第一章 特殊平行四边形 能力提升自测 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

第一章 特殊平行四边形 能力提升自测卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知四边形是平行四边形，添加下列一个条件，可以使平行四边形为菱形的是（     ） A． B． C． D． 2．下列选项中，矩形具有菱形不一定具有的性质是（     ） A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角 3．如图，在矩形中，对角线、交于点，若，，则的长为（     ） A．4 B． C．3 D．5 4．如图，四边形是正方形，以为边向右侧作一个等边，则（     ） A． B． C． D． 5．如图，在矩形中，，，平分交于点，连接，取的中点，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 6．如图，三星堆出土的铜眼形器可抽象为菱形，测得边长，，则菱形的面积等于（     ） A． B． C． D． 7．如图，在矩形中，，，折叠该矩形，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 8．如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在平行四边形中，、分别为、边上的点，，．若，，点在上且平分，则线段的长度为（     ） A． B． C． D． 10．如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点E、F，连结交于点，连结、．若，，下列四个结论中正确的是（） ①为等边三角形；②； ③四边形是菱形；④． A．①② B．①②③ C．①③ D．①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．菱形的周长是，两条对角线的长度比是，这个菱形的面积是______． 12．如图，已知菱形的一个内角，对角线、相交于点，点在上，且，则的度数为_____________． 13．如图，，都是矩形，而且点在边上，其中，，则矩形的面积为___________． 14．如图，在正方形中，点是上一点，过点作于点，于点，连结，若，则的最小值为________． 15．如图，将边长为2cm的菱形沿边所在的直线翻折得到四边形．若，则四边形的面积为______．    16．如图，在矩形中，其中平分，交于点，交于点，以为边，作．则下列结论：    ①；②矩形的面积等于的面积；③；④四边形是正方形； 其中一定正确的结论是______．（填写所有正确结论的序号） 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．如图，在四边形中，对角线，垂足为，点，，，分别为边，，，的中点．若，求四边形的面积． 18．如图，菱形的对角线相交于点，点是中点，延长线段至点，使，连接，，． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求的长． 19．如图，在四边形中，与交于点． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，求的长和四边形的面积． 20．如图，在Rt中，，，．点从点出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒．过点作于点，连接． (1)求证：； (2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，直接写出相应的值；如果不能，说明理由． (3)当为何值时，四边形为矩形？请说明理由． 21．如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交于点， (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 22．如图，四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以为邻边作平行四边形． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，直接写出的长． 23．如图，正方形，边长为，点是射线上一点，，且交正方形外角的平分线于点． (1)问题1：如图1，当点在边上时，猜想与的数量关系并证明； 问题2：如图2，若点在的延长线上，问题1中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． (2)如图3，连接、，点在运动过程中，求周长的最小值． 24．正方形中，点E是对角线上一动点，过点E作交射线于点F，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，，求的长； (3)若点E为中点，连接，直接写出和的位置关系． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $第一章特殊平行四边形能力提升自测卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.已知四边形ABCD是平行四边形，添加下列一个条件，可以使平行四边形ABCD为菱形 的是() A.AB⊥BC B.∠A=∠C C.AC⊥BD D.AB=CD 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质和菱形的判定定理逐一判断即可. 【详解】解：：四边形ABCD是平行四边形， .∠A=∠C,AB=CD,故B、D不符合题意； 当AB⊥BC时，不能判定四边形ABCD是菱形，故A不符合题意： 当AC⊥BD时，可以根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明四边形ABCD是菱形，故C 符合题意. 2.下列选项中，矩形具有菱形不一定具有的性质是() A.四边相等 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.每条对角线平分一组对角 【答案】C 【分析】根据菱形和矩形的性质判断即可. 试卷第1页（共3页） 【详解】解：选项A:菱形四边相等，矩形四边不一定相等： 选项B:菱形对角线互相垂直，矩形对角线不一定互相垂直： 选项C:矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等： 选项D:菱形的每条对角线平分一组对角，矩形的对角线不一定平分对角. 3.如图，在矩形4BCD中，对角线4C、BD交于点O,若∠A0B=60°，BD=8,则 AB 的长为() D A.4 B.4V5 C.3 D.5 【答案】A 【分析】利用矩形的性质易证△AOB是等边三角形，即可得解。 【详解】解：在矩形ABCD中，BD=8, ∴.AC=BD=8 ∴.OA=OB=三BD=4 :∠AOB=60° ∴.AAOB 是等边三角形， .AB=OB=4 试卷第2页（共3页） 4.如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边向右侧作一个等边△CDE,则∠CAE= A.25° B.30° C.35o D.45° 【答案】B 【分析】利用正方形和等边三角形性质得出AD=DE及∠ADE度数，求出∠DAE,结合 ∠CAD=45° 计算即可. 【详解】解：四边形ABCD是正方形， .AD=CD∠ADC=90°∠CAD=45° :△CDE是等边三角形， ∴.CD=DE∠CDE=60° ∴.AD=DE∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°+60°=150° ∠D1B=80P-∠4DE)-080-150)=15°， ∴.∠CAE=∠CAD-∠DAE=45°-15°=30° 5.如图，在矩形ABCD中，B=4cm,AD=6cm,AE平分∠BAD交BC于点E, 试卷第3页（共3页） 连接DE,取DE的中点F,连接CF,则CF的长为() D E A.23 cm B.3cm C.2v5 cm D.v5cm 【答案】D 【分析】根据矩形性质和角平分线定义推出∠BAE=∠AEB,结合等角对等边求得BE,进 而求得EC,然后根据勾股定理求得DE,最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的 半即可解答. 【详解】解：四边形ABCD是矩形， ∴.AB=CD=4cmAD=BC=6cm∠B=∠BCD=90°AD/BC :AE平分 ∠BAD ∴.∠BAE=∠DAE AD//BC ∴.∠DAE=∠AEB ∴.∠BAE=∠AEB ∴.BE=AB=4cm ..EC=BC-BE=6-4=2(cm) 试卷第4页（共3页） 在RtADCE中，由勾股定理得：DE=VCD2+EC2=V4+2=V20=25(cm), :F为DE的中点， ∠BCD=90° CF是RtDCE 斜边上的中线， :.cF-1DE-1x2V5-V5(cm) 2 6.如图，三星堆出土的铜眼形器可抽象为菱形ABCD,测得边长AB=30cm, ∠ABC=60° 则菱形ABCD 的面积等于()cm A.450 B.450W2 C.450V3 D.900 【答案】C 【分析】过点A作AH⊥BC于点H,可求出∠BAH=30°，则可得到BH=15cm, AH=15√3cm,再根据菱形的面积公式求解即可。 【详解】解：如图所示，过点A作AH⊥BC于点H, A H 试卷第5页（共3页） .∠AHB=90° .∠ABC=60° .∠BAH=90°-∠ABH=30°， -15cm AH =AB2-BH2 =153cm, :四边形ABCD是菱形， .'AB=BC=30cm; :.S菱形ABcD=BC·AH=450V3cm2 7.如图，在矩形ABCD中，AB=3cm,AD=9cm,折叠该矩形，使点D与点B重合， 折痕为EF,则△BEF的面积为() A.3cm2 B.4cm2 C 6cm2 D.7.5cm2 【答案】D 【分析】由折叠的性质可得DE=BE,设AE=xcm,则BE=DE=(9-x)cm,利用勾 股定理可得方程+32=(9-x,解方程求出AB=4cm,根据折叠的性质和矩形的性质 试卷第6页（共3页） 得出即F到BE的距离为3cm,再利用三角形面积计算公式求解即可. 【详解】解：由折叠的性质可得DE=BE, 设AE=cm,则BE=DE=(9-x)cm, 矩形ABCD, :.∠A=90°，AD与CB的距离为3Cm,即F到BE的距离为3Cm, 在Rt△ABE中，由勾股定理得AB2+AE2=BE2, x2+32=(9-x}, 解得x=4, .AE =4cm, .BE=DE 5cm, 1 S,m=7×3×5=7.5cm2 2 8.如图，三个边长为6cm的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形 的中心，则重叠部分（阴影）的面积为() A 9cm2 B.18cm2 C.12cm2 D 24cm2 【答案】B 试卷第7页（共3页） 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，连接OD,OC，由正方 1 形的性质可得 △4OB=SAOCD= SE方形n,证明△OED≌△OFC可得S边形Oae=SoD,进而 可求解. 【详解】解：连接OD,OC, 由题意知：四边形ABCD,四边形OMNP都是正方形， 2B0F=∠D0C=90°，0D-0c,∠0DE=∠0CF=45°，Sam=Sa SE方形BCD 4 .∠EOD=∠FOC 在△OED和△OFC中， ∠EOD=∠FOC OD=OC ∠ODE=∠OCF' ∴.△OED≌△OFC(ASA) SAOED=SAOFC ∴.S四边形OEDF=S△oCD 试卷第8页（共3页） .S重叠部分= 8un-2x6=18(cm） 2 故选：B 9.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为AD、BC边上的点，AF⊥BC, DE=BF.若ME=10,CE=6,点M在CF上且ME平分∠1MC,则线段CM的长度 为() A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】A 【分析】先证四边形AFCE为矩形，结合角平分线与平行线的性质得到等腰三角形，利用 勾股定理计算CM的长度. 【详解】解：：四边形ABCD是平行四边形， :AD=BC ADII BC DE BF, .'AD-DE BC-BF,AE=CF, 又：AE∥CF 试卷第9页（共3页） ∴四边形AFCE是平行四边形， .AF⊥BC, .∠AFC=90°， ∴.平行四边形AFCE是矩形， .AF=CE=6,CF=AE=10,∠AFM=90°， .ME平分∠AMC, .∠AME=∠CME. ADIl BC .∠AEM=∠CME, ∴.∠AME=∠AEM, .AM=AE=10, 在直角三角形AFM中，FM=VAM2-AF2=V102-62=8, ..CM=CF-FM=10-8=2. 10.如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F, 连结BF交AC于点M,连结DE、BO.若∠COB=60°，FO=FC,下列四个结论中 正确的是() 试卷第10页（共3页） ①aDEF为等边二角形：②FM-BM 3 ③四边形DFBE是菱形：④SAAOE SCM=2:3 A.①② B.①②③ C.①③ D.①②③④ 【答案】D 【分)先根报矩形OA=0B=0C)4C,仍1CD,再结合∠COB左60P国 2 △BOC是等边三角形，∠OAB=∠OBA=∠ACD=30°，即可证明△OBF≌aCBF(SSS) ,得到∠CBF=∠OBF=30,∠CFB=∠OFB=60,再证明D在EF的垂直平分线 上， 得到DE=DF,可得△DEF是等边三角形，故①正确；由①可得△BEF也是等边三角 形，DE=BE=BF=DF,由四边相等的四边形是菱形可得四边形DFBE是菱形，故③正 确：根据30直角三角形的性质得到FC=2FM,BF=2FC=4FM,即可得到 FM=3BM,故②正确：先得到SAOs=Se=2 SAFCM,再根据BM=3FM,得到 3 SACw=3 SAFCM即可求出面积比. 试卷第11页（共3页） 【详解】解：四边形ABCD是矩形，O为AC中点， :0A=0B=0C-4C,A8/CD. 2 ∴.∠OAB=∠OBA=∠ACD, ·.·∠COB=60° ∴.△BO 是等边三角形， ∠OAB=∠OBA=∠ACD=30° ∴.OB=BC∠COB=∠BCO=∠OBC=60° ..FO=FC. .∠FOC=∠ACD=30°，∠OFC=120°，∠DFE=180°-∠OFC=120°， OB=BC FO=FC 在 和 中， △OBF△CBF FB=FB' ∴.AOBF≌aCBF(SSS) ∴.∠CBF=∠OBF∠CFB=∠OFB∠FOB=∠FCB=90° ∠CBr=∠0Br=2<0Bc=30.∠CFB=20FB=∠0rC=60, AB∥CD, ∴.∠DFE=∠BEF=60° ∴.∠BFE=∠BEF=60° .BE=BF, 试卷第12页（共3页） .∠FOB=∠FCB=90°， .BO垂直平分EF, ·矩形中D,O,B 点共线， .D在EF的垂直平分线上， ..DE=DF 结合∠DFE=60,可得△DEF是等边三角形，故①正确； 由①可得△BEF也是等边三角形， ∴.DE=BE=BF=DF ∴.由四边相等的四边形是菱形可得四边形DFBE是菱形，故③正确： .△BOC 是等边三角形， .∴.∠ACB=60° .·BO=BC,FO=FC, ∴.BF垂直平分OC,即BF⊥OC, .∠FCM=30 .FC=2FM, 在R△BCF中，∠CBF=30 ∴.BF=2FC=4FM 试卷第13页（共3页） BF=FM+BM :BM=3FM,即FM=3BM,故@正确： 3 .∠FC0=∠FOC=∠AOE=∠OAE=30°OA=OC ,△AOE≡△COF(SAS) .S.AOE=S.COF .F0=FC.∠CFB=∠OFB=60° ..OM=MC, 1 SAFOM SAFCM= 2 SA4OE=SACOF=2SAFCM .·BM=3FM, SAMCM =3SAFCM :Sos:SCw=2 SFCM:3SrCw=2:3,故④正确 综上，正确的结论是①②③④. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.菱形的周长是20cm,两条对角线的长度比是4：3，这个菱形的面积是 cm2 【答案】24 【分析】先求出菱形的边长，然后设菱形的两对角线分别为8x,6x,根据菱形的对角线垂 试卷第14页（共3页） 直平分求出两对角线的一半，再利用勾股定理列式求出x,从而得到对角线的长，然后根据 菱形的面积等于对角线乘积的一半列式进行计算即可得解. 【详解】解：，菱形的周长是20cm, .边长为5cm, ·两条对角线的比是4：3， .设菱形的两对角线分别为8x,6x, 根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分， 则对角线的一半分别为4x，,3x, 根据勾股定理得，(4x)+(3x}=52, 解得：x=1, .两对角线分别为8cm,6cm, 这个菱形的面积2×8x6=24(cm2)】 12.如图，已知菱形ABCD的一个内角∠ABC=80°，对角线AC、BD相交于点O,点 E在AB上，且BE=BO,则∠AOE的度数为 试卷第15页（共3页） 【答案】 20 【分析】由菱形的性质可得∠ABD=40°，∠AOB=90°，结合等腰三角形的性质可得 ∠BOE=70° ∠AOE ,作差求出 即可. 【详解】解：，四边形ABCD是菱形， :∠ABD-)∠ABC=40 ACLBD, .∠AOB=90°， BE=BO, ,∠BOE=∠BEO=180°-∠ABD =70° 2 ∴.∠AOE=∠AOB-∠BOE=20° 13.如图，ABCD,AEFC都是矩形，而且点B在边EF上，其中AB=2,BC=2AB, 则矩形AEFC的面积为， 【答案】8 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行线的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键. 试卷第16页（共3页） 由AB=2,BC=2AB,得出BC=4,求出SC,再利用矩形的性质得出 S形Arc=2 SAARC,即可求解. 【详解】解：，AB=2,BC=2AB, .BC=4, :四边形ABCD是矩形， .∠ABC=90°， 1 SAuWc=AB-BC=4 :四边形AEFC是矩形， ,ACI∥EF S形re=AC.CF=2×5ACCF=2 SMnC=8 故答案为：8」 14.如图，在正方形ABCD中，点P是BD上一点，过点P作PE⊥BC于点E, PF1CD于点F,连结BF,老MB=2,则BF的最小值为 试卷第17页（共3页） 【答案】V2 【分析】连接PC,证明四边形PECF是矩形，得EF=PC,根据“垂线段最短”可求出 PC的最小值为 BD,从面可得出EF的最小值 【详解】解：连接PC, :四边形ABCD是正方形， .∠A=∠BCD=90°，AD=BC=CD=AB=2, BD=AB2+AD2=22 ,PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F, .∠PEC=∠PFC=90°， .四边形PECF是矩形， :EF=PC, 根据“垂线段最短”，当PC⊥BD时，PC取得最小值，即EF取得最小值. 当PC⊥BD时， .BC =CD 试卷第18页（共3页） ∴.PC是△BCD斜边上的中线， :PC-IBD- :EF的最小值为V2 15.如图，将边长为2cm的菱形ABCD沿边AB所在的直线翻折得到四边形ABEF.若 ∠DAB=30 ,则四边 CDFE的面积为 cm2 D B 【答案】4 【分析】直接利用翻折变换的性质再结合等边三角形的判定方法得出DF的长，再证明出四 边形CDFE是正方形，进而求出答案. 【详解】解：：将边长为2cm的菱形ABCD沿边AB所在的直线翻折得到四边形ABEF, ∠DAB=30°， .∠FAB=30°，AD=AF,DF⊥AB, ∴.∠DAF=60° ∴.△ADF是等边三角形， .'AD=AF DF 2cm, 试卷第19页（共3页） 同理可得：BC=BE=CE, :四边形ABCD,ABEF是菱形， :AD=CD=EF, .DF=DC=EF=CE. ∴四边形DFEC是菱形， ∠DCB=∠DAB=30°，∠BCE=60°， .∠DCE=∠DCB+∠BCE=90°， ∴四边形DFEC是正方形， :四边形DFEC的面积为2×2=4cm2 故答案为：4. 【点晴】本题考查菱形的性质，翻折变换的性质等知识，准确判断四边形CDFE是正方形 是解题关键. I6.如图，在矩形ABCD中，其中AD<AB≤2BC,DE平分∠ADC,交AB于点 EEF⊥CE,交D于点F,以CBEF为边，作CFG.则下列结论： 试卷第20页（共3页） ①∠AEF=∠DCG;②矩形ABCD的面积等于口CEFG的面积；③DE=AB；④四边形 CEFG 是正方形： 其中一定正确的结论是 (填写所有正确结论的序号) 【答案】①④/④① 【分析】本题主要考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定 与性质等知识.由矩形的性质和角平分线的性质可得△ADE是等腰直角三角形，即 MD=ME,利用AAS证△1FO△BCE.可得E=EC 进而说明四边形 CEFG 是正方 形：利用等角的余角相等证明∠AEF=∠DCG:求得DE=V2AD,不能比较AB与AD 的大小关系，则DE≠AB;设BE=AF=a,AD=AE=b,则AB=a+b,求得 S矩形AD=ab+b,S方形EG=d+b2,说明②不正确. 【详解】解：：四边形ABCD是矩形， ,:.∠A=∠B=∠ADC=90°，AD=BC, .DE平分∠ADC, .∠ADE=45°， .∠ADE=∠AED=45°， .'AD=AE, 试卷第21页（共3页） :AE=BC, :四边形CEFG是平行四边形，且EF⊥CE, ∴.四边形CEFG是矩形，∠AEF=90°-∠BEC=∠BCE, 在△AEF和△BCE中， ∠A=∠B=90° ∠AEF=∠BCE AE=BC :.△AEF≌aBCE(ASA) .EF=CE, ∴.四边形CEFG是正方形，④说法正确： .∠AEF=∠BCE,∠DCG=90°-∠ECD=∠BCE, ·.∠AEF=∠DCG,①说法正确； .:·∠AED=∠ADE=45°， DE=2AD :AD<AB≤2BC,不能比较AB与AD的大小关系， ∴.DE≠AB,③说法不正确： △AEF≌△BCE,四边形CEFG是正方形， .BE=AF, 试卷第22页（共3页） 设BE=AF=a,AD=AE=b,则AB=a+b, EF2=AF2+AE2=+b2 :S矩形BD=b(a+b)=ab+b,SE方形Cc=EF2=d2+b2, ab+b2≠a2+b2 ②说法不正确： 综上，一定正确的结论是①④： 故答案为：①④. 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD,垂足为O,点E,F,G,H分别为 边AD,AB,BC,CD的中点.若AC=8,BD=6,求四边形EFGH的面积 H 【答案】12 【分有1长天中和发定是布到版=号4C=4、匹有G,G力5. HG-1BD=3 21 2 可知四边形EFGH是平行四边形，根据AC⊥BD证明四边形EFGH是矩形，即可求出 四边形EFGH的面积. 试卷第23页（共3页） 【详解】解：：B,FG,H分别为边D,4B,BC,CD的中点 HE=)AC=4,HE∥AC,GF∥AC, .HE∥GF 同理，HG∥EF, HG-1BD=3 2 四边形EFGH是平行四边形. AC⊥BD .∠EHG=90° 1 四边形EFGH是矩形， 四边形EFGH的面积为3×4=12 18.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,点F是OD中点，延长线段AF至 点E,使AF=EF,连接OE,CE,DE. (I)求证：四边形OCED为矩形： ②若BD=2N5,∠BCD=120°，求AE的长 【答案】(I)证明：：四边形ABCD是菱形， 试卷第24页（共3页） AC⊥BD, A0=0C=4C 2 :点F是OD中点， ..OF=FD 又.AF=EF, 四边形AOED是平行四边形， ∴.AO∥DE,AO=DE, .AC∥DE,OC=DE, ∴四边形OCED是平行四边形. :AC⊥BD, ∴.平行四边形OCED是矩形； ②v分 【分析①先运用菱形的性质结合得出4CL0,0=0C》 AC 2 ，再通过点F是 OD 中点、AF=EBF推出四边形 OED OCED 是平行四边形，等量代换推出四边形 是平 行四边形，最后通过AC⊥BD证明平行四边形OCED是矩形即可； (2)先通过菱形的性质推出△ABC为等边三角形，结合运用三线合一求出OB的值，再通 过菱形的性质和矩形的性质推出CE的值，最后根据勾股定理求解即可. 试卷第25页（共3页） 【详解】(1)略 (2)解：：四边形ABCD是菱形，∠BCD=120°， .AB=BC,AB∥CD,AC⊥BD,OB=OD, ∴.∠ABC=180°-∠BCD=60°， AB=BC,∠ABC=60°， .△ABC为等边三角形， .AC=AB=2. AC⊥BD, ∴∠B0C=90°，0A=0C=)4C=1 在RtAOAB中，由勾股定理，得OB=VAB2-O=V22-1P=V3, :OD=3 由(1)得，四边形OCED是矩形， .∠ACE=90°，OD=CE=V3 :在Rt△ACE中，∠ACE=90°， :.E=VAC2+CE=2+(3=万 19.如图，在四边形4BCD中，ABCD,DBC4C与BD交于点&，∠I=∠2 试卷第26页（共3页） D (I)求证：四边形ABCD是菱形. 2)若AB=13,BD=24,求AC的长和四边形ABCD的面积. 【答案】(I) .ABCD,AD‖BC, 证明： 四边形 BCD 是平行四边形. AD‖BC 1 ∴.∠2=∠3 .∠1=∠2 ∴.∠1=∠3 .AB=AD ·四边形 ABCD 是菱形. (2)120 【分析】本题考查了菱形的判定与性质： 先由cD.Abc.证明四达形4BCD 平行四边形，再由一组邻边相等，即可 作答. 试卷第27页（共3页） (2)先得∠AOB=909,AC=2A0,B0=)BD=12 结合勾股定理，得AC=10,根 据对角线的乘积的一半即为菱形的面积，即可作答. 【详解】(1)略. (2)解：四边形ABCD是菱形， ∠A0B=90,AC=2A0,B0=BD=12 在RtAAOB中，OA=VAB2-BO2=5, ∴.AC=2A0=10 :Sm号4C-BD-X10x24=120 1 20.如图，在Rt△ABC中，∠B=90,AB=10,∠C=30°.点D从点C出发沿CA方 向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单 位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点 D、E运动的时间是t秒(>O).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE、EF. D (I)求证：AE=DF: 试卷第28页（共3页） (②)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，直接写出相应的值；如果不能，说明理由. (3)当t为何值时，四边形BFDE为矩形？请说明理由. 【答案】(1)见解析 20 2)能，t= 3 3)1-5 ,见解析 【分析】本题考查菱形的判定与性质，矩形的性质，含30°角的直角三角形的性质，能够利 用代数式表示相关边的长度是解题的关键， (1)根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可证得： (2)由(1)易证四边形AEFD为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形为菱形，即可 求解： (3)根据矩形的性质即可求解， 【详解】(1)解：在△DFC中，∠DFC=90,∠C=30°，DC=2t, ∴.DF=二CD=t 2 又AE=t, ∴.AE=DF ②)解：能，120 3时，四边形AEFD能够成为菱形.理由如下： 试卷第29页（共3页） Bh SC:∠B=90°，∠C=30 ∴.AC=2AB=20 由勾股定理得， BC=103 ∴.AD=AC-DC=20-2t ,AB⊥BC,DF⊥BC ∴.AE‖DF 又：AE=DF, “四边形AEFD 为平行四边形， 若使四边形AEFD为菱形，则需AE=AD, 即t=20-2t, 20 解得，1 3. 20 即当=3时，四边形AEFD为菱形： (3)当1=5秒时，四边形BFDE为矩形.理由如下： 当BE=DF时， ：DFNBE 试卷第30页（共3页） ∴.四边形BEDF为平行四边形， .∠B=90°， ∴.平行四边形BEDF为矩形， 由(1)可知，DF=AE=t,BE=I0-t, 则此时10-t=t,解得t=5. 21.如图，四边形ABCD为平行四边形，对角线BD的垂直平分线分别交BD、AD、BC于 点OE、F, A E D F C (I)求证：四边形BEDF是菱形： (②)若∠AEB=62°，求∠BDF的度数. 【答案】1) 证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC, ∴.∠ODE=∠OBF, EF垂直平分BD, ∴.BO=DO, 试卷第31页（共3页） 在△DOE和△BOF中， ∠ODE=∠OBF OD=OB ∠DOE=∠BOF .△DOE≌aBOF(ASA), ∴.EO=FO, .四边形BEDF是平行四边形， ·EF⊥BD, ∴.平行四边形BEDF是菱形： A∠BDF=31 【分析】(L)先证△DOE≌△BOF(ASA)得EO=FO,再证四边形BBDF是平行四边形， 然后 EF上BD,即可得出结论： 2)由菱形的性质得BEDE,ZBDF=)∠EDP,则∠EDE=∠AEB=629.即可求解 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知 识，熟练掌握菱形的判定与性质，证明△DOE≌△BOF是解题的关键. 【详解】(1)略. (2)解：由(1)可知，四边形BEDF是菱形， 试卷第32页（共3页） :.BEN DF,∠BDF=∠EDF, 2 ∴.∠EDF=∠AEB=62° :∠BDF=∠EDF=3I0 22.如图，四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE,过点E作 EF LDE,交射线BC于点F,以DE,ET 为邻边作平行四边形 DEFG D D (I)求证：四边形DEFG是正方形： ②)若1B=3,CF= ,直接写出CE的长。 【答案】①证明：如图，过点E作EM⊥BC,EW⊥CD 垂足分别为点M,N, --N E ∴.∠DWE=∠FME=90°. :四边形ABCD是正方形， ∴AC平分∠BCD,∠MCN=90°， 试卷第33页（共3页） :.EM=EN,四边形EMCN为矩形， ∴.∠MEN=90°， .EF⊥DE, ∴.∠DEF=90°=∠MEN, ∴、∠DEN=∠FEM, :△DEN≌aFEM(ASA). .'DE=EF, :四边形DEFG为平行四边形， .DE=EF, ∴四边形DEFG为菱形， .EF⊥DE, ∴四边形DEFG为正方形： 22W5或2 【分析】(1)过点E作 EM⊥BC,EN⊥CD ,垂足分别为点M,N, ADEN≌aFEM(ASA,可得DE=EF,，即可求证： (2)分情况讨论：当F在线段BC上时，连接CG,过点F作FP⊥BC于点F,交AC于 点P,证明△MDE≌aCDG(SMS),△EFP心aGFC(SAS),可得AE=PE=V2,进一步 试卷第34页（共3页） 可得答案，当F在线段BC的延长线上时，同理可求解 【详解】(1)略 (2)解：如图，当F在线段BC上时，连接CG,过点F作FP⊥BC于点F,交AC于点 P, G :四边形ABCD,DEFG是正方形，AB=3, ∠ADC=∠EDG=∠EFG=90°，AD=CD=AB=BC=3,DE=DG=EF=FG ∠ACB=45°AC=V2AB=3V2 .∠ADE=∠CDG :.△ADE≌aCDG(SAS) .AE=CG. :FP⊥BC,∠ACB=45°， ∴.△PCF为等腰直角三角形，∠CFP=90°=∠EFG, ∴CF=PF=1,∠EFP=∠CFG, PC=PF2+CF2=2.AEFPSAGFC(SAS) 试卷第35页（共3页） .PE=CG,AP=AC-PC=2√2 .AE=PE=2 :.CE=PE+CP=2√2 当F在线段BC的延长线上时，连接CG,过点F作FP⊥BC于点F,交CG于点P, D B 同理可得：AE=CG,△CPF是等腰直角三角形，△ECF≌aGPF, :CF=PF=1,CP=2 CE=PG .AC=AE+CE=CG+PG=CP+2PG=32 PG=2=CE 综上： CE的长为22或V2 23.如图，正方形ABCD,边长为3，点E是射线BC上一点，∠AEF=90°，且EF交正 方形外角的平分线CF于点F. D B E 图1 图2 图3 试卷第36页（共3页） (I)问题1：如图1，当点E在边BC上时，猜想AE与EF的数量关系并证明： 问题2：如图2，若点E在BC的延长线上，问题1中的结论是否成立？如果成立，请给出 证明；如果不成立，请说明理由. 2)如图3，连接AF、DF,点E在运动过程中，求△ADF周长的最小值. 【答案】(1)问题1：AE=EF, 证明：如图1，在AB上取点G,使得BG=BE,连接EG, A D G 正方形 B E C 图1 ABCD ∴.∠B=∠BCD=90°AB=BC ∴.∠BAE+∠AEB=90° .∠AEF=90° .∴.∠AEB+∠FEC=90° ∴.∠BAE=∠FEC .BG=BE ∴.∠BGE=∠BEG=45°AG=CE ∴.∠AGB=135° 试卷第37页（共3页） .CF 是正方形外角的平分线， ∴.∠DCF=45°=∠BGE ∴.∠ECF=135°=∠AGB 在△AGE和△ECF中， ∠EAG=∠FEC AG=EC ∠AGE=∠ECF' :AAGE≌AECF(ASA) ∴.AE=EF 问题2：成立， 证明：如图2，在AB延长线上取点H,使得BH=BE,连接EH, H D 正方形 CE K 图2 ABCD ∴.∠B=∠BCD=90°AB=BC ∴.∠BAE+∠AEB=90° .∠AEF=90° ∴.∠AEB+∠FEK=90° 试卷第38页（共3页） ∴.∠BAE=∠FEK ∴.∠HAE=∠CEF BH BE ∴.∠BHE=∠BEH=45°AH=CE .∵CF 是正方形外角的平分线， ∴.∠FCE=45o 在△AHE和△ECF中， ∠HAE=∠CEF AH=EC ∠AHE=∠ECF' .∴△AHE≌△ECF(ASA) ∴.AE=EF 2)3v5+3 【分析】(1)问题1：在AB上取点G,使得BG=BE,连接EG,利用正方形和等腰三 角形的性质，证明△AGB≌△BCF(ASA),即可得出结论：间题2：在AB延长线上取点H ,使得BH=BE,连接EH,同理可证△AHE≌AECF(ASA), 即可得到结论： (2)在BC的延长线上取点M,使得CM=CD,连接FM、AF,证明 △DCF≌aMCF(SAS),得到DF=MF,当A、F、M三点共线时，AF+DF有最小 试卷第39页（共3页） 值为AM的长，利用勾股定理求出AM=35,即可得解。 【详解】(1)略 (2)解：如图，在BC的延长线上取点M,使得CM=CD,连接FM、AF, A D 正方形 ,边长为， B E M ABCD 3 ∴.∠B=90°AB=BC=CD=3 .CF 是正方形外角的平分线， ∴.∠DCF=∠MCF 在△DCF和△MCF中， CD=CM ∠DCF=∠MCF CF=CF .ADCF≌AMCF(SAS) .DF=MF .∴AF+DF=AF+FM≥AM “当A、F、M三点共线时，MF+DF有最小值为AM的长， “在RtAABM中，AB=3,BM=BC+CM=6, .AM=VAB+BM=3V5,即AF+DF的最小值为3V5 试卷第40页（共3页） :△MDF周长=AF+DF+AD=AF+DF+3 △MDF周长的最小值为3V5+3 24.正方形ABCD中，点E是对角线BD上一动点，过点E作EF⊥AE交射线CD于点 F,以AE,EF为邻边作矩形AEFG,连接DG D D E B (I)求证：矩形AEFG是正方形： ②若DG= 3，DE=2BE,求AB的长： 3)若点E为BD中点，连接EG,直接写出EG和AD的位置关系. 【答案】(I)证明：过点E作EM⊥AD于点M,EN⊥CD于点N,则 ∠AME=∠FNE=∠EMD=90° E :四边形ABCD是正方形， 试卷第41页（共3页） :.∠ADC=90°，DE平分∠ADC, .∠MEN=360°-90°-90°-90°=90°，EM=EW :四边形AEFG是矩形， ,∠AEF=90° :.∠AEM=∠FEN=90°-∠MEF :△AME≌aFNE(ASA) ∴.AE=FE, ∴矩形AEFG是正方形： ②AB=1 3 EGL AD 【分析】(I)过点E作EM⊥AD于点M,EN⊥CD于点N,然后证明 △AME≌△FNE(ASA),得到AE=FE,即可证明： (②)证明AGMD2BAB(SAS,得到BE=DG=2 ，求出 BD=BE+DE=怎+25-反，然利用匀股定表求样： 一十 3 3 (3)证明点D,F重合，由四边形AEFG是正方形，得到EG⊥AD 【详解】(1)略 试卷第42页（共3页） (2)解：：四边形ABCD和AEFG是正方形 ∴.AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠EAG=90° :.∠GAD=∠EAB=90°-∠DAE ·.AGAD≌aEAB(SAS) BE-DG= 3 DE=2BE=2 3 :BD=BE+DE=2+25-2 33 :∠BAD=90°，AB=AD AB+AD2=BD,即2AB=(V2 .AB=1(负值舍去)； (3)解：EG⊥AD,理由如下： 如图， G A D(F) E B :在正方形ABCD中，AB=AD, 试卷第43页（共3页） 又：点E为BD的中点， ∴.AE⊥BD,即∠AED=90°， .·∠AEF=90°， ∴点F在射线CD上， .AE=EF =BD=DE ∴此时 D,F 重合， ,四边形AEFG是正方形， .EG⊥AD 试卷第44页（共3页）