1.2 菱形的性质与判定 小节复习题 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

1.2《菱形的性质与判定》小节复习题 一、单选题 1.如图所示，在菱形ABCD中，CE⊥BC于点C.若∠ADB=35°，则∠BEC的度数为() A.20° B.30 C.350 D.55 2.如图，菱形部件的对角线ACBD交于点O,点E为边BC的中点，小明想用刻度尺（单位： Cm)测量菱形部件中OE的尺寸.他将边BC与刻度尺重合，使得点B,C对应的刻度为1,6， 则OE的长为() A.2cm B.2.5cm C.3cm D.3.5cm 3.如图，过口ABCD的顶点B作边AD和CD的高，垂足分别为M,N,连接AC,BD,MN,若 BM=BN ,则下列说法错误的是() B A.∠MBN=∠BAD B.MN∥AC C.△ABD是等边三角形 D.四边形ABCD为菱形 4.下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，四边形ABCD是菱形，延长CA到E,延长AC到F,使AE=CF,连接EB,BF FD,DE. D 求证：四边形 是菱形 EBFD 证明：连接BD,交AC于点O, ABCD 四边形 是菱形，0B=0DOA=0C ,①， AE=CF,·②， 六四边形EBFD 平行四边形， :EF1BD,四边形EBFD是菱形. 若以上解答过程正确，则①，②分别为() A.AB=BC,BE=BF B.AC⊥BD,OE=OF C.AB∥DC,OE=OF D.AD∥BC,BD=AC 5.如图是一个掐丝珐琅方胜式盒盖的纹样，由两个全等的菱形叠压组成.寓意优胜，优美和 同心，若两个菱形的对角线分别为8cm和6cm,重叠部分是一个面积为6cm'的菱形，则这个图 案的总面积为() A.42cm2 B.48cm2 C.54cm2 D.60cm2 6.如图，有三个全等的菱形构成的木制活动衣帽架，若B,M之间的距离为30Cm,上下两 排挂钩A,C之间的距离为24cm,则制作这样一个活动的衣帽架需要用的材料长度（衔接重 叠处材料不计)是() A.13cm B.39cm C.52cm D.156cm 7.如图所示，E是菱形ABCD对角线AC上的一点，若BC=6,DE=4,设AE=x,CE=y,则下 列代数式为定值的是() B A.y+x B.xy C.y-x D.y2+x2 8.如图，已知菱形ABCD的边长为a,AE⊥BC于点E,交BD于点F,且BE=CE,P是对角 线BD上的一动点，连接PE,PC,则下列结论错误的是() A.∠ABD=∠CBD=30° B.BF:FD=1:2 C.4a≤PEs6 1 5 2 a D.PC+PE的最小值为2 9.“菱花窗镂映晴光，雪韵冰晶故事长”·我国传统建筑中的窗棂古典雅致，含蓄灵动.构 成某幅窗棂的一个窗格可抽象成如图所示的菱形ABCD,测得AB=10cm,BD=16cm,则AC 的长为() A.11cm B.12cm C.13cm D.14cm 10.如图所示的是吊灯的截面示意图，连接菱形外框ABCD的对角线ACBD交于点O,四边 形内框AECF是平行四边形，若菱形外框的边长为10，对角线BD的长为16，BE=OE,则内框 和外框之间阴影部分的面积为() A.96 B.84 C.66 D.48 二、填空题 11.方胜纹是中国传统纹样，寓意吉祥.如图①是一个刻有方胜纹的方胜盘，图②是方胜盘 的示意图，菱形ABCD与菱形A'B'CD'是完全相同的两个菱形，中间四边形EBFD也是菱形， 若AC=6,MD=5,F 2,B为OD的中点，则四边形EBFD的面积为一· 图1 图2 12.如图，数学活动课上，老师给每位同学发放两根长度相等的木条和一根橡皮筋，要求大 家根据所给的材料在平面内制作一个菱形.小明先用两根木条钉成一个角形框架∠AOB，然 后将橡皮筋两端分别固定在点A,B处，拉动橡皮筋上到C处.当四边形OACB是菱形时，小明 量得橡皮筋比固定时长了1倍，则∠AOB= 13.把一张矩形纸片沿着它的两条对称轴对折后成如图所示的图形，然后沿虚线剪下图①这 “只角”，为了使得图①的展开图有一个内角为84°的菱形，若α>45°，则a=一， ② ① 入 14.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC所在直线是一条水平直线，过点A作一条竖直直 线I,将直线I沿水平方向向右平移，在平移过程中，直线I落在菱形ABCD内部的线段长记作 m,若AB5 4,AC=2,则正整数m的值是 15.如图，点D,F把线段BH分成三条线段BD,DF,FH,分别以这三条线段为一条对角线作 菱形ABCD,菱形DEFG,菱形FMHN,连结CE,EM,MG,GC组成四边形CEMG.若菱形 DEFG 17BH=44,DF=3 CEMG 的边长为， 0,则四边形 的面积是 三、解答题 16.如图，用尺规在口ABEF内作四边形ABCD,请根据作图痕迹判断四边形ABCD的形状并说 明理由. 17.综合与实践 G 图1 图2 问题情境： 在数学实践课上，老师要求同学们将两个菱形纸片的一个顶点重合，分别记为菱形ABCD和 菱形AEFG,其中∠BAD=∠EAG,连接BE,DG.(菱形AEFG的位置不动，改变菱形ABCD的 位置) 操作发现： (1)如图1，当边AD与AE重合时，直接写出BE与DG之间的数量关系. 探究发现： (2)将两个菱形纸片按如图2所示的方式放置，其中点D在边EF上，(1)中的结论是否仍 然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由. 拓广探究： (3)创意小组的同学发现图1中的∠ABE=45°，∠BAD=60°，AB=6. 1V3-1 ①求菱形AEFG的边长（结果化为不含分母的形式，提示：V3+12); ②在放置两个菱形纸片的过程中，当A,B,F三点在同一条直线上时，连接CG，请直接写出 CG的长· 18.在学习了平行线后，小西进行了如下思考，夹在一组平行线间的线段的垂直平分线，与 平行线的两个交点和线段两端点所构成的四边形是什么四边形.请根据小西的思路完成以下 作图与填空. 已知：如图，AD∥BC,连接AC. D B (I)用直尺和圆规完成以下基本作图：作线段AC的垂直平分线EF,EF分别交BC,AC,AD 于点E,O,F,连接AE,CF. (2)求证：四边形AECF是菱形. 证明：AD‖BC, ① EF 是1C的垂直平分线， ∴.OA=OCAE=CE 在△AOF和aCOE中， [∠FAO=∠COE ② ∠AOF=∠COE' ∴.△AOF≌ACOE(ASA) …⑧ 小四边形 ECF 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， .AE=CE ∴.四边形AECF是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）· 在作图过程中，小西进一步研究发现：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线，与平行线的 两个交点和线段两端点所构成的四边形是 19.学习了平行四边形后，小芳进行了拓展性研究.她发现，平行四边形中特别容易出现全 等三角形，这样就可以利用平行四边形的性质构造全等来解决“仅用无刻度的直尺画出与已 知线段相等的线段”的问题.在解决问题“如图，在菱形ABCD中，点E是AB上一点，请仅 用无刻度的直尺在线段BC上画点F,使得CF=AE”的过程中，小芳的作图过程是：连接 BD.CE 交于点从，连接1M并爽长与BC相交于一点即为点F.请你判断她画的是否正确，并 BC 说明理由， A B<-- 20.综合与探究 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AD∥BC,连接AC. D B EM B EM 图1 图2 图3 (1)如图1，若AB=AD,判断四边形ABCD的形状，并说明理由. (2)在(1)的条件下，若∠BAC=55°，求∠D的大小. (3)当AB<AD时，过点A作AE⊥BC于点E,M为BC上的一动点，连接AM, ①如图2，若E为BC的中点，BC=6,CD=5,AM=7,求CM的长. ②如图3，过点B作BF⊥AM于点F,交AE于点G,过点M作MH∥BF.若AM=BG, AG=CM ,直接写出CH与EM之间的数量关系. 参考答案 一、单选题 1.D 解：ABCD是菱形， .AD∥BC, .∠ADB=∠CBD=35°， CE⊥BC, .∠BCE=90°， .∠BEC=90°-∠CBD=55°. 故选：D 2.B 解：四边形ABCD是菱形， .BC=CD=6-1=5,B0=D0 ,点E是边BC的中点， .EO是△BCD的中位线， .E0=)CD=2.5cm 2 故选：B 3.C 解：四边形ABCD为平行四边形， .AB∥CD, ∴.∠BAD+∠MDN=180°， .BM⊥AD,BN⊥CD ∴.∠BMD=∠BND=90°， .∠BMD+∠MBN+∠BND+∠MDN=360°， .∠MBN+∠MDN=180°， ∴.∠MBN=∠BAD,故A选项正确，不符合题意； .S.ARCD=ADX BM CDxBN,BM=BN, .'AD=CD. ∴.四边形ABCD为菱形，故D选项正确，不符合题意； ∴.∠DAC=∠ACD=180°-∠ADC 2, 在RtABDM和Rt△BDN中， .·BD=BD,BM=BN ∴.Rt△BDM≌Rt△BDN, ∴.DM=DN, .:∠DMN=∠DNM=180°-∠ADC 2 ∴.∠DMN=∠CAD, ∴.MN∥AC,故B选项正确，不符合题意； 根据题意无法得到AB,BD的大小关系， ∴.无法确定△ABD的形状，故C选项错误，符合题意； 故选：C 4.B 证明：连接BD,交AC于点O, “四边形 ABCD 是菱形， ∴.OB=ODOA=OCAC⊥BD .AE=CF ∴.OE=OF 六四边形EBFD 平行四边形， :EF⊥BD 四边形EBFD是菱形. 故选：B. 5.A 1 解：菱形的面积：6×8×)=24 2 cm2, 这个图案的总面积为：24+24-6=42cm2, 故选：A. 6.D 解：如图，连接BM,AC交于点O, .BD =10cm, ,ABCD是菱形， :A0=)4C=12em,B0-号8D=5cm,∠AOB=90, 4B-O+02=13cm .制作这样一个活动的衣帽架需要用的材料长度是13×12=156cm, 故选：D. 7.B 解：如图，连接BD, ABCD ”四边形 是菱形， BD⊥AC, 01=号4C,4D=BC=6, .AE=X,CE=y, ..AC=x+y 01=2r+0 0E=0A-AE=0-), 0D2=DE2-0E2=AD2-A02 --=6 (x+y)2 4 ∴.xy=20. “代数式为定值的是少 故选：B. D C O E B 8.C 解：AE⊥BC于点E,BE=CE, .'AB=AC, ,菱形ABCD, ∴.AB=BC, .'AB=AC=BC, ∴△ABC为等边三角形， :对角线BD, .∠ABD=∠CBD=30°，故A正确，不符合题意； .∠ABD=∠CBD=30°， ..BF=2EF, .BE=3EF, :r=29E 3 同理： 3 ∴.BF:FD=1:2,故B正确，不符合题意； 当点P与点F重合时，PE取得最小值， ,菱形ABCD的边长为a, BE-CE-. 由B选项得：BE=V3EF, EF=V3a 6, PE2 3 6”,选项C错误，符合题意： 菱形ABCD, .点A与点C关于BD对称， ∴.PC+PE=PA+PE, 当点A、P、E三点共线时，取得最小值即为AE, :48=AC=BC=a,8E=CE=2, AE=AC2-CE2= 2 即PC+PE的最小值为2“，选项D正确，不符合题意； 故选：C 9.B 解：如下图，设ACBD交于点O, ,四边形ABCD为菱形，AB=10cm,BD=16cm, CBD8-BD8m,O4-AC 在RtaA0B中，O1=VAB-OB=i02-8=6cm .AC=20A=12cm. 故选：B. 10.D 解：，四边形ABCD是菱形， :08=0D-8D=841B04c=201, :.0A=VAB2-0B2=6 .AC=20A=12, .BE=OE, :0E=20B=4, 四边形AECF是平行四边形，AC⊥EF, ∴四边形AECF是菱形， ∴.EF=2OE=8, e=5aw5oml2x16-12x8=48, 故选：D. 二、填空题 3 11.2 解：在菱形ABCD中，ACLBD,01=AC= ×6=3 2 :AD=5 3 ..OD=AD2-042=4 :8为OD的中点， :.OB'=BD=LOD=2 菱形EBFD的面积2×BDEF=×2x-3 2 22, 故答案为：2· 12.60° 解：当四边形OACB是菱形时，橡皮筋比固定时长了1倍， .AC+BC=2AB 又四边形OACB是菱形， .AC=BC∠AOB=∠C .AC=BC=AB ，即4ABC 是等边三角形， .∠C=60° ∴.∠AOB=∠C=60° 故答案为：60°. 13.48° 解：如图所示： aa au>45°， .由题意得：2a=180°-84°=96° ∴.a=48° 故答案为：48 14.1 解：如图，连接BD交AC于点O, ”四边形1BC 是菱形，4C=2 0A-74C=1,BD=20B.AC LBD 0i=a8-0F-图-P-. BD=20B=3 当直线I运动到点A或点C时，m最小，最小值为m=0, 3 当直线1运动到与BD重合时，m最大，最大值为m= 2, 0sms3 六正整数”的值是'， 故答案为：1. 】 15.296 解：连接AC、EG、MN,分别交BH于点P、O、Q,如图所示， B .BH=44,DF=30 ∴.BD+FH=BH-DF=14 设BD=a,FH=b, 即a+b=14, “四边形 ABCD DEFG FMHN 都是菱形， :AC⊥BDEG⊥DFMN⊥FH 0p-0-0,e-n-.o0-0r-Dr-15,0E=5c. 2 2 2 菱形 EFG .170D=15 的边长为， ∴.0E=VDE2-0D2=V172-152=V64=8 ∴.EG=16 S四边形CEMG=S&CGE+S△MEG --(DP+ODYEG+-(FQ+OFYEG. a+156+0+156 =4(a+b)+240 .a+b=14 ·S四边形CEMG=4×14+240=296 故答案为：296 三、解答题 16.解：四边形ABCD是菱形，理由如下： .四边形ABEF是平行四边形， .AFIBE,即 AD∥BC 由作图可知：AD=AB,AB=BC, ∴.AD=BC, .四边形ABCD是平行四边形， 又AD=AB, ∴.平行四边形ABCD是菱形. 17.解：(1)，四边形ABCD是菱形，四边形AEFG是菱形， ∴.AB=AD,AE=AG, 在△BAE和△DAG中 (AB=AD ∠BAD=∠EAG AE=AG △BAE≌△DAG(SAS) ∴.BE=DG (2)仍然成立，理由如下： 由(1)得：AB=AD,AE=AG, 又∠BAD=∠EAG, ∴.∠BAD-∠DAE=∠EAG-∠DAE 即∠BAE=∠DAG 在△BAE和△DAG中 AB=AD ∠BAE=∠DAG AE=AG △BAE≌△DAG(SAS) ∴.BE=DG; (3)①如图，过点E作EH⊥AB于点H,则∠AHE=∠BHE=90°. .∠BAD=60°， .∠AEH=90°-∠BAD=30°， . 得H=VAE2-4m= -AE 在Rt△AEH中，由勾股定理， ∠ABE=45°， .∠BEH=90-∠ABE=45°， ∴.∠ABE=∠BEH, :8M=BH=94E 2 AB=BH+AH AE+-AE AE=63-6. ∴菱形AEFG的边长6V3-6. ②如图，在菱形ABCD中，AB=6,∠BAD=60°，连接AC 过点B作BM⊥AC于点M,则∠AMB=90 .四边形ABCD是菱形， ∴A8=AC,∠BM=BD=30, 六AC=2M,BM=)B=3 AM=AB2-BM=33 ..AC=6/3 由①知菱形AEFG的边长为6V3-6, .AG=6W3-6, 当A,B,F三点在同一条直线上时，易得A,G,C三点也在同一条直线上. 分两种情况： 当点G在线段AC上时，CG=AC-AG=63-(63-6)=6 D B 当点G在射线CA上时，CG=AC+AG=65+6W5-6=12W3-6. D 综上，CG的长为6或12W3-6. 18.(1)如图所示： H (2)证明：~AD川BC, ∴.①∠FAO=∠ECA, EF AC 是的垂直平分线， ∴.OA=OCAE=CE 在△AOF和△COE中， 「∠FAO=∠ECO AO=CO ∠AOF=∠COE' ∴.△AOF≌ACOE(ASA) ③1F=CE 六四边形MBCF 平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， AE=CE ∴，四边形AECF是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）· 在作图过程中，小西进一步研究发现：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线，与平行线的 两个交点和线段两端点所构成的四边形是菱形. 故答案为：∠FAO=∠ECA,AF=CE,OF=OE,菱形. 19.正确，理由如下： ,四边形ABCD是菱形， .AB=BC,∠ABD=∠CBD, AB=BC ∠ABD=∠CBD 在 和 中 △ABM△CBM BM=BM ∴.△ABM≌aCBM(SAS) .∴∠BAM=∠BCM,AM=CM, ∠BAM=∠BCM AM=CM HEM不△CFM中∠iME=∠CMr, 在 和 .△AEM≌aCFM(ASA), ∴.AE=CF. 20.(1)解：四边形ABCD是菱形， 理由：ABICD,AD‖BC, ·四边形 ABCD 是平行四边形， AB=AD 小四边形 ABCD 是菱形； (2):四边形ABCD是菱形， .∠DAC=∠BAC=55 ∴.∠BAD=110° .ABI CD ∴.∠D=180°-∠BAD=180°-110°=70° (3)①AB∥CD,AD∥BC, ∴.四边形ABCD是平行四边形， .'AB=CD=5, :E为BC的中点， 1 .BE=CE2 BC=3, :AE⊥BC .AC=AB=5 AE=√AB2-BE2=4 .AM =17 .EM=AM2-AE2 =1 ∴.CM=CE-EM=2 ②：AE⊥BC, ∴.∠BEG=∠AEM=90° ,BF⊥AM ∴.∠BFM=90° ∴.∠FBM+∠BMF=∠BMF+∠EAM=90° ∴.∠GBE=∠EAM AM=BG ∴.△BDE≌△AME(AAS) ∴.EG=EMAE=BE ∴.∠ABE=∠BAE=45° .AG=CM .AG+GE=CM+ME ∴AE=CE ∴.∠EAC=∠ACE=45° ∴.∠BAC=∠ACD=90° 连接GM, B EM 图3 ∴.△GEM 是等腰直角三角形， .∠EGM=45°GM=V2EM ∴.∠AGM=∠MCH=135° BF MH ∴.∠CMH=∠EBG 又AE⊥BC,BF⊥AM ∴.∠EBG=∠EAM=90°-∠AME .AG=CM ∴.△AGM≌△MCH(ASA) ∴.GM=CH GM=2 EM ..CH=2 EM