二次函数章节提优练习卷（江西专版）2026-2027学年人教版九年级上册数学

题号 1 2 3 4 5 6 答案 A A D A C C 1．A 【分析】根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵当时，， ∴二次函数图象的对称轴是直线． 2．A 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位，得， 再向上平移3个单位，得． 3．D 【分析】分别计算出、、，再比较大小即可． 【详解】解：将各点横坐标代入，得，，， ∴． 4．A 【分析】抛物线是抛物线解析式中的顶点式，直接写出顶点坐标即可． 【详解】解：二次函数顶点坐标为． 5．C 【分析】利用顶点的公式首先求得横坐标，然后把横坐标的值代入解析式求得纵坐标即可． 【详解】解：顶点的横坐标， 把代入得：， ∴顶点坐标是． 6．C 【分析】利用二次函数对称轴公式求出对称轴，结合图象读出较小根的范围，利用两根关于对称轴对称的性质求出较大根的范围． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 设的两个根分别为，，且， 根据函数图象有：， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∴． 7． 下 【分析】根据二次函数二次项系数的正负即可判断开口方向，二次项系数大于0时开口向上，小于0时开口向下． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数， ∴二次函数的图象开口方向向下． 8． 【分析】根据二次函数图像平移的“左加右减，上加下减”规律，对原解析式进行变换即可得到结果． 【详解】解：二次函数图像平移遵循“左加右减，上加下减”的规律， 原二次函数解析式为，向左平移个单位，需对自变量左加，将替换为， 第一次平移后得到． 再向上平移个单位，需对函数整体上加，在式子后加， 最终得到的函数解析式为． 9． 【分析】根据二次函数的定义，得到x的次数为2且二次项系数不为0，据此列方程和不等式求解． 【详解】解：∵ 函数是二次函数， ∴ 需同时满足两个条件：x的次数为，即，二次项系数不为，即， 解方程，得或， 由，得， ∴ ． 10．四 【分析】根据二次函数图象的开口方向向下，判断出，根据其对称轴，判断出，根据二次函数当时与轴的交点在轴的负半轴，判断出，再分析，的符号，进而得出点所在象限． 【详解】解：二次函数图象的开口方向向下， ， 二次函数的对称轴， ， 当时，二次函数与轴的交点在轴的负半轴， ， ，， 点在第四象限． 11． 【分析】根据题意求出的长，根据对称性可求出点A到抛物线的对称轴的距离为，点D到抛物线的对称轴的距离为，据此可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴； ∵抛物线，与直线分别交于A，C和B，D四点， ∴点A和点C关于抛物线的对称轴对称，点B与点D关于抛物线的对称轴对称， ∴点A到抛物线的对称轴的距离为，点D到抛物线的对称轴的距离为， ∴． 12．２ 【分析】先根据抛物线开口方向判断的符号，因为对称轴公式为，所以可推导的符号，再根据抛物线与轴交点位置判断的符号，验证结论①；由对称轴，变形后可验证结论②；把结论③的不等式变形为，因为该式对应时的函数值，结合抛物线对称性和已知零点判断函数值符号，验证结论③；先根据抛物线开口方向确定离对称轴越近的点函数值越大，再分别计算三个点到对称轴的距离，比较距离大小后判断的大小关系，验证结论④． 【详解】解：由二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴为直线， ， ， ，①错误，②正确； ∵图象过点，对称轴为直线， ∴图象过点， 当时，， ， 即，③错误； ∵点、点、点在该函数图象上，对称轴为直线， ∴点离对称轴最远， ∴最小， 点B离对称轴最近， ∴最大， ，④正确， ∴正确的结论有2个． 13．和 【分析】求出函数值为3时自变量的值即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，则，解得或， ∴二次函数的图象与直线的交点坐标为和． 14．(1) (2)点不在该二次函数的图象上 【分析】（1）先根据二次函数的定义求出的所有可能取值，再根据二次函数的增减性求解即可； （2）先求出二次函数的解析式，再将代入计算即可． 【详解】（1）解：∵（为常数）是二次函数， ∴，且， 解得或， 又∵当时，随的增大而增大， ∴， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知，， ∴这个二次函数的解析式为， 当时，， ∴点不在该二次函数的图象上． 15．(1)向下，直线， (2)图象如下： (3) 【分析】（1）先化为顶点式，根据二次函数的性质求解即可； （2）列表、描点、连线可得函数图象； （3）根据二次函数的对称性和坐标与图形性质求解即可． 【详解】（1）解：由，， ∴该抛物线的开口方向向下，对称轴是直线，顶点坐标是； （2）解：列表： x … 0 1 2 3 … y … 2 3 2 … 描点、连线，图略； （3）解：∵该抛物线的对称轴是直线，点A、B均在抛物线上，且与x轴平行， ∴点A、B关于直线对称， ∵点， ∴点B的坐标为． 16．(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接交直线l于点P，连接，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，当点A、P、C共线时，周长最小，最小值为，求得即可解答． 【详解】（1）解：根据题意，将，，代入中， 得，解得 ∴该抛物线的解析式为； （2）解：连接交直线l于点P，连接，，则， 由题意，，， ∵周长为， ∴当点A、P、C共线时，最小，最小值为，此时周长最小，最小值为． 17．(1)抛物线的对称轴为直线 (2) 【分析】（1）将点代入求得，再求解对称轴即可； （2）先求出平移之后的点，再将点和平移之后的点代入函数解析式即可． 【详解】（1）解：将点代入得：， 则， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：将点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后，所得点的坐标为， 将点，代入 得， 解得， ∴抛物线的解析式为． 18．(1) (2) (3)实验田的最大面积为平方米 【分析】（1）根据栅栏总长度3倍长度长度个门的宽，列式即可； （2）先确定的取值范围，再根据题意列方程求解即可； （3）设实验田面积为，则，再根据二次函数的性质求解即可； 【详解】（1）解：∵米， 根据题意可得：， 整理后得米； （2）解：∵，侧墙最大可用15米， ∴， ∵米，侧墙最大可用26米，故，解得， ∴， ∵矩形面积为， ∴， 整理得：， 解得，（不符合要求，舍去）， ∴； （3）解：设实验田面积为， 则， 这是开口向下的二次函数，对称轴为直线， ∵， ∴时，取得最大值，此时，符合的要求， ∴代入，得， ∴实验田的最大面积为平方米． 19． 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，得到N，Q点坐标，求出抛物线解析式，利用C点坐标，求出长即可． 【详解】解：以M点为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系， 根据题意可知，，，， 设抛物线解析式为， 点，在抛物线上， 解得 抛物线解析式为， ，， ， 当时，， ， 答：索塔在桥面以上部分的高度为． 20．(1)， (2)抛物线上存在点，使是以为直角边的直角三角形．点的坐标为或 【分析】（1）根据已知的坐标代入抛物线表达式中即可求出，再根据求出的函数表达式令即可求出点的坐标为． （2）需要分两种情况讨论，当点为直角顶点时，当点B为直角顶点时，先求出直线表达式，再根据直线与抛物线交点计算点的坐标即可． 【详解】（1）解：将代入中， 得， 解得． ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线交轴正半轴于点， ∴令，则， 解得，， ∴点的坐标为． （2）存在， 当点为直角顶点时，如图， ∵点，点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴点坐标为， 设直线的解析式为， 把点和点分别代入中， 得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 直线与抛物线交于点，坐标即为要求的坐标， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 当时，， ∴． 当点B为直角顶点时，如图 ∴， 由（1）可知是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴点坐标为 设直线的解析式为， 把点和点分别代入中， 得：， 解得： ∴直线的解析式为， 直线与抛物线交于点，坐标即为要求的坐标， 由题意得：， 解得：（舍去），， 当时，， ∴． 综上所述，抛物线上存在点，使是以为直角边的直角三角形．点的坐标为或． 21．(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入解析式计算即可得出结果； （2）当时，，求出点的坐标为，由二次函数图象的平移法则可得新的抛物线的解析式为，将代入，计算即可得出结果； （3）求出，令，则，，由一元二次方程根与系数的关系可得，，求出，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵该函数图象经过原点， ∴将代入解析式得， 解得； （2）解：当时，， 当时，， ∴， ∵， ∴将该抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线的解析式为， 将代入得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴； （3）解：在中，当时，， ∴， ∵抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B的左侧）， ∴令，则，， ∴，， ∴， ∵的面积为3， ∴， ∴， 当时，解得， 当时，此时无解， 综上所述，． 22．(1) (2)存在符合要求的，面积的最小值为，此时． 【分析】（1）由等边三角形的性质得出，，由中点的定义得出，由三角形内角和定理得出，由含30度直角三角形的性质得出，由勾股定理求出，最后由三角形面积公式求解即可． （2）延长和交于点G，由三角形内角和定理以及含30度直角三角形的性质分别求出，利用勾股定理得出，同理可得出，，过点Q作于点H，设，则， ∴，， 再根据列出关于x的二次函数，再由二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：∵是边长为4的等边三角形， ∴，， ∵D为边的中点， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：存在符合要求的，如下图： 延长和交于点G， ∵，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， 过点Q作于点H， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴ ， ∵ ∴抛物线开口向上， ∴当时，取的最小值，最小值为 ， 此时， ∵， ∴， 答：存在符合要求的，面积的最小值为，此时． 23．(1) (2) (3)S存在最小值为 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）求出抛物线的对称轴为直线，得，，当三点共线时，值最小，求出直线的解析式，代入即可求解； （3）由，分三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的图像与轴交于，， ∴设， ∵在抛物线上， ∴ ∴， 则抛物线的表达式为：； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，， ∴关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴当三点共线时，值最小， 设直线的解析式为， 把，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入得， ∴； （3）解：存在， ∵的横坐标为， ∴； ∵的横坐标为， ∴ ， ∴ 设直线交x轴于点H，直线的表达式为， 把点P、Q的坐标代入得： ∴ ∴直线的表达式为：， ①当时，， 此时，, ∴点关于对称轴对称，且轴， 此时； ②当时，令y＝0， 则， 则， ∵， 、当，即时，， 则 ； Ⅱ、当，即时，， 则 ． 综上，S存在最小值为． 答案第4页（共17页） 答案第1页（共17页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期数学 二次函数章节提优练习卷 （江西专版） 本卷满分120分，考试时间120分钟 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题（共18分） 1．（本题3分）二次函数图象的对称轴是（） A．直线 B．直线 C．y轴 D．x轴 2．（本题3分）将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 3．（本题3分）已知点，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（      ） A． B． C． D． 4．（本题3分）二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 5．（本题3分）在平面直角坐标系中，二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 6．（本题3分）二次函数的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程的较大的根的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（共18分） 7．（本题3分）二次函数的图象的开口方向是向________（填“上”或“下”） 8．（本题3分）将二次函数的图像向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的函数解析式是______．（用顶点式表示） 9．（本题3分）函数是二次函数，则________． 10．（本题3分）二次函数（a，b，c为常数，且）的图象如图所示，则点在第______象限． 11．（本题3分）如图，抛物线，与直线分别交于A，C和B，D四点，且，，．若点P，Q分别是两抛物线的顶点，且P，Q都在x轴上，则的长是______． 12．（本题3分）二次函数（）的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①，，；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有________个． 三、解答题（共84分） 13．（本题6分）已知二次函数，求它的图象与直线的交点坐标． 14．（本题6分）已知（k为常数）是二次函数，且当时，y随x的增大而增大． (1)求k的值； (2)试判断点是否在该二次函数的图象上． 15．（本题6分）已知抛物线二次函数． (1)该抛物线的开口方向 ，该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ； (2)画出该抛物线的图象； (3)若点A、B均在抛物线上，且与x轴平行，其中点，则B点的坐标为 ． 16．（本题6分）如图，已知抛物线经过，，三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求周长的最小值． 17．（本题6分）已知抛物线（a，b为常数，且）． (1)若抛物线经过点，求该抛物线的对称轴； (2)若将抛物线上的点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位后，仍在该抛物线上，求该抛物线的解析式． 18．（本题8分）学校为了让学生观察植物的生长习性，打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用26米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为43米，设实验田的长为x米． (1)的长为_________米（用含x的式子表示）； (2)若实验田（矩形）的面积为150平方米，求x的值； (3)通过计算说明该实验田的面积最大是多少？ 19．（本题8分）如图，大桥的缆索具有抛物线形状，两端的索塔均与桥面垂直，且在桥面以上部分高度相同，即．主桥长为，缆索最低处的吊杆长为，桥面上与点M相距处的吊杆长为．请建立适当的平面直角坐标系，求索塔在桥面以上部分的高度． 20．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，交轴正半轴于点． (1)求的值及点的坐标； (2)抛物线上是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 21．（本题9分）在平面直角坐标系中，已知二次函数的表达式为（其中k为实数）． (1)当该函数图象经过原点时，求k的值； (2)当时，将该抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线，两抛物线交于y轴上的点M，求h的值； (3)设抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C，当的面积为3时，求k的值． 22．（本题9分）问题提出 (1)如图①，是边长为4的等边三角形，D为边的中点，过点D作于点E，求的面积； 问题解决 (2)某市为了优化城市空间利用，提升居民生活品质，促进社区融合，决定将如图②所示的公园（四边形）景观提升改造，已知，，，，E为边的中点，点F在边上，且，四边形为儿童娱乐区，现规划在四边形中，新建形状为三角形的花卉种植区，使得点P，Q分别在边，上，且满足，为了节约成本，要使的面积尽可能小，请问是否存在符合要求的？若存在，请求出面积的最小值及的长；若不存在，请说明理由． 23．（本题12分）如图，已知抛物线的图像与轴交于，，与轴交于点，、为抛物线上的两点． (1)求该二次函数的表达式； (2)若在抛物线的对称轴上存在一点，连接、，使的值最小，求点的坐标； (3)设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 答案第2页（共3页） 答案第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $