第一章《特殊平行四边形》综合质量能力检测卷 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

· 第一章《特殊平行四边形》综合质量能力检测卷 · 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．已知四边形是平行四边形，对角线相交于点O，下列条件中，不能判定四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 2．关于菱形一定具有的性质，下列说法错误的是（    ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．邻边相等 D．对角线相等 3．如图，在正方形中，点E为对角线边上一点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在菱形中，与交于点O，，，则菱形的面积为（　　） A．20 B．24 C．28 D．48 5．如图，，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在菱形中，，根据图中尺规作图痕迹，判断（　） A． B． C． D． （第3题图） （第4题图） （第5题图） （第6题图） （第7题图） （第8题图） （第9题图） （第10题图） 7．如图，在中，M是边的中点，且，，若的周长为30，则的长为（    ） A．15 B．10 C． D．5 8．如图，在菱形中，点E，F分别是的中点，如果，那么菱形的周长为（　　）． A．8 B．12 C．16 D．18 9．如图，按如下步骤作四边形：①作；②以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，，．若，则（     ） A． B． C． D． 10．如图，在正方形的边上有一点H，G和F分别是、延长线上的一点，满足，且，连接交于点E，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．如图，E，F，G，H分别为矩形各边的中点．若，，则四边形的周长为 ． （第11题图） （第12题图） （第13题图） 12．指南针，古代叫司南．如图所示的指南针，其磁针可以看作菱形，若的长度为，的长度为，则的面积为___________． 13．如图所示衣帽架由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节、之间的距离．已知调节完之后、间的距离为，、间的距离为，则与之间的距离为________． 14．如图，已知正方形的顶点B在直线上，点A在第一象限，且点A的纵坐标为3，则点B的坐标为 ． （第14题图） （第15题图） 15．如图，在菱形ABCD中，，，动点分别在线段上，且，的最小值为 ． 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．如图，已知，．请用尺规作图法，求作一点，使得四边形为菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 17．如图，在矩形中，，，分别是边，，的中点．求证：． 18．如图，在矩形中，点E，F分别在边和上，且．求证：． 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图，的对角线，为的中点，连接，并延长，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是矩形． 20．如图，已知在正方形中，E是的中点，F在上，且． (1)请你判断的形状，并说明理由． (2)若此正方形的面积为16，求的长． 21．如图，中，，，，对角线、交于O点，将直线绕点O顺时针旋转，分别交、于点E、F． (1)求证：； (2)求的度数； (3)猜想：当绕点O顺时针旋转多少度时，四边形是菱形． 五．解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23小题14分，共27分） 22．综合与实践． 如图1，将两个全等的三角尺与三角尺如图摆放（与重合），其中，，． （1）如图2，固定三角尺不动，将三角尺沿方向平移至图2位置，分别连接，．则四边形的形状为______； （2）如图3，在图2的基础上，将三角尺沿方向继续平移，当四边形是菱形时，分别连接，． ①请判断此时四边形的形状，并说明理由； ②若，则四边形的周长为______． 23．【问题背景】 如图1所示，正方形的边长为4，是边上一点（不与、重合），在边上取点，使得，分别连接、相交于点． 【问题解决】 (1)判断与有怎样的位置关系，并给出证明； (2)如图2，若点为的中点，则的长为 ； ( …… …… ○…… …… 内…… …… ○…… …… 装…… …… ○…… …… 订…… …… ○…… …… 线…… …… ○…… ……………… ○…… …… 内…… …… ○…… …… 装…… …… ○…… …… 订…… …… ○…… …… 线…… …… ○…… …… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …… …… ○…… …… 外…… …… ○…… …… 装…… …… ○…… …… 订…… …… ○…… …… 线…… …… ○…… …… ) ( 学校 :___________ 姓名： ___________ 班级： ___________ 考号： ___________ ) ( …… …… ○…… …… 外…… …… ○…… …… 装…… …… ○…… …… 订…… …… ○…… …… 线…… …… ○…… …… ) (3)如图3，过点分别作、的垂线，垂足分别为、，连接，则的最小值为 ． 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D B D A D C A B 11． 12． 13． 14． 15． 16．【答案】如图，点即为所求． 【知识点】作线段(尺规作图)、证明四边形是菱形 【分析】由作图可得，，则四边形是菱形 【详解】解：分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧在右侧相交，交点即为点． 17．证明：点是的中点， ， 点，分别是边，的中点， ，， 四边形是矩形， ，， ， 在和中， ， ． 【分析】利用矩形的性质和中点的性质推出，，，再利用证明三角形全等即可． 【详解】略． 18．见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据矩形的性质，证，即可求证． 【详解】证明：四边形是矩形， ， 又， ， ． 19．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由得，，由E为的中点得，故； （2）由（1）得，，又，故四边形是平行四边形，由，点F在的延长线上得，故四边形是矩形． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ，， E为的中点， ， 在和中， ， ； （2）证明：由（1）得，， 又， 四边形是平行四边形， ，点F在的延长线上， ， 四边形是矩形． 20．(1)为直角三角形．理由见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质、比例关系、勾股定理及其逆定理等初中数学知识点，解题关键在于通过设定正方形边长，利用比例关系计算各线段长度，再应用勾股定理验证直角三角形的条件，最后结合正方形面积求解目标线段的长度，体现了数学建模和逻辑推理的能力． （1）可通过设正方形边长，利用勾股定理计算三边平方关系来确定； （2）先由正方形面积得出边长的平方，再结合第（1）问结论求的长． 【详解】解：（1）为直角三角形．理由如下： 设正方形的边长为，则． 是的中点， ． 在正方形中， 在中，； 在中，； 在中，， ， 为直角三角形； （2）因为正方形的面积为16， ， ， （负值已舍去）． 21．【答案】(1)见解析 (2) (3)当旋转角时，四边形是菱形 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、证明四边形是菱形 【分析】（1）根据定理得出，由此可得出结论； （2）在中由勾股定理求的长，再利用求出的长，即可得出结论； （2）连接，，与互相平分可知，当时四边形是菱形，即可得出结论． 【详解】（1） 证明：∵平行四边形中，， ， 在和中， ， ； （2）解：在中，，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ； （3）当旋转角时，四边形是菱形，理由如下： 连接，，    四边形平行四边形， ， 由（1）知，， ， 四边形是平行四边形， 由（2）知，， 又， ， ， 四边形是菱形， 即在旋转过程中，四边形能是菱形，此时绕点O顺时针旋转的度数是． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 22．【答案】（1）平行四边形；（2）①菱形，理由见解析；② 【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、平移综合题(几何变换)、全等三角形的性质、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】（1）根据即可证得四边形是平行四边形； （2）①连接交BE于点O，根据可证得四边形是平行四边形，再根据四边形是菱形，得到，进一步得到，进而证得四边形是菱形；②根据四边形是菱形和∠ABC=30°，可求得BC，进而可求得 ，再根据四边形是菱形即可求得周长． 【详解】解：（1）四边形ABDE的形状为平行四边形，理由如下： ∵平移过程中， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）①四边形的形状是菱形． 理由如下： 如图，连接交BE于点O， ∵平移过程中， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ②∵四边形是菱形， ∴AF=AC=1, ∵∠ABC=30°， ∴BC=2， ∴， ∵四边形是菱形， ∴AB=BD=DE=AE=， ∴四边形ABDE的周长为． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质，解题的关键是综合运用相关知识解题． 23．(1)，见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明得到，进而得到即可得到结论； （2）先由勾股定理求得，再利用三角形的等面积求得，进而利用勾股定理求解即可； （3）取的中点O，连接，，先证明四边形是矩形得到，则的最小值等于的最小值；再根据直角三角形斜边上的中线性质和勾股定理得到，，由，当点C、P、O共线时取等号得到的最小值即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵四边形是边长为4的正方形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴，则； （2）解：由（1）知， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴； （3）解：取的中点O，连接，， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 故的最小值等于的最小值； ∵，，点O是的中点， ∴，， ∴， ∵，当点C、P、O共线时取等号， ∴的最小值为， 故的最小值为． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的判定与性质、直角三角形的性质、最短路径问题等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 答案第8页，共8页 答案第7页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $