＋2a；在x＝处取得极小值2－2a. 根据列表讨论，可作函数的草图(如图)． 因为极大值f(－)＝2＋2a>0，故当极小值f()＝2－2a<0，即a>1时，方程x3－3ax＋2＝0有三个不同的实根；当极小值f()＝2－2a>0，即0<a<1时，方程x3－3ax＋2＝0有唯一的实根． 15.设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点. (1)试确定常数a和b的值； (2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由. 解：(1)∵f(x)＝aln x＋bx2＋x， ∴f′(x)＝＋2bx＋1. 由极值点的必要条件可知： f′(1)＝f′(2)＝0， ∴a＋2b＋1＝0且＋4b＋1＝0， 解得，a＝－，b＝－. (2)由(1)可知f(x)＝－ln x－x2＋x， 且其定义域是(0，＋∞)， f′(x)＝－x－1－x＋1＝－. 当x∈(0，1)∪(2，＋∞)时，f′(x)<0； 当x∈(1，2)时，f′(x)>0； 所以，x＝1是函数f(x)的极小值点， x＝2是函数f(x)的极大值点. 16.设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R. (1)求函数f(x)的单调区间和极值； (2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同实根，求实数a的取值范围； (3)已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围． 解：(1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0， 解得x1＝－，x2＝. ∵当x>或x<－时，f′(x)>0； 当－<x<时，f′(x)<0. ∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；单调递减区间为(－，)． 当x＝－时，f(x)有极大值5＋4； 当x＝时，f(x)有极小值5－4. (2)由(1)知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示，当5－4<a<5＋4时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同交点，即方程f(x)＝a有三个不同实根． (3)f(x)≥k(x－1)，即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)． ∵x>1，∴k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立． 令g(x)＝x2＋x－5，g(x)在(1，＋∞)上是增函数． ∴g(x)>g(1)＝－3. ∴k的取值范围是(－∞，－3]． 学科网（北京）股份有限公司 $