第一章《特殊平行四边形》章节复习卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

第一章《特殊平行四边形》章节复习卷 一、选择题(10小题，每小题3分，共30分) 1.如图，口ABCD的对角线AC与BD相交于点O.要使它成为矩形，需再添加的条件是 B A.BO=OD B.AC=BD C.AC⊥BD D.BD平分∠ABC 2.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E,使AE=AC,连接CE,则∠E的度数是 B A.25 B.45° C.67.5° D.75o 3.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,若∠AOB=50°，则∠OBC的度数是 D B A.25° B.30° C.20° D.15° 4.如图，菱形ABCD中，连接AC,BD,若∠I=20°，则∠2的度数为() D C A B A.20° B.60° C.70° D.80° 5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,∠A0B=60,AB=5,则BD的长为 A D 60°> B C A.20 B.15 C.10 D.5 6.图，在R△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=V5,点P是斜边AB上一动点，连结CP,将 △BCP 以直线P为对称轴进行轴对称变换，B点的对称点为B,连结B,则在P点从点小出 CP D 发向点B运动的整个过程中，线段AB长度的最小值为() B B A.1 B.V3 C.3-1 D.3-V5 7.如图，在△ABC中，，∠C=90°，AC=8,BC=6,线段DE的两个端点D,E分别在边ACBC 上滑动，且DE=4.若M,N分别是DE,AB的中点，则MN的最小值为() D ch M E A.2 B.3 C.3.5 D.4 8.如图，菱形48CD的顶点4，B的坐标分别为2)，（2-，BC轴，将菱形4CD平移， 使点A与原点O重合，则平移后点C的对应点的坐标为(). A.(32-3,-3) B.(65-2,3) c.(32+3,-3) D.(32+33) 9.如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O,下列结论正确的是 () D C 0 A.当平行四边形ABCD是矩形时，AO=BO B.当平行四边形ABCD是正方形时，AC=BC C.当平行四边形ABCD是菱形时，∠ABC=90° D.当平行四边形ABCD是矩形时，AC L BD 10.如图，四边形ABCD是菱形，AC与BD相交于点O,DH⊥AB,连接OH,下列结论错误 的是() E B A.AC.OH=AB·DH B.B.△AEH≌ADEC C.C.OB2+OC2=AD2 D.D.∠DAO=∠ODE 二、填空题(8小题，每小题3分，共24分) 11.如图，在一次综合实践活动中，小明将一张边长为10cm的正方形纸片ABCD,沿着BC边 上一点E与点A的连线折叠，点B是点B的对应点，延长EB交DC于点G,经测量BE=2Cm, B'G=20 cm,则aECG的面积为】 -cm2. D G B B C E 12.如图，在直线1上摆放着三个正方形，其中正放的两个正方形的顶点M,W分别是斜放正 方形相邻两边的中点，三个正方形的面积依次为S,S,S.已知S=1,S=3,则S= 57 M 5= 53=3 13.如图，在口ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,若再补充一个条件能使它成为矩形， 则这个条件可以是 (只填一个条件即可). B 14.如图，在ABCD中，AD>AB,E,F分别为边BC,AD上的点(E,F不与端点重合). 对于任意口ABCD,下面四个结论： D B C ①存在无数个平行四边形ABEF;②至少存在一个菱形ABEF;③至少存在一个矩形ABEF;④ 存在无数个面积是口ABCD面积的一半的四边形ABEF,所有正确结论的序号是一· 15.如图，在矩形ABCD中，AB=5,BC=a,点E在边AD上，连接BE,将△ABE沿BE折叠， 点A的对应点为F.若在AD边上存在两个不同位置的点E,使得点F落在∠C的平分线上，则 a的取值范围为· E D 16.如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=16,点B落在点F处，折痕为AE,EF=6,则AB的 长为 E 17.如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB,E为BC的中点，DF⊥AB于点F,连结DE、 EF,若∠FDE=43°，则∠BEF=· E B A 18.如图，在菱形ABCD中，AE垂直平分BC,垂足为E,AB=4,那么菱形ABCD的面积是 三、解答题(9小题，共66分) 19.如图，线段AC是矩形ABCD的对角线. D B (1)实践与操作，利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为O,交AB于点E,交DC于点F, 连接AF,CE(要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，需标明字母) (2)猜想与证明试猜想四边形AECF的形状，并加以证明. 20.如图，在菱形ABCD中，点E,F分别在AD,CD上，且AE=CF.求证：∠DAF=∠DCE. E D B 21.一个菱形的周长是200cm,一条对角线长60cm,求： (1)另一条对角线的长度； (2)菱形的面积. 22.如图，若四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且 OA-OB-OC-OD-2 AB ,则四 边形ABCD是正方形吗？ D 23.如图，点M在口ABCD的边AD上，BM=CM.请从以下三个条件中选择一个作为已知条 件，使ABCD为矩形. M D ①∠1=∠2；②AM=DM;③∠3=∠4. (1)你添加的条件是 (填序号)· (2)添加条件后，请证明口ABCD为矩形. 24.在平行四边形ABCD中，AC,BD交于点O,过点O作直线EF,GH,分别交平行四边形的 四条边于E,G,F,H四点，连接EG,GF,FH,HE. (1)如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由； ① (2)如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是 H B ② (3)如图③，在(2)的条件下，若AC=BD,则四边形EGFH的形状是 E A D G 0 H 因 ③ 25.如图1，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AC=6cm,BD=8cm,分别过点B、 C作1C与BD的平行线相交于点E. 图1 图2 (1)判断四边形BOCE的形状并证明； (2)点G从点A出发沿线段AC的方向以2cm/s的速度运动了s,连接BG,当S△ABG=2S△o8G时， 求t的值. 26.如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为AD边上的一点，将正方形纸片折 叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H,折痕为EF,连接BP,BH. (1)求证：∠APB=∠BPH; (2)当点P在边AD上移动（不与点A、点D重合）时，△PDH的周长是否发生变化？请证明 你的结论. 27.如图，△ABC中，CA=CB,E、F分别在AC、AB的延长线上，且CE=CF,EG⊥AB于 G FHLAB于H,连接 F 不 0)求证：四边形EGH是矩形： (②)若∠A=30,且四边形FEGH是正方形时，求AC:CE的值. 参考答案 一、选择题 1.B A.:四边形ABCD是平行四边形，∴.BO=OD,无法判断其为矩形，故此选项不符合题意； B.四边形ABCD是平行四边形，AC=BD,ABCD是矩形，故符合题意； C.:四边形ABCD是平行四边形，AC LBD,∴.ABCD是菱形，故不符合题意； D.:四边形ABCD是平行四边形，BD平分∠ABC,:.口ABCD是菱形，故不符合题意； 故选：B. 2.C 四边形ABCD是正方形， ∴.∠CAE=45°， .AE=AC, :∠E=180°-45 2 =67.5° 故选C. 3.A 解：，四边形ABCD是矩形， ..OC=OB. .:∠AOB=50°，∠OBC+∠OCB=∠AOB, .∠OBC=∠OCB=25°， 故选：A. 4.C 解：，四边形ABCD是菱形 .BD⊥AC,AB∥CD ∴.∠1=∠ACD,∠ACD+∠2=90° .∠1=20°， ∴.∠2=90°-20°=70° 故选：C 5.C 解：在矩形ABCD中，OMOB,· :∠A0B60°， ∴.△AOB是等边三角形， ∴.0BAB5, .∴.BD20B2×5=10. 故选：C 6.D ,将△BCP以直线CP为对称轴进行轴对称变换，B点的对称点为B,AC、B'C长度不变，故 当A、B、C在三点共线时，符合题意， 即点B'在AC上时，线段AB长度最短，即AB=ACB'C, 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=V3, ∴.AB2BC-2V5, ACVAB-BC=3 .线段AB长度最短为ACB'C=3-V3, 故选D. 7.B 解：如图，连接CM,CV」 :∠ACB=90°，.AB=VAC2+BC2=10 .DE=4,M,N DE,AB 分别是 的中点， :.CN=14B=5,CM=IDE=2 当点C,M,N在同一直线上时，MN取得最小值， .∴.MW 的最小值=CW-CM=5-2=3 故选：B. 8.A 解：“A，8的坐标分别为L2)（2-) :.AB=V1+2}+(2+1=32 ,菱形ABCD, .'BC=AB=32, 又BC∥x轴， ·点C的坐标为2+3W2- 将菱形ABCD平移，使点A与原点O重合， 菱形ABCD向左平移1个单位，向下平移2个单位， “平移后点C的对应点的坐标为-2+32-山-1-2，即32-3-3 故选：A. 9.A 解：A、当平行四边形ABCD是矩形时，AO=BO,结论正确，符合题意； B、当平行四边形ABCD是正方形时，AB=BC,而AC=√2BC,原结论错误，不符合题意； C、当平行四边形ABCD是正方形时，∠ABC=90°，原结论错误，不符合题意； D、当平行四边形ABCD是矩形时，对角线不垂直，原结论错误，不符合题意； 故选：A· 10.B 解：四边形ABCD是菱形， 小菱形ABCD的面积=24C,BD, .DH⊥AB, ∴.菱形ABCD的面积=AB·DH, ÷号4cn=ABnm, .∠DHB=90°，OB=OD, .OH-1BD 2 ∴.BD=2OH, AC.20H AB.DH ∴·AC·OH=AB·DH,故A正确； 根据题意不能得到△AEH≌aDEC,故B错误； :四边形ABCD是菱形， .AD=BC=AB,AC⊥BD, .OB2+OC2=BC2=AD2,故C正确； .∠AOD=∠DHB=90°， ∴.∠DAO+∠AD0=∠ODE+∠OBA=90°， AD=AB, .∠ADB=∠ABD, ∴.∠DAO=∠ODE,故D正确； 综上所述：结论错误的是B, 故选：B 二、填空题 0 11.3 解：折叠， .BE=B'E 20 B'G= cm .BE 2cm, 3 ·EG=2+20、26 33 cm,EC=BC-BE=8 cm ,四边形ABCD是正方形 ∴.∠C=90° Rt△EGC 中 ca-Ro-Com 1 1040 SAECG _LxECxCG- 2 *8x 33 cm2. 40 故答案为：3 12.16 解：如图， sn M 5= S3=3 A B C ,正放的两个正方形的顶点M,W分别是斜放正方形相邻两边的中点， ∴.BMBN,.∠MB90°，∠MAB∠NCB-90°， .∴.∠MBA什∠CB90°， ,∠MBA什∠AMB-90°， ∴.∠AIMB∠CBN, ∴.△AMB≌△CBN(AAS), ∴.BCAM, S=1,S=3 ∴Af1,CN=V3 ∴.由勾股定理得：Bf2, .S2=(2BM)2=16 故答案为：16 13.AC=BD(答案不唯一) 解：若使ABCD变为矩形，可添加的条件是： AC=BD:(对角线相等的平行四边形是矩形) 故答案为：AC=BD(答案不唯一)， 14.①②④ ①存在无数个平行四边形ABEF,故①正确； ②平行四边形的包含矩形、菱形图形，故②正确； ③平行四边形不一定是矩形，故③正确： ④存在无数个平行四边形ABEF,故④正确； 15.5≤a≤5V2 ①点E,点F在落在∠C的平分线上；如图1， D B 图1 由折叠得，BF=AB=5,∠BFE=∠A=90°， ∴.∠BFC=90°， .CE是∠BCD的平分线， ∴.∠BCF=45°， .∠FBC=45°， ∴.△BFC是等腰直角三角形， ∴BC=52,即a=5V2; ②点E与点D重合，点F落在点C上，如图2， A D(E) B C(F) 图2 此时矩形ABCD是正方形， 因此BC=AB=5,即a=5; 所以a的取值范围为：5≤a≤5V2. 故答案为：5≤a≤5V2. 16.12 解：：四边形ABCD是矩形，AD=16, ..BC=16 ”aMEF是△1EB 翻折而成， :BE=EF=6AB=AF,△CEF是直角三角形， ∴.CE=16-6=10 在Rt△CBF中，CF=VCE-EF=8, 设AB=x, 在Rt△ABC中，AC2=AB+BC2, 即x+8)=x2+162 解得x=12, 则AB=12. 故答案为：12. 17.39 如图，延长FE,DC交于点M, M B E F D 四边形BC 是平行四边形，DF1B .AB/ICD ∴.∠BFD=∠FDM=90° .∠B=∠BCM∠BFE=∠M E为BC的中点， ∴.CE=BE .·BC=2AB=2CD :.CD=1BC=EC 2 ∴.∠CED=∠CDE=∠CDF-∠EDF=90°-43°=47° ∴.∠ECD=180°-∠CED-∠CDE=180°-47°-47°=86° ∴.∠ECM=180°-86°=94° 在△BEF和aCEM中， ∠B=∠BCM ∠BFE=∠M CE=EB ∴.△BEF≌ACEM ∴EM=EF, ∠FDM=90° ∴.DE=EM .∴.∠M=∠EDC=47° ∴.∠CEM=180°-∠ECM-∠M =180°-94°-47°=39° ∴.∠BEF=∠CEM=39° 故答案为39°」 18.83 解：在菱形ABCD中，AB=BC, ,AE垂直平分BC, ∴.ABAC, △ABC是等边三角形， .AB4, 由勾股定理得，AE2W5, ∴.菱形ABCD的面积=4X2V3=85 故答案为8V3 三、解容题 19.(1)所求垂直平分线如图所示： (2)四边形AECF是菱形. 证明：，四边形ABCD是矩形， .AB∥CD, ∴.∠OCF=∠OAE. 在△OCF和△OAE中， 「∠OCF=∠OAE OC=OA ∠COF=∠AOE' △COF≌△AOE(ASA) 。。 ∴.CF=AE, CF∥AE, 四边形AECF是平行四边形. ,EF是线段AC的垂直平分线， .AF =CF, 四边形AECF是菱形. 20.证明：.四边形ABCD是菱形， .'AD=CD, .AE=CF, ..AD-AE=CD-CF,DE=DF, .'∠D=∠D,AD=CD,DE=DF ,△ADF≌△CDE(SAS) ∴.∠DAF=∠DCE. 21.解：(1)四边形ABCD为菱形， ∴.AB-BC-CD-AD,BD60cm,B0DO30cm,AO⊥B0, ,C菱形200cm, .∴.4AB200cm, ∴.AB50cm, 在Rt△A0B中，由勾股定理40=VAB-0B=V502-30=40 m, .∴.AC2AO80cm; D O B 2)SE34C:BD=80x60=240c 22.解：四边形ABCD是正方形， 理由是：.OA=OB=OC=OD, ∴.AC=BD,四边形ABCD是平行四边形， ∴.平行四边形ABCD是矩形， 01=0B=0C=0D= 2 AB 2 ∴.OA+OB=AB, ∴.∠A0B=90°， 即AC⊥BD, .四边形ABCD是正方形. 23.(1)解：添加的条件是①， 故答案为：①（答案不唯一）； (2)证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,ABI CD (AB=DC {∠1=∠2 在和 △ABM△DCM 中，BM=CM ∴.△ABM≌ADCM(SAS) ∠A=∠D 又：AB IICD, ∴.∠A+∠D=180°， ∴.∠A=∠D=90° ∴.口ABCD 为矩形. 24.(1)四边形EGFH是平行四边形； 证明：，口ABCD的对角线AC、BD交于点O, 点O是口ABCD的对称中心； ..EO=FO,GO=HO: .四边形EGFH是平行四边形； (2)证明'四边形EGFH是平行四边形，EF⊥GH, ∴.四边形EGFH是菱形； (3)证明：由(2)可知，四边形EGFH是菱形， 当AC=BD时，对四边形EGFH的形状不会产生影响， 故答案为：菱形 25.（1)结论：四边形BOCE是矩形. 证明：BElOC,EC∥OB, ·四边形 OBEC 是平行四边形， “四边形 BCD 是菱形， .AC⊥BD ∴.∠BOC=90° 四边形BOC 是矩形； (2):四边形ABCD是菱形，AC=6cm,BD=8cm, ..OA=OC=3cm OB=OD=4cm SARG=2S.08G .∴AG=20G, .2t=2(3-21)2t=2(2t-3) 或 解得t=1或t=3, 六满足条件的的值为1或3： 26.(1)由折叠的性质，得∠EPH=∠EBC=90°，PE=BE, ∴.∠EBP=∠EPB, ∴.∠EPH-∠EPB=LEBC-∠EBP. 即∠PBC=∠BPH. .AD//BC. ∴.∠APB=∠PBC, ∴.∠APB=∠BPH. (2)△PDH的周长不变.证明如下： 过点B作BQ LPH,垂足为O. 由(1)知∠APB=∠BPH. 在△MBP和AOBP中， [∠APB=∠QPB, ∠A=∠BQP, BP=BP, .△MBP≌△QBP .AP=OP,AB=OB ..AB=BC, .BC=BO BC=BO, 在Rt△BCH和RtABOH中，BH=BH, .RtABCH≌RtABOH, ..CH=OH ∴.△PDH的周长为PD+DH+PH=PD+DH+AP+HC=AD+CD=8, 故△PDH的周长不发生变化. E H B 27.证明：(0CA=CB,CE=CF ∴.∠A=∠B,∠AEF=∠BFE, .∠ACF=∠ECB, ∴.∠A=∠AEF, ..EF//AB .:EG⊥AB于G,FH⊥AB于H, ..EG//FH ∴.四边形FEGH是平行四边形， .EG⊥AB, ∴.四边形FEGH是矩形； (2)设正方形FEGH的边长为，EG与BF交点为K, .∠A=30°， ∴.∠B=∠AEF=∠BFE=∠A=30°， AG-VGE3 EK GK=1-5 3 3， B=5GK=51-9-5-1 .AB=AG+GB=23-1. ...EF//AB .AC:CE=AB:EF=23-1