第一章1.2菱形的性质与判定2026-2027学年北师大版九年级上册数学原卷+解析版

第一章特殊平行四边形 1.2菱形的性质与判定 知识梳理 一、菱形的性质 1.菱形的四条边都相等: 2.菱形的对角线互相垂直平分; 3.每条对角线平分一组对角: 4.菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形. 5.菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，而平行四边形一般只被分成两对全等的三角形，如下图所示. 例1.如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC=24，BD=10，则菱形ABCD的周长是 ． 例1.答案为：52 【解析】：∵菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC=24，BD=10， ∴AC⊥BD，OA=AC=12，OD=BD=5， 在Rt△AOD中，由勾股定理得： AD²=OA²+OD²=5²+12²=13²， ∴AD=13， ∴菱形ABCD的周长是4 ×13=52. 二、菱形的判定定理 1.四条边相等的四边形是菱形； 符号语言 ∵AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 符号语言 ∵四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD ∴ABCD是菱形 3.有一组邻边相等的平行四边形是做菱形。 符号语言 ∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=AD ∴ABCD是菱形 例2.已知:在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA,求证:四边形ABCD是菱形. 例2.证明:∵AD=BC ，AB=CD ∴四边形ABCD是平行四边形 又∵AB=AD ∴四边形ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形) 例3.已知:在ABCD 中，AC⊥BD，求证:四边形ABCD是菱形。 例3.证明:∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC. ∵AC ⊥ BD, ∴BD垂直平分AC ∴BA=BC. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形). 例4.已知E是ABCD的边CD上的一点，且DE=AD,过点E作EF∥AD,交AB于点F，四边形AFED是菱形吗?为什么? 例4.答案为：四边形AFED是菱形 理由:∵四边形ABCD是平行四边形 ∴DE ∥AF 又∵EF∥AD ∴四边形AFED是平行四边形 又∵DE=AD ∴四边形AFED是菱形 三、菱形的面积 =底边长×高=两条对角线乘积的一半 S=ah S=mn 例5.四边形 ABCD 是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=5，AO=4，求 AC，BD的长以及菱形 ABCD的面积. 例5.解:在菱形ABCD 中，AC⊥BD，OA=OC,OB=OD, ∴BO²=AB²-AO²=5²-4²=3²，AC=2AO=2×4=8 ∴BO=3 ∴BD=2BO=6 ∴×AC×BD=×8×6=24 1.2菱形的性质与判定 同步练习 1.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE.若OE=3，则菱形的边长为( ) A.6 B.8 C.10 D.12 1.答案为：A 2.如图，在ABCD中,AC与BD交于点O,下列判断中不正确的是（ ） A.若AB=BC，则ABCD是菱形 B.若AC⊥BD，则ABCD是菱形 C.若AC平分∠BAD，则ABCD是菱形 D.若AC=BD，则ABCD是菱形 2.答案为：D 3.如图，在ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判定四边形AECF为菱形的是（ ） A. AE= AF B.EF⊥AC C.∠B=60° D.AC是∠EAF的平分线 3.答案为：C 4.如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=120°，边AB在数轴上，将AC绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是( ) A.1 B.1- C.0 D.3-2 4.答案为：D 【解析】解:作CF⊥AE于点F, ∵∠ABC=120°， ∴∠FBC=60°， ∵BC=2， ∴BF=BC=1，CF²=BC²-BF²=3², ∴CF=，∴AF=AB+ BF=3, ∴AE=AC=, ∵点E表示的数是3， ∴点A表示的数是3-2， ∴选D. 5.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O,E是AB的中点，连接OE.若OE=3，则菱形的边长为( ) A.6 B.8 C.10 D.12 5.答案为：A 【解析】解:∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD, ∵E是AB的中点， ∴OE=AB, ∴AB=2OE=2×3=6. ∴选:A. 6.如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O,E为AB的中点.若菱形ABCD的周长为32，则OE的长为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 6.答案为：B 【解析】解:∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AC⊥BD，AB=BC=CD=AD, ∴∠AOB=90°， 又∵AB+BC+CD+AD=32. ∴AB=8, 在 Rt△AOB 中，OE是斜边上的中线， ∴OE=AB=4. ∴选:B. 7.如图，四边形ABCD是菱形，CD=5，BD=8，AE⊥BC于点E，则AE的长是( ) A. B.6 C. D.12 7.答案为：A 【解析】解:∵四边形ABCD是菱形，CD=5，BD=8， ∴DO=BD=4，AC⊥BD，BC=CD=5, 在Rt△CDO中，CO²=DC²-DO²=5²-4²=3², ∴CO=3，∴AC=2OC=6， ∵菱形ABCD的面积为AC×BD=BC×AE, ∴AE=（×8×6）÷5= 故选:A. 8.如图，直线，菱形ABCD和等边△EFG在之间，点A，F分别在上，点B，D，E，G在同一直线上:若∠α=50°，∠ADE=146°，则∠β=( ) A.42° B.43° C.44° D.45° 8.答案为：C 【解析】如图， ∵∠ADE=146° ∴∠ADB=180°-∠ADE=34° ∵∠α=∠ADB+∠AHD ∴∠AHD=∠α-∠ADB=50°-34°=16° ∵ ∴∠GIF=∠AHD=16° ∵∠EGF=∠β+∠GIF ∴∠β=∠EGF-∠GIF=60°-16°=44° ∴选:C. 9.如图，在菱形ABCD中，AB=2，则菱形ABCD的周长为 ． 9.答案为：8 【解析】解:由菱形的四条边相等可得:菱形的周长为2×4=8， ∴答案为:8. 10.如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F.且AD交EF于O，则∠AOF= 度． 10.答案为：90 11.若菱形的周长为20cm，且有一个内角为45°，则该菱形的高为 cm． 11.答案为： 【解析】解:如图， 菱形EFGH的周长为20cm， ∴EF=EH=5cm, 过E作FI⊥EH于H，而∠E=45°, ∴FI= EF=x 在Rt△EIF中，由勾股定理得： FI²=EF²-EI²=5²-x²=x² ∴x=，即FI= ∴答案为: 12.点E是菱形ABCD的对称中心，∠B=56°，连接AE，则∠BAE的度数为 ． 12.答案为：62° 【解析】解:如图，连接BE, ∵点E是菱形ABCD的对称中心，∠ABC=56°, ∴点E是菱形ABCD的两对角线的交点， ∴AE⊥BE，∠ABE=∠ABC=28°, ∴∠BAE=90°-∠ABE=62°. ∴答案为:62°. 13.如图，下列对菱形ABCD ①AC=BD;②∠OAB=∠OBA;③AC⊥BD;④有4条对称轴;⑤AD=BD;⑥∠OAB=∠OAD。 表述正确的有 ．（填序号） 13.答案为：③⑥ 14.已知:如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=，OA=2，0B=1，求证:ABCD是菱形. 14.证明:在△AOB 中 ∵AB=，OA=2，0B=1, ∴AB²= AO²+ OB² ∴△AOB 是直角三角形，∠AOB 是直角 ∴AC⊥BD. ∴ABCD 是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形) 15.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，连接对角线BD，E，F分别是边AB，BC的中点，分别连接DE，DF，EF.求证:△DEF是等边三角形. 15.证明:四边形ABCD是菱形，∠A=60° ∴∠ABC=120°，AB=AD=BC=CD，∠A=∠C=60° ∴△ABD 和△CBD 都是等边三角形， ∴△ABD ≌△CBD. 又∵E，F分别是边AB，BC的中点， ∴DE⊥AB , DF⊥BC. ∴DE=DF. ∴△DEF是等腰三角形 又∵∠ABC=120° ∴∠EDF=60° ∴△DEF是等边三角形. 16.如右图，在ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD,BC分别相交于点E,F.求证:四边形 AFCE是菱形. 16.证明:四∵边形 ABCD 是平行四边形 ∴AE//CF. ∴∠1=∠2. 又∵∠AOE=∠COF,AO=CO, ∴△AOE≌△COF. ∴EO=FO. ∴四边形 AFCE 是平行四边形 又AC⊥EF, ∴四边形 AFCE 是菱形. 17.如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形 ABCD 是一个菱形吗?为什么? 17.解:是一个菱形 理由:∵这是两张等宽的纸条， ∴AD //BC, AB //CD. ∴四边形ABCD 是平行四边形 又∵两张纸条等宽，利用面积相等可得，AB=BC, ∴四边形 ABCD 是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是做菱形）. 18.如右图，菱形花坛 ABCD 的边长为 20m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和 BD.求两条小路的长(结果保留小数点后两位)和花坛的面积(结果保留小数点后一位). 18.解:设 AC，BD 相交于点O. ∵花坛 ABCD 的形状是菱形， ∴AC⊥BD，∠ABO∠ABC=×60°=30°. 在Rt△ABO中， AO=AB=×20=10, BO²=AB²-AO²=20²-10²=300, ∴BO=10 ∴花坛的两条小路长：AC=2AO=20(m)，BD=2BO=20≈34.64(m) ∴花坛的面积：=4×=4×AO·BO=200≈346.4(m²). 19.如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE=CF，连接DE，DF，BE，BF.求证:四边形BEDF是菱形 19.证明:∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB=AD=BC=CD，∠DCA=∠BCA,AD∥BC ∴∠DCF=∠BCF. ∵CF=CF, ∴△CDF≌△CBF(SAS) ∴DF=BF. ∵AD∥BC ∴∠DAC=∠BCA， ∴∠DAE=∠BCF. ∵AE=CF,DA=BC. ∴△DAE≌△BCF(SAS). ∴DE=BF 同理可证:△DCF≌△BAE(SAS)， ∴DF=BE. ∴四边形BEDF是平行四边形 ∵DF=BF ∴平行四边形BEDF是菱形. 20.如图，在菱形ABCD中，AE⊥CD，垂足为E,CF⊥AD，垂足为F. 求证:AF=CE. 20.【解析】证明:∵四边形ABCD是菱形 ∴AD=CD ∵ AE⊥CD,CF⊥ AD ∴∠AED=∠CFD=90 ∵∠D=∠D ∴△AED =△CFD ∴DE=DF ∴AD-DF=CD-DE ∴AF=CE 21.一张三角形纸片如图所示，请你用纸片折出一个菱形，使∠A是菱形的一个内角，和点A相对的顶点在边BC上，并说明所折图形是菱形的理由. 21.解:如图,将△ABC折叠,使AB,AC重合,得折痕AD.展开后再次折叠使点A,D重合,折痕为EF,连接DE,DF,则四边形AEDF为菱形. 理由:设AD,EF相交于点O. 由折叠可知，∠EAO=∠FAO,EF垂直平分AD. ∴∠AOE=∠AOF=90°，AE=DE，AF=DF 在△AEO和△AFO中 ∠EAO=∠FAO,AO =AO,∠AOE=∠AOF ∴△AEO≌△AFO(ASA) ∴AE=AF. ∴AE=AF=DE=DF ∴四边形AEDF为菱形（四条边相等的四边形是菱形）. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章特殊平行四边形 1.2菱形的性质与判定 知识梳理 一、菱形的性质 1.菱形的四条边都相等: 2.菱形的对角线互相垂直平分; 3.每条对角线平分一组对角: 4.菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形. 5.菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，而平行四边形一般只被分成两对全等的三角形，如下图所示. 例1.如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC=24，BD=10，则菱形ABCD的周长是 ． 二、菱形的判定定理 1.四条边相等的四边形是菱形； 符号语言 ∵AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 符号语言 ∵四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD ∴ABCD是菱形 3.有一组邻边相等的平行四边形是做菱形。 符号语言 ∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=AD ∴ABCD是菱形 例2.已知:在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA,求证:四边形ABCD是菱形. 例3.已知:在ABCD 中，AC⊥BD，求证:四边形ABCD是菱形。 例4.已知E是ABCD的边CD上的一点，且DE=AD,过点E作EF∥AD,交AB于点F，四边形AFED是菱形吗?为什么? 三、菱形的面积 =底边长×高=两条对角线乘积的一半 S=ah S=mn 例5.四边形 ABCD 是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=5，AO=4，求 AC，BD的长以及菱形 ABCD的面积. 1.2菱形的性质与判定 同步练习 1.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE.若OE=3，则菱形的边长为( ) A.6 B.8 C.10 D.12 2.如图，在ABCD中,AC与BD交于点O,下列判断中不正确的是（ ） A.若AB=BC，则ABCD是菱形 B.若AC⊥BD，则ABCD是菱形 C.若AC平分∠BAD，则ABCD是菱形 D.若AC=BD，则ABCD是菱形 3.如图，在ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判定四边形AECF为菱形的是（ ） A. AE= AF B.EF⊥AC C.∠B=60° D.AC是∠EAF的平分线 4.如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=120°，边AB在数轴上，将AC绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是( ) A.1 B.1- C.0 D.3-2 5.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O,E是AB的中点，连接OE.若OE=3，则菱形的边长为( ) A.6 B.8 C.10 D.12 6.如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O,E为AB的中点.若菱形ABCD的周长为32，则OE的长为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 7.如图，四边形ABCD是菱形，CD=5，BD=8，AE⊥BC于点E，则AE的长是( ) A. B.6 C. D.12 8.如图，直线，菱形ABCD和等边△EFG在之间，点A，F分别在上，点B，D，E，G在同一直线上:若∠α=50°，∠ADE=146°，则∠β=( ) A.42° B.43° C.44° D.45° 9.如图，在菱形ABCD中，AB=2，则菱形ABCD的周长为 ． 10.如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F.且AD交EF于O，则∠AOF= 度． 11.若菱形的周长为20cm，且有一个内角为45°，则该菱形的高为 cm． 12.点E是菱形ABCD的对称中心，∠B=56°，连接AE，则∠BAE的度数为 ． 13.如图，下列对菱形ABCD ①AC=BD;②∠OAB=∠OBA;③AC⊥BD;④有4条对称轴;⑤AD=BD;⑥∠OAB=∠OAD。 表述正确的有 ．（填序号） 14.已知:如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=，OA=2，0B=1，求证:ABCD是菱形. 15.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，连接对角线BD，E，F分别是边AB，BC的中点，分别连接DE，DF，EF.求证:△DEF是等边三角形. 16.如右图，在ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD,BC分别相交于点E,F.求证:四边形 AFCE是菱形. 17.如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形 ABCD 是一个菱形吗?为什么? 18.如右图，菱形花坛 ABCD 的边长为 20m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和 BD.求两条小路的长(结果保留小数点后两位)和花坛的面积(结果保留小数点后一位). 19.如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE=CF，连接DE，DF，BE，BF.求证:四边形BEDF是菱形. 20.如图，在菱形ABCD中，AE⊥CD，垂足为E,CF⊥AD，垂足为F.求证:AF=CE. 21.一张三角形纸片如图所示，请你用纸片折出一个菱形，使∠A是菱形的一个内角，和点A相对的顶点在边BC上，并说明所折图形是菱形的理由. 学科网（北京）股份有限公司 $