精品解析：辽宁鞍山市第二中学2026-2027学年八年级上学期10月学情自测数学试题

鞍山市第二中学2026-2027学年度第一学期八年级 数学学科限时巩固练习（十月） 一、选择题（共8小题，每题3份，共24分） 1. 下列长度的三条线段可以组成三角形的是（　　） A. 3，4，2 B. 12，5，6 C. 1，5，9 D. 5，2，7 2. 如图，修建房屋时，为了使木门框不变形，建筑工人在木门框上斜着加了一根木条，这样做的道理是（ ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 两点之间，线段最短 C. 垂线段最短 D. 三角形具有稳定性 3. 如图，在直角三角形中，，，垂足为D，下列说法中，正确的是（ ）． A. 中，是边上的高 B. 中，是边上的高 C. 中，是边上的高 D. 中，是边上的高 4. 如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（ ） A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 6. 在△ABC与△DEF中，下列各组条件，不能判定这两个三角形全等的是（　　） A. AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F B. AB=EF，∠A=∠E，∠B=∠F C. AC=DF，BC=DE，∠C=∠D D. AC=DE，∠B=∠E，∠A=∠F 7. 如图，将三角形纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 以上都不对 8. 如图，平面上有与，其中与相交于P点，若，，， ，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共8小题，每题3分，共24分） 9. 已知等腰三角形有两条边的长分别为2cm，4cm，则它的周长为__________ 10. 经过五边形的一个顶点最多可以画出________条对角线． 11. 如图，已知点D在上，点E在上，，请你再补充一个条件，使．你补充的条件是_______． 12. 在中，，则边上的中线的取值范围是__． 13. 如图是一块面积为10的三角形纸板，点D、E、F分别是线段的中点，则阴影部分的面积为______． 14. 如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝28°，∠2＝30°，则∠3＝_____． 15. 如图，，若，，则的度数为______． 16. 如图，在中，，点C的坐标为，点A的坐标为，则B点的坐标是______． 三、解答题（共7小题） 17. 如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．如图，A，B，C均为格点，用无刻度直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线． （1）在图中，画出的中线； （2）在图中，画的高； （3）在图中，F是线段上一点，在线段上画点H，使得线段平分的面积． 18. 用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． （1）若腰长比底边长短，求它的三边长； （2）能围成有一边的长是的等腰三角形吗﹖若能，请求出它的另两边，若不能，请说明理由． 19. 如图，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，． （1）的度数为_____； （2）若，求的度数． 20. 已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2． （1）求证：BD=CE； （2）求证：∠M=∠N． 21. 已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接． （1）求证：； （2）试猜想、有何特殊位置关系，并证明． 22. （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I，求证：I是的中点． 23. 综合与实践 阅读材料：一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．如图1，的重心的横、纵坐标分别为，．如图2，正方形的重心是对角线与的交点，重心的横、纵坐标分别为，（或，）．若一个平面图形的重心坐标为，面积为，被分成部分的重心坐标分别为，，…，，面积分别为，，…，，则，．如图3，正方形的重心，面积为4，正方形的重心，面积为16，由正方形与正方形组成的组合图形的面积为20，重心的横坐标为，纵坐标为． 根据上述阅读材料，解决下面的问题： （1）如图4，的顶点坐标分别为，，，正方形的顶点，，求四边形的重心坐标； （2）如图5，四边形的顶点坐标分别为，，，，求四边形的重心坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鞍山市第二中学2026-2027学年度第一学期八年级 数学学科限时巩固练习（十月） 一、选择题（共8小题，每题3份，共24分） 1. 下列长度的三条线段可以组成三角形的是（　　） A. 3，4，2 B. 12，5，6 C. 1，5，9 D. 5，2，7 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行逐一判断即可． 【详解】解：A．∵，故能构成三角形，符合题意； B．∵，故不能构成三角形，不符合题意； C．∵，故不能构成三角形，不符合题意； D．∵，故不能构成三角形，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了构成三角形的条件，熟知三角形三边的关系是解题的关键． 2. 如图，修建房屋时，为了使木门框不变形，建筑工人在木门框上斜着加了一根木条，这样做的道理是（ ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 两点之间，线段最短 C. 垂线段最短 D. 三角形具有稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变． 【详解】解：这样做的道理是三角形具有稳定性； 故选：D 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，数学要学以致用，会对生活中的一些现象用数学知识解释． 3. 如图，在直角三角形中，，，垂足为D，下列说法中，正确的是（ ）． A. 中，是边上的高 B. 中，是边上的高 C. 中，是边上的高 D. 中，是边上的高 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了三角形的高，根据三角形高的定义解答即可． 【详解】解：∵在直角三角形中，，， ∴边上的高是， 故只有C正确， 故选：C． 4. 如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，由三角形内角和定理得，再根据全等三角形的性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：由三角形内角和定理得，， ∵两个全等三角形， ∴， 故选：． 5. 如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（ ） A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定可作出选择. 【详解】解：在△ADC和△ABC中， ， ∴△ADC≌△ABC（SSS）， ∴∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE． ∴AE是∠PRQ的平分线 故选D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键. 6. 在△ABC与△DEF中，下列各组条件，不能判定这两个三角形全等的是（　　） A. AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F B. AB=EF，∠A=∠E，∠B=∠F C. AC=DF，BC=DE，∠C=∠D D. AC=DE，∠B=∠E，∠A=∠F 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意画出图形，再由全等三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：如图所示， A、AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F，符合AAS定理， ∴△ABC≌△DEF，故本选项正确； B、∵AB=EF，∠A=E，∠B=∠F，符合ASA定理， ∴△ABC≌△EFD，故本选项正确． C、∵AC=DF，BC=DE，∠C=∠D，符合SAS定理， ∴△ABC≌△FDE，故本选项正确； D、∠A=∠F，∠B=∠E，AC=DE，不符合全等三角形的判定定理，故本选项错误； 故选D． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定定理，熟知ASA、SAS及ASA定理是解答此题的关键． 7. 如图，将三角形纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形与折叠问题、三角形内角和定理，由折叠的性质可得，，进而可得， 再利用三角形内角和定理即可求解，熟练掌握折叠的性质及三角形内角和为是解题的关键． 【详解】解：是由沿折叠得到， ，， ，， ， ，即：， ， 故选C． 8. 如图，平面上有与，其中与相交于P点，若，，， ，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理以及四边形的内角和定理，解题的关键是利用整体数学思想求出．易证，由全等三角形的性质可知：，再根据已知条件和四边形的内角和为，即可求出的度数． 【详解】解：在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 二、填空题（共8小题，每题3分，共24分） 9. 已知等腰三角形有两条边的长分别为2cm，4cm，则它的周长为__________ 【答案】10cm 【解析】 【详解】解：∵2+2=4， ∴2cm不能作腰， ∴腰长是4cm， ∴周长=2+4+4=10 cm． 故答案为：10 cm． 10. 经过五边形的一个顶点最多可以画出________条对角线． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查多边形的对角线问题，熟知过n多边形的一个顶点最多可以画条对角线是解答的关键．据此求解即可． 【详解】解：经过五边形的一个顶点最多可以画出条对角线， 故答案为：2． 11. 如图，已知点D在上，点E在上，，请你再补充一个条件，使．你补充的条件是_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，添加条件是，根据全等三角形的判定定理推出即可． 【详解】解：， 理由是：∵在和中 ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 在中，，则边上的中线的取值范围是__． 【答案】 【解析】 【分析】延长到点E，使，连接，证明，得到，在中，根据三角形三边的关系得到，代入求解即可． 【详解】解：如图所示，延长到点E，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 13. 如图是一块面积为10的三角形纸板，点D、E、F分别是线段的中点，则阴影部分的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了三角形面积，熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 根据每条中线将三角形分为面积相等的两部分，计算即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵点D、E、F分别是线段的中点 ∴，，， ∴，，，，，， ∴被分为7个面积相同的三角形，中间阴影部分的三角形的面积是的，所以阴影部分的面积是． 故答案为：． 14. 如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝28°，∠2＝30°，则∠3＝_____． 【答案】58°##58度 【解析】 【分析】先证明△BAD≌△CAE，在利用三角形外角性质计算即可． 【详解】∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， ∴∠1＝∠EAC， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠2＝∠ABD＝30°， ∵∠1＝28°， ∴∠3＝∠1+∠ABD＝28°+30°＝58°， 故答案为：58°． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形外角性质，熟练掌握三角形全等判定和性质是解题的关键． 15. 如图，，若，，则的度数为______． 【答案】##100度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出，再利用三角形内角和求出的度数即可． 【详解】解：由，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 16. 如图，在中，，点C的坐标为，点A的坐标为，则B点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，解题的关键是证明． 过A和B分别作于D，于E，利用已知条件可证明，再有全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标． 【详解】解：如下图，过A和B分别作于D，于E， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点C的坐标为，点A的坐标为， ， ， ， 点的坐标是， 故答案为： 三、解答题（共7小题） 17. 如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．如图，A，B，C均为格点，用无刻度直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线． （1）在图中，画出的中线； （2）在图中，画的高； （3）在图中，F是线段上一点，在线段上画点H，使得线段平分的面积． 【答案】（1） 中线即为所求： （2） 高即为所求： （3） 点H即为所求： 【解析】 【分析】该题考查了格点作图，涉及三角形中线，高线，全等三角形的性质和判定，正确作图是解题的关键． （1）取格点M、N，连接交于点，连接，即为所求． （2）取格点G，连接交于点，即为所求． （3）取格点H，连接，线段平分的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即是的高． 【小问3详解】 解：， 即线段平分的面积． 18. 用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． （1）若腰长比底边长短，求它的三边长； （2）能围成有一边的长是的等腰三角形吗﹖若能，请求出它的另两边，若不能，请说明理由． 【答案】（1），， （2）能，另外两条边长都是 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键，注意利用三角形三边关系进行验证． （1）设腰长为，则底边长为，由条件列出方程，求解即可； （2）分腰长为和底边长为两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：设腰长为，则底边长为， ． 解得． ∴它的三边分别为，，． 【小问2详解】 解：能围成有一边长的长是的等腰三角形．理由如下： ①如果长的边为底边，设腰长为，则 ． 解得． ②如果长的边为腰，则另两边长为，． ∵，不符合三角形两边之和大于第三边， 故不能围成腰长为的等腰三角形， 综上所述，能围成有一边长的长是的等腰三角形．它的另外两条边长都是 19. 如图，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，． （1）的度数为_____； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和，结合角平分线性质求出，再用内角和求； （2）先算出，由角平分线得；再由高得到直角三角形求出，两角相减得到． 【小问1详解】 解：∵在中，， ∴， ∵、是角平分线，它们相交于点， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵在中，，， ∴， ∴平分， ∴， ∵是高，即， ∴， ∴． 20. 已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2． （1）求证：BD=CE； （2）求证：∠M=∠N． 【答案】 （1）证明：在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD=CE； （2）证明：∵∠1=∠2， ∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE， 即∠BAN=∠CAM， 由（1）知：△ABD≌△ACE， ∴∠B=∠C， 在△ACM和△ABN中， ， ∴△ACM≌△ABN（ASA）， ∴∠M=∠N． 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定证明△ABD≌△ACE（SAS）即可； （2）由△ABD≌△ACE证得∠B=∠C，进而证得△ACM≌△ABN（ASA），再根据全等三角形的性质可证得结论． 【详解】略 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． 21. 已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接． （1）求证：； （2）试猜想、有何特殊位置关系，并证明． 【答案】（1） 证明：， ， 即， 在和中， ． （2） 解：、特殊位置关系为． 证明如下：由（1）知， ． ， ． ． 即． 、特殊位置关系为． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，两条直线的位置关系，熟练运用全等三角形的判定是解题的关键． （1）已知，，由可得，利用“”即可证明； （2）由（1）知，可得，通过角之间的等量代换，得出即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I，求证：I是的中点． 【答案】 （1）证明：如图1， 直线l，直线l， ∴， ， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （2）成立，理由如下： 如图， 证明如下： ， ∴， ∴， 在和中． ． ∴，， ∴； （3）证明：如图3， 过E作于M，的延长线于N． ∴， ， ， 是边上的高， ， ， ， ， ， ， 同理， ， ， 在△EMI和△GNI中， ， ， ， I是的中点． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到、是解题的关键． （1）由条件可证明，可得，，可得； （2）由条件可知，且，可得，结合条件可证明，可得出结论； （3）由条件可知，可得，结合条件可证明，可得出结论I是的中点． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）略 23. 综合与实践 阅读材料：一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．如图1，的重心的横、纵坐标分别为，．如图2，正方形的重心是对角线与的交点，重心的横、纵坐标分别为，（或，）．若一个平面图形的重心坐标为，面积为，被分成部分的重心坐标分别为，，…，，面积分别为，，…，，则，．如图3，正方形的重心，面积为4，正方形的重心，面积为16，由正方形与正方形组成的组合图形的面积为20，重心的横坐标为，纵坐标为． 根据上述阅读材料，解决下面的问题： （1）如图4，的顶点坐标分别为，，，正方形的顶点，，求四边形的重心坐标； （2）如图5，四边形的顶点坐标分别为，，，，求四边形的重心坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形的应用、有理数的混合运算，理解题中重心定义和运算法则是解答的关键． （1）先根据坐标与图形性质和题中运算规则求得的面积，重心；正方形的面积，，进而利用图形的重心公式求解即可； （2）连接，过作轴，垂足为，过作轴，垂足为．先利用坐标与图形求得，进而求得，，再利用三角形的重心公式分别求得，，然后利用图形重心公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，的面积， 的重心的横坐标为， 纵坐标为． ． 正方形的面积，重心的横坐标为， 纵坐标为， ． 四边形的面积． 四边形的重心横坐标为， 纵坐标为．4分 四边形的重心坐标为； 【小问2详解】 解：如图，连接，过作轴，垂足为，过作轴，垂足为． 则 ， ，． 的重心的坐标为，即． 的重心的坐标为，即． 四边形的重心横坐标为， 四边形的重心纵坐标为． 四边形的重心坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $