精品解析：江苏连云港实验学校2026-2027年上学期九年级第一次学情调研数学试题

2026－2027学年第一学期第一次学情调研 九年级数学试题 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数，由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A．是一元二次方程，符合题意； B．中未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，不合题意； C．中未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，不合题意； D．不是整式方程，不是一元二次方程，不合题意． 2. 将一元二次方程配方，得到方程，其中“”表示的数为（ ） A. 16 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据配方法的规则，计算一次项系数一半的平方，即可得到横线上需要填的数. 【详解】解：∵ 对一元二次方程配方时，需要给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，原方程中一次项系数为， ∴ 一次项系数一半的平方为 ，因此表示的数为. 3. 若一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0的一根为x＝﹣1，则k的值为（　　） A. ﹣1 B. 0 C. 1或﹣1 D. 2或0 【答案】A 【解析】 【分析】把x＝﹣1代入方程计算即可求出k的值． 【详解】解：把x＝﹣1代入方程得：1+2k+k2＝0， 解得：k＝﹣1， 故选A． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 4. 已知电压一定时，电流（单位：安培）与电阻（单位：欧姆）成反比例关系，即，当电流时，电阻，则与的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵当电流时，电阻， ∴， ∴， ∴与的函数关系式是． 5. 已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，需要先判断反比例函数的单调性，再根据各点横坐标的位置来比较纵坐标的大小． 【详解】解：在反比例函数中，因为，则，即， 所以该反比例函数图象在一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， 已知点，的横坐标为负， 所以这两点在第三象限；点的横坐标为正，所以该点在第一象限， 因为第一象限的点的纵坐标大于第三象限的点的纵坐标， 所以，，。 在第三象限内，随的增大而减小，且，所以， 又因为，，所以． 故选：D． 6. 设一元二次方程的两根为，则的值为（ ） A. 5 B. C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，运用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：在方程 中，，，， 根据根与系数的关系可得：，， 将其代入 可得：． 故选：C． 7. 如图，某小区有一块长，宽的矩形花园，现要修三条入口宽度相等的小路，每条小路的两边是互相平行的．若使剩余面积为．求小路的入口宽度．若设小路的入口宽度为，则根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设小路宽为米，根据矩形的面积公式结合剩余的面积为，即可得出关于的一元二次方程，即可得出结论． 【详解】解：设小路的入口宽度为， 由题意可得：， 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8. 函数的图像如图所示，则在该坐标系中，函数的大致图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图像性质，解题的关键在于根据的图像确定的正负区间，进而分析的图像特征． 【详解】解：∵， ∴， ∴函数的图像可以看作由的图像向右平移2个单位长度得到， 且， 当时，， ∴只有A选项符合需求. 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共30分） 9. 已知点在反比例函数的图象上，则_____． 【答案】10 【解析】 【分析】将点代入反比例函数，即可求出的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将，代入函数解析式得， 解得． 10. 已知某个一元二次方程的两根分别是1和-2，则这个方程可以是（填一般形式）_______________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的意义列出方程即可得出结论． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别是1和-2， ∴这个方程可以是， 整理，得：， 这个方程为：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的意义，熟练理解一元二次方程的根的意义是解决本题的关键． 11. 如图，点是反比例函数图象上一点，过点分别作轴、轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积是4，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用点P在第二象限及矩形面积等于的性质确定k值． 【详解】解：设点P的坐标为， 图中矩形面积是4， ， 图象在第二象限， ， ． 12. 如图，顶点都在网格格点上，则外接圆的圆心坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据网格结构，作出边、的垂直平分线，交点P即为所求的外接圆的圆心，然后写出点P的坐标即可． 【详解】解：∵三角形的外接圆圆心为三角形三条边的垂直平分线的交点， 作出边、的垂直平分线，如图所示，点P即为外接圆的圆心，坐标为． 13. 下列说法：①半圆是弧；②面积相等的圆是等圆；③直径是弦，弦是直径；④经过圆内一定点可以作无数条弦；⑤三角形的外心不可能在其边上．其中错误的有______．（填写序号） 【答案】③⑤ 【解析】 【详解】解：①半圆是弧，原说法正确； ②面积相等的圆的半径一定相等，故是等圆，原说法正确； ③直径是弦，但弦不一定是直径，原说法错误； ④经过圆内一定点可以作无数条弦，原说法正确； ⑤直角三角形的外心为斜边的中点，原说法错误； ∴说法错误的有③⑤． 14. 九年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，设参加此次比赛的球队数为队，可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】设参加此次比赛的球队数为队，则每个队都要与个队比赛一场，且每两个队之间的比赛只算一场，据此列方程即可． 【详解】解：由题意得，． 15. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解集是______． 【答案】或 【解析】 【分析】观察函数图象即可求解． 【详解】解：观察图像可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方， ∴不等式的解集为或． 16. 如果、是两个不相等的实数，，那么代数式______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，，是两个不相等的实数，且满足，，则可将，看作是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系求得，，再由得，进而把代数式转化为，整理后代入、的值计算即可求解． 【详解】解：，是两个不相等的实数，且满足，， 可将，看作是一元二次方程即的两个实数根， ，， ， ， 原式 ． 17. 边长为6cm的等边三角形的外接圆半径是________. 【答案】 【解析】 【详解】连接中心和顶点，作出边心距． 那么得到直角三角形在中心的度数为：360÷3÷2=60°,那么外接圆半径是6÷2÷sin60°=2； 故答案：2. 18. 如图，直线的图像上有8个点，从左往右依次记为（横坐标依次增加2个单位），要使这些点平均分布在函数的图像两侧，每侧4个点，则可以取到的整数值有______个． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质以及点与反比例函数图像的位置关系，解题的关键思路是通过分析点在反比例函数图像两侧的条件，确定的取值范围，进而得出可取的整数值个数． 【详解】解：根据题意这8个点都在直线的图象上，且横坐标依次增加2个单位， 可得这8个点的坐标从左到右依次是：， ∴这8个点横纵坐标乘积依次为：16，28，36，40，40，36，28，16， ∵这些点平均分布在函数的图像两侧，每侧4个点， ∴， ∵要为整数， ∴可取的值有：29，30，31，32，33，34，35，共7个． 故答案为：7． 三、解答题（共8小题，共96分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 19. 用适当的方法解下列方程： （1） （2）（配方法） （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 解得，； 【小问3详解】 解：， ，，， ， ， 解得，； 【小问4详解】 解：， ， ， 或， 解得，． 20. 已知与成反比例，且其函数图象经过点． （1）求关于的表达式； （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可设，然后代入求解即可； （2）把代入求出的函数解析式即可求解． 【小问1详解】 解：∵与成反比例 ∴设 ∵函数图象经过点 ∴ 解得 ∴关于的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，则， 解得． 21. 已知，是一元二次方程的两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出x1＋x2＝2，x1x2＝k＋2，结合，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值，再结合（1）即可得出结论． 【详解】解：（1）∵一元二次方程有两个实数根， ∴ 解得； （2）由一元二次方程根与系数关系， ∵， ∴ 即，解得． 又由（1）知：， ∴． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合，找出关于k的方程． 22. 在物理中，压强（）、压力（）、受力面积（）满足公式． （1）下面的函数图像，正确的有__________．（填写序号） 当为定值时，与的函数关系； 当为定值时，与的函数关系； 当为定值时，与的函数关系． （2）比较薄的冰面最多承受的压强，小明的重量为． 一双鞋底与冰面的接触面积共为，他能否安全地站在这块冰面上？ 若小明平躺在一块质量不计的薄木板上，为了保证安全，这块薄木板的面积至少多大？ 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）根据函数解析式即可判断求解； （）把，代入计算即可求解；把，代入计算即可求解； 本题考查了函数的图象，反比例函数的应用，掌握函数图象的特点是解题的关键． 【小问1详解】 解：当为定值时，是的反比例函数，故正确； 当为定值时，，是的正比例函数，故错误； 当为定值时，是的正比例函数，故正确； ∴正确的有， 故答案为：； 【小问2详解】 解：把，代入得，， ∵， ∴小明不能安全地站在这块冰面上； 把，代入得，， 解得， ∴这块薄木板的面积至少． 23. 已知：如图，、是的两条直径，、分别是、的中点，连接、．求证：． 【答案】证明：∵、是的两条直径， ∴， ∵、分别是、的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】由圆的性质得到，再证明，进一步证明，则可证明． 【详解】略 24. “乒乓球”被称作我国的国球，一直代表着全世界的最高水平．据统计在伦敦世乒赛结束后的两个月内，我市从事乒乓球运动的人数从3.2万人快速增加到了5万人． （1）求我市参加乒乓球运动人数的月均增长率； （2）为支持市民参与乒乓球运动，市政府决定从某公司购买一批乒乓球台．该公司规定：若购买不超过100台，每台售价1600元；若超过100台，每增加1台，售价每台可降低4元，但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种乒乓球台的数量． 【答案】（1） （2）200台 【解析】 【分析】（1）设参加乒乓球运动人数的月均增长率为x，利用在世乒赛结束后两个月的参加乒乓球运动的人数在世乒赛结束时参加乒乓球运动的人数，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设购买m台这种乒乓球台，列出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，再结合每台售价不得少于1000元，即可确定结论． 【小问1详解】 解：设该市参加乒乓球运动人数的月均增长率为x， 由题意得， 解得，（不符合题意，舍去）， 即我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为； 【小问2详解】 解：设购买m台这种乒乓球台， 由题意得：， 解得， 又， 整理得， 解得，（舍去）， 即购买的这种乒乓球台的数量为200台． 25. 如图，四边形是证明勾股定理时用到的图形，a、b、c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． （1）写出一个“勾系一元二次方程”　 ． （2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根． （3）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且的面积是25，求四边形的周长． 【答案】（1） （2） 证明：， ， ， ， ， ， 关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； （3） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，一元二次方程根的定义以及的判别式，掌握一元二次方程的判别式是解题关键． （1）直接找一组勾股数代入方程即可； （2）根据一元二次方程根的判别式百合勾股定理，得到，再根据平方的非负性，得出，即可证明结论； （3）根据一元二次方程的根的定义，得到，由三角形面积公式，得到，再结合勾股定理，得出，，即可求出四边形的周长． 【小问1详解】 解：3、4、5为勾股数， 令，，， 写出一个“勾系一元二次方程”为， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：是“勾系一元二次方程”的一个根， ， ， 的面积是25， ， ， ， ， ， ， 解得：，（舍）， ， 四边形的周长为：． 26. 如图1，已知，，平行四边形的边分别与轴、轴交于点，且点为中点，双曲线（为常数，）经过两点． （1）求值； （2）如图2，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴的垂线，分别交反比例函数（为常数，）图像于点，交反比例函数的图像于点，当时，求点坐标； （3）点在双曲线上，点在轴上，若以点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点的坐标 ． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式、平行四边形的性质，一次函数与反比例交点问题； （1）根据中点坐标可得代入反比例函数解析式，即可求解； （2）根据平行四边形的性质求得点的坐标，进而待定系数法求得直线的解析式为，当时，，得到，设点的坐标为，得到，，，，根据等腰三角形的性质列方程即可得到结论； （3）由（1）知可知反比例函数的解析式为，再由点在双曲线上，点在轴上，设，，再分以为边和以为对角线两种情况求出的值，故可得出、的坐标． 【小问1详解】 解：，且点为中点， ∴， ∵在双曲线上， ； 【小问2详解】 由（1）可得反比例函数解析式为 ∵在上， 设 ∵四边形是平行四边形，，， ∴ ∴ ∴， ， 设直线的解析式为， 代入， ∴ 解得： 直线的解析式为， 当时，， ， ， 设点的坐标为， 轴， ，， ， ， 解得：， 点的坐标为； 【小问3详解】 由（1）知， 反比例函数的解析式为， 点在双曲线上，点在轴上， 设，， ①当为边时： 如图1，若为平行四边形， 则， 解得， 此时，； 如图2，若为平行四边形， 则， 解得， 此时，； ②如图3，当为对角线时， ，且； ， 解得， ，； 故点的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年第一学期第一次学情调研 九年级数学试题 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 将一元二次方程配方，得到方程，其中“”表示的数为（ ） A. 16 B. 4 C. 2 D. 1 3. 若一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0的一根为x＝﹣1，则k的值为（　　） A. ﹣1 B. 0 C. 1或﹣1 D. 2或0 4. 已知电压一定时，电流（单位：安培）与电阻（单位：欧姆）成反比例关系，即，当电流时，电阻，则与的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 设一元二次方程的两根为，则的值为（ ） A. 5 B. C. 1 D. 0 7. 如图，某小区有一块长，宽的矩形花园，现要修三条入口宽度相等的小路，每条小路的两边是互相平行的．若使剩余面积为．求小路的入口宽度．若设小路的入口宽度为，则根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 函数的图像如图所示，则在该坐标系中，函数的大致图像是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共30分） 9. 已知点在反比例函数的图象上，则_____． 10. 已知某个一元二次方程的两根分别是1和-2，则这个方程可以是（填一般形式）_______________． 11. 如图，点是反比例函数图象上一点，过点分别作轴、轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积是4，则的值为______． 12. 如图，顶点都在网格格点上，则外接圆的圆心坐标为______． 13. 下列说法：①半圆是弧；②面积相等的圆是等圆；③直径是弦，弦是直径；④经过圆内一定点可以作无数条弦；⑤三角形的外心不可能在其边上．其中错误的有______．（填写序号） 14. 九年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，设参加此次比赛的球队数为队，可列方程为______． 15. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解集是______． 16. 如果、是两个不相等的实数，，那么代数式______． 17. 边长为6cm的等边三角形的外接圆半径是________. 18. 如图，直线的图像上有8个点，从左往右依次记为（横坐标依次增加2个单位），要使这些点平均分布在函数的图像两侧，每侧4个点，则可以取到的整数值有______个． 三、解答题（共8小题，共96分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 19. 用适当的方法解下列方程： （1） （2）（配方法） （3） （4） 20. 已知与成反比例，且其函数图象经过点． （1）求关于的表达式； （2）当时，求的值． 21. 已知，是一元二次方程的两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由． 22. 在物理中，压强（）、压力（）、受力面积（）满足公式． （1）下面的函数图像，正确的有__________．（填写序号） 当为定值时，与的函数关系； 当为定值时，与的函数关系； 当为定值时，与的函数关系． （2）比较薄的冰面最多承受的压强，小明的重量为． 一双鞋底与冰面的接触面积共为，他能否安全地站在这块冰面上？ 若小明平躺在一块质量不计的薄木板上，为了保证安全，这块薄木板的面积至少多大？ 23. 已知：如图，、是的两条直径，、分别是、的中点，连接、．求证：． 24. “乒乓球”被称作我国的国球，一直代表着全世界的最高水平．据统计在伦敦世乒赛结束后的两个月内，我市从事乒乓球运动的人数从3.2万人快速增加到了5万人． （1）求我市参加乒乓球运动人数的月均增长率； （2）为支持市民参与乒乓球运动，市政府决定从某公司购买一批乒乓球台．该公司规定：若购买不超过100台，每台售价1600元；若超过100台，每增加1台，售价每台可降低4元，但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种乒乓球台的数量． 25. 如图，四边形是证明勾股定理时用到的图形，a、b、c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． （1）写出一个“勾系一元二次方程”　 ． （2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根． （3）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且的面积是25，求四边形的周长． 26. 如图1，已知，，平行四边形的边分别与轴、轴交于点，且点为中点，双曲线（为常数，）经过两点． （1）求值； （2）如图2，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴的垂线，分别交反比例函数（为常数，）图像于点，交反比例函数的图像于点，当时，求点坐标； （3）点在双曲线上，点在轴上，若以点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点的坐标 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $