精品解析：山东济南市市中区泉海学校2026-2027学年九年级上学期第一次阶段诊断数学试题

泉海学校2024级九上第一次阶段性诊断 数学试题 一、选择题（共10小题） 1. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据比例的性质：内项积等于外项积，可知如果四条线段其中两条线段的长度之积等于另外两条线段的长度之积，这四条线段就是成比例线段，根据比例的性质逐项判断即可． 【详解】解：A选项：，这四条线段不成比例，故选项A不符合题意； B选项：，这四条线段不成比例，故选项B不符合题意； C选项：，这四条线段成比例，故选项C符合题意； D选项：，这四条线段不成比例，故选项D不符合题意． 2. 如图，已知，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选C． 3. 把的图象向左平移3个单位，再向下平移4个单位，得到的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移变换，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 直接运用二次函数图象的平移规律解答即可． 【详解】解：由二次函数的平移规律可得：把的图象向左平移3个单位，再向下平移4个单位，得到的解析式为：． 故选D． 4. 如图，，则下列各式中，不能说明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，有两组角对应相等的两个三角形相似，有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、添加条件，结合，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； B、添加条件，结合，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； C、添加条件，结合，可以根据有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； D、添加条件，结合，不可以证明，故此选项符合题意； 故选：D． 5. 已知，且，，若的周长为20，则的周长为（ ） A. 5 B. 10 C. 40 D. 80 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质．根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可． 【详解】解：， ∴的周长的周长， 的周长为20， 的周长为40． 故选：C． 6. 下列的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与相似的三角形所在的网格图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理求线段的长，相似三角形的判定方法：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，判断即可． 【详解】解：根据勾股定理，， 由题意可知：， 所以，夹直角的两边的比为， A、该三角形中无直角，故本选项不符合题意； B、该三角形中，夹直角的两边的比为，故本选项不符合题意； C、该三角形中，夹直角的两边的比为，故本选项符合题意； D、该三角形中，夹直角的两边长为和，比为，故本选项不符合题意． 7. 如图是某花架及其侧面示意图，已知，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练掌握定理，根据定理列出比例式； 根据，列出，求出的长即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 8. 如图，点是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点，若，，则的周长为（ ） A. 21 B. 28 C. 34 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质得出，，则可证明，由相似三角形得性质可得出，进而可得出，，进而可求出，最后根据平行四边形的性质求周长即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴的周长为：． 故选：C． 9. 如图，在中，，分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点、，作直线分别交、于点、，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连结，．下面结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作图﹣基本作图、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质．根据尺规作图可知是的垂直平分线，点是的中点，根据尺规作图可知线段之间的长度关系和角之间的关系，根据边角之间的关系判定三角形相似，再利用相似三角形的性质求出三角形的面积之间的关系． 【详解】解：由作图可知是的垂直平分线， 点是的中点， 以为圆心，长为半径作弧，交于点，连结，， ， 点是的中点， 是的中位线， ， 故A选项正确； 由作图可知是的垂直平分线， ， ， 是的中位线， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 故B选项正确； 是的垂直平分线， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故C选项正确； ， 设，，则， ， 整理得：， 或(不符合题意，舍去)， ， 故D选项错误． 故选：D． 10. 如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，连接并延长交于点．给出以下结论：①为等腰三角形；②为的中点；③；④．其中正确结论是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】设正方形的边长为，，根据折叠的性质得出，根据中点的性质得出，即可判断①，证明四边形是平行四边形，即可判断②，求得，设，则，勾股定理得出，进而判断③，进而求得，，勾股定理求得，进而即可判断④，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵为的中点， ∴， 设正方形的边长为， 则， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形，故①正确； 设， ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，即是的中点，故②正确； ∵，， ∴， 在中，， ∵， ∴， 设，则， ∴ ∴ ∴，， ∴，故③错误； 连接，如图所示， ∵，，， 又， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上分析可知：正确的为：①②④． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形与折叠问题，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题（共5小题） 11. 如果，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】由可得：，把代入代数式中即可求出结果． 【详解】解：， ， ． 12. 如图所示，在洞孔成像问题中，已知玻璃棒与它的物像平行，已知玻璃棒厘米，根据图中给定的尺寸，那么它的物像的长是____________厘米． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，先过点作于点，延长交于点，依题意得，，证明，再根据相似三角形的性质求解即可 【详解】解：过点作于点，延长交于点，如图， 依题意得：，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴，即， ∴厘米， 故答案为：4 13. 黄金分割在生活中处处可见，即使是一片银杏叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，A，P，B三点共线，P是的黄金分割点．若，则的长为______________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割比，一元一次方程，解题的关键是掌握概念，利用较长的线段与整条线段的比值建立等式． 【详解】解：根据，A，P，B三点共线，P是的黄金分割点（）． 根据，设，， ， 解得：， ∴ 故答案为：． 14. 坐落于济南市大明湖的超然楼是一座拥有700年历史的名楼，《周髀算经》中有“偃矩以望高”的测高方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的），小明受到启发，利用“矩”测量超然楼的高度．通过调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使保持水平，点A、B、D在同一直线上，，测得，，，，则超然楼的高度___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，构造相似三角形是解题关键．令所在的水平线与交于点，证明四边形是矩形，则，，证明，得到，进而得出，即可得到答案． 【详解】解：如图，令所在的水平线与交于点， ， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，平分，交于点E，，交于点F，以，为边，作矩形，与相交于点H．若，，则________________． 【答案】 【解析】 【分析】首先证明，于是可得，结合矩形，推导出四边形为正方形，然后利用，，推导出， 于是可得，进而可得，等量代换并代入数据可得，于是得解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ， ， ， 在和中， ， ∴， ∴，， 在矩形中，， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正方形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，角平分线的有关计算，等角对等边，比例的性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 三、解答题（共10小题） 16. 如图，在ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，如果BC＝，AC＝3，求CD的长． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意，结合图形中公共角，推出，从而利用相似三角形的对应边成比例列出式子进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 解得2， 故CD长为2． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟练掌握并运用相似三角形的判定与性质是解决本题的关键． 17. 如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度，已知人的站位点A，镜子点O，树底点B三点在同一水平线上，眼睛与地面的高度为米，米，米，则树高为多少米． 【答案】树高为4米 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．点O作镜面的法线，则，证明，即可求解． 【详解】解：如图，点O作镜面的法线，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴米， 答：树高为4米． 18. 如图，在和中，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定． （1）先根据得到，再根据即可证明； （2）根据得到，进而得到，根据，即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 19. 向左或向右平移二次函数的图象，完成以下问题： （1）将的图象向右平移4个单位长度，直接写出平移后图象对应的函数表达式； （2）平移的图象，能使平移后的图象过点吗？若能，请求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由． 【答案】（1）； （2）能，向左平移15个单位长度或3个单位长度．理由如下： 设平移后的函数解析式为， 将点代入得， 解得或， 所以平移后的图象对应的函数解析式为或， 所以函数的图象向左平移15个单位长度或3个单位长度，能过点． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的平移规律求解即可； （2）设平移后的函数解析式为，将点代入求解即可． 【小问1详解】 解：将的图象向右平移4个单位长度，所得的函数表达式为； 【小问2详解】 略 20. 如图所示，和均为等腰直角三角形，，＝，，、、三点共线，线段、交于点． （1）求线段、之间的数量关系； （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）两个等腰直角三角形永远是相似的，由于和的特殊位置关系，可推导出，进一步可以得出与的比值等于相似比． （2）在第一问基础上，，要想求出，就必须知道，由于，所以度数可求． 【小问1详解】 ∵和均为等腰直角三角形， ∴＝＝， ∵， ∴， 和中， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵、、三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的性质等知识，掌握相似三角形的判定与性质，是解答本题的关键． 21. 如图，E为上一点，． （1）求证：； （2）若平分，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵为外角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）6 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定等知识． （1）先证明，再证明，即可证明； （2）证明，得到，即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 22. 在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心的位置并直接写出点的坐标为______． （2）以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）的内部一点M的坐标为，直接写出点M在中的对应点的坐标为______． 【答案】（1） 如图，点为所作， （2）如图，即为所作； （3） 【解析】 【分析】本题考查位似图形及位似变换； （1）分别延长、、，它们的交点为点，再写出点坐标； （2）把、点的横纵坐标都乘以得到、点的坐标，然后描点并连线即可； （3）利用（2）中对应点的坐标变换规律求解即可． 【小问1详解】 解：分别延长、、，它们的交点为点， ∵与是关于点为位似中心的位似图形， 则点为所作，点坐标为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，，， 把、点的横纵坐标都乘以得：、， 连接、，， 则即为所作； 【小问3详解】 解：∵的内部一点M的坐标为， 由（2）知：与是关于原点为位似中心的位似图形，且位似比为， ∴点在中的对应点的坐标为． 故答案为：． 23. 已知二次函数． （1）若此二次函数图象的对称轴为直线， ①求二次函数的表达式； ②直接写出二次函数的最小值； （2）当时，y随x增大而减小，求k的取值范围． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据二次函数图象的对称轴求解即可；②将二次函数的解析式配方成，即可求解； （2）根据二次函数图象的轴对称性求解即可． 【小问1详解】 解：①因为二次函数图象的对称轴为直线， 所以， 解得， 所以二次函数的表达式为． ②因为， 所以当时，二次函数的最小值为； 【小问2详解】 解：因为抛物线的对称轴为直线，且当时，随增大而减小， 所以， 解得， 所以k的取值范围是：． 24. 如图，在中，，，，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为 ()，其中．解答下列问题： （1） ， （用含t的代数式表示） （2）当t为何值时，． （3）在P、Q运动过程中，是否存在某一时刻使得，若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的综合问题，相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理： （1）利用勾股定理得，进而可求解； （2）利用三角形相似的判定及性质可得，即，进而可求解； （3）过点作于，利用等腰三角形的性质可得，利用相似三角形的判定及性质可得，即，进而可求解； 熟练掌握等腰三角形的性质和勾股定理，证明三角形相似是解题的关键． 