河南省郑州市第二高级中学2026-2027学年高二上学期第6周数学周练试题

高二数学周练试题（6） 本卷满分150分，考试时间120分钟 考试内容：2.1直线的倾斜角与斜率+2.2直线的方程+2.3直线的交点坐标与距离公式 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线经过点，两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．经过两点的直线的方向向量为，则的值为（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 3．下列直线中，斜率为，且经过第一象限的是（   ） A． B． C． D． 4．直线，若，则实数的值为 （ ） A．0 B．2 C．0或 D．0或 5．已知三条直线的方程分别为，则使这三条直线能围成等腰直角三角形的的个数为（   ） A． B． C． D． 6．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知的顶点，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为 A． B． C． D． 7．实数，满足，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D．6 8．若，，且点在过点、，的直线上，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题列出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知直线，直线，则（   ） A．直线过定点 B．若，则 C．若，则 D．若，则直线与坐标轴围成的三角形面积的最小值为 10．已知直线，下列说法正确的是：（    ） A．点关于的对称点的坐标是； B．直线关于的对称直线的方程是； C．直线关于点的对称直线的方程是； D．过点，垂直于直线的直线的方程是 11．下列说法正确的是（   ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B．“”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C．直线的倾斜角的取值范围是 D．若点，，直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线，若，则________． 13．一束光线从点射出，与直线：相交于点.经直线反射，则反射光线所在直线的方程为__________. 14．已知两条直线和都过点，则过两点，的直线的方程为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 三角形的顶点是， 求： (1)边所在直线的方程． (2)边上的高所在直线的方程； (3)边的垂直平分线的方程． 16．（15分） （1）直线经过点，斜率是，写出直线的点斜式方程． （2）设直线的方程为，若直线在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程． 17．（15分） 已知直线的方程为 ，其中 (1)当变化时，求点到直线的距离的最大值 (2)若直线分别与轴的负半轴和轴的负半轴交于点、，求为坐标原点面积的最小值及此时直线的方程． 18．（17分） 已知点，位于直线上，其中在轴上，是平面中的一点. (1)若为正三角形，求直线的斜率； (2)设为的重心. （i）证明：始终在同一条直线上，并求这条直线的方程； （ii）若的面积为3，求点的坐标. 19．（17分） 已知的三个顶点分别为、、 ，直线. (1)一只蚂蚁从 出发，依次触碰边、边后，回到点，求蚂蚁所走路程最小值； (2)若直线等分面积，求直线的方程. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《高二数学周练（6）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B D C A D A ABC ABC 题号 11 答案 BD 1．A 【分析】由，求出斜率即可得出倾斜角的正切值，从而求出倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为， 由题可得直线的斜率，又，所以直线的倾斜角为. 2．C 【详解】由点，得，由直线的方向向量为得，因此. 3．B 【分析】把每条直线化成斜截式，k是斜率，b是y轴截距，再依次判断即可. 【详解】对于A项，将直线化为斜截式得到，斜率为，故A错误； 对于B项，将直线化为斜截式得到，斜率为，y轴截距，直线交y轴正半轴，经过第一象限，故B正确； 对于C项，将直线化为斜截式得到，斜率为，y轴截距，直线过二、三、四象限，不经过第一象限，故C错误； 对于D项，将直线化为斜截式得到，斜率为，故D错误； 4．D 【详解】由题意可得，解得或. 5．C 【分析】易知，联立方程可得的交点坐标为，直线恒过定点，通过作图即可判断直线的情况，从而求得. 【详解】显然，解方程组得，故的交点坐标为， 直线的斜率为，其倾斜角为；直线的斜率为，其倾斜角为. 对直线的方程变形为，由可得， 故直线恒过定点， 作图可知使三条直线能围成等腰直角三角形的直线有两条：和， 当直线的方程为时，；当直线的方程为时，. 故满足条件的实数的个数为. 6．A 【分析】设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标 【详解】设C（m，n），由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为代入欧拉线方程得：整理得：m-n+4=0 ① AB的中点为（1，2）， AB的中垂线方程为， 即x-2y+3=0．联立 解得 ∴△ABC的外心为（-1，1）． 则（m+1）2+（n-1）2=32+12=10，整理得：m2+n2+2m-2n=8 ② 联立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4． 当m=0，n=4时B，C重合，舍去．∴顶点C的坐标是（-4，0）．故选A 【点睛】本题考查了直线方程，求直线方程的一般方法：①直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程．②待定系数法： 先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等． 7．D 【分析】设，，，问题转化为直线上的动点到直线和点的距离之和的最小值，数形结合求最小值即可. 【详解】设，，， 表示直线上的动点到直线和点的距离之和，    令关于直线的对称点，则，可得， 所以关于直线的对称点，则， 当且仅当时取等号，故所求最小值是到的距离为. 选择：D 8．A 【分析】先求出直线约束 ；对配方，消去，转化为关于的二次函数；利用二次函数求出最大值，代回算出最大值. 【详解】过的直线的斜率是 直线方程是，整理得 点在直线上，故 ，又 ， 所以，，所以, 因为, 所以, 由，得 ，因此 , 令 ，则 ，这是开口向上的二次函数，且在上单调递增， 因此只需求的最大值， 二次函数 ，开口向下，对称轴 最大值 即 ， 所以=. 9．ABC 【分析】根据直线过定点、两条直线平行与垂直以及三角形面积公式逐一分析即可. 【详解】可将直线化为，令，解得，故直线过定点，故A正确. 若，则，解得，当时，直线，直线，符合题意； 当时，直线，直线，符合题意；故B正确， 若，则，解得，当时，直线，直线，符合题意；故C正确, 令直线中，则，令， 坐标轴围成的三角形面积为， ，，，当且仅当，即时等号成立， 此时，故D错误. 故选：ABC. 10．ABC 【分析】A：利用两点连线与对称轴垂直、中点在对称轴上两个条件联立求解对称点坐标；B：先求出两条直线交点，再在已知直线上任取一点算出其对称点，通过两点求出对称直线方程； C：直线关于定点对称后斜率不变，求出原直线上一点的对称点，代入斜截式得到对应直线方程；D：根据垂直直线斜率关系写出垂线点斜式，代入已知点验证. 【详解】A：设点关于直线的对称点为，则线段的中点在直线上，且直线垂直于直线， 即，解得， 所以点的坐标为，A正确. B：解方程组得，则点在所求直线上. 在直线上任取一点，设点关于直线的对称点为， 则，解得，则点也在所求直线上， 由两点式得直线方程为，化简得，故所求直线的方程，B正确. C：在直线上取两点、， 则、关于点的对称点分别为、. 因为点、在所求直线上，所以由两点式得所求直线方程为，即C正确. D：直线斜率为3，故垂直于的直线斜率为，过点的垂线正确方程为， 整理得，故过点垂直于直线的直线的方程是，故D错误. 11．BD 【分析】对于A：根据直线垂直结合充分、必要条件分析判断；对于B：由题意可得，进而可得倾斜角的范围；对于C：根据直线平行结合充分、必要条件分析判断；对于D：根据图形结合斜率公式分析求解. 【详解】对于选项A：当时，直线与直线斜率分别为1，， 斜率之积为，故两直线相互垂直，即充分性成立； 若“直线与直线互相垂直”， 则，故或， 所以得不到，即必要性不成立，故A错误； 对于选项B：由直线平行得，解得， 所以“”是“直线与直线互相平行”的充要条件，故B正确； 对于选项C：直线的倾斜角为，则， 因为，所以，故C错误； 对于选项D：如图所示：    可得，，结合图象知，故D正确； 故选：BD. 12．2 【分析】由题知，进而解方程并检验即可得答案. 【详解】解：因为直线平行， 所以，，即，解得：或 当时，，显然重合，舍； 当时，，满足. 所以， 故答案为： 13． 【分析】结合图象求得关于的对称点，由此求得反射光线的斜率，再结合点，可得直线的方程. 【详解】设点关于直线的对称点，则， 解得，即点，故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 14． 【分析】将点代入直线方程，可得点，都在直线上，由两点确定一条直线即可得出直线方程. 【详解】由题知直线和都过点，则和， 所以点，都在直线上，又两点确定一条直线，所以直线方程为. 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出直线的斜率，结合截距写出直线方程； （2）先算出的斜率，利用两直线垂直斜率之积为得到高的斜率，代入点C求直线方程； （3）求出中点及斜率，由垂直关系得到垂直平分线斜率，再利用点斜式写出方程． 【详解】（1），是轴截距点，， 斜率， 故直线的方程为：，即． （2），由得： ，解得， 直线过点，则直线的方程为： ，即． （3）取中点，则， ，设其垂直平分线斜率为，则，解得， 故直线的方程为：，即． 16．（1）；（2） 或 ． 【分析】（1）直接利用直线的点斜式方程求解． （2）分别令 、 求直线在两坐标轴上的截距，根据“ 轴上的截距是 轴上的截距的2倍”建立关于 的方程，并注意直线存在 轴截距的条件． 【详解】（1）由点斜式方程可得 ，即 ． （2）当 时，直线 的方程为 ，与 轴平行，在 轴上没有截距，不符合题意． 当 时，令 ，得直线 在 轴上的截距为 ； 令 ，得直线 在 轴上的截距为 ． 由题意，，整理得 ，所以 或 ． 当 时，直线 的方程为 ； 当 时，直线 的方程为 ． 综上，直线 的方程为 或 ． 17．(1) (2)4，． 【分析】（1）把直线方程整理成关于的方程，可得定点坐标，点到直线的距离最大时，一定有与该直线垂直，可得结论； （2）求出直线与两坐标轴交点坐标，得三角形面积，然后由基本不等式得最小值． 【详解】（1）直线方程为即为， 由，可得，则已知直线恒过定点， 所以到直线的最大距离为. （2）设直线的斜率为，则其方程为， 可得，， 则. 由，可得，所以， 当且仅当， 即时取等号. 所以的面积的最小值是4. 此时直线的方程为 ，即． 18．(1)或. (2)（i）设，设中点， 由为的重心，故，解得. ，，解得， 故始终在直线上. （ii）或. 【分析】（1）求正三角形时 的斜率，确定直线 的倾斜角为 ，利用正三角形性质，找到 所在直线与轴正半轴的夹角角度 ，计算对应的正切值，得到 的斜率. （2）（i）证明 在定直线上，设 的坐标为参数 ，利用重心坐标公式（三点坐标平均值为重心坐标），建立 与 的关系，消去参数 ，得到 的坐标满足的直线方程.（ii）已知面积求 的坐标，利用重心性质：三个小三角形面积相等，每个面积为原三角形的 ，用 的坐标计算 的面积，得到关于 的方程，解出 ，代入 与 的关系式，得到 的坐标. 【详解】（1）因为在轴上，所以，因为直线的倾斜角为， 若为正三角形，则直线的倾斜角为或， 故斜率为， 或. （2）（i）略 （ii）因为为的重心，所以，故， ，解得或， 故代入的坐标得或. 19．(1) (2) 【分析】（1）求出点P关于和的对称点的坐标，利用对称性将折线距离最小值变为直线距离即可求解. （2）先求出直线的定点，验证定点在上，分类讨论得出直线与的另一个交点的位置，利用共角面积比得出的长度，进而求出点的坐标，可求的斜率，代入直线的方程即可求解. 【详解】（1） 因为，边在轴上， 所以点关于的对称点为， 因为、，所以直线的方程为：， 斜率， 设点关于的对称点为， 则，， 的中点的坐标为，该中点在上， 所以得方程组，解得， 所以点坐标为， 所以蚂蚁所走路程最小值为， （2） ，，， 所以，所以是等边三角形， 所以，所以分割后面积为， 直线过定点，即点， 因为，，所以直线的方程：，所以点在上， 即直线与的一个交点为点. 情况①：与的另一个交点在边上，设交点为， 设，，， 所以， 所以，解得，此时点在的延长线上，不合题意，舍去. 情况②：与的另一个交点在边上，设交点为， ，且和共角，得， 即，解得，所以， 即，即， 所以有，解得，所以点坐标为， 所以直线的斜率， 代入直线中，化简得直线的方程为. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $