精品解析：福建省莆田十五中学2026-2027学年八年级上学期第一次学情自测数学试题

2026-2027学年莆田第十五中八年级上学期数学第一次月考卷 （满分150分，时间120分钟） 第I卷（选择题） 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 在下列各组图形中，是全等图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫全等图形，它们的形状、大小完全相同，逐一分析各选项即可． 【详解】选项：两个图形形状相同，但大小不同，所以它们不是全等图形； 选项：两个图形形状和大小都不相同，所以它们不是全等图形； 选项：两个图形形状和大小都不相同，所以它们不是全等图形； 选项：两个图形形状和大小都完全相同，所以它们是全等图形． 2. 下列长度的各组线段，能组成一个三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、，不满足三角形两边之和大于第三边，不能组成三角形； B、，不满足三角形两边之和大于第三边，不能组成三角形； C、满足三角形任意两边之和大于第三边，能组成三角形； D、，不满足三角形两边之和大于第三边，不能组成三角形． 3. 下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】三角形的高线的定义可得，D选项中线段BE是△ABC的高． 故选：D 4. 如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他只要带第③块碎片去商店，就可以配出一块与原来完全一样的三角形模具，这样做利用全等三角形的判定依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：他带第③块碎片去是因为第③块保留了该三角形的两个角及其夹边，所以他利用了全等三角形的判定依据是． 5. 如图所示，甲、乙两个三角形中能用“”判定和全等的是（　　） A. 只有甲 B. 只有乙 C. 甲和乙 D. 都不是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据判定三角形全等的条件，逐一判断即可解答． 【详解】解：甲的边，的夹角和的边，的夹角不对应，故甲三角形与不全等； 乙的角，和边与的角，和边对应，能用“”证明乙三角形与全等； 则甲、乙两个三角形中能用“”判定和全等的是乙． 故选：B． 6. 若等腰三角形的一边长等于6，另一边长等于5，则它的周长等于（ ） A. 15或16 B. 16 C. 17 D. 16或17 【答案】D 【解析】 【分析】由于等腰三角形的底边与腰不能确定，故应分5为底边与6为底边两种情况进行讨论． 【详解】解：当5为底边时，这个等腰三角形的周长为：； 当6为底边时，这个等腰三角形的周长为：； 即它的周长等于16或17， 故选：D． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 7. 如图，在中，D是的中点，E是的中点，阴影部分的面积为2，则的面积是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积与中线的关系，根据等底同高的两个三角形面积相等，依次计算即可，熟练掌握中线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵D，E分别是，的中点， ∴，，，， ， ∵， ∴， 故选B． 8. 如图，用尺规作出了，其作图依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：由作法可知：，， ， ． 故选：A． 9. 如图，在中，平分，点F在线段上，过点F作，垂足为F，与的延长线交于点E．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先观察，因为，所以，结合已知的度数，可求出的度数．结合已知的度数，可求出的度数．因为平分，所以，可得到的度数．最后在中，利用三角形内角和为，可求出的度数． 【详解】解：， ， 在中，． ， 代入已知得： ． 平分， ． 在中，． 10. 如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得，再结合角平分线的定义，找出角变化的规律即可求解． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴． 第II卷（非选择题） 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 如图，长治漳泽湿地公园的网红桥（神农湖大桥），在修建时采用三角形钢架结构，这是利用了三角形的________． 【答案】稳定性 【解析】 【详解】解：在修建时采用三角形钢架结构，这是利用了三角形的稳定性． 12. 如图，和中，顶点B，F，C，E在同一直线上，且，，请再添加一个条件，使，这个条件是______．（写出一个即可） 【答案】 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， 添加， ∴； 添加， ∴； 添加， ∴， ∴； 故答案为：（答案不唯一）． 13. 设三角形三边长分别为、、，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形三边关系，即任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，列出不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为、、， ， 整理得： ， ∴． 14. 如图，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形内角和为求得，结合推导出的数值． 【详解】解：如图， ， ∴， ∵， ∴， ， ． 15. 如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，________． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠性质得出 ，，结合平角定义和三角形内角和定理求出的度数，再利用角平分线定义及三角形内角和定理求出的度数. 【详解】解：由折叠可知， ， ，  ，  ，  ，  ，  ， ，   ， ，   ， 分别平分 ， ，   ，  ，  ，  ， ，  ． 16. 如图，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动（到点停止运动），同时，点从点出发（到点停止运动），以的速度沿向点运动，当的值为_______，可以使与全等． 【答案】2.4或2 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定．分两种情况：当，时，，当，时，，分别求解即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴． 当，时，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； 当，时，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为2.4或2． 故答案为：2.4或2． 三、解答题（共9题，共86分） 17. 在中，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形三个内角的关系设未知数，结合三角形内角和为列方程即可求解． 【详解】解：设，则，， 任意三角形的内角和为，即， ， 解得，即． 18. 已知：如图，，．求证：． 【答案】 证明：在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 根据已知条件可依据“”判定和全等，再根据全等三角形的对应边相等即可得出结论． 【详解】略 19. 如图，已知点E、C在线段上，，，．求证：． 【答案】 证明：， ， ， ， ， 在和中 ， （）． 【解析】 【分析】可证，，即可求证． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握判定方法是解题的关键． 20. 如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 【答案】 证明：， ， ，， ，， ，， ， 是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和以及直角三角形的判定，用三角形的内角和求得即可． 【详解】略 21. 如图，、分别是的高和中线，若，，， （1）求的长 （2）求与的周长差 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式解答即可； 利用三角形中线的定义可得，即得的周长的周长，代入已知数据即可求解． 【小问1详解】 解：∵是的高，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵是的中线， ∴， ∴的周长的周长 ． 22. 已知a，b，c是的三边长，且a，b，c都是整数． （1）若，，且c是奇数，试判断的形状； （2）化简：． 【答案】（1）等腰三角形 （2） 【解析】 【分析】(1) 根据三角形三边关系确定的取值范围为，结合为奇数得，从而，判定为等腰三角形． (2) 利用三角形两边之和大于第三边判定三个绝对值内的代数式均为负数，去绝对值后合并同类项化简得． 【小问1详解】 解：∵a，b，c是的三边长 且，， ∴，即， ∵c是奇数， ∴， ∴ ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 解：∵a，b，c是的三边长 ∴，，， ∴， ∴原式 ． 23. 小萌同学与爸妈周末去公园游玩——荡秋千，如图所示，小萌坐在秋千的起始位置处，与地面垂直并交于点，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她，若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，，爸爸在处接住小萌时． （1）判断与是否全等，并说明理由； （2）求处距离地面的高度． 【答案】（1），理由如下： 由题意可知，， 故， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据等角的余角相等和直角三角形的性质得出，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，，结合题意，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵，分别为和， ∴， ∵， ∴， ∴处距离地面的高度为． 24. 按要求解答： （1）【探究与发现】如图1，是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为________． A．    B．    C．    D． （2）【变式与应用】数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？第一组经过合作交流，得到如下的解决方法，请同学们认真阅读，完成填空． 【探究方法】 ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是________． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． （3）【问题拓展】如图2，，，与互补，连接，是的中点，试说明：． 【答案】（1）B （2） （3） 证明：如图，延长至，使，连接． ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵与互补， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定方法确定答案； （2）根据三角形的三边关系直接得出答案； （3）通过题目给出的作辅助线的方法作出辅助线，通过证明三角形全等得到线段的等量关系，进而得出证明． 【小问1详解】 解：∵是的中线， ∴， 又∵， ∴ 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴， 在中，由三角形的三边关系可得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 略 25. 阅读理解，自主探究：在初中几何学习中，当图形中出现多个直角且存在相等的线段时，可结合全等三角形的判定与性质来分析线段之间的关系，这是解决这类几何问题的常用思路． 【问题解决】 （1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是__________； 【问题探究】 （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）存在；点的坐标为：，，． 【解析】 【分析】（1）利用证明，即可得到； （2）利用证明，再利用全等三角形的性质运算即可； （3）分类讨论点的位置，结合全等三角形的性质运算即可． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在与中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴和中， ， ∴， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： ①：当，时，过点作平行于轴的直线，于点，于点，如图所示： ∵，， ∴，， 由（1）同理可证， ∴，， ∴点的横坐标，点的纵坐标， ∴； ②：当，时，过点作平行于轴的直线，于点，于点，如图所示： ∵，， ∴，， 由（1）同理可证， ∴，， ∴点的横坐标，点的纵坐标， ∴； ③：当，时，过点作平行于轴的直线，于点，于点，如图所示： 设， ∵，， ∴，，，， 由（1）同理可证， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 综上，点的坐标为：，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年莆田第十五中八年级上学期数学第一次月考卷 （满分150分，时间120分钟） 第I卷（选择题） 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 在下列各组图形中，是全等图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列长度的各组线段，能组成一个三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他只要带第③块碎片去商店，就可以配出一块与原来完全一样的三角形模具，这样做利用全等三角形的判定依据是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，甲、乙两个三角形中能用“”判定和全等的是（　　） A. 只有甲 B. 只有乙 C. 甲和乙 D. 都不是 6. 若等腰三角形的一边长等于6，另一边长等于5，则它的周长等于（ ） A. 15或16 B. 16 C. 17 D. 16或17 7. 如图，在中，D是的中点，E是的中点，阴影部分的面积为2，则的面积是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 如图，用尺规作出了，其作图依据是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，平分，点F在线段上，过点F作，垂足为F，与的延长线交于点E．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，则（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 如图，长治漳泽湿地公园的网红桥（神农湖大桥），在修建时采用三角形钢架结构，这是利用了三角形的________． 12. 如图，和中，顶点B，F，C，E在同一直线上，且，，请再添加一个条件，使，这个条件是______．（写出一个即可） 13. 设三角形三边长分别为、、，则的取值范围是______． 14. 如图，若，则________． 15. 如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，________． 16. 如图，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动（到点停止运动），同时，点从点出发（到点停止运动），以的速度沿向点运动，当的值为_______，可以使与全等． 三、解答题（共9题，共86分） 17. 在中，，，求的度数． 18. 已知：如图，，．求证：． 19. 如图，已知点E、C在线段上，，，．求证：． 20. 如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 21. 如图，、分别是的高和中线，若，，， （1）求的长 （2）求与的周长差 22. 已知a，b，c是的三边长，且a，b，c都是整数． （1）若，，且c是奇数，试判断的形状； （2）化简：． 23. 小萌同学与爸妈周末去公园游玩——荡秋千，如图所示，小萌坐在秋千的起始位置处，与地面垂直并交于点，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她，若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，，爸爸在处接住小萌时． （1）判断与是否全等，并说明理由； （2）求处距离地面的高度． 24. 按要求解答： （1）【探究与发现】如图1，是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为________． A．    B．    C．    D． （2）【变式与应用】数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？第一组经过合作交流，得到如下的解决方法，请同学们认真阅读，完成填空． 【探究方法】 ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是________． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． （3）【问题拓展】如图2，，，与互补，连接，是的中点，试说明：． 25. 阅读理解，自主探究：在初中几何学习中，当图形中出现多个直角且存在相等的线段时，可结合全等三角形的判定与性质来分析线段之间的关系，这是解决这类几何问题的常用思路． 【问题解决】 （1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是__________； 【问题探究】 （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $