专题特训12 与圆有关的不规则图形面积的求法&综合与实践5 从等分圆周到探究四点共圆的条件-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(人教版·新教材)

Rt△ADF中，∠ADF=30°.∴.∠BAD=60°.∴.∠BOD= 120:.1分-120xX3 180 2. H ① ② (第10题) 专题特训十二与圆有关的 不规则图形面积的求法 1.B如图，连接OD,BD,OA,过点O作OE⊥AD于点 E.:四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴.∠BAD十 ∠BCD=180°.∴.∠BAD=180°-∠BCD=60°.，AB AD=3,∴.△ABD是等边三角形.∴.∠ABD=60°. ÷.∠A0D=2∠ABD=12.0A=-0D.DE-2AD= 多∠B0D=号∠A0D=60.易得OD=B,OE- 2 Swe-Snto-SON-120xX(3)1 360 2 33 4 (第1题) 2.4一元'在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC= 4∠B=∠C=45,易得AB=AC-号BC=22. :BE=CE=专BC=2.涂色部分的面积=-Sa4m S5m-Snw=号×22X22-45X2X2=4-元 1 360 3.33-元过点A作AH⊥OD于点H.∠AOB 302.01=25,AH=号0A=.:0=AC. .∠OAC=∠AOB=30°.∴.∠ACB=30°+30°=60° ∴.∠CAH=30°.∴.AC=2CH.设CH=x,则AC=2x. 在Rt△ACH中，由勾股定理，得CH+AH=AC2,即 x2+(W3)2=(2x)2,解得x=1(负值舍去).∴.CH=1, AC=2.∴.CD=AC=OC=2..S色=S△e+SJACDE Snam=号×2X6+2X5-30mX23)-5十 360 23-π=3√3-元. 4平：△ABC是直角三角形，·∠ABC+∠BAC 90°.涂色部分两个扇形的半径均为1，.S涂色= 90x×12 = 360 4 53 根据题意，得题图中∠1十∠2+∠3=90+45°= 135,涂色部分的面积为135mX1-3孤 3608 6.(1)如图，连接OP.OA⊥PA,∴.∠OAP=90°.在 (OA=OB. △AOP和△BOP中，PA=PB,∴.△AOP2△BOP. OP-OP, ∴.∠OAP=∠OBP=90°.∴.OB⊥PB.(2)如图，连接 BC.:∠OBP=∠OAP=90°，∠APB=60°，∴.∠AOB= 360°-∠OBP-∠OAP-∠APB=120°.∴.∠COB= 180°-∠AOB=60°.：OB=OC,∴.△BOC为等边三角 形.∴.∠OCB=60°.由(1)可知，△AOP≌△BOP, .∠AOP=∠BOP=60°.∴.∠AOP=∠OCB.∴.OP∥ BC.∴.S△PCs=S△B..S亲色=S扇oB.在Rt△AOP中， ∠AOP=60°，PA=2V3,.易得OA=2..OB=2. .S豹无Oc 2-答即5 2π 360 B (第6题)》 综合与实践5从等分圆周到 探究四点共圆的条件 1.如图，连接OB,OC,OD,AB,BC,CD,AE,AF,OG, AG,OA=OB=OC=OD=AB=BC=CD==OF= OG,AE=AC,AF=AG=OE.∴.△AOB,△BC,△COD 均为等边三角形.∴.∠AOB=∠BOC=∠COD=60°. ∴.∠AOB+∠BOC+∠COD=180°..AD是⊙O的直 径.∴.∠ACD=90°，AD=2r.在Rt△ACD中，由勾股定 理，得AC=√AD-CD=√(2r)-r=√5r,∴.AE= √3x.分别以点A和D为圆心，AC为半径画弧，两弧在 ⊙O的上方相交于点E,∴OE垂直平分AD.∴.∠AOE= 90°.在Rt△AOE中，由勾股定理，得OE=√AE-AO= √/(W5r)2-r2=√2r,∴AF=AG=√2r.∴.OA2+OF2= r2+r2=2r2=(W2r)2=AF2,0A2+0G2=x2+r2=2r2= (W2r)2=AG.∴.△AOF是直角三角形，△AOG是直角 三角形，∠AOF=90°，∠AOG=90°..∴.∠DOF=180°一 ∠AOF=180°-90°=90°，∠D0G=180°-∠AOG= 180°-90°=90°..∠AOF=∠DOF=∠D0G=∠AOG= 90.AF=DF=G=AG.A,G,D,F为⊙0的四 等分点 D C (第1题) 2.70°在△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=50° ∴.∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=70°.·∠BAC= ∠BDC,∴.A,B,C,D四点共圆.∴.∠ADB=∠ACB= 70°. 3.32°∠BAC=∠BDC,∴A,B,C,D四点共圆. .∠ABD=∠ACD.∠ABC=90°，∴.AC为直径. ∴.∠ADC=90°.∴.∠ACD=90°-∠CAD=90°-16°= 74°.∴.∠ABD=74°.：AD=BD,∴.∠BAD=∠ABD= 74°..∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=180°-74°- 74°=32° 4.(1)直径AB平分非直径弦CD,∴.CD⊥AB,即 ∠CGO=90°.∴.∠OCD+∠COG=90°.：EF⊥AB, EH⊥OC,∴.∠EFO=∠EHO=90°.∴.∠AOC+∠FEH= 360°-∠EFO-∠EHO=180°..：∠AO℃+∠COG= 180°，.∠COG=∠FEH.∴.∠OCD+∠FEH=90 (2)连接OE.∠EFO=∠EHO=90°，即∠EFO+ ∠EHO=180°，∴.O,F,E,H四，点是在以OE为直径的圆 上.：∠CGO=90°，∴.O,C,G三点是在以OC为直径的 圆上.OE=OC,∴.以OE为直径的圆和以OC为直径 的圆是等圆.：∠COG=∠FEH,即CG=FH,∴.FH= G=2D-3 第二十九章拔尖自主测评 1.C连接OC,设AB⊥CD于点E,则∠OEC=90°. AB是⊙O的直径，∴.CE=DE.∠A=∠CDB= 30°，⊙0的半径为2，.∠C0B=2∠A=60°，O℃=2. ∠0E=90-∠0B=30.0E=0c=1.CE= √OC2-OE=√22-1=√5.∴.CD=2CE=25. 2.C在Rt△ABD中，∠B=90°，AB=4,BD=3,∴.AD= √AB2+BD=√4+3=5.BC=7,BD=3,∴.CD= BC一BD=7一3=4.以点D为圆心，r为半径画圆，点 A,B,C中只有2个点在圆内，∴.r的取值范围是4<r≤ 5.∴.r的值可能为5. 3.A设OA=r.由题意，得S甲=π·（ 180×2x) nar2 3602,S2=π· （180X2元/ 360.:S2=9S年，a+ B=164,.x(164-a)2r =9xTar 3602 3602.·(164-a)2=9a2, 解得a=41(负值舍去). 4.D如图，设DC交⊙O于点E,连接OC,AE.OB= OC=OA,BC=2OA,.OB2+OC”=BC2.∴.△OBC是 等腰直角三角形.∴.∠BOC=90°：∠AOC=∠AOB+ 1 ∠B0C=50°+90°=140，.∠AEC=2∠A0C=70°： :∠AEC是△AED的一个外角，∴.∠AEC=∠D+ ∠DAE..∠D∠AEC,即∠D70°.∴.所给四个选项 的角度中，只有67°满足要求. A B (第4题) 5.D如图，连接CM,DN,ON,MD,由作法得CM CD=DN,∴.CM=-CD=DN..∠COM=∠COD.故选 项A结论正确.：'OM=ON,∴.当OM=MN时，△OMN 为等边三角形.∴.∠MON=60°.CM=CD=DN, &∠A0B=∠M0A=∠N0B=3∠MON=3×60 20°.故选项B结论正确.：MC=DN,∴.∠MDC= ∠DMN.∴.MN/CD.故选项C结论正确.：CM+CD+ DN>MN,∴.3CD>MN.故选项D结论错误. P (第5题)拔尖特训·数学（人教版）九年级上 专题特训十二 与圆有关的不规则图形面积的求法 类型一直接和差法 1.如图，四边形ABCD内接于⊙O,若∠BCD=120°，AB=AD=3,则图中涂色部分的面积为() A至3 B.T-33 C.3π93 4 24 D.2x-93 8 0 B (第1题)》 (第2题) 2.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=4.分别以点B,C为圆心，线段BC长的一半 为半径作圆弧，交AB,BC,AC于点D,E,F,则图中涂色部分的面积为 类型二割补法 3.[2025青岛中考]如图，在扇形OAB中，∠AOB=30°，OA=2√3，点C在OB 上，且OC=AC,延长CB到点D,使CD=CA.以CA,CD为邻边作□ACDE,)Bb 则图中涂色部分的面积为 (结果保留π). (第3题) 类型三整体法 4.如图，在由边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O过其中四个格点，则图中涂色部 分的面积为 (结果保留π). (第4题) (第5题) 5.如图，三个小正方形的边长都为1，则图中涂色部分的面积为 (结果保留π). 类型四等积变形法 6.如图，P为⊙O外一点，AC为⊙O的直径，OA⊥PA,点B在⊙O上，连接PB,PC,且PA= PB,连接OB, (1)求证：OB⊥PB. (2)若∠APB=60°，PA=2√3，求图中涂色部分的面积 B (第6题) 96 >“答案与解析”见P60 第二十九章圆 综合与实践5从等分圆周到探究四点共圆的条件 类型一等分圆周 1.如图，⊙O的半径为r.现只用一把圆规，将已知圆周四等分，其具体作法如下：①在⊙O的圆周 上任取一点A;②以r为半径，从点A开始，在圆周上连续截取，顺次得到点B,C,D;③分别以 点A和D为圆心，AC为半径画弧，两弧在⊙O的上方相交于点E;④以点A为圆心，OE为半 径，从点A开始，在圆周上连续截取，顺次得到点F,G,则A,G,D,F即为⊙O的四等分点。 运用几何知识说明上述作图方法可以将圆周四等分的理由（图中已连接线段OA,AC,OE). (第1题) 类型二探究四点共圆的条件 2.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=60°，∠BAC=∠BDC=50°，则∠ADB的度数为 (第2题) (第3题) 3.如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠BDC,∠ABC=90°，∠CAD=16°，AD=BD,则∠ADB 的度数为 4.如图，在⊙O中，C是直径AB上方半圆上的一个点，直径AB平分非直径弦CD于点G,E是 AC上一点（不与点A,C重合），过点E作EF⊥AB,EH⊥OC,垂足分别为F,H,连接FH. (1)求证：∠OCD+∠FEH=90°. (2)若CD=3,求FH的长， D (第4题) “答案与解析”见P60 97