【小问1详解】 解：依题意得： 在中，，，， ， ，， 故答案为：；． 【小问2详解】 ， ∴当，， 即， ∴． 【小问3详解】 过点作于，如图： ，，则， ， ， ，， ， ，即：， 解得：． 25. 某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： （1）【初探猜想】如图1，在正方形中，点E、F分别是、上的点，连接、，若，则线段与的数量关系为_____； （2）【类比探究】如图2，在矩形中，，，点、分别是边、上的点，点是边上一点，连接、，若，求的值； （3）【知识迁移】如图3，在四边形中，，点E、F分别在线段、上，且，连接，若，，求的值； （4）【拓展应用】如图4，在矩形中，，，点、分别在边、上，将四边形沿翻折，点的对应点恰好落在上，点的对应点是点，则的最小值为_____． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）令与的交点为，根据正方形的性质证明，即可求解； （2）过点作于点，与的交点为，证明四边形是矩形， 得到，，再证明，即可求出的值； （3）由勾股定理，得出，再根据三角形的面积，得出，然后证明，即可求出的值； （4）连接、，利用折叠的性质，证明，得到，同（2）理可得：，即，则，作点关于的对称点，连接、、，则当、、三点共线时，有最小值为的长，利用勾股定理求出，即可得到的最小值． 【小问1详解】 解：如图，令与的交点为， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，与的交点为， 四边形是矩形， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点，与的交点为， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ； 【小问4详解】 解：如图，连接、， 由折叠的性质可知，，，，， ， ，即， 在和中， ， ， ， 同（2）理可得：，即， ， 作点关于的对称点，连接、、， ，，， ， 当、、三点共线时，有最小值为的长， ， 有最小值为， 的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质等知识，正确作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉海学校2024级九上第一次阶段性诊断 数学试题 一、选择题（共10小题） 1. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 2. 如图，已知，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 3. 把的图象向左平移3个单位，再向下平移4个单位，得到的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，则下列各式中，不能说明的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且，，若的周长为20，则的周长为（ ） A. 5 B. 10 C. 40 D. 80 6. 下列的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与相似的三角形所在的网格图形是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是某花架及其侧面示意图，已知，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点，若，，则的周长为（ ） A. 21 B. 28 C. 34 D. 48 9. 如图，在中，，分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点、，作直线分别交、于点、，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连结，．下面结论错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，连接并延长交于点．给出以下结论：①为等腰三角形；②为的中点；③；④．其中正确结论是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（共5小题） 11. 如果，那么________． 12. 如图所示，在洞孔成像问题中，已知玻璃棒与它的物像平行，已知玻璃棒厘米，根据图中给定的尺寸，那么它的物像的长是____________厘米． 13. 黄金分割在生活中处处可见，即使是一片银杏叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，A，P，B三点共线，P是的黄金分割点．若，则的长为______________．（结果保留根号） 14. 坐落于济南市大明湖的超然楼是一座拥有700年历史的名楼，《周髀算经》中有“偃矩以望高”的测高方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的），小明受到启发，利用“矩”测量超然楼的高度．通过调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使保持水平，点A、B、D在同一直线上，，测得，，，，则超然楼的高度___． 15. 如图，在矩形中，平分，交于点E，，交于点F，以，为边，作矩形，与相交于点H．若，，则________________． 三、解答题（共10小题） 16. 如图，在ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，如果BC＝，AC＝3，求CD的长． 17. 如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度，已知人的站位点A，镜子点O，树底点B三点在同一水平线上，眼睛与地面的高度为米，米，米，则树高为多少米． 18. 如图，在和中，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 19. 向左或向右平移二次函数的图象，完成以下问题： （1）将的图象向右平移4个单位长度，直接写出平移后图象对应的函数表达式； （2）平移的图象，能使平移后的图象过点吗？若能，请求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由． 20. 如图所示，和均为等腰直角三角形，，＝，，、、三点共线，线段、交于点． （1）求线段、之间的数量关系； （2）求的度数． 21. 如图，E为上一点，． （1）求证：； （2）若平分，，，求的长． 22. 在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心的位置并直接写出点的坐标为______． （2）以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）的内部一点M的坐标为，直接写出点M在中的对应点的坐标为______． 23. 已知二次函数． （1）若此二次函数图象的对称轴为直线， ①求二次函数的表达式； ②直接写出二次函数的最小值； （2）当时，y随x增大而减小，求k的取值范围． 24. 如图，在中，，，，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为 ()，其中．解答下列问题： （1） ， （用含t的代数式表示） （2）当t为何值时，． （3）在P、Q运动过程中，是否存在某一时刻使得，若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 25. 某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： （1）【初探猜想】如图1，在正方形中，点E、F分别是、上的点，连接、，若，则线段与的数量关系为_____； （2）【类比探究】如图2，在矩形中，，，点、分别是边、上的点，点是边上一点，连接、，若，求的值； （3）【知识迁移】如图3，在四边形中，，点E、F分别在线段、上，且，连接，若，，求的值； （4）【拓展应用】如图4，在矩形中，，，点、分别在边、上，将四边形沿翻折，点的对应点恰好落在上，点的对应点是点，则的最小值为_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $