第29章 《圆》章节测试卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第29章《圆》章节测试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.如图，点A,B,C,D在⊙0上，∠B0D=120°，则∠C的度数是() D A.60° B.110° C.120° D.100° 2.如图，点C在以AB为直径的半圆O上，CD⊥AB于D,若∠A=22.5°，AB=16,则CD= D B A.4V2 B.8 C.8V2 D.16 3.如图，⊙0的半径为1，点A,B,C在⊙0上，∠ACB=30°.则图中阴影部分的面积为 B A.6 B.写 1 C.6 D.3 4.将以点0为中心点的量角器与直角三角板ABC(其中∠BAC=30°)按如图所示方式摆放， 量角器的0刻度线与斜边AB重合.点D为斜边AB上一点，作射线CD交AB于点E,若点E所 对应的读数为110°，则∠BDE的大小为() E 090 B E Z I A.95° B.100 C.105° D.110° 5.在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方 案是：在工件圆弧上任取两点AB,连接AB,作AB的垂直平分线CD交AB于点D,交AB 于点C,测出AB=16cm,CD=4cm,则圆形工件的半径为() C D A.14cm B.12cm C.10cm D.8cm 6.新考法如图1，已知点P为圆锥的顶点，且MN是圆锥底面的直径，连接PM,PN,其中 A,B,C依次是PN的四等分点.沿PM将圆锥的侧面展开后得到图2（点M'是点M的对应 点)，测得该扇形的圆心角为12O°.若连接MM',则点A,B,C,W中能落在线段MM'上的是 120° M 图1 图2 A.点A B.点B C.点C D.点W 7.如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，O为对角线BD上一动点，以O为圆心，2为半 径画弧交正方形边AD于点E,交CD于点F,交BD于点M.若∠EOF=150°，则EMF的长为 D E M b 5π 7π 7π.5π 2π A.3 B.3 C.3或3 D.3 8.如图，某扫地机器人的设计理念来源于莱洛三角形（分别以等边三角形ABC的三个顶点A, B C 为圆心， B长为半径画孤得到的图形).若MB=5 ，则此莱洛三角形的周长为 图1 图2 16元 15π A.6π B.3 C.5π D.4 9.我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多 边形逼近圆的方法来近似估算.指出“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，则 与圆周合体，而无所失矣”.如图，⊙0的半径是4，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形 面积近似估计⊙0的面积，可求得π的估计值是() A.3 B.3V5 C.3.14 D.3.142 10.如图，正方形ABCD的边长为4，点E和正方形ABCD在同一平面内，连接BE,点F是BE 上一点，已知BE=AB=4BF,连接CE,DE,AF,下列结论正确的是（) E A.DE的最小值为4W2-2 B.AF的最小值为2W2+1 C.DE+AB的最大值为8-2V2 D.AF+DE的最小值为5 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.已知⊙0的半径为5cm,P是⊙0内一点，0P=3cm,则点P到⊙0上各点的最大距离是 cm 12.如图，AB是⊙O的直径，弦CD1AB于点E,CD=10,BE=2,则⊙O的半径OC= B 13.如图，BC是⊙0的直径，点A,D在⊙0上，且AB=BD,若BC=6,∠ACB=20°，则劣弧 CD 的长为 14.已知圆锥的底面半径为2cm,母线长为6cm(如图)，则圆锥的侧面展开图的圆心角为 度. 15.如图，已知三角形ABC为等腰直角三角形，AC=BC=8米，以C为圆心，8米长为半径画 弧，以BC为直径作半圆，形成图形（阴影部分），此阴影部分的面积 (结果保 留π) 8米 8米 16.已知⊙0的半径为6，AC是⊙0的弦，点B是⊙0上异于点A.C的一点，若AC=4m,则 ∠ABC 的大小为 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题， 每题12分；共9小题，共72分) 17.如图，OO是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，BD平分∠ABC,连接OD交AC于点E. E (1)求证：OD⊥AC; (2)若⊙0的半径为5，DE=2,求线段BD的长. 18.如图，AB为O0的直径，点D是弦AC延长线上一点，AC=CD,连接DB并延长，交⊙0 于点E,连接CE, E B D (I)求证：CE=CD: (2)若AE所对圆心角的度数为108°，求∠E的度数 19.如图，△ABC内接于⊙0，连接OA,OB,OC B (1)若∠C0B=100,∠ACB=40°，求∠C0A的度数. (2)若AC∥OB,AB=5,0C=4,求BC的长. 20.如图，在口ABCD中，过A,B,C三点的⊙O交AD于点E. E O. (1)求证CE=CD; (2)若点E为AC中点，AB=4,BC=6,求⊙0的半径. 21.如图，在⊙0中，C是弧AB的中点，CD⊥OA于点D,CE⊥OB于点E (1)求证：CD=CE: (2)若D,E分别是OA、OB的中点，连接AC、BC,判断四边形ACBO的形状，并说明理由. 22.2026年3月3日的月全食恰逢中国农历正月十五元宵节，这是天文历法与天体运行的一次 自然巧合，观赏时机非常难得，全国大部分地区都将看到“带食月出”的景象，如图1.月 全食的原理是月、地、日运行至一条直线时，月球进入地球的本影，太阳投射在月球上的光 完全被地球挡住，由于地球大气层对太阳光有折射和散射作用，其中波长最长的红光落在月 面上最多，因而出现“红月亮”.小智在观看的过程中在纸上画了如图2所示的图形，若⊙0 的半径为2，A是弦CD的中点，B是半圆A上的一点，且AB=V2, 0。 太阳 地球 图1 图2 (I)连接OA、OD,则OA与CD的位置关系是 (2)求∠AOD的度数； (3)求图中阴影部分的面积. 23.【材料阅读】有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等， 我们把这个圆叫做这个三角形的“等弦圆”， D 0 G 【问题解决】如图，⊙0是△ABC的“等弦圆”，AD,AE,FG是⊙O截得的三条弦. (1)求证：AO平分∠BAC. (2)若∠BAC=90°，FG=4,求图中阴影部分的面积. 24.已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，∠C为AB所对的圆周角. B B 图1 图2 图3 【知识回顾】 如图1，在⊙0中，点B、C位于直线A0异侧，∠A0B+∠C=135°，求得∠C=45°，若⊙0的半 径为5，AC=8. (1)求BC的长； (2)如图2，若P为圆内一点，且∠APB<120°，PA=PB,∠APB=2∠C.求证：点P为该圆的 圆心； (3)【拓展应用】如图3，在(2)的条件下，若∠APB=90°，点C在⊙P位于直线AP上方部分 的圆弧上运动，点D在⊙P上，满足CD=V2CB-CA的所有点D中，必有一个点的位置始终不 变.请证明. 25.我们知道三角形三条高线的交点为三角形的垂心，请进行如下探索： A P E 0 P, F F D D 的 B 图1 图2 图3 (1)如图1，在⊙0中，AB为O0的直径，CD为⊙0的弦，且AB⊥CD于点F,作点B关于CD 的对称点P,连接AC,AD,证明：点P为△ACD的垂心； (2)如图2，在⊙O中，AB,CD均为O0的弦，且AB⊥CD于点F,作点B关于CD的对称点 P,连接AC,AD,证明：点P为△ACD的垂心； (3)如图3，在△ABC中，AD⊥BC,CE⊥AB,AD和CE交于点F,延长CE至点P,使EP=EF, 连接AP,BP,证明：A,P,B,C四点共圆. 参考答案 一、选择题 1.C 解：BD=BD,∠BOD=120°， :∠BAD=1∠B0D=号x120°=60， 2 “四边形1BCD是O0, 是的内接四边形， .∴.∠BAD+∠BCD=180° ∴.∠BCD=180°-∠BAD=180°-60°=120° 2.A 解：如图，连接OC, D B .OA=OC .∠0CA=∠A=22.5° ∴.∠C0D=∠0CA+∠A=22.5°+22.5°=45° 又CD⊥AB, ∴∠CD0=90° ∴aCOD 为等腰直角三角形. 设OD=x,则CD=x, 根据题意得：0D2+CD2=0C2, 即+-9， 解得：=42.名=42 (不符合题意，舍去)， .CD=42. 3.A 解：：∠ACB=30°，∠ACB与∠AOB分别是AB所对的圆周角和圆心角 .∠AOB=2∠ACB=2×30°=60° .⊙0 1 的半径为 60-π12π ∴.S阴影= 3606· 4.A 解：如图，连接OE、OC, E B 由题意，可知∠AOE=110°，∠ACB=90°，OA=OB, c0-4B=08, ∴.点C在⊙0上， 24cE=40E-=x10=5°， ∴.∠BDC=∠BAC+∠ACE=85°， ∴.∠BDE=180°-∠BDC=180°-85°=95°. 5.C 解：，CD是线段AB的垂直平分线， .直线CD经过圆心，设圆心为O,连接OB. R△OBD中， BD=4B=8cm 根据勾股定理得： OD2+BD2=OB2 即： (OB-4)2+82=0B2 解得：OB=10: 故圆形工件的半径为10cm, 6.B 解：由题意可得，点N是MM'的中点，连接MM',交PW于D, M M ∴.PN⊥MM' .∠MPM'=120°，PM=PM' ∴.∠PMM'=∠PMM=30° .RtoPDM中，PD=)PM 2 “点，R,C徐次是P 的四等分点， 1 ∴.PB=PW 2 .PM=PN PB=PD,即点与点D重合. B D 7.C 150π×2_5π 解：如图：当弧EM是劣弧时，则弧长为180 3； D M B 当孤EMr是优弧时，如图，则弧长为 360-150)π×2_7π 180 3 D E M 7π5元 .弧EMF的长为3或3· 8.C 解：，△ABC是等边三角形， ∴.∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°， 小的长为10××AB= 60 180*πx5=5 , 5 同理，AC与BC的长都为3π， 5 ∴此莱洛三角形的周长为πx3=5π 9.A 解：如图，AB是正十二边形的一条边，点O是正十二边形的中心， B A∠M 过A作AM⊥OB于M,在正十二边形中，∠AOB=360°÷12=30°， :.AM=104=2 2 8m0B4M-x4x2-=4, 1 小正十二边形的面积为： 12×4=48 ∴.42.π≈48 π3 π的近似值为3. 10.D 解：点E和正方形ABCD在同一平面内，BE=AB=4BF, :点E在以B为圆心，AB为半径的圆上，点F在以B为圆心，4MB为半径的圆上， 如图1， 图1 .BE=4DE+BE≥BD 当D,EB三点共线时， DE取得最小值， 在RtAABD中，BD=V2AB2=4√2， DE的最小值为 D-BE=4V2-4 ，故A错误： G·AF+BF≥AB,AB=4,BF=AB=1 六当A,万，B三点共线时，MF取得最小值， ..AF AB-BF=4-1=3 的最小值为 故B错误； 由题意可知BE=AB=4, “当DE取得景大值时，DE+AB即可取得最大值， 如图2， E 图2 当D,E,B三点共线时，DE取得最大值，最大值为BD+BE=4W2+4, .DE+AB 的最大值 4N2+4+4=42+8,故C错误； 如图3，点F所在的圆与AB交于点G,连接EG, D 图3 ∴.AG=AB-BG=4-1=3 在△ABF与△EBG中， AB=EB ∠ABF=∠EBG BF=BG ∴.△ABF≌△EBG(SAS) .AF=EG ∴.AF+DE=EG+DE .·DE+EG≥DG 当BG三点共线时，M+DE有最小值，最小值为DG的长， DG 在Rt△ADG中，DG=VAD2+AG=V4P+32=5 ∴.AF+DE 的最小值为5，故D正确. 二、填空题 11.8 解：⊙0的半径为5cm,OP=3cm, :0P<5cm,即点'在内， P ,⊙0 点P到0 5+3=8cm 上各点的最大距离为 29 12.4 解：由题意，设半径为， 则OC=OB=r, .BE=2, ∴.OE=r-2, :AB是OO的直径，弦CD⊥AB于点E, 点E是CD的中点， .CD=10, :CE=0-5 2 在RtAOCE中，由勾股定理得 OC2=CE2+0E2 即P2=52+0-2} 部有：翠 1 13.3π 解：连接DO, AB=BD .'4B=BD ∴.∠BOD=2∠ACB=2×20°=40° ∴.∠COD=180°-∠B0D=140° .BC=6 ∴.0C=3 140 劣弧CD的长=180 x3=7π 3· 14.120 解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为n度， .圆锥的底面半径为2cm, ∴.圆锥的底面周长为4πcm,即圆锥的侧面展开图扇形的弧长为4πCm, nr×6 则180 =4π 解得：n=120。 15. (2-24)平方米 解：如图，设AB与BC的交点为D,过点D作OD⊥BC,垂足为O,连接CD, 8米 8米 BC为直径， ∴.∠BDC=90°，即CD1AB, ,三角形ABC为等腰直角三角形， ∴.∠ABC=45° ∴.∠BCD=∠ABC=45°， .'BD=CD, 又.OD⊥BC, :B0=0C=0D-=2BC=4米， .S阴影=S大号形一S水号形 =S前形ACB-SABC-(S扇形BOD-S,AOD） 90元×821 3602 8x890xx4+5x4x4 3602 =2x-24平方米. 答：阴影部分的面积为2x-24 平方米. 16.60°或120° 解：设AC所对的圆心角为n°， 由孤长公式=阿。将1=4标，=6代入得：4如=。 180, 解得n=120,即AC所对的圆心角为120°， 分两种情况讨论：当点B在优弧AC上时， 根据圆周角定理，∠ABC=)×120°=60 当点B在劣弧AC上时，根据圆内接四边形对角互补，得∠ABC=180°-60°=120°， 则∠ABC的大小为60°或120°， 三、解答题 17.(1)证明：.BD平分∠ABC, ∴∠CBD=∠ABD, .'CD=AD, 又.OD是⊙0的半径， .OD⊥AC; (2)解：如图所示，连接AD, D .⊙0的半径为5， .OD=5, DE=2, ∴.OE=OD-DE=3, 由(1)得OD⊥AC,则∠OEA=∠DEA=90°， :MB=V0P-0E2=4 .AD2=DE2+AE2=22+42=20: ,AB是⊙0的直径， ∴.AB=2OD=10,∠ADB=90°， :.BD=VAB-AD2=102-20=45 18.(1)证明：如图，连接BC. E 0, ,AB是直径， ∴.∠ACB=90°， .BC⊥AD 又AC=CD, .BA=BD, ∴.∠A=∠D. .∠A=∠CED, ∴.∠CED=∠D, .CE=CD (2)解：如图，连接OE E B C ,∠A0E=108°， .∠ACE=54°. :∠ACE=∠CED+∠D,∠CEID=∠D CED-ECA2 19.(1)解：∠ACB=40°， ∴.∠AOB=2∠ACB=80° :∠COB=100° ∴.∠COA=∠COB-∠AOB=20° (2)解：如图，延长CO交⊙O于点D,连接BD. B CD ⊙0 是 的直径， ∴.∠CBD=90° .OC=4,AB=5 ∴.CD=2OC=8 .OA=OC ∴.∠OCA=∠OAC .AC∥OB ∴.∠OCA=∠DOB,∠OAC=∠AOB ∴.∠DOB=∠AOB ..DB=AB=5 :BC=VCD2-DB2=V82-52=V39 20.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形 ∴.∠B=∠D .四边形ABCE是⊙O的内接四边形 ∴.∠B+∠AEC=180° 又.∠CED+∠AEC=180° ∴.∠B=∠CED 又.∠B=∠D ∴.∠CED=∠D ∴.CE=CD; (2)如图，过点C作CF⊥AD于点F,过点O作MN⊥BC于点N,交AD于点M,则四边形 MNCF 是矩形， EF D M: B N ,E为AC中点， ∴.AE=EC 由(1)可得CE=CD, ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.CD=AB=4,AD=BC=6 .AE=4 ∴.DE=AD-AE=6-4=2 .CF⊥AD :EF=FD=IDE=1 在RtACDF中，CF=CD2-FD=VP-P=5 ..MN=CF=15 设OM=x,则ON=MW-OM=V15-x .MN⊥BC,BC∥AD .MN⊥AE,BN=NC=3 .'AM=ME=2 在RtAMOE中，OE2=ME2+OM2, 在RtANOC中，OC2=ON2+NC2, .OE=OC ∴.ME2+OM2=OW2+NC2 .2+2=(5-x+32 解用：子5 4v6 =3,即o0的半径为3： 21.(1)证明：C是弧AB的中点， .AC=BC ∴.∠DOC=∠E0OC .CD⊥OA,CE⊥OB ∴.∠ODC=∠OEC=90° 在△0DC和A0BC 中， ∠DOC=∠EOC ∠ODC=∠OEC 由 OC=OC’∴.AODC≌aOEC(A4AS)'CD=CE· (2)四边形ACBO是菱形 证明：如图连接AC、BC 由圆的性质知OA=OB=OC，由D,E分别是OA、OB的中点，得AD=OD,BE=OE, 由△ODC≌aOEC知OD=OE, 在△1CD和0CD ， AD=OD ∠ADC=∠ODC=90° 由 DC=DC .△ACD≌AOCD(SAS) ∴.AC=OC=OA 同理可证△OCE≌aBCE, ∴.OC=BC=OB 综上可得OA=OB=AC=BC，故四边形ACBO是菱形. 22.(1)解：0是圆心，A是弦CD的中点， .OA⊥CD (2)解：B是半圆A上的一点，且AB=V2, :AD=2 ∴0A=0D2-AD=2-(2=2, ..OA=AD .∴△AOD 是等腰直角三角形， ∴.∠AOD=45° (3)解：如图，连接OC, 由(2)知，0A=AD=V2,∠A0D=45°， A是弦CD的中点， CD OC=OD .CD=2AD=2√2∠COD=2∠AOD=90° ∴.S刚影=S半糊cD-(S扇形ocD-S,ocD) aj02x =元-（π-2） =2 23.(1)证明：连接OD,OE,如图所示， D .AD=AE, 又OD=OE,OA=OA ∴.△AOD2△AOE(SSS) .∠OAD=∠OAE ..AO ∠BAC 平分 (2)解：由(1)得A0平分∠BAC, ,∠BAC=90 .∠OAE=5∠BAC=45° 2 .OA=OE ∴.∠AE0=∠OAE=45° ∴.∠AOE=90° 连接OF,OG,如图所示， D B G .AE=FG .AE=FG .∴.∠FOG=∠AOE=90° OF=OG ∴.△OFG是等腰直角三角形， 又.FG=4, :0F=5FG=22 2 FS9匙=Sa8 roaSAroa60 2π-(2W22-}x(22}2=2m-4 2 24.(1)解：如图，连接AB,过点A作AM⊥BC,垂足为点M,则∠AMC=90°， M 2 :∠C=45°AC=8 AM-CM=C=4 △ACM是等腰直角三角形，则 2 .·∠AOB=2∠C=90°OA=OB △AOB 是等腰直角三角形 ∴AB=V20A=5√2 在Rt△ABM中，BM=VAB2-AM2=3V2, ..BC=CM+BM=42+32=72 (2)证明：如图，延长AP交圆于点W,连接BN,则∠C=∠N, :∠APB=2∠C ∴.∠APB=2∠N .·∠APB=∠N+∠PBN ∴.∠N=∠PBN ..PN=PB .PA=PB ∴.PA=PB=PN 小点P为该圆的园心. (3)证明：如图，过点B作BC的垂线交CA的延长线于点E,连接AB,延长AP交圆于点F, 连接CF、FB, B .·∠APB=90° ∴.∠ACB=45°BP⊥AF ∴.△BCE 是等腰直角三角形， .BE=BC ·BP⊥AFPA=PF .BA=BF .AF 是直径， ∴.∠ABF=90° ∴.∠EBC=∠ABF=90° .∠EBA=∠CBF ∴.△EBA≌ACBF(SAS) ..AE=CF CD=2CB-CA=CE-CA=AE ∴.CD=CF 一必有一个点D的位置始终不变，点F即为所求， 25.(1)证明：如图，连接CP并延长交AD于点E,连接BC, A F D :点P与点B关于CD对称， ∴.FB=FP, CD⊥AB, .∠CFP=90°=∠CFB,CP=CB ∴.∠PCF=∠BCF, .∠BCF=∠BAD, ∴.∠PCF=∠BAD, .∠CPF=∠APE, ∴.180°-∠PCF-∠CPF=180°-∠BAD-∠APE, .∠PFC=∠PEA=90°， .CE⊥AD, ,AF⊥CD, ∴.点P为△ACD的垂心： (2)证明：如图，连接CP并延长交AD于点E,连接BC, D B ,点P与点B关于CD对称， ∴FB=FP, .CD⊥AB, .∠CFP=90°=∠CFB,CP=CB ∴.∠PCF=∠BCF, .∠BCF=∠BAD, ∴.∠PCF=∠BAD, .∠CPF=∠APE, ..180°-∠PCF-∠CPF=180°-∠BAD-∠APE, ∴.∠PFC=∠PEA=90°， .CE⊥AD, .AF⊥CD, ∴.点P为△ACD的垂心： (3)证明：如图，连接BF并延长交AC于点M, .AD⊥BC,CE⊥AB, .BM⊥AC,∠BEC=90°， ∴.∠BMA=90°，∠EBF+∠BFE=90°， ∴.∠ABM+∠BAM=90°， ∴.∠BAM=∠BFE, .EP=EF,BE⊥CP, ∴BP=BF, ∴.∠BFE=∠BPE, ∴.∠BPC=∠BAC, A,P,B,C四点共圆.